[ تعرٌف على ] فرضية ريمان # اخر تحديث اليوم 2024-04-28

تم النشر اليوم 2024-04-28 | فرضية ريمان

الجذور على المستقيم الحرج

بداية القرن العشرين، برهن غودفري هارولد هاردي و جون إيدنسور ليتلوود على أن هناك عددا لا نهائي من الأصفار لدالة زيتا على المستقيم الحرج. حسابات عددية
السنة عدد الأصفار عالم الرياضيات
1859? 3 استعمل برنارد ريمان صيغة ريمان-سيغل (دالة لم تنشر ولكنها ذُكرت في سيغل 1932).
1903 15 J. P. غرام (1903) استعمل صيغة أويلر-ماكلورين فاكتشف قانون غرام. He showed that all 10 zeros with imaginary part at most 50 range lie on the critical line with real part 1/2 by computing the sum of the inverse 10th powers of the roots he found.
1914 79 (γn ≤ 200) R. J. Backlund (1914) introduced a better method of checking all the zeros up to that point are on the line, by studying the argument S(T) of the zeta function.
1925 138 (γn ≤ 300) J. I. Hutchinson (1925) found the first failure of Gram's law, at the Gram point g126.
1935 195 E. C. Titchmarsh (1935) used the recently rediscovered صيغة ريمان-سيغل , which is much faster than Euler–Maclaurin summation.It takes about O(T3/2+ε) steps to check zeros with imaginary part less than T, while the Euler–Maclaurin method takes about O(T2+ε) steps.
1936 1041 E. C. Titchmarsh (1936) and L. J. Comrie were the last to find zeros by hand.
1953 1104 A. M. Turing (1953) found a more efficient way to check that all zeros up to some point are accounted for by the zeros on the line, by checking that Z has the correct sign at several consecutive Gram points and using the fact that S(T) has average value 0. This requires almost no extra work because the sign of Z at Gram points is already known from finding the zeros, and is still the usual method used. This was the first use of a digital computer to calculate the zeros.
1956 15000 D. H. Lehmer (1956) discovered a few cases where the zeta function has zeros that are "only just" on the line: two zeros of the zeta function are so close together that it is unusually difficult to find a sign change between them. This is called "Lehmer's phenomenon", and first occurs at the zeros with imaginary parts 7005.063 and 7005.101, which differ by only .04 while the average gap between other zeros near this point is about 1.
1956 25000 D. H. Lehmer
1958 35337 N. A. Meller
1966 250000 R. S. Lehman
1968 3500000 Rosser, Yohe & Schoenfeld (1969) stated Rosser's rule (described below).
1977 40000000 ريتشارد بي. برنت
1979 81000001 R. P. Brent
1982 200000001 R. P. Brent, J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter
1983 300000001 J. van de Lune, H. J. J. te Riele
1986 1500000001 van de Lune, te Riele & Winter (1986) gave some statistical data about the zeros and give several graphs of Z at places where it has unusual behavior.
1987 A few of large (~1012) height A. M. Odlyzko(1987) computed smaller numbers of zeros of much larger height, around 1012, to high precision to check Montgomery's pair correlation conjecture.
1992 A few of large (~1020) height A. M. Odlyzko(1992) computed a 175 million zeroes of heights around 1020 and a few more of heights around 2×1020, and gave an extensive discussion of the results.
1998 10000 of large (~1021) height A. M. Odlyzko(1998) computed some zeros of height about 1021
2001 10000000000 J. van de Lune (unpublished)
2004 900000000000 S. Wedeniwski (ZetaGrid distributed computing)
2004 10000000000000 and a few of large (up to ~1024) heights X. Gourdon (2004) and Patrick Demichel used the Odlyzko–Schönhage algorithm. They also checked two billion zeros around heights 1013, 1014, ... , 1024.

