اليوم: السبت 27 ابريل 2024 , الساعة: 7:23 م
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
اخر المشاهدات
- [ الكثافة السكانية ] عدد سكان قطر # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- وكالة فرسان للسفر والسياحة (المكتب الرئيسي) # اخر تحديث اليوم 2024-02-20
- [ تعرٌف على ] منتخب رابطة الدول المستقلة لكرة القدم # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [رقم هاتف] الطبيب السيوتي عبد الفتاح .. المغرب # اخر تحديث اليوم 2024-02-29
- [ السياحة في الدول الأجنبية ] أين تقع زيلامسي؟ 6 معلومات عن أجمل المنتجعات السياحي في العالم # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ خذها قاعدة ] يقول لي أبي دائماً , لا تثقي في شخص تلفازه أكبر من رف كتبه. - إميليا كلارك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أطباق صحية ] طهي اللانشون في المنزل # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] شارع ناصر الصحراء لمقاولات البناء ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] المسجد المنصوري الكبير # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] الحافة الهندسية للتجارة EDGE ENGINEERING TRADING ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] بينج التجارية Ping Trading ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] رومانتك للتجاره ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] عقدة مستقلية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] أحمد المنصور الذهبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ برامج إلكترونية ] دور نظام المعلومات في المؤسسة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم الامارات ] مطعم قصر الحراء ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] كوكب خارج المجموعة الشمسية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] شركة دينا تيك دايف ش.م.ب (مقفلة) ذات رأس مال أجنبي ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] ليا التجارية LIYA ELECTRICAL TRADING W.L.L ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الهيئة العليا المستقلة للاتصال السمعي البصري (تونس) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- سعود بهوان # اخر تحديث اليوم 2024-02-28
- [ دليل أبوظبي الامارات ] رياح الصحراء للالكتروميكانيكال ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] مطعم زيتون ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] ورشة المستقل للحداده و اللحام ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبير فرج جراد العنزي ... تبوك ... منطقة تبوك # اخر تحديث اليوم 2024-03-15
- [ تعرٌف على ] طيران كندا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ حيوانات وطيور ] 24 من أمتع المعلومات عن الحيوانات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] نايف عويض مزنان المطيري ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-25
- [ علوم ] الطاقة الشمسية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] سفارة المغرب في كندا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] مجموعة السلطان المنصور قلاوون # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ تعرٌف على ] التاريخ العسكري لكندا خلال الحرب العالمية الأولى # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الطاقة الشمسية في كندا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] وجود غازي رافع الحربي ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الانتحار في كندا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد مسفر عامر الهلالي ... محائل ... منطقة عسير # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] استشارات ما قبل الحمل في الولايات المتحدة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المعدات قطر ] شركة كولونيل للتجارة Colonel Trading ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] سيار التجارة Sayyar Trading Agencies W.L.L. ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المواد الغذائية قطر ] الأفق لتجارة المواد الغذائية HORIZON FOOD TRADING WLL ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] زيت زيتون ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [رقم هاتف] عيادة الطبيب حمام هادي صلاح .. لبنان # اخر تحديث اليوم 2024-04-17
- [ دليل أبوظبي الامارات ] استوديو بيرفكت شوت للكتابة والتصوير ذ.م.م ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] صالون الصحراء الخضراء للرجال ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المدارس الخاصة والمستقلة قطر ] حضانة سارة SARA NURSERY ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ خذها قاعدة ] الحياة لغة أجنبية والجميع لا يحسنون هجاءها. - كريستوفر مارلو # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- هل تسليط الماء على المهبل يفقد غشاء البكارة؟ # اخر تحديث اليوم 2024-03-11
- قانع (شاعر) أعماله # اخر تحديث اليوم 2024-03-09
- [ شركات المدارس الخاصة والمستقلة قطر ] امهات في الدوحة Mums in Doha ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] بدريه شداد راجي المطيري ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] منصة بيع المواد الغذائية و المواد استهلاكية ... الدمام ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-02-12
- [ تعرٌف على ] وزير الشؤون الخارجية (كندا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات البوتانية السلوفينية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] كتاب العطايا والنوادر # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] مؤسسة على للتجارة ALI INTERNATIONAL TRADING EST ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات السلوفاكية السنغافورية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ حلو عربي ] 2 من أجمل أطباق حلويات عيد الفطر في المغرب # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أطباق خليجية ] طريقة كبسة الدجاج السعودية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ رقم هاتف ] مزارع الرومى الجيزة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] الهيئة المصرية العامة للكتاب # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم السعودية ] كافتيريا هلا # اخر تحديث اليوم 2024-02-13
