[ تعرٌف على ] مبرهنة الفردية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | مبرهنة الفردية

الإثبات

في الكهروستاتيكا التعبير العام لمعادلة بواسون بالوحدات الفيزيائية الجاوسية هو
∇ ⋅
(
ϵ ∇ φ
)
=
−
4
π ρ f
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \varphi )=-4\pi \rho _{f}}
حيث φ
{\displaystyle \varphi } هو الجهد الكهربائي .
E =
− ∇ φ
{\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi } هو المجال الكهربي . ويتم إثبات النظرية الفردية لمعادلة بواسون بطرق كثيرة منها ما يلي . نفترض وجود حلان لمعادلة ما هما
φ 1
{\displaystyle \varphi _{1}} و
φ 2
{\displaystyle \varphi _{2}} , و ϕ
{\displaystyle \phi } هو الفرق بين قيمة الحلين ϕ
= φ 2
− φ 1
{\displaystyle \phi =\varphi _{2}-\varphi _{1}} . وبما أن
φ 1
{\displaystyle \varphi _{1}} و
φ 2
{\displaystyle \varphi _{2}} تحققان معادلة بواسون . فيجب بالضرورة أن تحققها ϕ
{\displaystyle \phi } .
∇ ⋅
(
ϵ ∇ ϕ
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=0}
وباستخدام التعريف ∇
⋅
(
ϕ
ϵ ∇
ϕ
)
=
ϵ (
∇
ϕ ) 2
+
ϕ
∇
⋅
(
ϵ ∇
ϕ
)
{\displaystyle \nabla \cdot (\phi \epsilon \,\nabla \phi )=\epsilon \,(\nabla \phi )^{2}+\phi \nabla \cdot (\epsilon \,\nabla \phi )}
وعند الأخذ في الاعتبار أن قيمة الحد الثاني يساوي 0 . يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي:
∇ ⋅
(
ϕ
ϵ ∇ ϕ
)
=
ϵ
( ∇ ϕ ) 2
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )=\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}}
وبأخذ التكامل الحجمي تكون المعادلة بالشكل التالي:
∫ V ∇ ⋅
(
ϕ
ϵ ∇ ϕ
) d 3 r = ∫ V
ϵ
( ∇ ϕ ) 2
d 3 r {\displaystyle \int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )d^{3}\mathbf {r} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }
وبتطبيق نظرية جاوس يمكن كتابه المعادلة بالشكل التالي:
∑ i ∫
S i
(
ϕ
ϵ ∇ ϕ
)
⋅ d
S = ∫ V
ϵ
( ∇ ϕ ) 2
d 3 r {\displaystyle \sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =\int _{V}\epsilon (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }
حيث
S i
{\displaystyle S_{i}} هي حدود الأسطح التي تحددها الشروط الحدية . وبما أن ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0} و ( ∇ ϕ ) 2
≥
0
{\displaystyle (\mathbf {\nabla } \phi )^{2}\geq 0} إذا
∇ ϕ
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \phi } يجب أن تكون مساوية للصفر في أي مكان، وتكون
∇
φ 1
= ∇
φ 2
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi _{1}=\mathbf {\nabla } \varphi _{2}} . وهذا يعني أن المعادلة لها تدرج واحد فريد عندما تكون
∑ i ∫
S i
(
ϕ
ϵ
∇ ϕ
)
⋅ d
S =
0
{\displaystyle \sum _{i}\int _{S_{i}}(\phi \epsilon \,\mathbf {\nabla } \phi )\cdot \mathbf {dS} =0}
بشرط أن يكون: φ
{\displaystyle \varphi } معرفة على كل حدود السطح، وتكون
φ 1
= φ 2
{\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}} , وبالتالي تصبح ϕ
=
0
{\displaystyle \phi =0} . ∇ φ
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi } معرفة على كل حدود السطح، وتكون
∇
φ 1
= ∇
φ 2
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi _{1}=\mathbf {\nabla } \varphi _{2}} , وبالتالي تصبح
∇ ϕ
=
0
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \phi =0} .
أن تحقق
∇ φ
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi } قانون جاوس

شرح مبسط

نظرية الفردية لمعادلة بواسون هي نظرية تنص على أن المعادلة لها تدرج واحد فريد في مسائل القيم الحدية , وفي حالة الكهروستاتيكا إذا وجد حقل كهربائي يحقق الشروط الحدية , يكون هذا الحقل هو الحقل الكهربائي الكامل .