نتائج

توزيع الأعداد الأولية إذا كانت فرضية ريمان صحيحة فإن قيمة الخطأ بين التكامل اللوغاريتمي لأويلر و π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)} (انظر إلى الدالة المعدة للأعداد الأولية وإلى أعمال هيلغ فون كوخ في هذا المجال) تستوفي المتفاوتة الآتية: | π
(
x
)
−
Li
⁡
(
x
) | <
1 8
π x log
⁡
(
x
)
{\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\log(x)} لكل x
≥
2657
{\displaystyle x\geq 2657} .
نمو الدوال الحسابية
فرضية ريمان تفرض حدودا قصوى على مجموعة من الدوال الحسابية بالإضافة إلى الدالة المعدة للأعداد الأولية المتحَدث عنها أعلاه.
من الأمثلة على ذلك، دالة موبيوس μ
{\displaystyle \mu } . كون المعادلة التالية:
1 ζ
(
s
) = ∑ n
=
1
∞ μ
(
n
)
n s
{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}
صحيحة عندما يكون الجزء الحقيقي ل s
{\displaystyle s} أكبر قطعا من النصف، مع كون المجموع الموجود في يمين المعادلة متقاربا، يكافئ فرضية ريمان. نتيجة لذلك، يُمكن أن يُستنتج أنه إذا عُرفت دالة ميرتنز كما يلي: M
(
x
)
= ∑ n
≤
x
μ
(
n
)
{\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}
إذن فإن القول بأن M
(
x
)
=
O
( x 1 / 2
+
ε
) {\displaystyle M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon })\,}
بالنسبة لأي عدد موجب يكافئ فرضية ريمان. (انظر إلى رمز O الكبير) الهندسة غير التبادلية
في عامي 1999 و 2000، وصف ألان كن علاقة بين فرضية ريمان والهندسة غير تبديلية.

دالة زيتا لريمان

دالة زيتا لريمان تعرف بالنسبة لعدد عقدي s
{\displaystyle s} ، جزئه الحقيقي أكبر قطعا من 1 بالمتسلسلة غير المنتهية والمتقاربة مطلقا، التالية: ζ
(
s
)
= ∑ n
=
1
∞
1 n s
=
1 1 s
+
1 2 s
+
1 3 s
+
⋯
. {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots .\!}
أثبت ليونهارد أويلر أن هذه المتسلسلة تساوي جداء أويلر والمعرف بما يلي: ζ
(
s
)
= ∏ p prime 1 1
− p −
s =
1 1
− 2 −
s ⋅
1 1
− 3 −
s ⋅
1 1
− 5 −
s ⋅
1 1
− 7 −
s ⋯
1 1
− p −
s ⋯
{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots }
حيث يشمل هذا الجداء غير المنتهي جميع الأعداد الأولية، وأيضا، يؤول إلى عدد معين عندما يكون الجزء الحقيقي ل s
{\displaystyle s} أكبر قطعا من 1. كون جداء أويلر متقاربا عندما يكون الجزء الحقيقي ل s
{\displaystyle s} أكبر قطعا من الواحد، يعني أنه ليس للدالة ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)} جذرا في هذه المنطقة. تتعلق فرضية ريمان بالجذور الواقعة خارج المنطقة التي تكون فيها هاته المتسلسلة متقاربة، ولهذا السبب، فإنه ينبغي لدالة زيتا لريمان أن تُمدد تحليليا إلى جميع الأعداد العقدية. انظر إلى دالة إيتا لدركليه.
دالة زيتا لريمان تستوفي المعادلة الدالية الآتية:
ζ
(
s
)
= 2 s π s
−
1

sin
⁡ ( π
s 2
)
Γ
(
1
−
s
)

ζ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)}

الأصل

السبب الذي دفع ريمان لدراسة الدالة زيتا وجذورها هو إرتباطها بالصيغة الكاملة للدالة المعدة للأعداد الأولية π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)} ، التي تقوم بحساب عدد الأعداد اللأعداد الأولية الأقل من عددٍ ما x
{\displaystyle x} . والتي قام بنشرها في ورقته عام 1859 «حول عدد الأعداد الأولية الأقل من مقدار محدد». الصيغة الكاملة ل π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)} هي: Π 0
(
x
)
=
li
⁡
(
x
)
− ∑ ρ
li
⁡
( x ρ
)
−
log
⁡
(
2
)
+ ∫ x
∞ d
t
t
( t 2
−
1
)
log
⁡
(
t
) {\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log(t)}}} .
بحيث أن ρ
{\displaystyle \rho } هي الجذور غير البديهية لدالة زيتا لريمان، بالنسبة ل li
{\displaystyle \operatorname {li} } طالع دالة التكامل اللوغاريتمي.

شرح مبسط

فرضية ريمان (بالإنجليزية: Riemann hypothesis)‏ هي حدسية حدسها سنة 1859م عالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان.[1][2][3] تعتبر هذه المسألة من أعظم المسائل وأقدمها ومن أصعب الفرضيات التي استعصت على البرهان.