اليوم: السبت 27 ابريل 2024 , الساعة: 7:37 م
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
اخر المشاهدات
- [ علوم ] الطاقة الشمسية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] سفارة المغرب في كندا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] مجموعة السلطان المنصور قلاوون # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ تعرٌف على ] التاريخ العسكري لكندا خلال الحرب العالمية الأولى # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الطاقة الشمسية في كندا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] وجود غازي رافع الحربي ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الانتحار في كندا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد مسفر عامر الهلالي ... محائل ... منطقة عسير # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] استشارات ما قبل الحمل في الولايات المتحدة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المعدات قطر ] شركة كولونيل للتجارة Colonel Trading ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] سيار التجارة Sayyar Trading Agencies W.L.L. ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المواد الغذائية قطر ] الأفق لتجارة المواد الغذائية HORIZON FOOD TRADING WLL ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] زيت زيتون ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [رقم هاتف] عيادة الطبيب حمام هادي صلاح .. لبنان # اخر تحديث اليوم 2024-04-17
- [ دليل أبوظبي الامارات ] استوديو بيرفكت شوت للكتابة والتصوير ذ.م.م ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] صالون الصحراء الخضراء للرجال ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المدارس الخاصة والمستقلة قطر ] حضانة سارة SARA NURSERY ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ خذها قاعدة ] الحياة لغة أجنبية والجميع لا يحسنون هجاءها. - كريستوفر مارلو # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- هل تسليط الماء على المهبل يفقد غشاء البكارة؟ # اخر تحديث اليوم 2024-03-11
- قانع (شاعر) أعماله # اخر تحديث اليوم 2024-03-09
- [ شركات المدارس الخاصة والمستقلة قطر ] امهات في الدوحة Mums in Doha ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] بدريه شداد راجي المطيري ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] منصة بيع المواد الغذائية و المواد استهلاكية ... الدمام ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-02-12
- [ تعرٌف على ] وزير الشؤون الخارجية (كندا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات البوتانية السلوفينية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] كتاب العطايا والنوادر # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] مؤسسة على للتجارة ALI INTERNATIONAL TRADING EST ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات السلوفاكية السنغافورية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ حلو عربي ] 2 من أجمل أطباق حلويات عيد الفطر في المغرب # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أطباق خليجية ] طريقة كبسة الدجاج السعودية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ رقم هاتف ] مزارع الرومى الجيزة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] الهيئة المصرية العامة للكتاب # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم السعودية ] كافتيريا هلا # اخر تحديث اليوم 2024-02-13
- [ دليل دبي الامارات ] الأبواب المعدنية المجوفة الخضراء ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المدارس الخاصة والمستقلة قطر ] حضانة كامبريدج ستارز Cambridge Stars Nursery ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات الجوالات والهواتف قطر ] أيه.جي كوم للهواتف AG COMM Qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات تأجير السيارات قطر ] قطر تاكسي qatar taxi ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] الفارس للكتابة والتصوير ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالعزيز عبدالله حياء الرشيدي ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] ستورزون ... حائل ... منطقة حائل # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم الامارات ] مطعم ربوع الصحراء ... العين # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات السلوفاكية الكورية الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] حمود بن محمد بن قاعد العتيبي ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] كتاب أوكسفورد للكتابة العلمية الحديثة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] جيمس كلارك روس # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] العد للتجارة Al Ad Trading ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات العقارات قطر ] كي ام اي للتجارة والمقاولات KMA Trading Contracting & Transport ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] بناء الصحراء للمقاولات العامة ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] مرض خدش القطة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] دادلي كلارك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات الشحن والنقل قطر ] سي ام ايه CMA CGM QATAR ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- جدول السعرات الحرارية ..لمعظم الاطعمة ومطاعم الوجبات السريعة - رجيم ورشاقة و تنحيف وانقاص الوزن # اخر تحديث اليوم 2024-03-11
- [ شركات الابواب الاكترونية قطر ] مؤسسة النجاح للأبواب الالكترونيه elnajah for doors trading ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] متجر زون استوري ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ فيزياء ] اليك اهم المعلومات الهامة عن التسارع # اخر تحديث اليوم 2024-02-17
- [ مؤسسات البحرين ] بروماغ للخدمات الفنية ذ م م ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] براندي كلارك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] شركة قصر روما للمقاولات العقارب ذ.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] الطليعة للاستشارات المالية ذ.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [رقم هاتف] مصنع مشهور لصناعة التنك.. بالاردن الهاشمية # اخر تحديث اليوم 2024-03-03
- [ شركات المدارس الخاصة والمستقلة قطر ] مدرسة الجزيرة اكاديمي Al Jazeera Academy ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] حملة لويس وكلارك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] قرية لوييس أند كلارك (ميزوري) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] ماري هيغينز كلارك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] حبوب منع الحمل # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ خدمات قطر ] مدارس في قطر | مدرسة رابعة العدوية الثانوية المستقلة للبنات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] كراج الصحراء الفريد للسيارات ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المقاولات قطر ] كونتريد للمقاولات Contrade ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] واندسوار لخدمات الامن ذ.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-25
- [ وزارات وهيئات حكومية السعودية ] مستشفى الدوادمى # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] كراج يوسف طالب ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الجيوش الأجنبية الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- وظائف خالية لدى دار رعاية المسنين ..وظائف الامارات # اخر تحديث اليوم 2024-02-20
- [ شركات السيارات قطر ] فورد للسيارات Ford Qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] جيرو دي توسكانا 2020 # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] مخزون الغذاء ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الحرب الرومانية السلوقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] شركة البحرين المالية ش.م.ب مقفلة ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات البرتغالية السلوفينية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ المركبات الامارات ] تشارلز كندال المحدودة للشحن ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] أسلحة مستقلة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] محمد بن أبي الحسن البكري # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] كندا في حرب أفغانستان # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] جامعة المنصورة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] وضاح رجائي محمدفؤاد طرابزوني ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ سوبر ماركت السعودية ] سوبرماركت زونا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة? # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ شركات المقاولات قطر ] ابراج الكورنيش للمقاولات CTTC \" Corniche Towers Trading & Contracting \" ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] والتر كلارك (سياسي) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [رقم هاتف] الطبيب العزوزي مصطفى .. المغرب # اخر تحديث اليوم 2024-02-17
- [ أطباق صحية ] طريقة تحضير سلطة الجرجير # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات السلوفاكية النيجيرية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات طبية السعودية ] شركة الخبراء المتميزون للتجارة ... جدة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات السلوفاكية الكازاخستانية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] ايوا للتجارة والصيانة والمقاولات ذ م م AIWA TRADING MAINTENANCE & CONTG WLL ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المواد الغذائية قطر ] تى جى بي ايه للمواد الغذائية TGABQatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دول أجنبية ] الصناعة في تركيا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] مطعم ومقهى زيت زيتون ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] شركة زيتا للوساطة ذ.م.م. ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
الأكثر قراءة
- مريم الصايغ في سطور
- سؤال و جواب | ما هى أسباب نزول الدم الاحمر بعد البراز؟ وهل هناك أسباب مرضية؟ وما الحل ؟
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً
- هل للحبة السوداء"حبة البركة "فوائد ؟
- كيف أتخلص من الغازات الكريهة التى تخرج مني باستمرار؟
- هناك ألم عندى فى الجانب الأيسر للظهر فهل من الممكن أن يكون بسبب الكلى ؟
- هل هناك علاج للصداع الئى أانيه فى الجانب الأيسر من الدماغ مع العين اليسرى ؟
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام»
- [ رقم تلفون ] مستر مندوب ... مع اللوكيشن المملكه العربية السعودية
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان
- نزع شوك السمك في المنام
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة
- ارقام وهواتف مستشفى الهلال الاحمر 34 ش رمسيس وسط البلد بالقاهرة
- جريمة قتل آمنة الخالدي تفاصيل الجريمة
- رسائل حب ساخنة للمتزوجين +18
- خليفة بخيت الفلاسي حياته
- تعرٌف على ... عائشة العتيبي | مشاهير
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟
- رقم هاتف مكتب النائب العام وكيفية تقديم بلاغ للنائب العام
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] شركة متجر كل شششي - المملكه العربية السعودية
- تفسير رؤية شخص اسمه محمد في المنام لابن سيرين
- ارقام وهواتف مطعم الشبراوى 33 ش احمد عرابى المهندسين, بالجيزة
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة
- ارقام وهواتف عيادة د. ياسر المليجى - 139 ش التحرير الدقى بالجيزة
- ارقام وهواتف مستشفى النور المحمدى الخيرى التخصصى المطرية, بالقاهرة
- تفسير رؤية الحشرات في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية
- قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟
- أعشاب تفتح الرحم للإجهاض
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟!