- [ دليل دبي الامارات ] الأبواب المعدنية المجوفة الخضراء ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المدارس الخاصة والمستقلة قطر ] حضانة كامبريدج ستارز Cambridge Stars Nursery ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات الجوالات والهواتف قطر ] أيه.جي كوم للهواتف AG COMM Qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات تأجير السيارات قطر ] قطر تاكسي qatar taxi ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] الفارس للكتابة والتصوير ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالعزيز عبدالله حياء الرشيدي ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] ستورزون ... حائل ... منطقة حائل # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم الامارات ] مطعم ربوع الصحراء ... العين # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات السلوفاكية الكورية الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] حمود بن محمد بن قاعد العتيبي ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] كتاب أوكسفورد للكتابة العلمية الحديثة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] جيمس كلارك روس # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] العد للتجارة Al Ad Trading ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات العقارات قطر ] كي ام اي للتجارة والمقاولات KMA Trading Contracting & Transport ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] بناء الصحراء للمقاولات العامة ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] مرض خدش القطة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] دادلي كلارك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات الشحن والنقل قطر ] سي ام ايه CMA CGM QATAR ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- جدول السعرات الحرارية ..لمعظم الاطعمة ومطاعم الوجبات السريعة - رجيم ورشاقة و تنحيف وانقاص الوزن # اخر تحديث اليوم 2024-03-11
- [ شركات الابواب الاكترونية قطر ] مؤسسة النجاح للأبواب الالكترونيه elnajah for doors trading ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] متجر زون استوري ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ فيزياء ] اليك اهم المعلومات الهامة عن التسارع # اخر تحديث اليوم 2024-02-17
- [ مؤسسات البحرين ] بروماغ للخدمات الفنية ذ م م ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] براندي كلارك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] شركة قصر روما للمقاولات العقارب ذ.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] الطليعة للاستشارات المالية ذ.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [رقم هاتف] مصنع مشهور لصناعة التنك.. بالاردن الهاشمية # اخر تحديث اليوم 2024-03-03
- [ شركات المدارس الخاصة والمستقلة قطر ] مدرسة الجزيرة اكاديمي Al Jazeera Academy ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] حملة لويس وكلارك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] قرية لوييس أند كلارك (ميزوري) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] ماري هيغينز كلارك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] حبوب منع الحمل # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ خدمات قطر ] مدارس في قطر | مدرسة رابعة العدوية الثانوية المستقلة للبنات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] كراج الصحراء الفريد للسيارات ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المقاولات قطر ] كونتريد للمقاولات Contrade ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] واندسوار لخدمات الامن ذ.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-25
- [ وزارات وهيئات حكومية السعودية ] مستشفى الدوادمى # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] كراج يوسف طالب ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
الأكثر قراءة
- مريم الصايغ في سطور
- سؤال و جواب | ما هى أسباب نزول الدم الاحمر بعد البراز؟ وهل هناك أسباب مرضية؟ وما الحل ؟
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً
- هل للحبة السوداء"حبة البركة "فوائد ؟
- كيف أتخلص من الغازات الكريهة التى تخرج مني باستمرار؟
- هناك ألم عندى فى الجانب الأيسر للظهر فهل من الممكن أن يكون بسبب الكلى ؟
- هل هناك علاج للصداع الئى أانيه فى الجانب الأيسر من الدماغ مع العين اليسرى ؟
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام»
- [ رقم تلفون ] مستر مندوب ... مع اللوكيشن المملكه العربية السعودية
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان
- نزع شوك السمك في المنام
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة
- ارقام وهواتف مستشفى الهلال الاحمر 34 ش رمسيس وسط البلد بالقاهرة
- جريمة قتل آمنة الخالدي تفاصيل الجريمة
- رسائل حب ساخنة للمتزوجين +18
- خليفة بخيت الفلاسي حياته
- تعرٌف على ... عائشة العتيبي | مشاهير
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟
- رقم هاتف مكتب النائب العام وكيفية تقديم بلاغ للنائب العام
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] شركة متجر كل شششي - المملكه العربية السعودية
- تفسير رؤية شخص اسمه محمد في المنام لابن سيرين
- ارقام وهواتف مطعم الشبراوى 33 ش احمد عرابى المهندسين, بالجيزة
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة
- ارقام وهواتف عيادة د. ياسر المليجى - 139 ش التحرير الدقى بالجيزة
- ارقام وهواتف مستشفى النور المحمدى الخيرى التخصصى المطرية, بالقاهرة
- تفسير رؤية الحشرات في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية
- قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟
- أعشاب تفتح الرحم للإجهاض
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟!
- قناة تمازيغت برامج القناة
- ارقام وهواتف مكتب صحة - السادس من اكتوبر ميدان الحصرى السادس من اكتوبر, بالجيزة
- سور القران لكل شهر من شهور الحمل
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين
- زخرفة اسماء تصلح للفيس بوك
- مدرسة ب/ 141 حكومي للبنات بجدة
- إلغ (برمجية) التاريخ
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان
- أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام
- تفسير حلم الكلب لابن سيرين
- [ رقم هاتف ] عيادة د. حازم ابو النصر - 20 ش عبد العزيز جاويش عابدين بالقاهرة
- انا بنت عندي 13 سنة لسة مجتليش الدورة الشهرية ......كنت ببات عند خالتي وكل ما
- هل تمرير الإصبع بشكل أفقي على فتحة المهبل يؤدي إلى فض غشاء البكارة؟
- [رقم هاتف] شركة الحراسة و التوظيف و التنظيف.. المغرب
- قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي
- ذا إكس فاكتور آرابيا فكرة البرنامج
- السلام عليكم ، أنا مشكلتي بصراحة الجنس من الخلف مع زوجي الأن صار ويحب حيل
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟
- لالة لعروسة (برنامج) الفائزون
- أنا حامل في الشهر الرابع وينزل مني دم .. هل هذا طبيعي؟
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها
- هل إدخال إصبع الزوج في مهبل الزوجة له أضرار؟
- تفسير حلم اصلاح الطريق في المنام
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة
- إيمان ظاظا حياتها ومشوارها المهني
- أهمية وضرورة إزالة الخيط الأسود من ظهر الجمبري
- اسماء فيس بنات مزخرفة | القاب بنات مزخرفه
- لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة
- تفسير رؤية المشاهير في المنام لابن سيرين
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن حرب 6 اكتوبر 1973 بالصور pdf doc -
- فوائد عشبة الفلية و الكمية المناسبة يوميا
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] شركة الرفق بالحيوان و الطبيعة.. المغرب
- كلمات - انت روحي - حمود السمه
- أعاني من لحمة زائدة في الدبر ، فلدي قطعة لحمية صغيرة في فتحة الشرج من الخارج
- ما الفرق بين الغشاء السليم وغير السليم؟
- تفسير حلم رؤية الإصابة بالرصاص في الكتف بالمنام
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟
- عمر فروخ
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة?
- إدمان الزوج للمواقع الإباحية: المشكلة والأسباب والعلاج
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء.
