[ تعرٌف على ] متسلسلة تايلور # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | متسلسلة تايلور

متسلسلة ماكلورين

إذا كانت
x 0
=
0 {\displaystyle x_{0}=0\,} في متسلسلة تايلور، يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين:
T n
(
x
)
= ∑ k
=
0
n
f k
(
0
)
k
!
x k
{\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{k}(0)}{k!}}x^{k}}
أو
T n
(
x
)
=
f
(
0
)
+
f
′ (
0
)
1
! x
+
f
″ (
0
)
2
!
x 2
+
⋯
+
f n
(
0
)
n
!
x n
{\displaystyle T_{n}(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {f^{n}(0)}{n!}}x^{n}}

سلاسل ماكلورين لبعض الدوال المألوفة

طالع أيضًا: قائمة المتسلسلات الرياضياتية
الجزء الحقيقي من دالة جيب التمام في المستوى العقدي.
تقريب من الدرجة الثامنة لدالة جيب التمام في المستوى العقدي.
فيما يلي بعض من منشورات ماكلورين. المتسلسلات مشروعة حتى في المستوى العقدي ل x. الدالة الأسية
متسلسلة ماكلورين للدالة الأسية
e x
{\displaystyle e^{x}} ذات القاعدة e هي كما يلي:
e x
= ∑ n
=
0
∞ x n n
! =
1
+
x
+ x 2 2
! + x 3 3
! +
⋯
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }
هذه المتسلسلة تتقارب مهما كانت قيمة x. اللوغاريتم الطبيعي
لوغاريتم طبيعي (بقاعدة e) لها متسلسلة تايلور بالنسبة للمتسلسلة الأولى ومتسلسلة ماكلورين للثانية والثالثة. ln
⁡
(
x
) =
− ∑ n
=
1
∞ (
1
−
x ) n n
=
−
(
1
−
x
)
− (
1
−
x ) 2 2
− (
1
−
x ) 3 3
−
⋯
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-x)^{n}}{n}}=-(1-x)-{\frac {(1-x)^{2}}{2}}-{\frac {(1-x)^{3}}{3}}-\cdots ,\\\end{aligned}}}
ln
⁡
(
1
−
x
) =
− ∑ n
=
1
∞ x n
n
=
−
x
− x 2
2
− x 3
3
−
⋯
,
ln
⁡
(
1
+
x
) = ∑ n
=
1
∞
(
−
1 ) n
+
1 x n
n
=
x
− x 2
2
+ x 3
3
−
⋯
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}
وتتقارب ل
| x | <
1
{\displaystyle |x|<1} . (بالإضافة فإن متسلسلة ln(1 − x) تتقارب ل x = −1, والمتسلسلة ل ln(1 + x) تتقارب ل x = 1.) متسلسلات هندسية 1
− x m
+
1
1
−
x = ∑ n
=
0
m x n for
x
≠
1 and m
∈
N
0 {\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad {\mbox{ for }}x\not =1{\text{ and }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}
متسلسلات هندسية لانهائية: 1 1
−
x = ∑ n
=
0
∞ x n for
| x | <
1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}{\text{ for }}|x|<1\!}
1
x
= ∑ n
=
0
∞
(
1
−
x ) n for
| x | >
0 {\displaystyle {\frac {1}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }(1-x)^{n}{\text{ for }}|x|>0\!} x m 1
−
x = ∑ n
=
m
∞ x n for | x | <
1 and m
∈
N
0 {\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1{\text{ and }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}
x (
1
−
x ) 2 = ∑ n
=
1
∞
n x n
for
| x | <
1 {\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}
1 (
1
−
x ) 2 = ∑ n
=
1
∞
n x n
−
1
for
| x | <
1 {\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}
الجذر التربيعي: 1
+
x
= ∑ n
=
0
∞ (
−
1 ) n
(
2
n
)
!
(
1
−
2
n
)
(
n
! ) 2
( 4 n
)
x n
=
1
+ 1
2
x
−
1
8 x 2
+
1
16 x 3
−
5
128 x 4
+
… for
| x | ≤
1 {\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots {\text{ for }}|x|\leq 1}