- قناة تمازيغت برامج القناة
- ارقام وهواتف مكتب صحة - السادس من اكتوبر ميدان الحصرى السادس من اكتوبر, بالجيزة
- سور القران لكل شهر من شهور الحمل
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين
- زخرفة اسماء تصلح للفيس بوك
- مدرسة ب/ 141 حكومي للبنات بجدة
- إلغ (برمجية) التاريخ
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان
- أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام
- تفسير حلم الكلب لابن سيرين
- [ رقم هاتف ] عيادة د. حازم ابو النصر - 20 ش عبد العزيز جاويش عابدين بالقاهرة
- انا بنت عندي 13 سنة لسة مجتليش الدورة الشهرية ......كنت ببات عند خالتي وكل ما
- هل تمرير الإصبع بشكل أفقي على فتحة المهبل يؤدي إلى فض غشاء البكارة؟
- [رقم هاتف] شركة الحراسة و التوظيف و التنظيف.. المغرب
- قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي
- ذا إكس فاكتور آرابيا فكرة البرنامج
- السلام عليكم ، أنا مشكلتي بصراحة الجنس من الخلف مع زوجي الأن صار ويحب حيل
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟
- لالة لعروسة (برنامج) الفائزون
- أنا حامل في الشهر الرابع وينزل مني دم .. هل هذا طبيعي؟
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها
- هل إدخال إصبع الزوج في مهبل الزوجة له أضرار؟
- تفسير حلم اصلاح الطريق في المنام
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة
- إيمان ظاظا حياتها ومشوارها المهني
- أهمية وضرورة إزالة الخيط الأسود من ظهر الجمبري
- اسماء فيس بنات مزخرفة | القاب بنات مزخرفه
- لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة
- تفسير رؤية المشاهير في المنام لابن سيرين
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن حرب 6 اكتوبر 1973 بالصور pdf doc -
- فوائد عشبة الفلية و الكمية المناسبة يوميا
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] شركة الرفق بالحيوان و الطبيعة.. المغرب
- كلمات - انت روحي - حمود السمه
- أعاني من لحمة زائدة في الدبر ، فلدي قطعة لحمية صغيرة في فتحة الشرج من الخارج
- ما الفرق بين الغشاء السليم وغير السليم؟
- تفسير حلم رؤية الإصابة بالرصاص في الكتف بالمنام
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟
- عمر فروخ
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة?
- إدمان الزوج للمواقع الإباحية: المشكلة والأسباب والعلاج
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء.
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام
- تظهر عندي حبوب في البظر والشفرتين بين حين وآخر.. هل لها مضاعفات، وما علاجها؟
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- الكرة الحديدية قواعد اللعبة
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن اللغة العربية والكفايات اللغويه -
- تفسير حلم رؤية الكنز فى المنام لابن سيرين
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟
روابط تهمك
مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع [ تعرٌف على ] نظرية الاحتمال # اخر تحديث اليوم 2024-04-27 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 25/03/2024
[ تعرٌف على ] نظرية الاحتمال # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
آخر تحديث منذ 1 شهر و 3 يوم
2 مشاهدة
تم النشر اليوم 2024-04-27 | نظرية الاحتمال
في نظرية الاحتمال، تشكل مبرهنات النهاية المركزية (بالإنجليزية: Central limit theorem) مجموعة نتائج لنظرية الاحتمالات تنص أن مجموع عدة متغيرات عشوائية ومتشابهة التوزع، يميل إلى التوزع حسب توزيع احتمالي معين. أهم هذه المبرهنات تقول أنه إذا كانت المتغيرات المجموعة تملك تباينات محددة فإن المجموع يميل إلى التوزع طبيعيا أي أنه يملك توزيعا احتماليا طبيعيا. تسمى مبرهنة النهاية المركزية أيضا بالمبرهنة الأساسية الثانية في الإحصاء. لتكن X1, X2, X3,... Xn متسلسلة من الاعدادالمستقلة والمتطابقة في التوزيع المتغير العشوائي لكل منها لديه قيمه منتهي للوسط µ والتباين σ2 > 0. تقول مبرهنة النهاية المركزية ان: كلما ازداد حجم العينة n ,فان التوزيع لمتوسط هذه المتغيرات العشوائية يقترب من التوزيع الطبيعي القياسي.
1) إذا كان A
A حدث من S
{\displaystyle S} أي أنَّ A
A مجموعة جزئية من S
{\displaystyle S} فإن: P
(
A
)
{\displaystyle P(A)} يعبر عن احتمال وقوع الحدث A
A احتمال وقوع الحدث A
A : يساوي عدد حالات وقوع الحدث A
A بالفعل مقسوم على كل الحالات التي يمكن وقوعها . 2) الحدثان المتكاملان (المتتامان): A
∪ A
′ =
S
{\displaystyle A\cup A'=S} حيث يكون: P
(
A
)
+
P
( A
′ )
=
1
{\displaystyle P(A)+P(A')=1} ويمكن استنتاج: P
( A
′ )
=
1
−
P
(
A
)
s
{\displaystyle P(A')=1-P(A)s} أو P
(
A
)
=
1
−
P
( A
′ )
s
{\displaystyle P(A)=1-P(A')s} أيضاً نقول أن الحدث
A
′ {\displaystyle A'} هو حدث عدم وقوع A
A . 3) مجموع احتمالات الأحداث الشاملة يساوي الواحد الصحيح لأن اتحادها يساوي S
{\displaystyle S} 4)الحدثان المتنافيان B
B , A
A أي تقاطعهم F
F فإن: P
(
A
∩
B
)
=
0
{\displaystyle P(A\cap B)=0} , P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)} , «ويمكن تعميم ذلك على أكثر من حدثين متنافيين». 5) إذا كان A
A , B
B حدثان غير متنافيين (متصلين) أو احتمال وقوع أحدهم على الأقل فإن: P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)} عملية الطرح هنا للاحتمال P
(
A
∩
B
)
s
{\displaystyle P(A\cap B)s} لتكراره مرتين عند حساب الاحتمال للجزء المشترك بين A
A , B
B حيث يحسب مرة مع A
A وأخرى مع B
B . يمكن تعميم القاعدة السابقة لأكثر من حدثين متصلين كالتالي: P
(
A
∪
B
∪
C
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
+
P
(
C
)
−
P
(
A
∩
B
)
−
P
(
A
∩
C
)
−
P
(
B
∩
C
)
{\displaystyle P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)}
6) عدد الأحداث في فضاء النواتج S
{\displaystyle S} للتجربة العشوائية هو
2 N
{\displaystyle 2^{N}} حيث N
{\displaystyle N} عدد عناصر الفضاء S
{\displaystyle S} فعدد أحداث تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة هو
2 6
=
64
{\displaystyle 2^{6}=64} حدثاً بما فيهم الحدثان المستحيل ∅
{\displaystyle \varnothing } والمؤكد S
{\displaystyle S} حيث: S
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle S=\{1,2,3,4,5,6\}} أمثلــة: (1) في تجربة إلقاء قطعة نقود وحجر النرد ولمرة واحدة أكتب فضاء النواتج S
{\displaystyle S} . الحل: قطعة النقود لها عنصران H
{\displaystyle H} , T
{\displaystyle T} صورة وكتابة، وحجر النرد له 6
{\displaystyle 6} عناصر هي العداد من 1
{\displaystyle 1} إلى 6
{\displaystyle 6} وعليه يكون عدد عناصر فضاء التجربة 2
∗
3
=
12
{\displaystyle 2*3=12} هي: S
=
{
(
H
;
1
)
;
(
H
;
2
)
;
(
H
;
3
)
;
(
H
;
4
)
;
(
H
;
5
)
;
(
H
;
6
)
;
(
T
;
1
)
;
(
T
;
2
)
;
(
T
;
3
)
;
(
T
;
4
)
;
(
T
;
5
)
;
(
T
;
6
)
}
{\displaystyle S=\{(H;1);(H;2);(H;3);(H;4);(H;5);(H;6);(T;1);(T;2);(T;3);(T;4);(T;5);(T;6)\}}
ويمكن كتابتها اختصاراً بالصورة: S
=
{
(
H
;
1
)
;
(
H
;
2
)
;
.