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام
- تظهر عندي حبوب في البظر والشفرتين بين حين وآخر.. هل لها مضاعفات، وما علاجها؟
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- الكرة الحديدية قواعد اللعبة
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن اللغة العربية والكفايات اللغويه -
- تفسير حلم رؤية الكنز فى المنام لابن سيرين
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟
روابط تهمك
مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع [ تعرٌف على ] دوال زائدية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 10/11/2023
[ تعرٌف على ] دوال زائدية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
آخر تحديث منذ 5 شهر و 18 يوم
1 مشاهدة
تم النشر اليوم 2024-04-27 | دوال زائدية
القطاع الدائري (بالأصفر) والقطاع الزائدي (الشكل الأحمر + الشكل الأصفر). الدائرة والقطع الزائد الذي يمسها عند (1,1) يعرضان هندسة الدوال الدائرية بدلالة مساحة القطاع الدائري u والدوال الزائدية اعتمادًا على مساحة القطاع الزائدي u.
تمثل الدوال الزائدية امتدادًا لحساب المثلثات خارج الدوال الدائرية. كلا النوعين يعتمد على عُمدة، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية. بما أن مساحة قطاع دائري له نصف قطر r وزاوية u تساوي r2u/2، ستكون مساويا لـu عندما يكون r = √2. في الرسم التخطيطي، تكون مثل هذه الدائرة مماسية للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1 في (1,1). تمثل القطاع الأصفر والأحمر مساحة ومقدار زاوية. وبالمثل، فإن القطاعات الصفراء والحمراء معا تمثل مساحة ومقدار زاوية زائدية. يبلغ طول ساقي المثلثين القائمين التي تحتوي على الوتر على الشعاع المحدد للزوايا √2 مرة الدوال الدائرية والزائدية. الزاوية الزائدية هي مقياس ثابت بالنسبة إلى الدوران الزائدي [الإنجليزية]، تمامًا كما تكون الزاوية الدائرية ثابتة تحت الدوران الدائري. تعطي دالة غودرمان (تكامل دالة القاطع الزائدية والتي تساوي gd
x
=
arcsin
( tanh
x ) =
arctan
(
sinh
x
)
{\displaystyle \operatorname {gd} x=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan(\sinh x)} ) علاقة مباشرة بين الدوال الدائرية والدوال الزائدية التي لا تتضمن أعدادًا مركبة. الرسم البياني للدالة cosh (x/a) هو عبارة عن سلسلي، وهو منحنى يتكون من سلسلة منتظمة ووقابلة للانثناء ومعلقة بِحُرية بين نقطتين ثابتتين تحت ثقل منتظم.
sinh
a
x d
x
=
1
a
cosh
a
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C}
∫
cosh
a
x d
x
=
1
a
sinh
a
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C}
∫
tanh
a
x d
x
=
1
a
ln
(
cosh
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \tanh ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\cosh ax)+C}
∫
coth
a
x d
x
=
1
a
ln
(
sinh
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \coth ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\sinh ax)+C}
∫
sech x d
x
=
arctan (
sinh
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C}
∫
csch x d
x
=
ln
| tanh
x
2 | +
C
, for x
≠
0
{\displaystyle \int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0}
∫ d
u a 2
+ u 2 = sinh −
1
(
u
a
) +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫ d
u u 2
− a 2 = cosh −
1
(
u
a
) +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫ d
u a 2
− u 2 =
1
a tanh −
1
(
u
a
) +
C
; u 2
< a 2
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2} ∫ d
u a 2
− u 2 =
1
a coth −
1
(
u
a
) +
C
; u 2
> a 2
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}}
∫ d
u
u a 2
− u 2 =
−
1
a sech −
1
(
u
a
) +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫ d
u
u a 2
+ u 2 =
−
1
a csch −
1
|
u
a
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C} في التعابير السابقة، يدعى C بثابت التكامل.
d d
x sinh
(
x
)
=
cosh
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)\,}
d d
x cosh
(
x
)
=
sinh
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)\,}
d d
x tanh
(
x
)
=
1
− tanh 2
(
x
)
= sech 2
(
x
)
=
1 /
cosh 2
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}}^{2}(x)=1/\cosh ^{2}(x)\,}
d d
x coth
(
x
)
=
1
− coth 2
(
x
)
=
− csch 2
(
x
)
=
−
1 /
sinh 2
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth(x)=1-\coth ^{2}(x)=-{\hbox{csch}}^{2}(x)=-1/\sinh ^{2}(x)\,}
d d
x
csch
(
x
)
=
−
coth
(
x
)
csch
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {csch} (x)=-\coth(x)\ \operatorname {csch} (x)\,}
d d
x
sech
(
x
)
=
−
tanh
(
x
)
sech
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {sech} (x)=-\tanh(x)\ \operatorname {sech} (x)\,}
d d
x
(
sinh −
1
x ) =
1
x 2
+
1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sinh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
d d
x
(
cosh −
1
x ) =
1
x 2
−
1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\cosh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d d
x
(
tanh −
1
x ) =
1 1
− x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\tanh ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}}
d d
x
(
csch −
1
x ) =
−
1
|
x
| 1
+ x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {csch} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
d d
x
(
sech −
1
x ) =
−
1 x
1
− x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {sech} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
d d
x
(
coth −
1
x ) =
1 1
− x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\coth ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}}
تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا.
كما نعلم من الدائرة، تمثل النقاط cos
(
t
)
,
sin
(
t
) {\displaystyle \cos(t),\sin(t)\,} دائرة الوحدة (نصف قطرها = 1)، بالمثل فإن النقاط cosh
(
t
)
,
sinh
(
t
) {\displaystyle \cosh(t),\sinh(t)\,} تشكل النصف الأيمن من القطع الزائد.
تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية. في التحليل المركب، هي ببساطة دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.