متسلسلة كثيرة حدود (متضمنة الجذور التربيعية ذات α = 1/2 والمتسلسلة الهندسية اللانهائية لـ α = −1): متسلسلة المعامل الثنائي
(
1
+
x ) α
= ∑ n
=
0
∞ (
α
n
)
x n for all | x | <
1
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ for all }}|x|<1} (
α
n
) = ∏ k
=
1
n α
−
k
+
1 k
= α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
n
+
1
)
n
! {\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}
حيث α {\displaystyle \alpha \!} عدد عقدي. دوال مثلثية
sin
⁡
x
= ∑ n
=
0
∞ (
−
1 ) n
(
2
n
+
1
)
!
x 2
n
+
1
=
x
− x 3 3
! + x 5 5
! −
⋯ for all x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}
cos
⁡
x
= ∑ n
=
0
∞ (
−
1 ) n
(
2
n
)
!
x 2
n
=
1
− x 2 2
! + x 4 4
! −
⋯ for all x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}
tan
⁡
x
= ∑ n
=
1
∞
B 2
n
(
−
4 ) n
(
1
− 4 n
)
(
2
n
)
!
x 2
n
−
1
=
x
+ x 3
3
+ 2 x 5 15
+
⋯ for
| x | <
π
2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
حيث Bs هي أعداد بيرنولي.
sec
⁡
x
= ∑ n
=
0
∞ (
−
1 ) n E 2
n
(
2
n
)
!
x 2
n for
| x | <
π
2 {\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
arcsin
⁡
x
= ∑ n
=
0
∞ (
2
n
)
! 4 n
(
n
! ) 2
(
2
n
+
1
)
x 2
n
+
1 for
| x | ≤
1 {\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}
arccos
⁡
(
x
)
=
π
2
−
arcsin
⁡
(
x
)
=
arcsin
⁡
(
1
)
−
arcsin
⁡
(
x
)
= ∑ n
=
0
∞ (
2
n
)
! 4 n
(
n
! ) 2
(
2
n
+
1
)
1 2
n
+
1
− ∑ n
=
0
∞ (
2
n
)
! 4 n
(
n
! ) 2
(
2
n
+
1
)
x 2
n
+
1
= ∑ n
=
0
∞ (
2
n
)
! 4 n
(
n
! ) 2
(
2
n
+
1
) 1
− ∑ n
=
0
∞ (
2
n
)
! 4 n
(
n
! ) 2
(
2
n
+
1
)
x 2
n
+
1
= ∑ n
=
0
∞ (
2
n
)
! 4 n
(
n
! ) 2
(
2
n
+
1
) (
1
− x 2
n
+
1
) for
| x | ≤
1 {\displaystyle \arccos(x)={\pi \over 2}-\arcsin(x)=\arcsin(1)-\arcsin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}1^{2n+1}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}1-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}(1-x^{2n+1}){\text{ for }}|x|\leq 1\!}
arctan
⁡
x
= ∑ n
=
0
∞ (
−
1 ) n
2
n
+
1
x 2
n
+
1 for
| x | ≤
1 {\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}
دوال زائدية
sinh
⁡
x
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n
+
1 (
2
n
+
1
)
! =
x
+ x 3 3
! + x 5 5
! +
⋯ for all x {\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots {\text{ for all }}x\!}
cosh
⁡
x
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n (
2
n
)
! =
1
+ x 2 2
! + x 4 4
! +
⋯ for all x {\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots {\text{ for all }}x\!}
tanh
⁡
x
= ∑ n
=
1
∞
B 2
n 4 n
( 4 n
−
1
)
(
2
n
)
!
x 2
n
−
1
=
x
−
1
3 x 3
+
2
15 x 5
−
17
315 x 7
+
⋯ for
| x | <
π
2 {\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!} a
r
s
i
n
h (
x
)
= ∑ n
=
0
∞ (
−
1 ) n
(
2
n
)
! 4 n
(
n
! ) 2
(
2
n
+
1
)
x 2
n
+
1 for
| x | ≤
1 {\displaystyle \mathrm {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!} a
r
t
a
n
h (
x
)
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n
+
1 2
n
+
1
for
| x | <
1 {\displaystyle \mathrm {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\text{ for }}|x|<1\!}

