اليوم: الاحد 28 ابريل 2024 , الساعة: 9:10 ص
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
اخر المشاهدات
- [ أطباق رئيسية ] أكلات عزومات # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] شركة ترايكون للوساطة المالية ذ.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] ماما هوم للمقاولات والانشاء ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تسوق وملابس الامارات ] محل الزيتون للاقمشة ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ شركات المقاولات قطر ] التطوير العمراني cdct qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ شركات العقارات قطر ] قطر عقارات للإيجار Qatar Properties for rent ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ شركات تكنولوجيا المعلومات قطر ] ايزي اي تي سولوشنز eazy it qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] طيران كندا # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ شركات التجارة العامه قطر ] تراى قطر التجارية Trey Trading & Contracting Co. W.L.L ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] المنصور نور الدين علي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ الكترونيات الامارات ] رحلات الصحراء للهواتف ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] شركة بروكو للخدمات المالية ذ.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] وليام كلارك (مستكشف) # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ رقم تلفون ] مدرسة روضة راشد الابتدائية الاعدادية المستقله للبنات .. قطر # اخر تحديث اليوم 2024-03-24
- [ تعرٌف على ] الحملة الإيطالية والسويسرية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مطاعم الامارات ] مرطبات قصر الصحراء ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] كروما 3 كريتف ذ.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] أسواق روما ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- الشروط المطلوبة للترخيص لمكتب فحص تربة وأساسات بالسعودية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ سوبر ماركت الامارات ] سوبر ماركت بنت الصحراء # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] شركه البحرين المالية ش .م.ب مقفلة) ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] المنصورة (طبريا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ دليل دبي الامارات ] مطعم ومقهى بير زيت ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ شركات المقاولات قطر ] الشركة الذهبية للتجارة والمقاولات ذ م م GOLDEN UMBRELLA TRADING & CONTRACTING COMPANY WLL ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ متاجر السعودية ] رزون ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مطاعم الامارات ] مطعم الزيتون الاخضر # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ متاجر السعودية ] زون ثنكس ... حائل ... منطقة حائل # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ متاجر السعودية ] رتم زون ... بريدة ... منطقة القصيم # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] التزام للاستشارات المالية ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] روما للهندسة ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] ساره كندال # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ شركات التجارة العامه قطر ] شركة ويلدياد للتجارة WELDAID TRADING COMPANY ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ شركات التجارة العامه قطر ] عبد الحافيظ للتجارة و المقاولات ABDUL HAFIZ TRADING & CONTRACTING COMPANY W.L.L ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ متاجر السعودية ] نيو زون ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] العلاقات السلوفاكية الكورية الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] عبد العزيز بن عبد الرحمن المنصور # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- نقليات خوش حال المدينة المنورة /محطة جبل احد اخر طريق العيون # اخر تحديث اليوم 2024-03-19
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ تعرٌف على ] كلية الطب (جامعة المنصورة) # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ دليل دبي الامارات ] مركز دبي المالي العالمي ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ ملابس السعودية ] معرض ادمز # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] المدرسة الفرنسية للكتاب المقدس والآثار # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ شركات المقاولات قطر ] بوجمهور للتجارة والمقاولات Bojamhoor Trading & Contracting Co. W.L.L ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] شركة الرومان بلاس لادارة المكاتب شركة تضامن بحرينية ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] أحمد المنصور الذهبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ دليل دبي الامارات ] ميابي السوشي مركز دبي المالي العالمي ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] يوم علم كندا الوطني # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ وكالات سفر الامارات ] ثعلب الصحراء للسياحة والشحن # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ رقم تلفون ] كراج زهير حبيب لخدمات السيارات ... البحرين # اخر تحديث اليوم 2024-03-12
- جل باكازول Buccazole لعلاج فطريات الفم والبلعوم # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ فائدةمن كتاب لا تحزن ] سفيانُ الثوريُّ مخدَّتُهُ الترابُ توسَّد سفيانُ الثوريُّ كومْةً منْ الترابِ في مزدلفة وهو حاجٌّ ، فقال له الناسُ : أفي مثلِ هذا الموطنِ تتوسَّدُ الترابَ وأنت مُحدِّثُ الدنيا ؟ قال : لمخدَّتي هذهِ أعظمُ منْ مخدةِ أبي جعفرٍ المنص
- [ دليل أبوظبي الامارات ] مكتب عصفور للكتابة ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ شركات التجارة العامه قطر ] سبشياليزد فلترز للتجارة Specialized Filters & Trading Co WLL ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] قلة السائل السلوي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] المنصور بن أبي عامر # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فواز شجاع علي العتيبي ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] سلطان بن سالمين المنصوري # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] الحملة السورية اللبنانية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ دليل أبوظبي الامارات ] كاونت للحلول المالية والمحاسبة ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- تفسير رؤية خمسة وخميسة في المنام # اخر تحديث اليوم 2024-03-10
- [رقم هاتف] مكتب الاحوال المدنية والجوازات - الرمثا .. اربد.. الاردن # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [رقم هاتف] مدرسة لصناعة و ترميم الأسنان .. المغرب # اخر تحديث اليوم 2024-03-26
- [ دليل دبي الامارات ] ذا لاكشري كلوزيت ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] الأبوة والأمومة عند المثليين في كندا # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] كلية التجارة (جامعة المنصورة) # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مقاهي السعودية ] كوب زون كافية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] مبنى مستقل ذاتيا # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ دليل دبي الامارات ] كندال وشركاه ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فهد ماجد شجاع العتيبي ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ متاجر السعودية ] متاجر زون كو ... تبوك ... منطقة تبوك # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مطاعم السعودية ] مطعم كوكزون # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] اسماعيل ابراهيم بن بكر ادم ... مكه المكرمه ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ أطباق الأرز ] طريقة عمل الارز البسمتي الاصفر في 4 خطوات # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ متاجر السعودية ] امازونس ... تربة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مراكز التدريب والتطوير قطر ] يو سي ال قطر - جامعة كلية لندن UCL QATAR - UNIVERSITY COLLEGE LONDON ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ دليل أبوظبي الامارات ] دار التمويل للأوراق المالية ذ.م.م. ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مطاعم السعودية ] مطعم فيفث سيزون # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] كلية الهندسة (جامعة المنصورة) # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ شركات المجوهرات والذهب قطر ] بابيلون مجوهرات قطر Papillon Jewelry QATAR ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] استثمار أجنبي مباشر # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ أطباق رئيسية ] طريقة عمل الملوخية الناشفة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مطاعم السعودية ] مطعم ميلتزون # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ دول أجنبية ] معلومات عن تركيا # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] أبو يوسف يعقوب بن يوسف المنصور # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ شركات عامة قطر ] قطر فينيل كومباني Qatar Vinyl Company Ltd. Q.S.C ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] العلاقات الوسط إفريقية السلوفاكية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] الفقر في كندا # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] كوتشران (كندا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] الطاقة الشمسية في جنوب إفريقيا # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ دليل دبي الامارات ] وجه الصحراء للتجارة ش.ذ.م.م ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ شركات التجارة العامه قطر ] المشعة للتجارة الفنية ذ م م RADIANT TECHNICAL TRADING WLL ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] مطعم سبانتيني روما - شركة تضامن بحرينية ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مؤسسة ربوع نجد للعقارات ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ شركات السياحة والسفر قطر ] مغامرة قطر QATAR ADVENTURE ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] العلاقات السلوفاكية اللوكسمبورغية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- طريقة تحضير التمرية او المبروكه او المفروكه او الشعثه بالصور # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- أفضل أنواع حبوب الجنسنج في الصيدلية # اخر تحديث اليوم 2024-02-28
- [ شركات الازياء والموضة قطر ] ازياء تركية للمحجبات - قطر Turkish fashion ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-24
- [ مؤسسات البحرين ] مؤسسة زيتون للتجارة ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
الأكثر قراءة
- مريم الصايغ في سطور
- سؤال و جواب | ما هى أسباب نزول الدم الاحمر بعد البراز؟ وهل هناك أسباب مرضية؟ وما الحل ؟
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً
- هل للحبة السوداء"حبة البركة "فوائد ؟
- كيف أتخلص من الغازات الكريهة التى تخرج مني باستمرار؟
- هناك ألم عندى فى الجانب الأيسر للظهر فهل من الممكن أن يكون بسبب الكلى ؟
- هل هناك علاج للصداع الئى أانيه فى الجانب الأيسر من الدماغ مع العين اليسرى ؟
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام»
- [ رقم تلفون ] مستر مندوب ... مع اللوكيشن المملكه العربية السعودية
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان
- نزع شوك السمك في المنام
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة
- ارقام وهواتف مستشفى الهلال الاحمر 34 ش رمسيس وسط البلد بالقاهرة
- جريمة قتل آمنة الخالدي تفاصيل الجريمة
- رسائل حب ساخنة للمتزوجين +18
- خليفة بخيت الفلاسي حياته
- تعرٌف على ... عائشة العتيبي | مشاهير
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟
- رقم هاتف مكتب النائب العام وكيفية تقديم بلاغ للنائب العام
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] شركة متجر كل شششي - المملكه العربية السعودية
- تفسير رؤية شخص اسمه محمد في المنام لابن سيرين
- ارقام وهواتف مطعم الشبراوى 33 ش احمد عرابى المهندسين, بالجيزة
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة
- ارقام وهواتف عيادة د. ياسر المليجى - 139 ش التحرير الدقى بالجيزة
- ارقام وهواتف مستشفى النور المحمدى الخيرى التخصصى المطرية, بالقاهرة
- تفسير رؤية الحشرات في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية
- قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟
- أعشاب تفتح الرحم للإجهاض
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟!