هناك طرق متكافئة مختلفة لتعريف الدوال الزائدية. بدلالة الدوال الأسية
sinh, cosh و tanh
csch, sech و coth
الدوال الزائدية هي: الجيب الزائدي:
sinh
x
=
e x
− e −
x 2
=
e 2
x
−
1
2 e x = 1
− e −
2
x
2 e −
x {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}}
جيب التمام الزائدي:
cosh
x
=
e x
+ e −
x 2
=
e 2
x
+
1
2 e x = 1
+ e −
2
x
2 e −
x {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}}
الظل الزائدي:
tanh
x
= sinh
x
cosh
x = e x
− e −
x 2
e x
+ e −
x 2 =
e x
− e −
x e x
+ e −
x =
e 2
x
−
1 e 2
x
+
1 {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
ظل التمام الزائدي:
coth
x
= cosh
x
sinh
x = e x
+ e −
x 2
e x
− e −
x 2 =
e x
+ e −
x e x
− e −
x =
e 2
x
+
1 e 2
x
−
1 {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
القاطع الزائدي:
sech
x
=
1 cosh
x =
2
e x
+ e −
x {\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}
قاطع التمام الزائدي:
csch
x
=
1 sinh
x =
2
e x
− e −
x {\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}
يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة أويلر.
لاحظ أنه من التعريف,
s
i
n
h 2
x {\displaystyle {\rm {sinh}}^{2}x\,} تعني (
s
i
n
h
x ) 2 {\displaystyle ({\rm {sinh}}x)^{2}\,} , ليس s
i
n
h
(
s
i
n
h
x
) {\displaystyle {\rm {sinh}}({\rm {sinh}}x)\,} ; وبالمثل للدوال الزائدية الأخرى والأسات الموجبة. بواسطة المعادلات الفاضلية
يمكن تعريف الدوال الزائدية حلولًا للمعادلات التفاضلية: دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان هما الحلان الوحيدتان (s, c) للجملة:
c
′ (
x
) =
s
(
x
) s
′ (
x
) =
c
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x)\\s'(x)&=c(x)\end{aligned}}}
بحيث s(0) = 0 و c(0) = 1. وهما أيضًا حلان وحيدان للمعادلة f ″(x) = f (x),
بحيث f (0) = 1, f ′(0) = 0 بالنسبة لجيب التمام الزائدي، و f (0) = 0, f ′(0) = 1 بالنسبة للجيب الزائدي. الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية لمسألة القيمة الحدية: 1
2 f
″ = f 3
−
f ; f
(
0
)
= f
′ (
∞
)
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0}
بواسطة الدوال المثلثية لعدد مركب
يمكن استنتاج الدوال الزائدية من الدوال المثلثية لعدد مركب: الجيب الزائدي:
sinh
x
=
−
i
sin
(
i
x
)
{\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)}
جيب التمام الزائدي:
cosh
x
=
cos
(
i
x
)
{\displaystyle \cosh x=\cos(ix)}
الظل الزائدي:
tanh
x
=
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)}
ظل التمام الزائدي:
coth
x
=
i
cot
(
i
x
)
{\displaystyle \coth x=i\cot(ix)}
القاطع الزائدي:
sech
x
=
sec
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)}
قاطع التمام الزائدي:
csch
x
=
i
csc
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)}
حيث i وحدة تخيلية معرفة بأنها i2 = −1. ترتبط التعريفات المذكورة أعلاه بالتعريفات الأسية عبر صيغة أويلر. تعريف بواسطة التكامل
يمكن إظهار أن مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى جيب التمام الزائدي خلال فترة محدودة تساوي دائمًا طول القوس المقابل لتلك الفترة:
area = ∫ a
b
cosh
x d
x
= ∫ a
b
1
+
( d d
x cosh
x )
2 d
x
= arc length. {\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}
تحليل الدالة الأسية في أجزائها الزوجية والفردية يعطي المتطابقات التالية:
e x
=
cosh
x
+
sinh
x {\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}
تشبه الأولى صيغة أويلر.
e −
x
=
cosh
x
−
sinh
x
. {\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!}
بالإضافة إلى
e x
=
1
+
tanh
x
1
−
tanh
x
= 1
+
tanh
x
2
1
−
tanh
x
2 {\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}
من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة متسلسلة تايلور: sinh
x
=
x
+ x 3 3
! + x 5 5
! + x 7 7
! +
⋯
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n
+
1 (
2
n
+
1
)
! {\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cosh
x
=
1
+ x 2 2
! + x 4 4
! + x 6 6
! +
⋯
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n (
2
n
)
! {\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
tanh
x
=
x
− x 3
3
+ 2 x 5 15
− 17 x 7 315
+
⋯
= ∑ n
=
1
∞
2 2
n
( 2 2
n
−
1
) B 2
n x 2
n
−
1
(
2
n
)
! , |
x
| <
π
2
{\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
coth
x
=
1
x
+
x
3
− x 3
45
+ 2 x 5 945
+
⋯
=
1
x
+ ∑ n
=
1
∞
2 2
n B 2
n x 2
n
−
1
(
2
n
)
! ,
0
< |
x
| <
π
{\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (متسلسلة لوران)
sech x
=
1
− x 2
2
+ 5 x 4 24
− 61 x 6 720
+
⋯
= ∑ n
=
0
∞
E 2
n x 2
n
(
2
n
)
! , |
x
| <
π
2
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
csch x
= x −
1
−
x
6
+ 7 x 3 360
− 31 x 5 15120
+
⋯
= x −
1
+ ∑ n
=
1
∞ 2
(
1
− 2 2
n
−
1
) B 2
n x 2
n
−
1
(
2
n
)
! ,
0
< |
x
| <
π
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (متسلسلة لوران)
حيث
B n {\displaystyle B_{n}\,} هي عدد بيرنولي رقم n E n {\displaystyle E_{n}\,} هي عدد أويلر رقم n
المقالة الرئيسة: دوال زائدية عكسية
arsinh
x
=
ln
( x
+ x 2
+
1 ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
arcosh
x
=
ln
( x
+ x 2
−
1 ) ;
x
≥
1
{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}
artanh
x
=
1
2
ln
1
+
x
1
−
x ; |
x
| <
1
{\displaystyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};\left|x\right|<1}
arsech
x
=
ln
1
+
1
− x 2 x
;
0
<
x
≤
1
{\displaystyle \operatorname {arsech} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0
arcsch
x
=
ln
( 1
x
+ 1
+ x 2
|
x
|
) {\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)}
arcoth
x
=
1
2
ln
x
+
1
x
−
1 ; |
x
| >
1
{\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};\left|x\right|>1}
لاتقل هذه الدوال شأنا عن الدوال المثلثية، إذ يمكن استخدامها في بعض مسائل التكامل كتعويض مناسب لإيجاد الحل، كما نشأت في بعض المعادلات التفاضلية الخطية كحل عام كما هو الحال في معادلة لابلاس في الإحداثيات الكارتيزية والتي أصبح لها تطبيقات عديدة في الفيزياء. في علم الميكانيكا أيضا كان حساب طول السلاسل المعلقة بشكل حر يجري بشكل متسلسلة قبل التوصل لهذه الدوال. تنمذج محددات خطوط نقل الكهرباء بواسطة دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان.
