[ تعرٌف على ] متعددات الحدود متعامدة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | متعددات الحدود متعامدة

تعريف حالة متغير واحد لمقياس حقيقي

لأي دالة غير متناقصة α على الأعداد الحقيقية، يمكن تعريف تكامل ليبسيغ-ستيلجيس: ∫
f
(
x
)
d
α
(
x
)
{\displaystyle \int f(x)d\alpha (x)}
لدالة f . إذا كان هذا التكامل محدودا لجميع كثيرات الحدود f ، يمكن
تعريف المنتج الداخلي على أزواج من متعددي الحدود f و g بواسطة: ⟨
f
,
g
⟩
=
∫
f
(
x
)
g
(
x
) d
α
(
x
)
.
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int f(x)g(x)\;d\alpha (x).}
هذه العملية تكون إيجابية ونصف محددة حاصل الضرب الداخلي على فراغ اتجاهي من كل كثيرات الحدود، وإيجابية محددة إذا كان الدالة α على عدد لا حصر له من نقاط النمو. هذا يدل على فكرة التعامدية بالطريقة المعتادة، أي أن اثنين من كثيرات الحدود تكون متعامدة إذا كان ناتج ضربها الداخلي هو صفر.
ثم أن تسلسل (Pn)n=0∞ من متعددو الحدود متعامد يعرف بواسطة العلاقات: deg
⁡ P n
=
n

, ⟨ P m
,
P n
⟩
=
0
for
m
≠
n

.
{\displaystyle \deg P_{n}=n~,\quad \langle P_{m},\,P_{n}\rangle =0\quad {\text{for}}\quad m\neq n~.}
وبعبارة أخرى، تم الحصول عليها من تسلسل 1, x, x2, ... من قبل معلاج غرام شميدت: ⟨ P n
, P n
⟩
=
1

,
{\displaystyle \langle P_{n},P_{n}\rangle =1~,}
وعادة ما يطلب أن يكون التسلسل متعامد ومستنظم، بشكل أساسي: ⟨ P n
, P n
⟩
=
1

,
{\displaystyle \langle P_{n},P_{n}\rangle =1~,}
ومع ذلك، تستخدم أحيانا تطبيعات أخرى. حالة مستمرة مطلقة
في بعض الأحيان يكون عندنا:
d
α
(
x
)
=
W
(
x
)
d
x {\displaystyle \displaystyle d\alpha (x)=W(x)dx}
حيث W
:
[ x 1
, x 2
]
→ R {\displaystyle W:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R} }
هي دالة غير سلبية مع الدعم على الفاصل [ x 1
, x 2
]
{\displaystyle [x_{1},x_{2}]} في الخط الحقيقي (حيث
x 1
=
−
∞
{\displaystyle x_{1}=-\infty } and
x 2
=
∞
{\displaystyle x_{2}=\infty } مسموح به). حيث تكون الW دالة ترجيح. عندها يكون حاصل الجداء الداخل كالتالي: ⟨
f
,
g
⟩
= ∫
x 1 x 2
f
(
x
)
g
(
x
)
W
(
x
) d
x
.
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\;dx.}
ولكن هناك العديد من الأمثلة على متعددو الحدود المتعامدة حيث القياس dα(x) عنده نقاط غير صفرية القيمة حيث الدالة α تكون متقطعة، لذلك لا يمكن أن تعطى بدالة ترجيح W كما هو مبين أعلاه.

أنواع من متعددات الحدود المتعامدة

متعددات الحدود المتعامدة الكلاسيكية الأكثر استخداماً هي: متعددات الحدود لهيرميت،
متعددات الحدود للاغير،
متعددات الحدود لجاكوبي.
والحالة الخاصة لهذه المتعددات الحدود: متعددات الحدود فوق الكروية،
متعددات الحدود لشيبيشيف،
متعددات الحدود للاجندر.

خصائص

متعددو الحدود المتعامدة من متغير واحد محدد من قبل قياس غير سلبي على خط حقيقي لها الخصائص التالية. العلاقة بالعزوم
متعددو الحدود المتعامدة Pn يمكن أن يعبر عنها بواسطة العزم
m n
=
∫ x n
d
α
(
x
)
{\displaystyle m_{n}=\int x^{n}d\alpha (x)}
كما يلي:
P n
(
x
)
= c n det
[
m 0 m 1 m 2
⋯ m n m 1 m 2 m 3
⋯ m n
+
1
⋯ m n
−
1 m n m n
+
1
⋯ m 2
n
−
1
1
x x 2
⋯ x n ]

,
{\displaystyle P_{n}(x)=c_{n}\,\det {\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\&&\cdots &&\\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}~,}
حيث الثوابت cn تكون اعتباطية (تعتمد على تطبييع Pn).

شرح مبسط

في الرياضيات، متعددات الحدود المتعامدة (بالإنجليزية: Orthogonal polynomials)‏ هي عائلة من متعددات الحدود حيث أي كثيري حدود مختلفين في تسلسل يكونان متعامدان مع بعضهما البعض وفقا لبعض عمليات الجداء القياسي.[1][2][3]