.
.
;
(
T
;
5
)
;
(
T
;
6
)
}
{\displaystyle S=\{(H;1);(H;2);...;(T;5);(T;6)\}}
(2) سحبت كرة واحدة فقط من كيس يحوي 10
{\displaystyle 10} كرات متماثلة تماماً ألوانها 3
{\displaystyle 3} حمراء، 2
{\displaystyle 2} سوداء، 5
{\displaystyle 5} صفراء فما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة حمراء الحل: عدد الكرات التي تحقق المطلوب (حمراء اللون) هو 3
{\displaystyle 3} وعدد الكرات التي يمكن أن تسحب يساوي 10
{\displaystyle 10} وبافتراض أن A
A هو حدث الكرة حمراء فيكون المطلوب: P
(
A
)
=
M / N
=
3 / 10
=
0.3
{\displaystyle P(A)=M/N=3/10=0.3} . (3) إذا كان احتمال وفاة شخص هو 0
,
05
{\displaystyle 0,05} فما احتمال أن يعيش؟ الحل: واضح أن الاحتمال المطلوب هو الحدث المتمم للاحتمال المعطى أي أن مجموعهم يساوي الواحد الصحيح وبفرض أن: A
A : حدث أن يعيش الرجل و
A
′ {\displaystyle A'} : حدث أن يموت الرجل فإن: P
(
A
)
=
1
−
P
( A
′ )
=
1
−
0.05
=
0.95
{\displaystyle P(A)=1-P(A')=1-0.05=0.95} . (4) بين إن كانت الأحداث الآتية شاملة (دالة احتمال) حيث احتمالاتها 0
,
1
{\displaystyle 0,1} ، 0
,
3
{\displaystyle 0,3} ، 0
,
6
{\displaystyle 0,6} مع العلم بأنها متنافية فيما بينها الحل: حتى تكون شاملة يجب أن يكون مجموعها يساوي الواحد الصحيح وبجمعها نجد أن: 0.1
+
0.3
+
0.6
=
1
{\displaystyle 0.1+0.3+0.6=1} فالأحداث شاملة. (5) بين إن كانت الأحداث الأربع الآتية شاملة (دالة احتمال) حيث احتمالاتها 0.6
,
0.3
,
0.1
,
0.0
{\displaystyle 0.6,\ 0.3,\ 0.1,\ 0.0} الحل: حتى تكون شاملة يجب أن لا يكون أياً منها لا يساوي F
F ولكن وجود الاحتمال المساوي للصفر يعني الحدث =
{\displaystyle =} F
F فالأحداث غير شاملة. (6) إذا كان احتمال النجاح في مادة الرياضيات هو 0
,
45
{\displaystyle 0,45} واحتمال النجاح في مادة الإحصاء هو 0
,
65
{\displaystyle 0,65} واحتمال النجاح في المادتين معاً هو 0
,
37
{\displaystyle 0,37} أوجد احتمال النجاح في أحد المادتين على الأقل. الحل: بتطبيق صيغة الاحتمالات للحوادث المتصلة بفرض أنَّ: A
A : احتمال النجاح في مادة الرياضيات B
B : احتمال النجاح في مادة الإحصاء A
∩
B
{\displaystyle A\cap B} : احتمال النجاح في المادتين معاً فأنَّ: P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
=
0.45
+
0.65
−
0.3
=
0.73
{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.45+0.65-0.3=0.73} .
يقول قانون الأعداد الكبيرة بأن التردد النسبي لحادثة عشواء يقترب أكثر فأكثر من احتمالها النظري مع ازدياد عدد مرات إعادة تجربة عشواء۔
في علم الاحتمالات والإحصائيات، توزيع الاحتمال (بالإنجليزية: Probability distribution) هو إعطاء احتمال معين لكل مجموعة جزئية قابلة للقياس من مجموعة نتائج تجربة عشوائية ما. وبتعبير آخر، هو قياس احتمالي مجاله تطبيق جبر بوريل على مجموعة الأعداد الحقيقية. التوزيع الاحتمالي يعتبر حالة خاصة من مصطلح أكثر عمومية هو القياس الاحتمالي، الذي يعتبر دالة تربط قيم احتمالات بمجموعات مقيسة من الفضاء المقاس بحيث تحقق فرضيات كولوموغروف. كل متغير عشوائي ينشأعنه توزيع احتمالي يحتوي معظم المعلومات المهمة عن هذا المتغير. فاذا كان المتغير X متغيرا عشوائيا فان التوزيع الاحتمالي الموافق له ينسب للمجال [a, b] احتمالا: بمعنى أن احتمال أن يأخذ المتغير {\displaystyle X} قيمة ضمن المجال هي: Pr [ a
≤
≤
b ] {\displaystyle \Pr \left[a\leq X\leq b\right]} .
تهتم نظرية الاحتمالات بتحليل الظواهر العشوائية، إن العناصر المركزية لنظرية الاحتمال هي الأحداث والمتغيرات العشوائية والعمليات العشوائية.
لقد قاد كولموغوروف عملية تأسيس دراسة نظرية حديثة للاحتمالات بدمجه بين فكرة فضاءالعينة التي قدمها ريتشارد فون ميزيس وبين نظرية القياس وعرض في عام 1933 نظام بديهيات لنظرية الاحتمالات ما لبث أن أصبح بلا منازع الأساس البديهي لنظرية الاحتمالات الحديثة. يمكن تمثيل الفضاء الاحتمالي على أنه ثلاثية
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} , حيث Ω
{\displaystyle \Omega } تمثل مجموعة غير خالية، تدعى فضاء العينة.
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}} هو σ-جبر لفضاء العينة التي ندعو كل عنصر من عناصرها: «حدث».
لكي نستطيع أن نقول أن F
{\displaystyle {\mathcal {F}}} يشكل سيغما-جبر هذا يقتضي بالتعريف انها تحوي Ω
{\displaystyle \Omega } , وأن متممة أي حدث تشكل حدثا أيضا، واجتماع أي تسلسل أحداث هو حدث أيضا. P
P يمثل قياس احتمالي probability measure على F
{\displaystyle {\mathcal {F}}} , أي, قياس بحيث يكون
P
(
Ω
)
=
1
{\displaystyle P(\Omega )=1} , أي أن احتمال كامل فضاء العينة يساوي الواحد.