في الحقيقة يمكن التحويل بين المتطابقات المثلثية والمتطابقات الزائدية باستعمال قاعدة أوسبورن التي تنص على هذه الإمكانية عن طريق نشر المتطابقة كليا في حدود قوى تكاملات للجيب وجيب التمام، وبتغيير sin إلى sinh و cos إلى cosh، وتبديل الإشارة لكل حد يحوي مضروب من 2، 6، 10، 14،... جيب زائدي. الدوال الزوجية والفردية: sinh
(
−
x
) =
−
sinh
x
cosh
(
−
x
) =
cosh
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}
ومنهم: tanh
(
−
x
) =
−
tanh
x
coth
(
−
x
) =
−
coth
x
sech
(
−
x
) =
sech
x
csch
(
−
x
) =
−
csch
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}
وبالتالي، cosh x و sech x هي دوال زوجية؛ بينما الدوال الأخرى هي دوال فردية. تلبي دالتا جيب وجيب التمام الزائديان: cosh
x
+
sinh
x = e x
cosh
x
−
sinh
x = e −
x cosh 2
x
− sinh 2
x =
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}}
تشبه الأخيرة متطابقة فيثاغورس المثلثية. لدينا أيضا:
sech 2
x =
1
− tanh 2
x csch 2
x = coth 2
x
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}
بالنسبة إلى الدوال الأخرى. صيغ الجمع
sinh
(
x
+
y
) =
sinh
x
cosh
y
+
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
+
y
) =
cosh
x
cosh
y
+
sinh
x
sinh
y
tanh
(
x
+
y
) = tanh
x
+
tanh
y
1
+
tanh
x
tanh
y {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
لدينا أيضا: sinh
x
+
sinh
y =
2
sinh
( x
+
y 2
) cosh
( x
−
y 2
) cosh
x
+
cosh
y =
2
cosh
( x
+
y 2
) cosh
( x
−
y 2
) {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
صيغ ضعف الزاوية
cosh
(
2
x
) = sinh 2
x + cosh 2
x =
2 sinh 2
x
+
1
=
2 cosh 2
x
−
1
sinh
(
2
x
) =
2
sinh
x
cosh
x
tanh
(
2
x
) = 2
tanh
x
1
+ tanh 2
x {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}
صيغ الطرح
sinh
(
x
−
y
) =
sinh
x
cosh
y
−
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
−
y
) =
cosh
x
cosh
y
−
sinh
x
sinh
y
tanh
(
x
−
y
) = tanh
x
−
tanh
y
1
−
tanh
x
tanh
y {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
أيضا: sinh
x
−
sinh
y =
2
cosh
( x
+
y 2
) sinh
( x
−
y 2
) cosh
x
−
cosh
y =
2
sinh
( x
+
y 2
) sinh
( x
−
y 2
) {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
صيغ نصف الزاوية
sinh
(
x
2
)
= sinh
(
x
)
2
(
cosh
x
+
1
) =
sgn
x cosh
x
−
1 2 cosh
(
x
2
)
=
cosh
x
+
1 2 tanh
(
x
2
)
= sinh
x
cosh
x
+
1 =
sgn
x cosh
x
−
1
cosh
x
+
1
=
e x
−
1 e x
+
1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh(x)}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}
حيث sgn هي دالة الإشارة. إذا كان x ≠ 0، فإن: tanh
(
x
2
) = cosh
x
−
1
sinh
x =
coth
x
−
csch
x
{\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}
لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن تامة الشكل. وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:
e i
x
=
cos
x
+
i sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\;\sin x} e −
i
x
=
cos
x
−
i sin
x
{\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x}
وعليه: cosh
(
i
x
) =
1
2 (
e i
x
+ e −
i
x ) =
cos
x
sinh
(
i
x
) =
1
2 (
e i
x
− e −
i
x ) =
i
sin
x
cosh
(
x
+
i
y
) =
cosh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
sinh
(
x
)
sin
(
y
)
sinh
(
x
+
i
y
) =
sinh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
cosh
(
x
)
sin
(
y
)
tanh
(
i
x
) =
i
tan
x
cosh
x =
cos
(
i
x
)
sinh
x =
−
i
sin
(
i
x
)
tanh
x =
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}
وبالتالي، تعد الدوال الزائدية دوالاً دورية ذات دورة 2
π
i
{\displaystyle 2\pi i} ( π
i
{\displaystyle \pi i} بالنسبة لدالتي الظل وظل التمام الزائديتين). إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية للدوال الزائدية المركبة (العقدية) الواردة أدناه مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال المثلثية توضح العلاقات بينهما.
دوال زائدية في المستوى المركب sinh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sinh} (z)} cosh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {cosh} (z)} tanh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {tanh} (z)} coth
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {coth} (z)} sech
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sech} (z)} csch
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (z)}
الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة أو الدوال الهُذْلولية [1] (بالإنجليزية: Hyperbolic functions) في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية (أو الدائرية)، لكنها معرفة بواسطة القطع الزائد بدلاً من الدائرة: تمامًا كما تشكل النقاط (cos t , sin t) دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط (cosh t , sinh t) النصف الأيمن من القطع الزائد.[2][3][4]
المقارنة مع الدوال المثلثية
القطاع الدائري (بالأصفر) والقطاع الزائدي (الشكل الأحمر + الشكل الأصفر). الدائرة والقطع الزائد الذي يمسها عند (1,1) يعرضان هندسة الدوال الدائرية بدلالة مساحة القطاع الدائري u والدوال الزائدية اعتمادًا على مساحة القطاع الزائدي u.