- قناة تمازيغت برامج القناة
- ارقام وهواتف مكتب صحة - السادس من اكتوبر ميدان الحصرى السادس من اكتوبر, بالجيزة
- سور القران لكل شهر من شهور الحمل
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين
- زخرفة اسماء تصلح للفيس بوك
- مدرسة ب/ 141 حكومي للبنات بجدة
- إلغ (برمجية) التاريخ
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان
- أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام
- تفسير حلم الكلب لابن سيرين
- [ رقم هاتف ] عيادة د. حازم ابو النصر - 20 ش عبد العزيز جاويش عابدين بالقاهرة
- انا بنت عندي 13 سنة لسة مجتليش الدورة الشهرية ......كنت ببات عند خالتي وكل ما
- هل تمرير الإصبع بشكل أفقي على فتحة المهبل يؤدي إلى فض غشاء البكارة؟
- [رقم هاتف] شركة الحراسة و التوظيف و التنظيف.. المغرب
- قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي
- ذا إكس فاكتور آرابيا فكرة البرنامج
- السلام عليكم ، أنا مشكلتي بصراحة الجنس من الخلف مع زوجي الأن صار ويحب حيل
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟
- لالة لعروسة (برنامج) الفائزون
- أنا حامل في الشهر الرابع وينزل مني دم .. هل هذا طبيعي؟
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها
- هل إدخال إصبع الزوج في مهبل الزوجة له أضرار؟
- تفسير حلم اصلاح الطريق في المنام
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة
- إيمان ظاظا حياتها ومشوارها المهني
- أهمية وضرورة إزالة الخيط الأسود من ظهر الجمبري
- اسماء فيس بنات مزخرفة | القاب بنات مزخرفه
- لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة
- تفسير رؤية المشاهير في المنام لابن سيرين
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن حرب 6 اكتوبر 1973 بالصور pdf doc -
- فوائد عشبة الفلية و الكمية المناسبة يوميا
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] شركة الرفق بالحيوان و الطبيعة.. المغرب
- كلمات - انت روحي - حمود السمه
- أعاني من لحمة زائدة في الدبر ، فلدي قطعة لحمية صغيرة في فتحة الشرج من الخارج
- ما الفرق بين الغشاء السليم وغير السليم؟
- تفسير حلم رؤية الإصابة بالرصاص في الكتف بالمنام
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟
- عمر فروخ
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة?
- إدمان الزوج للمواقع الإباحية: المشكلة والأسباب والعلاج
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء.
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام
- تظهر عندي حبوب في البظر والشفرتين بين حين وآخر.. هل لها مضاعفات، وما علاجها؟
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- الكرة الحديدية قواعد اللعبة
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن اللغة العربية والكفايات اللغويه -
- تفسير حلم رؤية الكنز فى المنام لابن سيرين
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟
روابط تهمك
مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع [ تعرٌف على ] عدد أولي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 10/11/2023
[ تعرٌف على ] عدد أولي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
آخر تحديث منذ 5 شهر و 19 يوم
1 مشاهدة
تم النشر اليوم 2024-04-28 | عدد أولي
أي عدد أولي أكبر من 3 يكتب على شكل 6k+1 أو 6k-1 حيث k عدد طبيعي.
كل عدد صحيح n> 1 له قاسم أولي.
إذا كان n عدداً مؤلفاً (غير أولي) فإن له قاسم أولي p أصغر أو يساوي الجذر التربيعي ل n.
إذا كان الفرق بين عددين أوليين مساويا ل 2، فهذان العددان يسميان توأما أوليا. 5 و 7 من جهة و 11 و 13 من جهة ثانية، هما توأمان أوليان. (حدسية العددين الأوليين التوأم)
مفهوم العدد الأولي مهم جدا. ولهذا عمم بأشكال مختلفة في عدة مجالات من الرياضيات. بشكل عام، مفهوم أولي يعني كل ما هو غير قابل للتفكيك إلى أجزاء أخرى. على سبيل المثال، حقل أولي هو أصغر حقل ضمن حقل F ما، يحتوي على 0 وعلى 1. الحسابيات بتردد عدد أولي والحقول المنتهية المقالة الرئيسة: حسابيات نمطية
تغير الحسابيات بتردد عدد n ما، الحسابيات بشكل عام باستعمالها للأعداد التالية فقط
{
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
}
,
\{0,1,2,\dots ,n-1\},\,
حيث n عدد طبيعي ثابت. يتم حساب المجاميع والفرق والجداءات بالشكل المعتاد، ولكنه كلما كانت النتيجة سلبية أو مساوية لعدد أكبر من، أو يساوي n، عوضت بباقي قسمتها على العدد n. الأعداد التقاربية بتردد p المقالة الرئيسة: عدد تقاربي بتردد p
العناصر الأولية في الحلقات المقالة الرئيسة: عنصر أولي
نظرية الزمر
في نظرية الزمر المنتهية، تنص مبرهنة سيلاو على أنه إذا قسمت
p n
{\displaystyle p^{n}} قوةٌ ما لعدد أولي ما، رتبةَ زمرة، فإن في هذه الزمرة زمرة جزئية رتبتها
p n
{\displaystyle p^{n}} . تنص مبرهنة لاغرانج على أن كل زمرة رتبتها عدد أولي هي زمرة دائرية. وتنص مبرهنة بورنصايد على أن كل زمرة رتبتها قابلة للقسمة على عددين أوليين اثنين فقط (أي أنها عدد نصف أولي)، هي زمرة قابلة للحلحلة.
دالة زيتا وفرضية ريمان المقالة الرئيسة: فرضية ريمان
تبيان لدالة زيتا (ζ(s. عندما يساوي s واحدا، تؤول الدالة إلى ما لانهاية له.
دالة زيتا لريمان (ζ(s تعرف كمجموع غير منته:
ζ
(
s
)
= ∑ n
=
1
∞
1 n s
, \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},
حيث s هو عدد عقدي جزءه الحقيقي أكبر قطعا من 1. يمكن البرهان على أن هذا المجموع يساوي الجداء التالي: ∏ p أولي 1 1
− p −
s . \prod _{p{\text{ أولي}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}. حيث p عدد أولي.