تدعى الثنائية (
Ω
,
F
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})} فضاء مقاسا أو فضاء قابلا للقياس لأنه يتحول إلى فضاء احتمالي بتعريف قياس احتمالي عليه.
من المهم أن نلاحظ أن P
P تشكل دالة معرفة على
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}} وليس على فضاء العينة Ω
{\displaystyle \Omega } .
هو إمكانية وقوع أمر ما لسنا على ثقة تامة بحدوثه، ويلعب الاحتمال دوراً أساسياً في الحياة اليومية بالتنبؤ بإمكانية وقوع حدث ما وهو النظرية التي يستخدمها الإحصائي لتساعده في معرفة مدى تمثيل العينة العشوائية محل الدراسة للمجتمع المأخوذ منه العينة، وتنحصر قيمة الاحتمال بين الصفر والواحد الصحيح والصفر للاحتمال المستحيل في حين الواحد الصحيح للاحتمال المؤكد والاحتمال يبحث في ثلاثة مسائل هامة معتمدة على القواعد الخاصة بالاحتمال التي سنذكرها في حينها والمسائل الثلاثة هي: حساب الاحتمال المتمثل بالتكرار النسبي.
حساب الاحتمال بدلالة احتمالات أخرى معلومة من خلال عمليات مثل الاتحاد والتقاطع والفرق .
طرق إجراء التقدير كالتوزيعات الاحتمالية.
طورت الاحتمالات والإحصاء في أشكالها الأولى من طرف العلماء العرب أثناء دراستهم لعلم التشفير، بين القرنين الثامن والثالث عشر الميلاديين. الخليل بن أحمد الفراهيدي كتب كتابا في هذا الاتجاه. تستمد النظرية الرياضياتية للاحتمالات جذورها من محاولات فهم وتحليل لُعب الحظ من طرف جيرولامو كاردانو الذي عاش خلال القرن السادس عشر الميلادي ومن طرف بيير دي فيرما وبليز باسكال، اللذان عاشا خلال القرن السابع عشر (انظر على سبيل المثال إلى معضلة النقط).
انظر إلى كريستيان هوغنس.
لنظرية الاحتمالات جذور متعلقة بألعاب الفُرص التي تواجدت في القرن السادس عشر، و تم استخدام نظرية حساب الاحتمالات في حساب الفرص لظهور عناصر من بين مجموعة كبيرة من العناصر الأخرى. للاحتمالات في هذه النظرية أنواع منها الاحتمالات المشروطة والمستقلة والمنفية والمؤكدة. وقد يكون لكل نوع من هذه الأنواع قاعدة عامة وقواعد فرعية. ولنظرية الاحتمالات علاقة وثيقة بنظرية العد أيضا وتستخدم في التوافيق وأيضاً التباديل.
تعرف المجموعة {
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}} في مثالنا السابق للتجربة العشوائية بفضاء النواتج أو فضاء الإمكانيات أو فضاء العينة (Sample Space) فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة {
T
,
H
}
{\displaystyle \{T,H\}} أو تمثل بشكل فِن مستطيل أو دائرة بالداخل العناصر الخاصة بالتجربة العشوائية.
الاحتمال المنتظم
وهو تساوي احتمالات عناصر الظاهرة فاحتمال الحصول على أي عدد عند إلقاء حجر النرد هو 1 / 6
{\displaystyle 1/6} الاحتمال الضمني أو الشخصي (Subjective Probabilities)
الاحتمال الذي يعتقده شخص أما على حساب خبرته في الظاهرة محل الدراسة وهو يختلف من شخص لآخر كاحتمال ربح حصان في سباق للخيل. الاحتمالات التكرارية النسبية (The Relative Frequency)
ويتم تحديده كما يلي: أ) نسبة وقوع الحدث على مدى طويل مع ثبات الظروف المحيطة بالحدث. ب) حساب مرات وقوعه في عدد كبير من المحاولات أي: عدد مرات ظهوره مقسوم على عدد مرات إجراء التجربة .
التجربة العشوائية (RANDOM SAMPLING): كل إجراء نقوم به نعلم مكوناته دون معرفة أي منها سيقع، وتعرف في علم إحصاء بالتجربة الإحصائية وهي كل عملية تعطي قياساً لظاهرة ما.
التجربة العشوائية بإلقاء قطعة النقود التي عناصرها المجموعة {صورة، كتابة} وقد يقع أي منهم وتعرف الصورة والكتابة بعناصر العينة.
التجربة العشوائية بإلقاء حجر النرد الذي عناصره المجموعة {
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}} وقد يقع أي منهم، وهكذا ...
الحدث هو مجموعة جزئية من فضاء العينة وعدد الأحداث تخضع للصيغة
N 2
{\displaystyle N^{2}} حيث N
{\displaystyle N} عدد عناصر فضاء العينة واحتمال وقوع الحدث A
A هو نسبة عدد حالات وقوعه بالفعل بالنسبة لكل الحالات الممكنة لوقوعه أي أن: P
(
A
)
=
M / N
{\displaystyle P(A)=M/N} حيث M
M عدد حالات وقوع A
A بالفعل، N
{\displaystyle N} عدد الحالات الممكنة فاحتمال ظهور عدد فردي عند إلقاء حجر النرد مرة واحدة هو 0.5
{\displaystyle 0.5} لأن الأعداد الفردية ثلاثة (
1
,
3
,
5
)
{\displaystyle (1,3,5)} والتي تحقق المطلوب (عدد فردي) وكل الأعداد ستة (
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
)
{\displaystyle (1,2,3,4,5,6)} فالاحتمال 3 / 6
=
0.5
{\displaystyle 3/6=0.5} ، الشكل المقابل لحجر النرد أو الزار أو الزهرة. الحدث البسيط ( Simple event ): وهو الحدث المكون من عنصر واحد مثل {
1
}
{\displaystyle \{1\}} في تجربة إلقاء حجر النرد . الحدث المركب ( Compound event ): الحدث المكون من أكثر من عنصر مثل {
2
,
4
,
6
}
{\displaystyle \{2,4,6\}} حدث العدد زوجي في تجربة إلقاء حجر النرد. الحدث المستحيل: الحدث الذي لا يحوي أي عنصر كحدث ظهور العدد 7
{\displaystyle 7} في تجربة إلقاء حجر النرد.
الحدث المؤكد: الحدث الذي يضم كافة عناصر الفضاء كحدث ظهور عدد أقل من 7
{\displaystyle 7} في تجربة إلقاء حجر النرد. الحدثان المتنافيان ( Mutually Exclusive events ): الحدثان اللذان لا يشتركا في أي عنصر وتقاطعهم المجموعة الخالية أي A
∩
B
=
F
{\displaystyle A\cap B=F} مثل {
2
}
,
{
3
}
{\displaystyle \{2\},\{3\}} ، وتعرف بالأحداث غير المتصلة. الأحداث المنتظمة (dependent events): المتساوية في احتمالاتها. ففي تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة يكون: P
(
1
)
=
P
(
2
)
=
P
(
3
)
=
P
(
4
)
=
P
(
5
)
=
P
(
6
)
=
1 / 6
{\displaystyle P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6}
الأحداث الشاملة ( Exhaustive events ): إذا كان S
{\displaystyle S} فضاء عينة ما فإن الأحداث A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C} شاملة إذا تحقق الشروط الثلاثة الآتية: متنافية فيما بينها أي: A
∩
B
=
F
{\displaystyle A\cap B=F} و A
∩
C
=
F
{\displaystyle A\cap C=F} و C
∩
B
=
F
{\displaystyle C\cap B=F}
أياً منها ليست خالية أي: A
≠
F
{\displaystyle A\neq F} و B
≠
F
{\displaystyle B\neq F} و C
≠
F
{\displaystyle C\neq F}
إتحادها يساوي S
{\displaystyle S} أي: A
∪
B
∪
C
=
S
{\displaystyle A\cup B\cup C=S}
الأحداث المكملة (Complementary events): الحدثان اللذان اتحادهم يساوي فضاء العينة بمعنى A
A حدث فإن
A
′ {\displaystyle A'} الحدث المكمل حيث A
∪ A
′ =
S
{\displaystyle A\cup A'=S} الحدثان المستقلان ( Independent events ): اللذان لا يتأثر أي منهم بالآخر (وقع أحدهم لا يؤثر أو يتأثر بوقوع أو عدم وقوع الآخر) . قاعدة الضرب للاحتمالات للأحداث المستقلة P
(
A
∩
B
)
=
P
(
B
)
∗
P
(
A
)
{\displaystyle P(A\cap B)=P(B)*P(A)} يمكن تعميم هذه القاعدة لأكثر من حدث: P
(
A
∩
B
∩
C
∩
.