تمثل الدوال الزائدية امتدادًا لحساب المثلثات خارج الدوال الدائرية. كلا النوعين يعتمد على عُمدة، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية. بما أن مساحة قطاع دائري له نصف قطر r وزاوية u تساوي r2u/2، ستكون مساويا لـu عندما يكون r = √2. في الرسم التخطيطي، تكون مثل هذه الدائرة مماسية للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1 في (1,1). تمثل القطاع الأصفر والأحمر مساحة ومقدار زاوية. وبالمثل، فإن القطاعات الصفراء والحمراء معا تمثل مساحة ومقدار زاوية زائدية. يبلغ طول ساقي المثلثين القائمين التي تحتوي على الوتر على الشعاع المحدد للزوايا √2 مرة الدوال الدائرية والزائدية. الزاوية الزائدية هي مقياس ثابت بالنسبة إلى الدوران الزائدي [الإنجليزية]، تمامًا كما تكون الزاوية الدائرية ثابتة تحت الدوران الدائري. تعطي دالة غودرمان (تكامل دالة القاطع الزائدية والتي تساوي gd
x
=
arcsin
( tanh
x ) =
arctan
(
sinh
x
)
{\displaystyle \operatorname {gd} x=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan(\sinh x)} ) علاقة مباشرة بين الدوال الدائرية والدوال الزائدية التي لا تتضمن أعدادًا مركبة. الرسم البياني للدالة cosh (x/a) هو عبارة عن سلسلي، وهو منحنى يتكون من سلسلة منتظمة ووقابلة للانثناء ومعلقة بِحُرية بين نقطتين ثابتتين تحت ثقل منتظم.
تكاملات قياسية
المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال الزائدية ∫sinh
a
x d
x
=
1
a
cosh
a
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C}
∫
cosh
a
x d
x
=
1
a
sinh
a
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C}
∫
tanh
a
x d
x
=
1
a
ln
(
cosh
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \tanh ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\cosh ax)+C}
∫
coth
a
x d
x
=
1
a
ln
(
sinh
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \coth ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\sinh ax)+C}
∫
sech x d
x
=
arctan (
sinh
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C}
∫
csch x d
x
=
ln
| tanh
x
2 | +
C
, for x
≠
0
{\displaystyle \int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0}
∫ d
u a 2
+ u 2 = sinh −
1
(
u
a
) +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫ d
u u 2
− a 2 = cosh −
1
(
u
a
) +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫ d
u a 2
− u 2 =
1
a tanh −
1
(
u
a
) +
C
; u 2
< a 2
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2} ∫ d
u a 2
− u 2 =
1
a coth −
1
(
u
a
) +
C
; u 2
> a 2
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}}
∫ d
u
u a 2
− u 2 =
−
1
a sech −
1
(
u
a
) +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫ d
u
u a 2
+ u 2 =
−
1
a csch −
1
|
u
a
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C} في التعابير السابقة، يدعى C بثابت التكامل.
المشتقات
d d
x sinh
(
x
)
=
cosh
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)\,}
d d
x cosh
(
x
)
=
sinh
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)\,}
d d
x tanh
(
x
)
=
1
− tanh 2
(
x
)
= sech 2
(
x
)
=
1 /
cosh 2
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}}^{2}(x)=1/\cosh ^{2}(x)\,}
d d
x coth
(
x
)
=
1
− coth 2
(
x
)
=
− csch 2
(
x
)
=
−
1 /
sinh 2
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth(x)=1-\coth ^{2}(x)=-{\hbox{csch}}^{2}(x)=-1/\sinh ^{2}(x)\,}
d d
x
csch
(
x
)
=
−
coth
(
x
)
csch
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {csch} (x)=-\coth(x)\ \operatorname {csch} (x)\,}
d d
x
sech
(
x
)
=
−
tanh
(
x
)
sech
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {sech} (x)=-\tanh(x)\ \operatorname {sech} (x)\,}
d d
x
(
sinh −
1
x ) =
1
x 2
+
1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sinh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
d d
x
(
cosh −
1
x ) =
1
x 2
−
1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\cosh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d d
x
(
tanh −
1
x ) =
1 1
− x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\tanh ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}}
d d
x
(
csch −
1
x ) =
−
1
|
x
| 1
+ x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {csch} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
d d
x
(
sech −
1
x ) =
−
1 x
1
− x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {sech} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
d d
x
(
coth −
1
x ) =
1 1
− x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\coth ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}}
سبب التسمية
تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا.
كما نعلم من الدائرة، تمثل النقاط cos
(
t
)
,
sin
(
t
) {\displaystyle \cos(t),\sin(t)\,} دائرة الوحدة (نصف قطرها = 1)، بالمثل فإن النقاط cosh
(
t
)
,
sinh
(
t
) {\displaystyle \cosh(t),\sinh(t)\,} تشكل النصف الأيمن من القطع الزائد.
تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية. في التحليل المركب، هي ببساطة دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.
تعريفات
هناك طرق متكافئة مختلفة لتعريف الدوال الزائدية. بدلالة الدوال الأسية
sinh, cosh و tanh
csch, sech و coth
الدوال الزائدية هي: الجيب الزائدي:
sinh
x
=
e x
− e −
x 2
=
e 2
x
−
1
2 e x = 1
− e −
2
x
2 e −
x {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}}
جيب التمام الزائدي:
cosh
x
=
e x
+ e −
x 2
=
e 2
x
+
1
2 e x = 1
+ e −
2
x
2 e −
x {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}}
الظل الزائدي:
tanh
x
= sinh
x
cosh
x = e x
− e −
x 2
e x
+ e −
x 2 =
e x
− e −
x e x
+ e −
x =
e 2
x
−
1 e 2
x
+
1 {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
ظل التمام الزائدي:
coth
x
= cosh
x
sinh
x = e x
+ e −
x 2
e x
− e −
x 2 =
e x
+ e −
x e x
− e −
x =
e 2
x
+
1 e 2
x
−
1 {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
القاطع الزائدي:
sech
x
=
1 cosh
x =
2
e x
+ e −
x {\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}
قاطع التمام الزائدي:
csch
x
=
1 sinh
x =
2
e x
− e −
x {\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}
يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة أويلر.