هذه الصيغة تعني ارتباط دالة زيتا الشديد بالأعداد الأولية. حدسيات أخرى الصفحة الرئيسة: تصنيف:حدسيات حول الأعداد الأولية
بالإضافة إلى فرضية ريمان، وضعت العديد من الحدسيات المتعلقة بالأعداد الأولية. عادة ما تكون صياغتها بسيطة وعادة ما تستعصي على البرهان لعقود. معضلات لاندو الأربع وضعت عام 1912 ولم تحلحل بعد. ومنها أيضا حدسية غولدباخ والتي تنص على أن كل عدد زوجي n أكبر قطعا من 2، يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين. حتى فبراير 2011، بقيت هاته الحدسية صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد الأصغر من 2.1017. نصوص أضعف من نص هاته الحدسية لم تقاوم البرهان. على سبيل المثال، تنص مبرهنة فينوغرادوف على أن أي عدد طبيعي فردي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يُكتب على شكل مجموع ثلاثة أعداد أولية. مبرهنة تشين تنص على أن أي عدد طبيعي زوجي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عدد أولي وعدد نصف أولي. من الحدسيات غير المحلحلة بعد ما يلي: حدسية التوأمين الأولية
لمدة طويلة، اعتُبرت نظرية الأعداد بشكل عام ودراسة الأعداد الأولية بشكل خاص، جزءا من الرياضيات البحتة، بدون أية تطبيقات باستثناء الاهتمام الذي يوليه عالم الرياضيات إلى هذه الدراسة. على سبيل المثال، العاملون في نظرية الأعداد من أمثال عالم الرياضيات البريطاني غودفري هارولد هاردي، كانو يفتخرون بعملهم في مجال ليس لديه تطبيقات عسكرية. ولكن هاته النظرة تحطمت في سبعينات القرن العشرين، حين أُعلن للعموم أن الأعداد الأولية قد تستعمل قاعدة لبناء خوارزميات التشفير باستخدام المفتاح المعلن. يستعمل الأعدادَ الأولية أيضا مولدات الأعداد شبه العشوائية. التشفير باستخدام المفتاح المعلن المقالة الرئيسة: تشفير باستخدام المفتاح المعلن
تستعمل الأعداد الأولية في ميدان المعلوميات وخاصة في علم التعمية. ومن أشهر التطبيقات التي تستعمل الأعداد الأولية خوارزمية آر إس إيه وتبادل مفتاح ديفي-هيلمان. تعتمد خوارزمية آر إس إيه أساسا على افتراض أن حساب جداء عددين صحيحين معلومين x و y أسهل بكثير من حساب x و y إذا كان جداؤهما xy فقط معروفا (مع افتراض أنها أوليين فيما بينهما).
لمزيد من المعلومات راجع التشفير ومشكلة التفكيك إلى جداء عوامل أولية.
العدد 12 غير أولي، لأنه يمكن ترتيب اثني عشر عنصرا على شكل ثلاث أعمدة متساوية يحتوي كل واحد منها على أربع عناصر (شكل واحد من بين أشكال أخرى). لا يمكن لأحد عشر عنصرا أن ترتب على شكل أعمدة متساوية يكون طول الواحد منها أكبر قطعا من 1، في جميع الحالات يبقى عدد إضافي (مثل باللون البرتقالي). هذا العدد يسمى الباقي. لهذا السبب فإن 11 عدد أولي.
يكون عدد طبيعي ما أوليا إذا كان أكبر قطعا من 1 وكان له قاسمان اثنان، 1 والعدد نفسه. الأعداد الطبيعية الأكبر قطعا من 1 والغير أولية قد تسمى أعداداً مركبةً أو مؤلفةً (لا ينبغي الخلط مع الأعداد المركبة والتي تسمى أيضا الأعداد العقدية). من بين الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 و 6، الأعداد 2 و 3 و 5 أولية، بينما الأعداد 1 و 4 و 6 أعداد غير أولية. أُقصى الواحد من لائحة الأعداد الأولية. 2 عدد أولي لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، 2 نفسه. 3 عدد أولي أيضا لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، 3 نفسه. قسمة 3 على 2 تعطي باقيا مساويا ل 1. إذن، 3 أولي. 4 عدد غير أولي لأنه بالإضافة إلى 1 و 4 اللذان يقسمانه، 2 أيضا يقسمه: 4 = 2 · 2.
5 عدد أولي لأن 2 و 3 و 4 لا يقسمونه. 6 عدد غير أولي لأنه قابل للقسمة على 2 و 3. 6 = 3 · 2.
جميع الأعداد الأولية - عدا 2 و 5 - تنتهي ب 1 أو 3 أو 7 أو 9 لأن جميع الأعداد التي تنتهي ب 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8 هي من مضاعفات العدد 2 (تسمى أعدادا زوجية) فليست بالتأكيد أولية، والأعداد التي تنتهي ب 5 هي من مضاعفات العدد 5 فليست أولية أيضاً. الأعداد الأولية المائة والثمانية والستون الأولى والأصغر من 1000 هي:
2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97، 101، 103، 107، 109، 113، 127، 131، 137، 139، 149، 151، 157، 163، 167، 173، 179، 181، 191، 193، 197، 199، 211، 223 227، 229، 233، 239، 241، 251، 257، 263، 269، 271، 277، 281، 283، 293، 307، 311، 313، 317، 331، 337، 347، 349، 353، 359، 367، 373، 379، 383، 389، 397، 401، 409، 419، 421، 431، 433، 439، 443، 449، 457، 461، 463، 467، 479، 487، 491، 499، 503، 509، 521، 523، 541، 547، 557، 563، 569، 571، 577، 587، 593، 599، 601، 607، 613، 617، 619، 631، 641، 643، 647، 653، 659، 661، 673، 677، 683، 691، 701، 709، 719، 727، 733، 739، 743، 751، 757، 761، 769، 773، 787، 797، 809، 811، 821، 823، 827، 829، 839، 853، 857، 859، 863، 877، 881، 883، 887، 907، 911، 919، 929، 937، 941، 947، 953، 967، 971، 977، 983، 991، 997. عادة ما يرمز لمجموعة الأعداد الأولية بالرمز P.
هناك العديد من الاختبارات لمعرفة هل عدد معين ما أولي أم لا. أبسطها هي القسمة المتكررة. ولكن هاته الطريقة قليلة النفع والاستعمال وذلك لكونها شديدة البطئ. عن طريق القسمة المتكررة
الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة. تتمثل هذه الطريقة في قسمة العدد n على جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من الواحد والأصغر من الجذر التربيعي ل n. إذا لم تنتج إحدى هذه القسمات باقيا، فإن العدد n ليس بالأولي. وهو أولي في غير ذلك. بالفعل، إذا كان n = a * b عددا مؤلفا (أي أن العددين الطبيعيين a و b يختلفان عن الواحد)، فإن على الأقل واحد من هذين العددين يكون أصغر من أو يساوي الجذر التربيعي ل n. على سبيل المثال، إذا توفر n = 37، فإن القسمة المتكررة تخص الأعداد الطبيعية 2 و 3 و 4 و 5 و 6. لا يقسم عدد من هذه الأعداد العددَ 37. إذن، فإن 37 عدد أولي.
قد تُطور هذه العملية لكي تصير أكثر فعالية وسرعة. وذلك بالنظر إلى الأعداد الأصغر من الجذر التربيعي للعدد المراد تحديد أوليته، واللائي يكن في نفس الوقت أعدادا أولية. على سبيل المثال، بالنسبة للعدد 37، فإنه يكفي النظر إلى الأعداد 2 و 3 و 5. ولا ينبغي النظر إلى العددين 4 و 6 لأنهما عددان غير أوليين. الغرابيل
خوارزمية بسيطة لعالم رياضيات اليونانية إراتوستينس لإيجاد جميع الأعداد الأولية حتى العدد 120. (انقر لرؤية الرسوم المتحركة). المقالة الرئيسة: غربال إراتوستينس
كل خوارزمية تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما تسمى غربالا. أقدم مثال على ذلك غربال إراتوستينس لكنه لا يستعمل إلا في حالة الأعداد الصغيرة. غربال أتكين أحدث منه ولكنه أكثر منه تعقيدا ولهذا فهو أكثر منه سرعة. تستعمل نظرية الغرابيل طرقا مشابهة من أجل حلحلة معضلات أخرى. اختبار أولية عدد ما مقابل البرهان على ذلك
الاختبارات العصرية لأولية عدد طبيعي ما يمكن أن تقسم إلى نوعين: الاختبارات الاحتمالية والاختبارات القطعية. مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عددا أوليا وa عددا أوليا مع p، إذن: a p
−
1
≡
1
(
p
) a^{p-1}\equiv 1\ \ (p) عكس المبرهنة خاطئ، مثلا 561=3×11×17 ليس عددا أوليا ومع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561، لدينا a 560
≡
1
(
561
) a^{560}\equiv 1\ \ (561) لكن يمكن مع ذلك كتابة: إذا كان p غير أولي فإن
a p
−
1
a^{p-1} متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة. برمجة التشفير PGP، تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية.