.
.
∩
Z
)
=
P
(
A
)
∗
P
(
B
)
∗
P
(
C
)
∗
.
.
.
∗
P
(
Z
)
{\displaystyle P(A\cap B\cap C\cap ...\cap Z)=P(A)*P(B)*P(C)*...*P(Z)}
الأحداث الغير مستقلة (المشروطة) Conditional Probability: حدثان وقوع أحدهما يؤثر في وقوع الآخر مثل سحب ورقة من أوراق اللعب دون إرجاع مما يؤدي لتأثير سحب ورقة جديدة لنقص الفرصة بنقص عدد الأوراق (من 52 إلى 51) فالحدثان A
A , B
B نكتب حدث وقوع A
A بشرط وقوع B
B بالصورة A / B
{\displaystyle A/B} ويكون: P
(
A
∣
B
)
= P
(
A
∩
B
)
P
(
B
) ,
{\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},} لاحظ أن العلامة خط الكسر ليس علامة القسمة بل علامة شرط وقوع ما يليها من أحداث . P
(
A / B
)
s
{\displaystyle P(A/B)s} وهو احتمال وقوع الحدث A بشرط وقوع الحدث B ، قد ترد عبارة أخرى تفيد الشرط كالقول علماً بأن . وفي حالة الحدثان مستقلان أي لا يؤثر وقوع أحدهما على الآخر ( when A and B are independent events ) يصبح القانون: P
(
A
∩
B
)
=
P
(
B
)
∗
P
(
A
)
{\displaystyle P(A\cap B)=P(B)*P(A)}
مثال: صندوق يحوي 14 كرة منها 8 حمراء، 6 زرقاء سحبت كرتان (عشوائياً) من الصندوق الواحدة وراء الأخرى دون إرجاع ( أو سحب كرتان معاً ). أحسب احتمال أن تكون الكرتان حمراء وزرقاء (الأولى زرقاء والثانية حمراء). (أنظر الشكل). الحل: ليكن A = حدث سحب كرة حمراء اللون وليكن B = حدث سحب كرة زرقاء اللون فالمطلوب هو P
(
A / B
)
s
{\displaystyle P(A/B)s} حيث A
A السحبة الثانية، B
B السحبة الأولى. P
(
A
∩
B
)
=
P
(
B
)
∗
P
(
A
)
{\displaystyle P(A\cap B)=P(B)*P(A)}
P
(
A
∩
B
)
=
(
6 / 14
)
∗
(
8 / 13
)
=
24 / 91
=
0
,
2637
{\displaystyle P(A\cap B)=(6/14)*(8/13)=24/91=0,2637}
لاحظ سحب كرتان نفس اللون = ل(ح، ح) + ل(ز، ز) = (8÷14)×(7÷13) + (6÷14)×(5÷13) = 0.4725
لاحظ سحب كرتان مختلفتان في اللون = ل(ح، ز) + ل(ز، ح) = 0.2637 + 0.2637 = 0.5274
لاحظ مجموع الاحتمالان السابقان 0.4725 + 0.5274 = 0.9999 ≈ 1
في نظرية الاحتمالات، توجد عدة مفاهيم مختلفة لتقارب المتغيرات العشوائية. يعد تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية لبعض المتغيرات العشوائية الحد مفهومًا مهمًا في نظرية الاحتمالات وتطبيقاته على الإحصاء والعمليات العشوائية. تُعرف نفس المفاهيم في الرياضيات الأكثر عمومية باسم التقارب العشوائي وتضفي الطابع الرسمي على فكرة أنه يمكن توقع تسلسل الأحداث العشوائية أو غير المتوقعة في بعض الأحيان في سلوك لا يتغير بشكل أساسي عند دراسة العناصر البعيدة بدرجة كافية في التسلسل. تتعلق المفاهيم المختلفة الممكنة للتقارب بكيفية وصف مثل هذا السلوك: سلوكان مفهمان بسهولة هما أن التسلسل يأخذ في نهاية المطاف قيمة ثابتة، وأن القيم في التسلسل تستمر في التغيير ولكن يمكن وصفها بتوزيع الاحتمالات غير المتغير.
نظرية الاحتمال (بالإنجليزية: Probability theory) هي النظرية التي تدرس احتمال الحوادث العشوائية، بالنسبة للرياضيين، الاحتمالات أعداد محصورة في المجال بين 0 و1 تحدد احتمال حصول أو عدم حصول حدث معين عشوائي أي غير مؤكد.[1][2][3]
مبرهنة النهاية المركزية
المقالة الرئيسة: مبرهنة النهاية المركزيةفي نظرية الاحتمال، تشكل مبرهنات النهاية المركزية (بالإنجليزية: Central limit theorem) مجموعة نتائج لنظرية الاحتمالات تنص أن مجموع عدة متغيرات عشوائية ومتشابهة التوزع، يميل إلى التوزع حسب توزيع احتمالي معين. أهم هذه المبرهنات تقول أنه إذا كانت المتغيرات المجموعة تملك تباينات محددة فإن المجموع يميل إلى التوزع طبيعيا أي أنه يملك توزيعا احتماليا طبيعيا. تسمى مبرهنة النهاية المركزية أيضا بالمبرهنة الأساسية الثانية في الإحصاء. لتكن X1, X2, X3,... Xn متسلسلة من الاعدادالمستقلة والمتطابقة في التوزيع المتغير العشوائي لكل منها لديه قيمه منتهي للوسط µ والتباين σ2 > 0. تقول مبرهنة النهاية المركزية ان: كلما ازداد حجم العينة n ,فان التوزيع لمتوسط هذه المتغيرات العشوائية يقترب من التوزيع الطبيعي القياسي.