لاحظ أنه من التعريف,
s
i
n
h 2
x {\displaystyle {\rm {sinh}}^{2}x\,} تعني (
s
i
n
h
x ) 2 {\displaystyle ({\rm {sinh}}x)^{2}\,} , ليس s
i
n
h
(
s
i
n
h
x
) {\displaystyle {\rm {sinh}}({\rm {sinh}}x)\,} ; وبالمثل للدوال الزائدية الأخرى والأسات الموجبة. بواسطة المعادلات الفاضلية
يمكن تعريف الدوال الزائدية حلولًا للمعادلات التفاضلية: دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان هما الحلان الوحيدتان (s, c) للجملة:
c
′ (
x
) =
s
(
x
) s
′ (
x
) =
c
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x)\\s'(x)&=c(x)\end{aligned}}}
بحيث s(0) = 0 و c(0) = 1. وهما أيضًا حلان وحيدان للمعادلة f ″(x) = f (x),
بحيث f (0) = 1, f ′(0) = 0 بالنسبة لجيب التمام الزائدي، و f (0) = 0, f ′(0) = 1 بالنسبة للجيب الزائدي. الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية لمسألة القيمة الحدية: 1
2 f
″ = f 3
−
f ; f
(
0
)
= f
′ (
∞
)
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0}
بواسطة الدوال المثلثية لعدد مركب
يمكن استنتاج الدوال الزائدية من الدوال المثلثية لعدد مركب: الجيب الزائدي:
sinh
x
=
−
i
sin
(
i
x
)
{\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)}
جيب التمام الزائدي:
cosh
x
=
cos
(
i
x
)
{\displaystyle \cosh x=\cos(ix)}
الظل الزائدي:
tanh
x
=
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)}
ظل التمام الزائدي:
coth
x
=
i
cot
(
i
x
)
{\displaystyle \coth x=i\cot(ix)}
القاطع الزائدي:
sech
x
=
sec
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)}
قاطع التمام الزائدي:
csch
x
=
i
csc
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)}
حيث i وحدة تخيلية معرفة بأنها i2 = −1. ترتبط التعريفات المذكورة أعلاه بالتعريفات الأسية عبر صيغة أويلر. تعريف بواسطة التكامل
يمكن إظهار أن مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى جيب التمام الزائدي خلال فترة محدودة تساوي دائمًا طول القوس المقابل لتلك الفترة:
area = ∫ a
b
cosh
x d
x
= ∫ a
b
1
+
( d d
x cosh
x )
2 d
x
= arc length. {\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}
علاقاتها بالدوال الأسية
تحليل الدالة الأسية في أجزائها الزوجية والفردية يعطي المتطابقات التالية:
e x
=
cosh
x
+
sinh
x {\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}
تشبه الأولى صيغة أويلر.
e −
x
=
cosh
x
−
sinh
x
. {\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!}
بالإضافة إلى
e x
=
1
+
tanh
x
1
−
tanh
x
= 1
+
tanh
x
2
1
−
tanh
x
2 {\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}
تعابير متسلسلات تايلور
من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة متسلسلة تايلور: sinh
x
=
x
+ x 3 3
! + x 5 5
! + x 7 7
! +
⋯
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n
+
1 (
2
n
+
1
)
! {\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cosh
x
=
1
+ x 2 2
! + x 4 4
! + x 6 6
! +
⋯
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n (
2
n
)
! {\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
tanh
x
=
x
− x 3
3
+ 2 x 5 15
− 17 x 7 315
+
⋯
= ∑ n
=
1
∞
2 2
n
( 2 2
n
−
1
) B 2
n x 2
n
−
1
(
2
n
)
! , |
x
| <
π
2
{\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
coth
x
=
1
x
+
x
3
− x 3
45
+ 2 x 5 945
+
⋯
=
1
x
+ ∑ n
=
1
∞
2 2
n B 2
n x 2
n
−
1
(
2
n
)
! ,
0
< |
x
| <
π
{\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (متسلسلة لوران)
sech x
=
1
− x 2
2
+ 5 x 4 24
− 61 x 6 720
+
⋯
= ∑ n
=
0
∞
E 2
n x 2
n
(
2
n
)
! , |
x
| <
π
2
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
csch x
= x −
1
−
x
6
+ 7 x 3 360
− 31 x 5 15120
+
⋯
= x −
1
+ ∑ n
=
1
∞ 2
(
1
− 2 2
n
−
1
) B 2
n x 2
n
−
1
(
2
n
)
! ,
0
< |
x
| <
π
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (متسلسلة لوران)
حيث
B n {\displaystyle B_{n}\,} هي عدد بيرنولي رقم n E n {\displaystyle E_{n}\,} هي عدد أويلر رقم n
الدوال العكسية في صور لوغاريتمية
المقالة الرئيسة: دوال زائدية عكسية
arsinh
x
=
ln
( x
+ x 2
+
1 ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
arcosh
x
=
ln
( x
+ x 2
−
1 ) ;
x
≥
1
{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}
artanh
x
=
1
2
ln
1
+
x
1
−
x ; |
x
| <
1
{\displaystyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};\left|x\right|<1}
arsech
x
=
ln
1
+
1
− x 2 x
;
0
<
x
≤
1
{\displaystyle \operatorname {arsech} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0
x
=
ln
( 1
x
+ 1
+ x 2
|
x
|
) {\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)}
arcoth
x
=
1
2
ln
x
+
1
x
−
1 ; |
x
| >
1
{\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};\left|x\right|>1}
تطبيقات الدوال الزائدية
لاتقل هذه الدوال شأنا عن الدوال المثلثية، إذ يمكن استخدامها في بعض مسائل التكامل كتعويض مناسب لإيجاد الحل، كما نشأت في بعض المعادلات التفاضلية الخطية كحل عام كما هو الحال في معادلة لابلاس في الإحداثيات الكارتيزية والتي أصبح لها تطبيقات عديدة في الفيزياء. في علم الميكانيكا أيضا كان حساب طول السلاسل المعلقة بشكل حر يجري بشكل متسلسلة قبل التوصل لهذه الدوال. تنمذج محددات خطوط نقل الكهرباء بواسطة دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان.
