الشغل الافتراضي

يمكن الحصول على القوى المعممة من حساب الشغل الافتراضي, خ´W, of the applied forces. مرجع كتاب الأخير Torby الأول Bruce العنوان Advanced Dynamics for Engineers series HRW Series in Mechanical Engineering سنة 1984 الناشر CBS College Publishing مكان United States of America الرقم المعياري 0-03-063366-4 chapter Energy Methods rp 265

الشغل الافتراضي للقوى, Fi, بناءً على الجزيئات Pi, i 1,..., n, التي يتم الحصول عليها من

delta W sum_ i 1 ^n mathbf F _ i cdot delta mathbf r_i

حيث خ´ri هي النزوح الظاهري للجزيئات Pi.

الإحداثيات المعممة

لنفترض أن المتجهات الموضعية الجزيئات، ri، هي وظيفة الإحداثيات المعممة، qj, j 1,...,m. ثم يتم تقدير النزوح الظاهري خ´ri عن طريق

delta mathbf r _i sum_ j 1 ^m frac partial mathbf r _i partial q_j delta q_j,quad i 1,ldots, n,

حيث خ´qj هي النزوح الظاهري للإحداثيات المعممة qj.

يصبح الشغل الافتراضي لنظام الجزيئات

delta W mathbf F _ 1 cdot sum_ j 1 ^m frac partial mathbf r _1 partial q_j delta q_j +ldots+ mathbf F _ n cdot sum_ j 1 ^m frac partial mathbf r _n partial q_j delta q_j.

جمع معاملات qj لذلك

delta W sum_ i 1 ^n mathbf F _ i cdot frac partial mathbf r _i partial q_1 delta q_1 +ldots+ sum_ i 1 ^n mathbf F _ i cdot frac partial mathbf r _i partial q_m delta q_m.

القوى المعممة

يمكن صياغة الشغل الافتراضي لأي نظام جزيئات في شكل

delta W Q_1delta q_1 + ldots + Q_mdelta q_m,

بحيث تكون

Q_j sum_ i 1 ^n mathbf F _ i cdot frac partial mathbf r _i partial q_j ,quad j 1,ldots, m,

وتسمى قوى التعميم المرتبطة بالإحداثيات المعممة qj, j 1,...,m.

معادلة السرعة

عند تطبيق مبدأ الشغل الافتراضي نجد سهولة في كثير من الأحيان في الحصول على النزوح الظاهري من سرعات النظام. لنظام الجزيئات n، ندع سرعة كل جزيء Pi be Vi, then the virtual displac ent خ´ri يمكن صياغته أيضًا في شكل T. R. Kane and D. A. Levinson, Dynamics, Theory and Applications, McGraw-Hill, NY, 2005.

delta mathbf r _i sum_ j 1 ^m frac partial mathbf V _i partial dot q _j delta q_j,quad i 1,ldots, n.

يعني ذلك أن القوى المعممة، Qj، يمكن تحديدها كما يلي

Q_j sum_ i 1 ^n mathbf F _ i cdot frac partial mathbf V _i partial dot q _j , quad j 1,ldots, m.

مبدأ ألمبرت (D'Al bert's principle)

صاغ ألمبرت ديناميكيات الجزيئات كتوازن القوى المطبقة مع أي قوة قصور ذاتي (تُسمى القوة الظاهرة)، مبدأ ألمبرت. قوة القصور الذاتي للجزيء، Pi، للكتلة mi هي

mathbf F _i^* -m_imathbf A _i,quad i 1,ldots, n,

بينما Ai هو تسريع للجزيء.





إذا اعتمد تكوين نظام الجزيئات على الإحداثيات المعممة qj, j 1,...,m، فمن ثم نحصل على قوة القصور الذاتي بواسطة

Q^*_j sum_ i 1 ^n mathbf F ^*_ i cdot frac partial mathbf V _i partial dot q _j ,quad j 1,ldots, m.

صيغة ألمبرت لمبدأ نواتج الشغل الافتراضي

delta W (Q_1+Q^*_1)delta q_1 + ldots + (Q_m+Q^*_m)delta q_m.

_


يندرج استخدام القوى المعممة في ميكانيكا لاغرانج (Lagrangian mechanics)، حيث تتناقض مهامها مع الإحداثيات المعممة. ونحصل عليها من القوى التطبيقية، Fi, i 1,..., n، المؤثرة في أي نظام يتميز بمواصفات محددة في مصطلحات الإحداثيات المعممة. في معادلة الشغل الافتراضي، كل قوة معممة هي معامل اختلاف للإحداثيات المعممة.