قواعد الاحتمال
1) إذا كان A
A حدث من S
{\displaystyle S} أي أنَّ A
A مجموعة جزئية من S
{\displaystyle S} فإن: P
(
A
)
{\displaystyle P(A)} يعبر عن احتمال وقوع الحدث A
A احتمال وقوع الحدث A
A : يساوي عدد حالات وقوع الحدث A
A بالفعل مقسوم على كل الحالات التي يمكن وقوعها . 2) الحدثان المتكاملان (المتتامان): A
∪ A
′ =
S
{\displaystyle A\cup A'=S} حيث يكون: P
(
A
)
+
P
( A
′ )
=
1
{\displaystyle P(A)+P(A')=1} ويمكن استنتاج: P
( A
′ )
=
1
−
P
(
A
)
s
{\displaystyle P(A')=1-P(A)s} أو P
(
A
)
=
1
−
P
( A
′ )
s
{\displaystyle P(A)=1-P(A')s} أيضاً نقول أن الحدث
A
′ {\displaystyle A'} هو حدث عدم وقوع A
A . 3) مجموع احتمالات الأحداث الشاملة يساوي الواحد الصحيح لأن اتحادها يساوي S
{\displaystyle S} 4)الحدثان المتنافيان B
B , A
A أي تقاطعهم F
F فإن: P
(
A
∩
B
)
=
0
{\displaystyle P(A\cap B)=0} , P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)} , «ويمكن تعميم ذلك على أكثر من حدثين متنافيين». 5) إذا كان A
A , B
B حدثان غير متنافيين (متصلين) أو احتمال وقوع أحدهم على الأقل فإن: P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)} عملية الطرح هنا للاحتمال P
(
A
∩
B
)
s
{\displaystyle P(A\cap B)s} لتكراره مرتين عند حساب الاحتمال للجزء المشترك بين A
A , B
B حيث يحسب مرة مع A
A وأخرى مع B
B . يمكن تعميم القاعدة السابقة لأكثر من حدثين متصلين كالتالي: P
(
A
∪
B
∪
C
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
+
P
(
C
)
−
P
(
A
∩
B
)
−
P
(
A
∩
C
)
−
P
(
B
∩
C
)
{\displaystyle P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)}
6) عدد الأحداث في فضاء النواتج S
{\displaystyle S} للتجربة العشوائية هو
2 N
{\displaystyle 2^{N}} حيث N
{\displaystyle N} عدد عناصر الفضاء S
{\displaystyle S} فعدد أحداث تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة هو
2 6
=
64
{\displaystyle 2^{6}=64} حدثاً بما فيهم الحدثان المستحيل ∅
{\displaystyle \varnothing } والمؤكد S
{\displaystyle S} حيث: S
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle S=\{1,2,3,4,5,6\}} أمثلــة: (1) في تجربة إلقاء قطعة نقود وحجر النرد ولمرة واحدة أكتب فضاء النواتج S
{\displaystyle S} . الحل: قطعة النقود لها عنصران H
{\displaystyle H} , T
{\displaystyle T} صورة وكتابة، وحجر النرد له 6
{\displaystyle 6} عناصر هي العداد من 1
{\displaystyle 1} إلى 6
{\displaystyle 6} وعليه يكون عدد عناصر فضاء التجربة 2
∗
3
=
12
{\displaystyle 2*3=12} هي: S
=
{
(
H
;
1
)
;
(
H
;
2
)
;
(
H
;
3
)
;
(
H
;
4
)
;
(
H
;
5
)
;
(
H
;
6
)
;
(
T
;
1
)
;
(
T
;
2
)
;
(
T
;
3
)
;
(
T
;
4
)
;
(
T
;
5
)
;
(
T
;
6
)
}
{\displaystyle S=\{(H;1);(H;2);(H;3);(H;4);(H;5);(H;6);(T;1);(T;2);(T;3);(T;4);(T;5);(T;6)\}}
ويمكن كتابتها اختصاراً بالصورة: S
=
{
(
H
;
1
)
;
(
H
;
2
)
;
.
.
.
;
(
T
;
5
)
;
(
T
;
6
)
}
{\displaystyle S=\{(H;1);(H;2);...;(T;5);(T;6)\}}
(2) سحبت كرة واحدة فقط من كيس يحوي 10
{\displaystyle 10} كرات متماثلة تماماً ألوانها 3
{\displaystyle 3} حمراء، 2
{\displaystyle 2} سوداء، 5
{\displaystyle 5} صفراء فما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة حمراء الحل: عدد الكرات التي تحقق المطلوب (حمراء اللون) هو 3
{\displaystyle 3} وعدد الكرات التي يمكن أن تسحب يساوي 10
{\displaystyle 10} وبافتراض أن A
A هو حدث الكرة حمراء فيكون المطلوب: P
(
A
)
=
M / N
=
3 / 10
=
0.3
{\displaystyle P(A)=M/N=3/10=0.3} . (3) إذا كان احتمال وفاة شخص هو 0
,
05
{\displaystyle 0,05} فما احتمال أن يعيش؟ الحل: واضح أن الاحتمال المطلوب هو الحدث المتمم للاحتمال المعطى أي أن مجموعهم يساوي الواحد الصحيح وبفرض أن: A
A : حدث أن يعيش الرجل و
A
′ {\displaystyle A'} : حدث أن يموت الرجل فإن: P
(
A
)
=
1
−
P
( A
′ )
=
1
−
0.05
=
0.95
{\displaystyle P(A)=1-P(A')=1-0.05=0.95} . (4) بين إن كانت الأحداث الآتية شاملة (دالة احتمال) حيث احتمالاتها 0
,
1
{\displaystyle 0,1} ، 0
,
3
{\displaystyle 0,3} ، 0
,
6
{\displaystyle 0,6} مع العلم بأنها متنافية فيما بينها الحل: حتى تكون شاملة يجب أن يكون مجموعها يساوي الواحد الصحيح وبجمعها نجد أن: 0.1
+
0.3
+
0.6
=
1
{\displaystyle 0.1+0.3+0.6=1} فالأحداث شاملة. (5) بين إن كانت الأحداث الأربع الآتية شاملة (دالة احتمال) حيث احتمالاتها 0.6
,
0.3
,
0.1
,
0.0
{\displaystyle 0.6,\ 0.3,\ 0.1,\ 0.0} الحل: حتى تكون شاملة يجب أن لا يكون أياً منها لا يساوي F
F ولكن وجود الاحتمال المساوي للصفر يعني الحدث =
{\displaystyle =} F
F فالأحداث غير شاملة. (6) إذا كان احتمال النجاح في مادة الرياضيات هو 0
,
45
{\displaystyle 0,45} واحتمال النجاح في مادة الإحصاء هو 0
,
65
{\displaystyle 0,65} واحتمال النجاح في المادتين معاً هو 0
,
37
{\displaystyle 0,37} أوجد احتمال النجاح في أحد المادتين على الأقل. الحل: بتطبيق صيغة الاحتمالات للحوادث المتصلة بفرض أنَّ: A
A : احتمال النجاح في مادة الرياضيات B
B : احتمال النجاح في مادة الإحصاء A
∩
B
{\displaystyle A\cap B} : احتمال النجاح في المادتين معاً فأنَّ: P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
=
0.45
+
0.65
−
0.3
=
0.73
{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.45+0.65-0.3=0.73} .
قانون الأعداد الكبيرة
المقالة الرئيسة: قانون الأعداد الكبيرةيقول قانون الأعداد الكبيرة بأن التردد النسبي لحادثة عشواء يقترب أكثر فأكثر من احتمالها النظري مع ازدياد عدد مرات إعادة تجربة عشواء۔
توزيع الاحتمال
المقالة الرئيسة: توزيع احتمالفي علم الاحتمالات والإحصائيات، توزيع الاحتمال (بالإنجليزية: Probability distribution) هو إعطاء احتمال معين لكل مجموعة جزئية قابلة للقياس من مجموعة نتائج تجربة عشوائية ما. وبتعبير آخر، هو قياس احتمالي مجاله تطبيق جبر بوريل على مجموعة الأعداد الحقيقية. التوزيع الاحتمالي يعتبر حالة خاصة من مصطلح أكثر عمومية هو القياس الاحتمالي، الذي يعتبر دالة تربط قيم احتمالات بمجموعات مقيسة من الفضاء المقاس بحيث تحقق فرضيات كولوموغروف. كل متغير عشوائي ينشأعنه توزيع احتمالي يحتوي معظم المعلومات المهمة عن هذا المتغير. فاذا كان المتغير X متغيرا عشوائيا فان التوزيع الاحتمالي الموافق له ينسب للمجال [a, b] احتمالا: بمعنى أن احتمال أن يأخذ المتغير {\displaystyle X} قيمة ضمن المجال هي: Pr [ a
≤
≤
b ] {\displaystyle \Pr \left[a\leq X\leq b\right]} .