متطابقات
في الحقيقة يمكن التحويل بين المتطابقات المثلثية والمتطابقات الزائدية باستعمال قاعدة أوسبورن التي تنص على هذه الإمكانية عن طريق نشر المتطابقة كليا في حدود قوى تكاملات للجيب وجيب التمام، وبتغيير sin إلى sinh و cos إلى cosh، وتبديل الإشارة لكل حد يحوي مضروب من 2، 6، 10، 14،... جيب زائدي. الدوال الزوجية والفردية: sinh
(
−
x
) =
−
sinh
x
cosh
(
−
x
) =
cosh
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}
ومنهم: tanh
(
−
x
) =
−
tanh
x
coth
(
−
x
) =
−
coth
x
sech
(
−
x
) =
sech
x
csch
(
−
x
) =
−
csch
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}
وبالتالي، cosh x و sech x هي دوال زوجية؛ بينما الدوال الأخرى هي دوال فردية. تلبي دالتا جيب وجيب التمام الزائديان: cosh
x
+
sinh
x = e x
cosh
x
−
sinh
x = e −
x cosh 2
x
− sinh 2
x =
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}}
تشبه الأخيرة متطابقة فيثاغورس المثلثية. لدينا أيضا:
sech 2
x =
1
− tanh 2
x csch 2
x = coth 2
x
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}
بالنسبة إلى الدوال الأخرى. صيغ الجمع
sinh
(
x
+
y
) =
sinh
x
cosh
y
+
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
+
y
) =
cosh
x
cosh
y
+
sinh
x
sinh
y
tanh
(
x
+
y
) = tanh
x
+
tanh
y
1
+
tanh
x
tanh
y {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
لدينا أيضا: sinh
x
+
sinh
y =
2
sinh
( x
+
y 2
) cosh
( x
−
y 2
) cosh
x
+
cosh
y =
2
cosh
( x
+
y 2
) cosh
( x
−
y 2
) {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
صيغ ضعف الزاوية
cosh
(
2
x
) = sinh 2
x + cosh 2
x =
2 sinh 2
x
+
1
=
2 cosh 2
x
−
1
sinh
(
2
x
) =
2
sinh
x
cosh
x
tanh
(
2
x
) = 2
tanh
x
1
+ tanh 2
x {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}
صيغ الطرح
sinh
(
x
−
y
) =
sinh
x
cosh
y
−
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
−
y
) =
cosh
x
cosh
y
−
sinh
x
sinh
y
tanh
(
x
−
y
) = tanh
x
−
tanh
y
1
−
tanh
x
tanh
y {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
أيضا: sinh
x
−
sinh
y =
2
cosh
( x
+
y 2
) sinh
( x
−
y 2
) cosh
x
−
cosh
y =
2
sinh
( x
+
y 2
) sinh
( x
−
y 2
) {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
صيغ نصف الزاوية
sinh
(
x
2
)
= sinh
(
x
)
2
(
cosh
x
+
1
) =
sgn
x cosh
x
−
1 2 cosh
(
x
2
)
=
cosh
x
+
1 2 tanh
(
x
2
)
= sinh
x
cosh
x
+
1 =
sgn
x cosh
x
−
1
cosh
x
+
1
=
e x
−
1 e x
+
1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh(x)}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}
حيث sgn هي دالة الإشارة. إذا كان x ≠ 0، فإن: tanh
(
x
2
) = cosh
x
−
1
sinh
x =
coth
x
−
csch
x
{\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}
الدوال الزائدية للأعداد المركبة
لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن تامة الشكل. وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:
e i
x
=
cos
x
+
i sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\;\sin x} e −
i
x
=
cos
x
−
i sin
x
{\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x}
وعليه: cosh
(
i
x
) =
1
2 (
e i
x
+ e −
i
x ) =
cos
x
sinh
(
i
x
) =
1
2 (
e i
x
− e −
i
x ) =
i
sin
x
cosh
(
x
+
i
y
) =
cosh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
sinh
(
x
)
sin
(
y
)
sinh
(
x
+
i
y
) =
sinh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
cosh
(
x
)
sin
(
y
)
tanh
(
i
x
) =
i
tan
x
cosh
x =
cos
(
i
x
)
sinh
x =
−
i
sin
(
i
x
)
tanh
x =
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}
وبالتالي، تعد الدوال الزائدية دوالاً دورية ذات دورة 2
π
i
{\displaystyle 2\pi i} ( π
i
{\displaystyle \pi i} بالنسبة لدالتي الظل وظل التمام الزائديتين). إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية للدوال الزائدية المركبة (العقدية) الواردة أدناه مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال المثلثية توضح العلاقات بينهما.
دوال زائدية في المستوى المركب sinh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sinh} (z)} cosh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {cosh} (z)} tanh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {tanh} (z)} coth
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {coth} (z)} sech
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sech} (z)} csch
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (z)}
شرح مبسط
الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة أو الدوال الهُذْلولية [1] (بالإنجليزية: Hyperbolic functions) في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية (أو الدائرية)، لكنها معرفة بواسطة القطع الزائد بدلاً من الدائرة: تمامًا كما تشكل النقاط (cos t , sin t) دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط (cosh t , sinh t) النصف الأيمن من القطع الزائد.[2][3][4]
شاركنا رأيك
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع [ تعرٌف على ] دوال زائدية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 10/11/2023
اعلانات العرب الآن