مقارنة مع متسلسلة فورييه

المقالة الرئيسة: متسلسلة فورييه

تطبيقات متسلسلة تايلور

لمتسلسلة تايلور عدة منافع لعل أهمها أنها تسمح بالتعبير عن أي دالة رياضية عن طريق كثير الحدود فيمكننا ذلك من إيجاد حلول تقريبية لمسألة ما إذا كان الحل الدقيق مستعصيا. كما تكتسب متسلسلة تايلور أهمية كبرى في الرياضيات الرقمية حيث تقوم العديد من الخوارزميات المعتمدة لحل المعادلات هناك على متسلسلة تايلور. يجدر بالإشارة أن كل التطبيقات العملية هي تطبيقات للمتسلسلة المنتهية مما يحتم أن نأخذ بعين الاعتبار الدقة التي نريد أن نصل إليها في حلنا لمعادلة ما. ففي حين أن نظام هبوط الطائرات الآلي يتحمل خطئا بين متر أو مترين في موقع الهبوط فإن موضع الرأس الذي يقرأ المعطيات من إسطوانة لا يقبل إلا خطأ في حدود جزء من المليون من المتر.

تعريف

متسلسلة تايلور المنتهية
إذا كانت الدالة الرياضية (f(x قابلة للاشتقاق n مرة في النقطة
x
0 {\displaystyle {x}_{0}\!} فإنه يمكن كتابتها كما يلي: f
(
x
)
= T n
(
x
)
+ R n
(
x
) {\displaystyle f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)\!}
حيث
T n
(
x
) {\displaystyle T_{n}(x)\!} يدعى بمتسلسلة تايلور وتساوي:
T n
(
x
)
= ∑ k
=
0
n
f k
( x 0
)
k
! (
x
− x 0 ) k
{\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}}
أو
T n
(
x
)
=
f
( x 0
)
+
f
′ ( x 0
)
1
! (
x
− x 0
)
+
f
″ ( x 0
)
2
! (
x
− x 0 ) 2
+
⋯
+
f n
( x 0
)
n
! (
x
− x 0 ) n
{\displaystyle T_{n}(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\cdots +{\frac {f^{n}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}
و يمكن اعتبار متعدد الحدود
T n
(
x
) {\displaystyle T_{n}(x)\,} تقريبا للدالة f في النقطة
x 0
{\displaystyle x_{0}} متسلسلة تايلور اللامنتهية
إذا اعتُبرت المتسلسلة المنتهية لتايلور وعوضت n بلانهاية فإنه يُحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f أي أن الجزء
R n
(
x
) {\displaystyle R_{n}(x)\!} يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط x.
T n
(
x
)
= ∑ k
=
0
∞
f k
( x 0
)
k
! (
x
− x 0 ) k
{\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}}
أو
T n
(
x
)
=
f
( x 0
)
+
f
′ ( x 0
)
1
! (
x
− x 0
)
+
f
″ ( x 0
)
2
! (
x
− x 0 ) 2
+
⋯
{\displaystyle T_{n}(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\cdots }

حساب متسلسلة تايلور

في التحليل الرياضي، تعطي مبرهنة تايلور تقريبا لتابع قابل للمفاضلة قرب نقطة ما عن طريق كثير حدود معاملاته تعتمد على مشتقات التابع في تلك النقطة. المثال الأكثر بساطة هو الدالة الأسية قرب النقطة صفر:
e x
= ∑ n
=
0
∞ x n n
! =
1
+
x
+ x 2 2
! + x 3 3
! +
⋯
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }

دوال تحليلية

المقالة الرئيسة: دالة تحليلية
إذا عُرفت دالة ما بواسطة متسلسة متقاربة للقوى في قرص مفتوح في المستوى العقدي (أو مجال على مستقيم الأعداد الحقيقية)، مركزه هو b، فإنه يقال عنها أنها دالة تحليلية إذا وفقط إذا اقتربت متسلسلة تايلور من هذه الدالة عند جميع نقط هذا القرص. f
(
x
)
= ∑ n
=
0
∞ a n
(
x
−
b ) n
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}.}
اشتقاق هذه الدالة n مرة ثم تعويض x ب b يعطي ما يلي: f (
n
)
(
b
)
n
! = a n
{\displaystyle {\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}}
إذا كانت الدالة f (x) مساوية لمتسلسلة تايلور عند كل نقطة x من المستوى العقدي، حينئذ يقال عن هذه الدالة أنها دالة كاملة. الدوال الحدودية والدالة الأسية ex والدالتان المثلثيتان الجيب والجيب التمام كلهن أمثلة عن الدوال الكاملة. دالة الجذر التربيعي واللوغاريتم والدالة المثلثية الظل ومعكوسها "قوس الظل"، كلهن أمثلة عن الدوال غير الكاملة. انظر إلى نصف قطر التقارب.

تاريخ

فكر في جمع متسلسلة غير منتهية عالم الرياضيات الإغريقي زينون الإيلي. ولكنه سرعان ما ترك هذا الأمر، مما أعطاه مفارقة من مفارقاته المعروفة باسم مفارقات زينون. خلال القرن السابع عشر، عمل جيمس غريغوري على هذا المجال، ونشر عدة أمثلة لهؤلاء المتسلسلات في النقطة الصفر. في عام 1715، نشر بروك تايلور طريقة عامة تمكن من إنشاء هؤلاء المتسلسلات بالنسبة لجميع الدوال. نتيجة لذلك، سمين نسبة إليه.

متسلسلة تايلور بعدة متغيرات

T
( x 1
,
…
, x d
) = ∑
n 1
=
0
∞
⋯ ∑
n d
=
0
∞ ( x 1
− a 1 )
n 1
⋯
( x d
− a d )
n d n 1
!
⋯ n d
! (
∂
n 1
+
⋯
+ n d
f
∂ x 1 n 1
⋯
∂ x d n d ) ( a 1
,
…
, a d
)
=
f
( a 1
,
…
, a d
)
+ ∑ j
=
1
d ∂
f
( a 1
,
…
, a d
)
∂ x j ( x j
− a j
)
+
1 2
!
∑ j
=
1
d ∑ k
=
1
d
∂ 2
f
( a 1
,
…
, a d
)
∂ x j
∂ x k ( x j
− a j
)
( x k
− a k
)
+
1 3
!
∑ j
=
1
d ∑ k
=
1
d ∑ l
=
1
d
∂ 3
f
( a 1
,
…
, a d
)
∂ x j
∂ x k
∂ x l ( x j
− a j
)
( x k
− a k
)
( x l
− a l
)
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{aligned}}}

شرح مبسط

في الرياضيات، مجموع تايلور أو متسلسلة تايلور (بالإنجليزية: Taylor series)‏ هو تمثيل لدالة رياضية في شكل متسلسلة متكونة من حدود حُسبن باستعمال قيم اشتقاق هذه الدالة في نقطة معينة.