نظرة أكثر تجريدية
تهتم نظرية الاحتمالات بتحليل الظواهر العشوائية، إن العناصر المركزية لنظرية الاحتمال هي الأحداث والمتغيرات العشوائية والعمليات العشوائية.
لقد قاد كولموغوروف عملية تأسيس دراسة نظرية حديثة للاحتمالات بدمجه بين فكرة فضاءالعينة التي قدمها ريتشارد فون ميزيس وبين نظرية القياس وعرض في عام 1933 نظام بديهيات لنظرية الاحتمالات ما لبث أن أصبح بلا منازع الأساس البديهي لنظرية الاحتمالات الحديثة. يمكن تمثيل الفضاء الاحتمالي على أنه ثلاثية
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} , حيث Ω
{\displaystyle \Omega } تمثل مجموعة غير خالية، تدعى فضاء العينة.
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}} هو σ-جبر لفضاء العينة التي ندعو كل عنصر من عناصرها: «حدث».
لكي نستطيع أن نقول أن F
{\displaystyle {\mathcal {F}}} يشكل سيغما-جبر هذا يقتضي بالتعريف انها تحوي Ω
{\displaystyle \Omega } , وأن متممة أي حدث تشكل حدثا أيضا، واجتماع أي تسلسل أحداث هو حدث أيضا. P
P يمثل قياس احتمالي probability measure على F
{\displaystyle {\mathcal {F}}} , أي, قياس بحيث يكون
P
(
Ω
)
=
1
{\displaystyle P(\Omega )=1} , أي أن احتمال كامل فضاء العينة يساوي الواحد.
تدعى الثنائية (
Ω
,
F
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})} فضاء مقاسا أو فضاء قابلا للقياس لأنه يتحول إلى فضاء احتمالي بتعريف قياس احتمالي عليه.
من المهم أن نلاحظ أن P
P تشكل دالة معرفة على
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}} وليس على فضاء العينة Ω
{\displaystyle \Omega } .
مفهوم الاحتمال
هو إمكانية وقوع أمر ما لسنا على ثقة تامة بحدوثه، ويلعب الاحتمال دوراً أساسياً في الحياة اليومية بالتنبؤ بإمكانية وقوع حدث ما وهو النظرية التي يستخدمها الإحصائي لتساعده في معرفة مدى تمثيل العينة العشوائية محل الدراسة للمجتمع المأخوذ منه العينة، وتنحصر قيمة الاحتمال بين الصفر والواحد الصحيح والصفر للاحتمال المستحيل في حين الواحد الصحيح للاحتمال المؤكد والاحتمال يبحث في ثلاثة مسائل هامة معتمدة على القواعد الخاصة بالاحتمال التي سنذكرها في حينها والمسائل الثلاثة هي: حساب الاحتمال المتمثل بالتكرار النسبي.
حساب الاحتمال بدلالة احتمالات أخرى معلومة من خلال عمليات مثل الاتحاد والتقاطع والفرق .
طرق إجراء التقدير كالتوزيعات الاحتمالية.
التاريخ
المقالة الرئيسة: تاريخ علم الاحتمالطورت الاحتمالات والإحصاء في أشكالها الأولى من طرف العلماء العرب أثناء دراستهم لعلم التشفير، بين القرنين الثامن والثالث عشر الميلاديين. الخليل بن أحمد الفراهيدي كتب كتابا في هذا الاتجاه. تستمد النظرية الرياضياتية للاحتمالات جذورها من محاولات فهم وتحليل لُعب الحظ من طرف جيرولامو كاردانو الذي عاش خلال القرن السادس عشر الميلادي ومن طرف بيير دي فيرما وبليز باسكال، اللذان عاشا خلال القرن السابع عشر (انظر على سبيل المثال إلى معضلة النقط).
انظر إلى كريستيان هوغنس.
لنظرية الاحتمالات جذور متعلقة بألعاب الفُرص التي تواجدت في القرن السادس عشر، و تم استخدام نظرية حساب الاحتمالات في حساب الفرص لظهور عناصر من بين مجموعة كبيرة من العناصر الأخرى. للاحتمالات في هذه النظرية أنواع منها الاحتمالات المشروطة والمستقلة والمنفية والمؤكدة. وقد يكون لكل نوع من هذه الأنواع قاعدة عامة وقواعد فرعية. ولنظرية الاحتمالات علاقة وثيقة بنظرية العد أيضا وتستخدم في التوافيق وأيضاً التباديل.
فضاء النواتج (Sample Space)
تعرف المجموعة {
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}} في مثالنا السابق للتجربة العشوائية بفضاء النواتج أو فضاء الإمكانيات أو فضاء العينة (Sample Space) فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة {
T
,
H
}
{\displaystyle \{T,H\}} أو تمثل بشكل فِن مستطيل أو دائرة بالداخل العناصر الخاصة بالتجربة العشوائية.
أنواع الاحتمال
الاحتمال المنتظم
وهو تساوي احتمالات عناصر الظاهرة فاحتمال الحصول على أي عدد عند إلقاء حجر النرد هو 1 / 6
{\displaystyle 1/6} الاحتمال الضمني أو الشخصي (Subjective Probabilities)
الاحتمال الذي يعتقده شخص أما على حساب خبرته في الظاهرة محل الدراسة وهو يختلف من شخص لآخر كاحتمال ربح حصان في سباق للخيل. الاحتمالات التكرارية النسبية (The Relative Frequency)
ويتم تحديده كما يلي: أ) نسبة وقوع الحدث على مدى طويل مع ثبات الظروف المحيطة بالحدث. ب) حساب مرات وقوعه في عدد كبير من المحاولات أي: عدد مرات ظهوره مقسوم على عدد مرات إجراء التجربة .
التعاريف الأساسية للاحتمال
التجربة العشوائية (RANDOM SAMPLING): كل إجراء نقوم به نعلم مكوناته دون معرفة أي منها سيقع، وتعرف في علم إحصاء بالتجربة الإحصائية وهي كل عملية تعطي قياساً لظاهرة ما.
التجربة العشوائية بإلقاء قطعة النقود التي عناصرها المجموعة {صورة، كتابة} وقد يقع أي منهم وتعرف الصورة والكتابة بعناصر العينة.
التجربة العشوائية بإلقاء حجر النرد الذي عناصره المجموعة {
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}} وقد يقع أي منهم، وهكذا ...
الأحداث
الحدث هو مجموعة جزئية من فضاء العينة وعدد الأحداث تخضع للصيغة
N 2
{\displaystyle N^{2}} حيث N
{\displaystyle N} عدد عناصر فضاء العينة واحتمال وقوع الحدث A
A هو نسبة عدد حالات وقوعه بالفعل بالنسبة لكل الحالات الممكنة لوقوعه أي أن: P
(
A
)
=
M / N
{\displaystyle P(A)=M/N} حيث M
M عدد حالات وقوع A
A بالفعل، N
{\displaystyle N} عدد الحالات الممكنة فاحتمال ظهور عدد فردي عند إلقاء حجر النرد مرة واحدة هو 0.5
{\displaystyle 0.5} لأن الأعداد الفردية ثلاثة (
1
,
3
,
5
)
{\displaystyle (1,3,5)} والتي تحقق المطلوب (عدد فردي) وكل الأعداد ستة (
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
)
{\displaystyle (1,2,3,4,5,6)} فالاحتمال 3 / 6
=
0.5
{\displaystyle 3/6=0.5} ، الشكل المقابل لحجر النرد أو الزار أو الزهرة. الحدث البسيط ( Simple event ): وهو الحدث المكون من عنصر واحد مثل {
1
}
{\displaystyle \{1\}} في تجربة إلقاء حجر النرد . الحدث المركب ( Compound event ): الحدث المكون من أكثر من عنصر مثل {
2
,
4
,
6
}
{\displaystyle \{2,4,6\}} حدث العدد زوجي في تجربة إلقاء حجر النرد. الحدث المستحيل: الحدث الذي لا يحوي أي عنصر كحدث ظهور العدد 7
{\displaystyle 7} في تجربة إلقاء حجر النرد.