إذا كان:
1
≡ 2 x
−
1
≡ 3 x
−
1
≡ 5 x
−
1
≡ 7 x
−
1
(
x
) 1\equiv 2^{x-1}\equiv 3^{x-1}\equiv 5^{x-1}\equiv 7^{x-1}\ \ (x) ، فهذا يعني أن x عدد أولي احتمالي. إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1، في هذه الحالة x عدد غير أولي قطعيا. الاختبار طُور عام النوع الوقت الضروري للاختبار ملاحظات
اختبار أ.ك.أس لأولية عدد ما 2002 قطعي ((O(log6+ε(n
برهان المنحنيات الإهليلجية على أولية عدد ما 1977 قطعي O(log5+ε(n)) heuristically
اختبار Baillie-PSW لأولية عدد ما 1980 احتمالي O(log3 n) لا يعرف مثال مضاد
اختبار ميلر-رابن لأولية عدد ما 1980 احتمالي O(k · log2+ε (n)) احتمال الخطأ 4−k
اختبار سولوفاي-شتراسن لأولية عدد ما 1977 احتمالي O(k · log3 n) احتمال الخطأ 2−k
اختبار فيرما لأولية عدد ما احتمالي O(k · log2+ε (n)) يفشل عند عدد كارميكائيل خوارزميات ذت أهداف خاصة وأكبر عدد أولي معروف المقالات الرئيسة: قائمة الأعداد الأولية وأكبر عدد أولي معروف
إنشاء خماسي منتظم للأضلع. 5 هو عدد أولي لفيرما.
بالإضافة إلى الاختبارات المشار إليها أعلاه، واللائي يمكن أن يُطبقن على أي عدد طبيعي، فإن هناك اختبارات أكثر قوة ودقة تطبق على أشكال خاصة من الأعداد. على سبيل المثال، اختبار لوكاس لأولية عدد ما يتطلب معرفة العوامل الأولية ل n - 1. بينما يتطلب اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما معرفة العوامل الأولية ل n + 1. تعميل الأعداد الصحيحة المقالة الرئيسة: تحليل عدد صحيح
ليكن n عددا مؤلفا ما (أي أنه عدد غير أولي). يسمى البحث عن أحد أو كل قواسم n الأولية تعميل n. التعميل باستعمال المنحنيات الإهليلجية هي خوارزمية تعتمد على حسابيات تقام على المنحنيات الإهليلجية.
غربال إراتوستينس خوارزمية بسيطة تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية حتى عدد طبيعي معين. ابتُكرت في القرن الثالث قبل الميلاد من طرف إراتوستينس، رياضياتي قديم يوناني. (انقر من أجل النظر إلى الصورة المتحركة.)
تشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى معرفة قدماء المصريين لمفهوم الأعداد الأولية: يأخذ التحليل إلى كسر مصري شكلا مختلفا عندما يُطَبق على أعداد أولية عن الشكل الذي يأخذه عندما يُطَبق على أعداد غير أولية. مع ذلك يظل اليونانيون القدامى أول من أجرى دراسات جدية بشأنها. قام عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس بدراسة الأعداد الأولية، رغم أن أيٍ من مخطوطاته لم توجد، فقد أشار إليها علماء آخرون. بعد الإغريق، لم يحدث الكثير فيما يتعلق بدراسة الأعداد الأولية حتى القرن السابع عشر. في عام 1640، نص بيير دي فيرما مبرهنة فيرما الصغرى بدون تقديم أي برهان عليها (بُرهن عليها فيما بعد من طرف لايبنتز وأويلر). حالة خاصة من مبرهنة فيرما قد تكون قد عرفت من طرف الصينيين من قبل.
حدس فيرما أن جميع الأعداد الطبيعية على الشكل 22n+1 (تسمى هذه الأعداد بأعداد فيرما) هي أعداد أولية وقد تحقق من ذلك إلى حدود n = 4 (أي 216+1). ولكن عدد فيرما التالي (أي 232+1) هو عدد مؤلف (واحد من قواسمه الأولية 641) كما اكتشف ذلك أويلر فيما بعد. بالإضافة إلى ذلك، حاليا لا يعرف عدد أولي ما يكتب على شكل أعداد فيرما.
درس رجل الكنيسة الفرنسي مارين ميرسين الأعداد الأولية على الشكل 2p−1 حين يكون العدد p أوليا أيضا. سميت هذه الأعداد بأعداد ميرسن الأولية تكريما له. احتوى عمل أويلر في نظرية الأعداد على مجموعة من النتائج تتعلق بالأعداد الأولية. برهن على أن المتسلسلة غير المنتهية 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + … هي متسلسلة متباعدة. في عام 1747، برهن على أن الأعداد المثالية الزوجية هي بالتحديد الأعداد الطبيعية اللائي يكتبن على الشكل (2p−1(2p−1 حيث الحد الثاني من هذا الجداء هو عدد أولي لميرسن.. منذ عام 1951، كل الأعداد الأولية الكبيرة اللائي وُجدن، وُجدن بفضل الحاسوب. انظر إلى البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت.
يوجد عدد غير منته من الأعداد الأولية تتوزع بشكل غير منتظم. وبتعبير آخر، المتسلسلة 2، 3، 5، 7، 11، 13،...
لا تنتهي أو لا تتوقف. تُدعى هذهِ المبرهنة مبرهنة أقليدس تكريما لعالم الرياضيات الإغريقي أقليدس بما أن أول برهان معروف لها يعود إليه. تُعرف حاليا براهين أخرى للا نهائية الأعداد الأولية منها برهان تحليلي من طرف أويلر، وبرهان غولدباخ المعتمد على أعداد فيرما، وبرهان فورشتنبرغ باستعمال الطوبولوجيا العامة وبرهان كومر الأنيق. برهان أقليدس
برهان أقليدس يعتبر مجموعة منتهية ما S، من الأعداد الأولية. إن الفكرة الأساسية هي النظر إلى جداء جميع هذه الأعداد، أضيف إليه 1.
N
=
1
+ ∏ p
∈
S
p
. N=1+\prod _{p\in S}p.
عادة ما يعتقد خطأ أن برهان اقليدس يعتمد على طريقة البرهان بالخلف. برهان أويلر التحليلي
يستعمل برهان أويلر مجموع مقلوبات الأعداد الأولية كما يلي:
S
(
p
)
=
1
2
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
⋯
+
1
p
. S(p)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.