الحدث المؤكد: الحدث الذي يضم كافة عناصر الفضاء كحدث ظهور عدد أقل من 7
{\displaystyle 7} في تجربة إلقاء حجر النرد. الحدثان المتنافيان ( Mutually Exclusive events ): الحدثان اللذان لا يشتركا في أي عنصر وتقاطعهم المجموعة الخالية أي A
∩
B
=
F
{\displaystyle A\cap B=F} مثل {
2
}
,
{
3
}
{\displaystyle \{2\},\{3\}} ، وتعرف بالأحداث غير المتصلة. الأحداث المنتظمة (dependent events): المتساوية في احتمالاتها. ففي تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة يكون: P
(
1
)
=
P
(
2
)
=
P
(
3
)
=
P
(
4
)
=
P
(
5
)
=
P
(
6
)
=
1 / 6
{\displaystyle P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6}
الأحداث الشاملة ( Exhaustive events ): إذا كان S
{\displaystyle S} فضاء عينة ما فإن الأحداث A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C} شاملة إذا تحقق الشروط الثلاثة الآتية: متنافية فيما بينها أي: A
∩
B
=
F
{\displaystyle A\cap B=F} و A
∩
C
=
F
{\displaystyle A\cap C=F} و C
∩
B
=
F
{\displaystyle C\cap B=F}
أياً منها ليست خالية أي: A
≠
F
{\displaystyle A\neq F} و B
≠
F
{\displaystyle B\neq F} و C
≠
F
{\displaystyle C\neq F}
إتحادها يساوي S
{\displaystyle S} أي: A
∪
B
∪
C
=
S
{\displaystyle A\cup B\cup C=S}
الأحداث المكملة (Complementary events): الحدثان اللذان اتحادهم يساوي فضاء العينة بمعنى A
A حدث فإن
A
′ {\displaystyle A'} الحدث المكمل حيث A
∪ A
′ =
S
{\displaystyle A\cup A'=S} الحدثان المستقلان ( Independent events ): اللذان لا يتأثر أي منهم بالآخر (وقع أحدهم لا يؤثر أو يتأثر بوقوع أو عدم وقوع الآخر) . قاعدة الضرب للاحتمالات للأحداث المستقلة P
(
A
∩
B
)
=
P
(
B
)
∗
P
(
A
)
{\displaystyle P(A\cap B)=P(B)*P(A)} يمكن تعميم هذه القاعدة لأكثر من حدث: P
(
A
∩
B
∩
C
∩
.
.
.
∩
Z
)
=
P
(
A
)
∗
P
(
B
)
∗
P
(
C
)
∗
.
.
.
∗
P
(
Z
)
{\displaystyle P(A\cap B\cap C\cap ...\cap Z)=P(A)*P(B)*P(C)*...*P(Z)}
الأحداث الغير مستقلة (المشروطة) Conditional Probability: حدثان وقوع أحدهما يؤثر في وقوع الآخر مثل سحب ورقة من أوراق اللعب دون إرجاع مما يؤدي لتأثير سحب ورقة جديدة لنقص الفرصة بنقص عدد الأوراق (من 52 إلى 51) فالحدثان A
A , B
B نكتب حدث وقوع A
A بشرط وقوع B
B بالصورة A / B
{\displaystyle A/B} ويكون: P
(
A
∣
B
)
= P
(
A
∩
B
)
P
(
B
) ,
{\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},} لاحظ أن العلامة خط الكسر ليس علامة القسمة بل علامة شرط وقوع ما يليها من أحداث . P
(
A / B
)
s
{\displaystyle P(A/B)s} وهو احتمال وقوع الحدث A بشرط وقوع الحدث B ، قد ترد عبارة أخرى تفيد الشرط كالقول علماً بأن . وفي حالة الحدثان مستقلان أي لا يؤثر وقوع أحدهما على الآخر ( when A and B are independent events ) يصبح القانون: P
(
A
∩
B
)
=
P
(
B
)
∗
P
(
A
)
{\displaystyle P(A\cap B)=P(B)*P(A)}
مثال: صندوق يحوي 14 كرة منها 8 حمراء، 6 زرقاء سحبت كرتان (عشوائياً) من الصندوق الواحدة وراء الأخرى دون إرجاع ( أو سحب كرتان معاً ). أحسب احتمال أن تكون الكرتان حمراء وزرقاء (الأولى زرقاء والثانية حمراء). (أنظر الشكل). الحل: ليكن A = حدث سحب كرة حمراء اللون وليكن B = حدث سحب كرة زرقاء اللون فالمطلوب هو P
(
A / B
)
s
{\displaystyle P(A/B)s} حيث A
A السحبة الثانية، B
B السحبة الأولى. P
(
A
∩
B
)
=
P
(
B
)
∗
P
(
A
)
{\displaystyle P(A\cap B)=P(B)*P(A)}
P
(
A
∩
B
)
=
(
6 / 14
)
∗
(
8 / 13
)
=
24 / 91
=
0
,
2637
{\displaystyle P(A\cap B)=(6/14)*(8/13)=24/91=0,2637}
لاحظ سحب كرتان نفس اللون = ل(ح، ح) + ل(ز، ز) = (8÷14)×(7÷13) + (6÷14)×(5÷13) = 0.4725
لاحظ سحب كرتان مختلفتان في اللون = ل(ح، ز) + ل(ز، ح) = 0.2637 + 0.2637 = 0.5274
لاحظ مجموع الاحتمالان السابقان 0.4725 + 0.5274 = 0.9999 ≈ 1
تقارب المتغيرات العشوائية
المقالة الرئيسة: تقارب المتغيرات العشوائيةفي نظرية الاحتمالات، توجد عدة مفاهيم مختلفة لتقارب المتغيرات العشوائية. يعد تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية لبعض المتغيرات العشوائية الحد مفهومًا مهمًا في نظرية الاحتمالات وتطبيقاته على الإحصاء والعمليات العشوائية. تُعرف نفس المفاهيم في الرياضيات الأكثر عمومية باسم التقارب العشوائي وتضفي الطابع الرسمي على فكرة أنه يمكن توقع تسلسل الأحداث العشوائية أو غير المتوقعة في بعض الأحيان في سلوك لا يتغير بشكل أساسي عند دراسة العناصر البعيدة بدرجة كافية في التسلسل. تتعلق المفاهيم المختلفة الممكنة للتقارب بكيفية وصف مثل هذا السلوك: سلوكان مفهمان بسهولة هما أن التسلسل يأخذ في نهاية المطاف قيمة ثابتة، وأن القيم في التسلسل تستمر في التغيير ولكن يمكن وصفها بتوزيع الاحتمالات غير المتغير.
شرح مبسط
نظرية الاحتمال (بالإنجليزية: Probability theory) هي النظرية التي تدرس احتمال الحوادث العشوائية، بالنسبة للرياضيين، الاحتمالات أعداد محصورة في المجال بين 0 و1 تحدد احتمال حصول أو عدم حصول حدث معين عشوائي أي غير مؤكد.[1][2][3]
شاركنا رأيك
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع [ تعرٌف على ] نظرية الاحتمال # اخر تحديث اليوم 2024-04-27 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 25/03/2024
اعلانات العرب الآن