هذه المتسلسلة تصير أكبر من أي عدد حقيقي معين عندما يصير p كبيرا بما فيه الكفاية. هذا يدل على أن هناك عددا غير منتهي من الأعداد الأولية. نمو (S(p، تعطيه مبرهنة ميرتنز الثانية. على سبيل المقارنة، المتسلسلة
1 1 2
+
1 2 2
+
1 3 2
+
⋯
+
1 n 2
= ∑ i
=
1
n
1 i 2 {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{2}}}
لا تتباعد إلى ما لا نهاية له. هذا يدل على أن الأعداد الأولية أكثر كثافة من مربعات الأعداد الطبيعية. تنص مبرهنة برون على أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية التوأم. ( 1
3
+
1
5 ) + ( 1
5
+
1
7 ) + ( 1
11
+
1
13 ) +
⋯
= ∑ p prime, p
+
2 prime ( 1
p
+
1 p
+
2
)
, \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots =\sum \limits _{\begin{smallmatrix}p{\text{ prime, }}\\p+2{\text{ prime}}\end{smallmatrix}}{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)},
هو عدد منته.
def isPrime(num):
if num>1:
for count in range(2,int(num**(1/2))):
if not(num%count):
return False
break
return True
else:
return False
for count in range(0,100):
if isPrime(count):
print(count,end=",")
#in the screen: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد معين المقالة الرئيسة: مبرهنة الأعداد الأولية
خارطة تصف (π(n (لون أزرق)، (n / ln (n (لون أخضر) و(Li (n، التكامل اللغواريتمي المزاح (لون أحمر)
تعرف الدالة المعدة للأعداد الأولية (π(n بأنها عدد الأعداد الأولية الأصغر من n. مثال ذلك π(11) = 5، وذلك لوجود خمسة أعداد أولية أصغر من أو تساوي العدد 11. توجد خوارزمات شهيرة لحساب القيم الدقيقة ل (π(n أسرع من طريقة حسابها بشكل منفرد حتى n. يمكن إحصاء قيم قد تصل إلى π(1020) بسرعة عالية ودقة بواسطة الحواسيب المعاصرة. بالنسبة للقيم الكبيرة من n، والتي تتجاوز قدة الأجهزة الحديثة فإن مبرهنة الأعداد الأولية تعطينا تقديراً أولياً:(π(n تساوي تقريباً (n/ln(n. بعبارة أخرى، عندما تصبح n عدد كبيراً جداً فإن احتمالية أن يكون العدد الأولي أقل من n تتناسب عكسياً مع عدد الأرقام المكونة ل n. المتتاليات الحسابية
المتتالية الحسابية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية التي تعطي نفس الباقي عندما تقسم على عدد معين q ما. على سبيل المثال، 3، 12، 21، 30، 39،...،
هي متتالية حسابية لأن باقي قسمة هؤلاء الأعداد على 9 يساوي دائما نفس العدد 3. جميع حدود هاته المتتالية، باستثناء 3، أعداد غير أولية بما أن (1 + 9n + 3 = 3(3n
انظر مبرهنة غرين-تاون. القيم الأولية لمتعددات الحدود من الدرجة الثانية
حلزونية أولام. النقط الحمراء تدل على الأعداد الأولية. بُينت الأعداد الأولية التي تكتب على الشكل 4n2−2n+41 باللون الأزرق.
لاحظ أويلر أن الدالة n 2
+
n
+
41
n^{2}+n+41\,
تعطي أعدادا أولية بالنسبة ل n ≥ 0 و n <40. هذه الحقيقة أدت إلى نظرية جبرية للأعداد شديدة العمق، وبشكل خاص أعداد هيغنر.
المقالة الرئيسة: المبرهنة الأساسية في الحسابيات
تنبثق أهمية الأعداد الأولية في نظرية الأعداد وفي الرياضيات عموما من المبرهنة الأساسية في الحسابيات، والتي تنص على أن كل عدد صحيح موجب أكبر من 1، يمكن أن يكتب على شكل جداء أي (ضرب) لعدد أولي واحد أو مجموعة من الأعداد الأولية. هذه المجموعة وحيدة إذا غُض النظر إلى ترتيب الأعداد الأولية التي تُكونها. ونتيجة لذلك، هو أنه يمكن اعتبار الأعداد الأولية الأساس التي بنيت عليه الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، 23244
= 2 · 2 · 3 · 13 · 149 = 22 · 3 · 13 · 149. حيث 22 يعني مربع 2 أو القوة الثانية ل 2. أ,
3*7=21 كما في المثال السابق، قد يتكرر نفس العامل الأولي أكثر من مرة. تسمى عملية تحليل عدد n ما إلى جداء عومل أولية:n = p1 · p2 · ... · pt تحليل عدد صحيح إلى عوامل. يمكن إذن صياغة المبرهنة الأساسية في الحسابيات كما يلي: تحليل عدد صحيح إلى عوامل وحيد إذا غُض النظر إلى ترتيب الأعداد الأولية في هذا التحليل. قد تختلف الخوارزميات لإيجاد هذا التحليل، ولكن النتيجة وحيدة ولا تتعلق بالخوارزمية المستعملة.
إذا كان p عددا أوليا وكان يقسم جداء a × b لعددين طبيعيين a و b، فإنه يقسم أحد حدي هذا الجداء، أي أنه يقسم a أو يقسم b. تسمى هاته الخاصية بموضوعة أقليدس. تستعمل في بعض البراهين على وحدة تحليل عدد صحيح إلى جداء أعداد أولية. هل العدد 1 عدد أولي ؟
لم يعتبر معظم الإغريق العدد 1 على أنه عدد. ولهذا، لم يعتبروه أوليا. بينما في القرن التاسع عشر، اعتبره عدد من علماء الرياضيات أوليا. على سبيل المثال، اللائحة التي كونها ديريك نورمان ليهمر من الأعداد الأولية الأصغر من 10,006,721، والتي طبعت لآخر مرة في عام 1956، ابتدأت بالعدد 1. حتى القرن التاسع عشر، كان علماء الرياضيات يعتبرون 1 عددا أوليا، بما أن تعريف الأعداد الأولية كان آنذاك هو كل عدد لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. ويقال أن عالم الرياضيات هنري ليون لوبيغ هو آخر عالم رياضيات اعتبر 1 أوليا. رغم أن الجزء الكبير من الأعمال في الرياضيات يبقى صحيحا إذا اعتُبر 1 عددا أوليا، ولكن المبرهنة الأساسية في الحسابيات لا تبقى صحيحة. على سبيل المثال، العدد 15 يمكن أن يُعمّل إلى 3×5 أو إلى 1×3×5. إذا كان 1 أوليا، هذان الشكلان الاثنان مختلفان عن بعضما البعض مما يجعل نص المبرهنة خاطئا. بالإضافة إلى ذلك، للأعداد الأولية مجموعة من الخصائص لا يملكها العدد 1. من بينها العلاقة التي تربط عددا ما بقيمة دالة مؤشر أويلر أو بدالة مجموع القواسم.
تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات
خصائص الأعداد الأولية
أي عدد أولي أكبر من 3 يكتب على شكل 6k+1 أو 6k-1 حيث k عدد طبيعي.
كل عدد صحيح n> 1 له قاسم أولي.
إذا كان n عدداً مؤلفاً (غير أولي) فإن له قاسم أولي p أصغر أو يساوي الجذر التربيعي ل n.
إذا كان الفرق بين عددين أوليين مساويا ل 2، فهذان العددان يسميان توأما أوليا. 5 و 7 من جهة و 11 و 13 من جهة ثانية، هما توأمان أوليان. (حدسية العددين الأوليين التوأم)
في الجبر التجريدي
مفهوم العدد الأولي مهم جدا. ولهذا عمم بأشكال مختلفة في عدة مجالات من الرياضيات. بشكل عام، مفهوم أولي يعني كل ما هو غير قابل للتفكيك إلى أجزاء أخرى. على سبيل المثال، حقل أولي هو أصغر حقل ضمن حقل F ما، يحتوي على 0 وعلى 1. الحسابيات بتردد عدد أولي والحقول المنتهية المقالة الرئيسة: حسابيات نمطية
تغير الحسابيات بتردد عدد n ما، الحسابيات بشكل عام باستعمالها للأعداد التالية فقط
{
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
}
,
\{0,1,2,\dots ,n-1\},\,
حيث n عدد طبيعي ثابت. يتم حساب المجاميع والفرق والجداءات بالشكل المعتاد، ولكنه كلما كانت النتيجة سلبية أو مساوية لعدد أكبر من، أو يساوي n، عوضت بباقي قسمتها على العدد n. الأعداد التقاربية بتردد p المقالة الرئيسة: عدد تقاربي بتردد p
العناصر الأولية في الحلقات المقالة الرئيسة: عنصر أولي
نظرية الزمر
في نظرية الزمر المنتهية، تنص مبرهنة سيلاو على أنه إذا قسمت
p n
{\displaystyle p^{n}} قوةٌ ما لعدد أولي ما، رتبةَ زمرة، فإن في هذه الزمرة زمرة جزئية رتبتها
p n
{\displaystyle p^{n}} . تنص مبرهنة لاغرانج على أن كل زمرة رتبتها عدد أولي هي زمرة دائرية. وتنص مبرهنة بورنصايد على أن كل زمرة رتبتها قابلة للقسمة على عددين أوليين اثنين فقط (أي أنها عدد نصف أولي)، هي زمرة قابلة للحلحلة.
مسائل لم تحل بعد
دالة زيتا وفرضية ريمان المقالة الرئيسة: فرضية ريمان
تبيان لدالة زيتا (ζ(s. عندما يساوي s واحدا، تؤول الدالة إلى ما لانهاية له.
دالة زيتا لريمان (ζ(s تعرف كمجموع غير منته:
ζ
(
s
)
= ∑ n
=
1
∞
1 n s
, \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},
حيث s هو عدد عقدي جزءه الحقيقي أكبر قطعا من 1. يمكن البرهان على أن هذا المجموع يساوي الجداء التالي: ∏ p أولي 1 1
− p −
s . \prod _{p{\text{ أولي}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}. حيث p عدد أولي.
هذه الصيغة تعني ارتباط دالة زيتا الشديد بالأعداد الأولية. حدسيات أخرى الصفحة الرئيسة: تصنيف:حدسيات حول الأعداد الأولية
بالإضافة إلى فرضية ريمان، وضعت العديد من الحدسيات المتعلقة بالأعداد الأولية. عادة ما تكون صياغتها بسيطة وعادة ما تستعصي على البرهان لعقود. معضلات لاندو الأربع وضعت عام 1912 ولم تحلحل بعد. ومنها أيضا حدسية غولدباخ والتي تنص على أن كل عدد زوجي n أكبر قطعا من 2، يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين. حتى فبراير 2011، بقيت هاته الحدسية صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد الأصغر من 2.1017. نصوص أضعف من نص هاته الحدسية لم تقاوم البرهان. على سبيل المثال، تنص مبرهنة فينوغرادوف على أن أي عدد طبيعي فردي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يُكتب على شكل مجموع ثلاثة أعداد أولية. مبرهنة تشين تنص على أن أي عدد طبيعي زوجي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عدد أولي وعدد نصف أولي. من الحدسيات غير المحلحلة بعد ما يلي: حدسية التوأمين الأولية
تطبيقات
لمدة طويلة، اعتُبرت نظرية الأعداد بشكل عام ودراسة الأعداد الأولية بشكل خاص، جزءا من الرياضيات البحتة، بدون أية تطبيقات باستثناء الاهتمام الذي يوليه عالم الرياضيات إلى هذه الدراسة. على سبيل المثال، العاملون في نظرية الأعداد من أمثال عالم الرياضيات البريطاني غودفري هارولد هاردي، كانو يفتخرون بعملهم في مجال ليس لديه تطبيقات عسكرية. ولكن هاته النظرة تحطمت في سبعينات القرن العشرين، حين أُعلن للعموم أن الأعداد الأولية قد تستعمل قاعدة لبناء خوارزميات التشفير باستخدام المفتاح المعلن. يستعمل الأعدادَ الأولية أيضا مولدات الأعداد شبه العشوائية. التشفير باستخدام المفتاح المعلن المقالة الرئيسة: تشفير باستخدام المفتاح المعلن
تستعمل الأعداد الأولية في ميدان المعلوميات وخاصة في علم التعمية. ومن أشهر التطبيقات التي تستعمل الأعداد الأولية خوارزمية آر إس إيه وتبادل مفتاح ديفي-هيلمان. تعتمد خوارزمية آر إس إيه أساسا على افتراض أن حساب جداء عددين صحيحين معلومين x و y أسهل بكثير من حساب x و y إذا كان جداؤهما xy فقط معروفا (مع افتراض أنها أوليين فيما بينهما).
لمزيد من المعلومات راجع التشفير ومشكلة التفكيك إلى جداء عوامل أولية.
تعريف وأمثلة
العدد 12 غير أولي، لأنه يمكن ترتيب اثني عشر عنصرا على شكل ثلاث أعمدة متساوية يحتوي كل واحد منها على أربع عناصر (شكل واحد من بين أشكال أخرى). لا يمكن لأحد عشر عنصرا أن ترتب على شكل أعمدة متساوية يكون طول الواحد منها أكبر قطعا من 1، في جميع الحالات يبقى عدد إضافي (مثل باللون البرتقالي). هذا العدد يسمى الباقي. لهذا السبب فإن 11 عدد أولي.
يكون عدد طبيعي ما أوليا إذا كان أكبر قطعا من 1 وكان له قاسمان اثنان، 1 والعدد نفسه. الأعداد الطبيعية الأكبر قطعا من 1 والغير أولية قد تسمى أعداداً مركبةً أو مؤلفةً (لا ينبغي الخلط مع الأعداد المركبة والتي تسمى أيضا الأعداد العقدية). من بين الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 و 6، الأعداد 2 و 3 و 5 أولية، بينما الأعداد 1 و 4 و 6 أعداد غير أولية. أُقصى الواحد من لائحة الأعداد الأولية. 2 عدد أولي لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، 2 نفسه. 3 عدد أولي أيضا لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، 3 نفسه. قسمة 3 على 2 تعطي باقيا مساويا ل 1. إذن، 3 أولي. 4 عدد غير أولي لأنه بالإضافة إلى 1 و 4 اللذان يقسمانه، 2 أيضا يقسمه: 4 = 2 · 2.
5 عدد أولي لأن 2 و 3 و 4 لا يقسمونه. 6 عدد غير أولي لأنه قابل للقسمة على 2 و 3. 6 = 3 · 2.
جميع الأعداد الأولية - عدا 2 و 5 - تنتهي ب 1 أو 3 أو 7 أو 9 لأن جميع الأعداد التي تنتهي ب 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8 هي من مضاعفات العدد 2 (تسمى أعدادا زوجية) فليست بالتأكيد أولية، والأعداد التي تنتهي ب 5 هي من مضاعفات العدد 5 فليست أولية أيضاً. الأعداد الأولية المائة والثمانية والستون الأولى والأصغر من 1000 هي:
2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97، 101، 103، 107، 109، 113، 127، 131، 137، 139، 149، 151، 157، 163، 167، 173، 179، 181، 191، 193، 197، 199، 211، 223 227، 229، 233، 239، 241، 251، 257، 263، 269، 271، 277، 281، 283، 293، 307، 311، 313، 317، 331، 337، 347، 349، 353، 359، 367، 373، 379، 383، 389، 397، 401، 409، 419، 421، 431، 433، 439، 443، 449، 457، 461، 463، 467، 479، 487، 491، 499، 503، 509، 521، 523، 541، 547، 557، 563، 569، 571، 577، 587، 593، 599، 601، 607، 613، 617، 619، 631، 641، 643، 647، 653، 659، 661، 673، 677، 683، 691، 701، 709، 719، 727، 733، 739، 743، 751، 757، 761، 769، 773، 787، 797، 809، 811، 821، 823، 827، 829، 839، 853، 857، 859، 863، 877، 881، 883، 887، 907، 911، 919، 929، 937، 941، 947، 953، 967، 971، 977، 983، 991، 997. عادة ما يرمز لمجموعة الأعداد الأولية بالرمز P.
اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية
هناك العديد من الاختبارات لمعرفة هل عدد معين ما أولي أم لا. أبسطها هي القسمة المتكررة. ولكن هاته الطريقة قليلة النفع والاستعمال وذلك لكونها شديدة البطئ. عن طريق القسمة المتكررة
الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة. تتمثل هذه الطريقة في قسمة العدد n على جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من الواحد والأصغر من الجذر التربيعي ل n. إذا لم تنتج إحدى هذه القسمات باقيا، فإن العدد n ليس بالأولي. وهو أولي في غير ذلك. بالفعل، إذا كان n = a * b عددا مؤلفا (أي أن العددين الطبيعيين a و b يختلفان عن الواحد)، فإن على الأقل واحد من هذين العددين يكون أصغر من أو يساوي الجذر التربيعي ل n. على سبيل المثال، إذا توفر n = 37، فإن القسمة المتكررة تخص الأعداد الطبيعية 2 و 3 و 4 و 5 و 6. لا يقسم عدد من هذه الأعداد العددَ 37. إذن، فإن 37 عدد أولي.
قد تُطور هذه العملية لكي تصير أكثر فعالية وسرعة. وذلك بالنظر إلى الأعداد الأصغر من الجذر التربيعي للعدد المراد تحديد أوليته، واللائي يكن في نفس الوقت أعدادا أولية. على سبيل المثال، بالنسبة للعدد 37، فإنه يكفي النظر إلى الأعداد 2 و 3 و 5. ولا ينبغي النظر إلى العددين 4 و 6 لأنهما عددان غير أوليين. الغرابيل
خوارزمية بسيطة لعالم رياضيات اليونانية إراتوستينس لإيجاد جميع الأعداد الأولية حتى العدد 120. (انقر لرؤية الرسوم المتحركة). المقالة الرئيسة: غربال إراتوستينس
كل خوارزمية تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما تسمى غربالا. أقدم مثال على ذلك غربال إراتوستينس لكنه لا يستعمل إلا في حالة الأعداد الصغيرة. غربال أتكين أحدث منه ولكنه أكثر منه تعقيدا ولهذا فهو أكثر منه سرعة. تستعمل نظرية الغرابيل طرقا مشابهة من أجل حلحلة معضلات أخرى. اختبار أولية عدد ما مقابل البرهان على ذلك
الاختبارات العصرية لأولية عدد طبيعي ما يمكن أن تقسم إلى نوعين: الاختبارات الاحتمالية والاختبارات القطعية. مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عددا أوليا وa عددا أوليا مع p، إذن: a p
−
1
≡
1
(
p
) a^{p-1}\equiv 1\ \ (p) عكس المبرهنة خاطئ، مثلا 561=3×11×17 ليس عددا أوليا ومع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561، لدينا a 560
≡
1
(
561
) a^{560}\equiv 1\ \ (561) لكن يمكن مع ذلك كتابة: إذا كان p غير أولي فإن
a p
−
1
a^{p-1} متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة. برمجة التشفير PGP، تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية.
إذا كان:
1
≡ 2 x
−
1
≡ 3 x
−
1
≡ 5 x
−
1
≡ 7 x
−
1
(
x
) 1\equiv 2^{x-1}\equiv 3^{x-1}\equiv 5^{x-1}\equiv 7^{x-1}\ \ (x) ، فهذا يعني أن x عدد أولي احتمالي. إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1، في هذه الحالة x عدد غير أولي قطعيا. الاختبار طُور عام النوع الوقت الضروري للاختبار ملاحظات
اختبار أ.ك.أس لأولية عدد ما 2002 قطعي ((O(log6+ε(n
برهان المنحنيات الإهليلجية على أولية عدد ما 1977 قطعي O(log5+ε(n)) heuristically
اختبار Baillie-PSW لأولية عدد ما 1980 احتمالي O(log3 n) لا يعرف مثال مضاد
اختبار ميلر-رابن لأولية عدد ما 1980 احتمالي O(k · log2+ε (n)) احتمال الخطأ 4−k
اختبار سولوفاي-شتراسن لأولية عدد ما 1977 احتمالي O(k · log3 n) احتمال الخطأ 2−k
اختبار فيرما لأولية عدد ما احتمالي O(k · log2+ε (n)) يفشل عند عدد كارميكائيل خوارزميات ذت أهداف خاصة وأكبر عدد أولي معروف المقالات الرئيسة: قائمة الأعداد الأولية وأكبر عدد أولي معروف
إنشاء خماسي منتظم للأضلع. 5 هو عدد أولي لفيرما.
بالإضافة إلى الاختبارات المشار إليها أعلاه، واللائي يمكن أن يُطبقن على أي عدد طبيعي، فإن هناك اختبارات أكثر قوة ودقة تطبق على أشكال خاصة من الأعداد. على سبيل المثال، اختبار لوكاس لأولية عدد ما يتطلب معرفة العوامل الأولية ل n - 1. بينما يتطلب اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما معرفة العوامل الأولية ل n + 1. تعميل الأعداد الصحيحة المقالة الرئيسة: تحليل عدد صحيح
ليكن n عددا مؤلفا ما (أي أنه عدد غير أولي). يسمى البحث عن أحد أو كل قواسم n الأولية تعميل n. التعميل باستعمال المنحنيات الإهليلجية هي خوارزمية تعتمد على حسابيات تقام على المنحنيات الإهليلجية.
التاريخ
غربال إراتوستينس خوارزمية بسيطة تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية حتى عدد طبيعي معين. ابتُكرت في القرن الثالث قبل الميلاد من طرف إراتوستينس، رياضياتي قديم يوناني. (انقر من أجل النظر إلى الصورة المتحركة.)
تشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى معرفة قدماء المصريين لمفهوم الأعداد الأولية: يأخذ التحليل إلى كسر مصري شكلا مختلفا عندما يُطَبق على أعداد أولية عن الشكل الذي يأخذه عندما يُطَبق على أعداد غير أولية. مع ذلك يظل اليونانيون القدامى أول من أجرى دراسات جدية بشأنها. قام عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس بدراسة الأعداد الأولية، رغم أن أيٍ من مخطوطاته لم توجد، فقد أشار إليها علماء آخرون. بعد الإغريق، لم يحدث الكثير فيما يتعلق بدراسة الأعداد الأولية حتى القرن السابع عشر. في عام 1640، نص بيير دي فيرما مبرهنة فيرما الصغرى بدون تقديم أي برهان عليها (بُرهن عليها فيما بعد من طرف لايبنتز وأويلر). حالة خاصة من مبرهنة فيرما قد تكون قد عرفت من طرف الصينيين من قبل.
حدس فيرما أن جميع الأعداد الطبيعية على الشكل 22n+1 (تسمى هذه الأعداد بأعداد فيرما) هي أعداد أولية وقد تحقق من ذلك إلى حدود n = 4 (أي 216+1). ولكن عدد فيرما التالي (أي 232+1) هو عدد مؤلف (واحد من قواسمه الأولية 641) كما اكتشف ذلك أويلر فيما بعد. بالإضافة إلى ذلك، حاليا لا يعرف عدد أولي ما يكتب على شكل أعداد فيرما.
درس رجل الكنيسة الفرنسي مارين ميرسين الأعداد الأولية على الشكل 2p−1 حين يكون العدد p أوليا أيضا. سميت هذه الأعداد بأعداد ميرسن الأولية تكريما له. احتوى عمل أويلر في نظرية الأعداد على مجموعة من النتائج تتعلق بالأعداد الأولية. برهن على أن المتسلسلة غير المنتهية 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + … هي متسلسلة متباعدة. في عام 1747، برهن على أن الأعداد المثالية الزوجية هي بالتحديد الأعداد الطبيعية اللائي يكتبن على الشكل (2p−1(2p−1 حيث الحد الثاني من هذا الجداء هو عدد أولي لميرسن.. منذ عام 1951، كل الأعداد الأولية الكبيرة اللائي وُجدن، وُجدن بفضل الحاسوب. انظر إلى البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت.
عدد الأعداد الأولية
المقالة الرئيسة: مبرهنة إقليدسيوجد عدد غير منته من الأعداد الأولية تتوزع بشكل غير منتظم. وبتعبير آخر، المتسلسلة 2، 3، 5، 7، 11، 13،...
لا تنتهي أو لا تتوقف. تُدعى هذهِ المبرهنة مبرهنة أقليدس تكريما لعالم الرياضيات الإغريقي أقليدس بما أن أول برهان معروف لها يعود إليه. تُعرف حاليا براهين أخرى للا نهائية الأعداد الأولية منها برهان تحليلي من طرف أويلر، وبرهان غولدباخ المعتمد على أعداد فيرما، وبرهان فورشتنبرغ باستعمال الطوبولوجيا العامة وبرهان كومر الأنيق. برهان أقليدس
برهان أقليدس يعتبر مجموعة منتهية ما S، من الأعداد الأولية. إن الفكرة الأساسية هي النظر إلى جداء جميع هذه الأعداد، أضيف إليه 1.
N
=
1
+ ∏ p
∈
S
p
. N=1+\prod _{p\in S}p.
عادة ما يعتقد خطأ أن برهان اقليدس يعتمد على طريقة البرهان بالخلف. برهان أويلر التحليلي
يستعمل برهان أويلر مجموع مقلوبات الأعداد الأولية كما يلي:
S
(
p
)
=
1
2
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
⋯
+
1
p
. S(p)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.
هذه المتسلسلة تصير أكبر من أي عدد حقيقي معين عندما يصير p كبيرا بما فيه الكفاية. هذا يدل على أن هناك عددا غير منتهي من الأعداد الأولية. نمو (S(p، تعطيه مبرهنة ميرتنز الثانية. على سبيل المقارنة، المتسلسلة
1 1 2
+
1 2 2
+
1 3 2
+
⋯
+
1 n 2
= ∑ i
=
1
n
1 i 2 {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{2}}}
لا تتباعد إلى ما لا نهاية له. هذا يدل على أن الأعداد الأولية أكثر كثافة من مربعات الأعداد الطبيعية. تنص مبرهنة برون على أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية التوأم. ( 1
3
+
1
5 ) + ( 1
5
+
1
7 ) + ( 1
11
+
1
13 ) +
⋯
= ∑ p prime, p
+
2 prime ( 1
p
+
1 p
+
2
)
, \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots =\sum \limits _{\begin{smallmatrix}p{\text{ prime, }}\\p+2{\text{ prime}}\end{smallmatrix}}{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)},
هو عدد منته.
برمجة الأعداد الأولية
يمكن برمجة تطبيقات (دوال برمجية) تقوم بتحديد الأعداد الأولية عن طريق استخدام خورزمية القسمة المتكررة (المثال بلغة بايثون):def isPrime(num):
if num>1:
for count in range(2,int(num**(1/2))):
if not(num%count):
return False
break
return True
else:
return False
for count in range(0,100):
if isPrime(count):
print(count,end=",")
#in the screen: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
التوزيع
عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد معين المقالة الرئيسة: مبرهنة الأعداد الأولية
خارطة تصف (π(n (لون أزرق)، (n / ln (n (لون أخضر) و(Li (n، التكامل اللغواريتمي المزاح (لون أحمر)
تعرف الدالة المعدة للأعداد الأولية (π(n بأنها عدد الأعداد الأولية الأصغر من n. مثال ذلك π(11) = 5، وذلك لوجود خمسة أعداد أولية أصغر من أو تساوي العدد 11. توجد خوارزمات شهيرة لحساب القيم الدقيقة ل (π(n أسرع من طريقة حسابها بشكل منفرد حتى n. يمكن إحصاء قيم قد تصل إلى π(1020) بسرعة عالية ودقة بواسطة الحواسيب المعاصرة. بالنسبة للقيم الكبيرة من n، والتي تتجاوز قدة الأجهزة الحديثة فإن مبرهنة الأعداد الأولية تعطينا تقديراً أولياً:(π(n تساوي تقريباً (n/ln(n. بعبارة أخرى، عندما تصبح n عدد كبيراً جداً فإن احتمالية أن يكون العدد الأولي أقل من n تتناسب عكسياً مع عدد الأرقام المكونة ل n. المتتاليات الحسابية
المتتالية الحسابية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية التي تعطي نفس الباقي عندما تقسم على عدد معين q ما. على سبيل المثال، 3، 12، 21، 30، 39،...،
هي متتالية حسابية لأن باقي قسمة هؤلاء الأعداد على 9 يساوي دائما نفس العدد 3. جميع حدود هاته المتتالية، باستثناء 3، أعداد غير أولية بما أن (1 + 9n + 3 = 3(3n
انظر مبرهنة غرين-تاون. القيم الأولية لمتعددات الحدود من الدرجة الثانية
حلزونية أولام. النقط الحمراء تدل على الأعداد الأولية. بُينت الأعداد الأولية التي تكتب على الشكل 4n2−2n+41 باللون الأزرق.
لاحظ أويلر أن الدالة n 2
+
n
+
41
n^{2}+n+41\,
تعطي أعدادا أولية بالنسبة ل n ≥ 0 و n <40. هذه الحقيقة أدت إلى نظرية جبرية للأعداد شديدة العمق، وبشكل خاص أعداد هيغنر.
المبرهنة الأساسية في الحسابيات
المقالة الرئيسة: المبرهنة الأساسية في الحسابيات
تنبثق أهمية الأعداد الأولية في نظرية الأعداد وفي الرياضيات عموما من المبرهنة الأساسية في الحسابيات، والتي تنص على أن كل عدد صحيح موجب أكبر من 1، يمكن أن يكتب على شكل جداء أي (ضرب) لعدد أولي واحد أو مجموعة من الأعداد الأولية. هذه المجموعة وحيدة إذا غُض النظر إلى ترتيب الأعداد الأولية التي تُكونها. ونتيجة لذلك، هو أنه يمكن اعتبار الأعداد الأولية الأساس التي بنيت عليه الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، 23244
= 2 · 2 · 3 · 13 · 149 = 22 · 3 · 13 · 149. حيث 22 يعني مربع 2 أو القوة الثانية ل 2. أ,
3*7=21 كما في المثال السابق، قد يتكرر نفس العامل الأولي أكثر من مرة. تسمى عملية تحليل عدد n ما إلى جداء عومل أولية:n = p1 · p2 · ... · pt تحليل عدد صحيح إلى عوامل. يمكن إذن صياغة المبرهنة الأساسية في الحسابيات كما يلي: تحليل عدد صحيح إلى عوامل وحيد إذا غُض النظر إلى ترتيب الأعداد الأولية في هذا التحليل. قد تختلف الخوارزميات لإيجاد هذا التحليل، ولكن النتيجة وحيدة ولا تتعلق بالخوارزمية المستعملة.
إذا كان p عددا أوليا وكان يقسم جداء a × b لعددين طبيعيين a و b، فإنه يقسم أحد حدي هذا الجداء، أي أنه يقسم a أو يقسم b. تسمى هاته الخاصية بموضوعة أقليدس. تستعمل في بعض البراهين على وحدة تحليل عدد صحيح إلى جداء أعداد أولية. هل العدد 1 عدد أولي ؟
لم يعتبر معظم الإغريق العدد 1 على أنه عدد. ولهذا، لم يعتبروه أوليا. بينما في القرن التاسع عشر، اعتبره عدد من علماء الرياضيات أوليا. على سبيل المثال، اللائحة التي كونها ديريك نورمان ليهمر من الأعداد الأولية الأصغر من 10,006,721، والتي طبعت لآخر مرة في عام 1956، ابتدأت بالعدد 1. حتى القرن التاسع عشر، كان علماء الرياضيات يعتبرون 1 عددا أوليا، بما أن تعريف الأعداد الأولية كان آنذاك هو كل عدد لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. ويقال أن عالم الرياضيات هنري ليون لوبيغ هو آخر عالم رياضيات اعتبر 1 أوليا. رغم أن الجزء الكبير من الأعمال في الرياضيات يبقى صحيحا إذا اعتُبر 1 عددا أوليا، ولكن المبرهنة الأساسية في الحسابيات لا تبقى صحيحة. على سبيل المثال، العدد 15 يمكن أن يُعمّل إلى 3×5 أو إلى 1×3×5. إذا كان 1 أوليا، هذان الشكلان الاثنان مختلفان عن بعضما البعض مما يجعل نص المبرهنة خاطئا. بالإضافة إلى ذلك، للأعداد الأولية مجموعة من الخصائص لا يملكها العدد 1. من بينها العلاقة التي تربط عددا ما بقيمة دالة مؤشر أويلر أو بدالة مجموع القواسم.
شرح مبسط
تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات
شاركنا رأيك
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع [ تعرٌف على ] عدد أولي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 10/11/2023
اعلانات العرب الآن