اليوم: السبت 27 ابريل 2024 , الساعة: 4:52 م
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
اخر المشاهدات
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ناصر سعود عباد العتيبي ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات السويدية السلوفينية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات المالديفية السلوفاكية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] تشارلز كندال المحدودة للشحن ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] تسامت # اخر تحديث اليوم 2024-03-17
- [ شركات المطاعم العربية والاجنبية قطر ] كافيه شيك ShakeTastic Qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فهد عيد مرضي العصيمي ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ المركبات الامارات ] قصر الزيتون لصيانة السيارات ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ المركبات الامارات ] خط الصحراء للاطارات فرع 1 ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سامي محمد ستر الجعيد ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مدن أجنبية ] مدينة نانت الفرنسية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المدارس الخاصة والمستقلة قطر ] مدرسة جاسم بن حمد الثانوية المستقلة للبنين Jassim Bin Hamad Secondary Independent School ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ سياحة وترفيه الامارات ] المستقله للسياحه ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل العين الامارات ] بيت الزيتون ... العين # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] جامعة نويفو ليون المستقلة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أطباق خليجية ] طريقة الهريس بالدجاج # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] المتقدمة للمظلات و القرميد acs qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ خدمات السعودية ] طريقة ورابط حجز اسم تجاري أجنبي في السعودية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] هيئة الشارقة للكتاب # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد مشعان عواض المطيري ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] كافتيريا زيتون العرب ذ.م.م ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أمراض الحمل والولادة ] ما هي أعراض الحمل خارج الرحم # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] شركة كيو أف ايه للاستشارات المالية ذ.م.م ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ المجموعة الشمسية ] 3 من أهم المعلومات عن القمر # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] ستارت رايت للاستشارات المالية والادارية ذ م م ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] الشركة الوطنية المالية للصرافة ذ.م.م ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المدارس الخاصة والمستقلة قطر ] حضانة بيتيت باس Petits Pas Nursery ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] شركة الأبواب العالمية د.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] شركة ثمانون عشرون لتقنية المعلومات ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ تعرٌف على ] العلاقات البلجيكية السلوفينية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] جيجو (مقاطعة مستقلة خاصة) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات السلوفينية النيبالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المواد الغذائية قطر ] زيزافون للمواد الغذائية Zyzafoun Food Trading ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم السعودية ] مطعم أوزون للمأكولات البحريه # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] حركة الناصريين المستقلين - المرابطون # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ معلومات عامة ] كيفية الهجرة الى كندا وسبل اللجوء اليها # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] معرض إندونيسيا الدولي للكتاب # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ سيارات الامارات ] عابرة الصحراء للنقليات العامة وحمل ونقل السيارات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مدن أجنبية ] مدن أستراليا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل عجمان الامارات ] زهرة الصحراء لتجارة الملابس الجاهزة ... عجمان # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] هرمون أجنبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] روبو الصحراء للهواتف النقالة ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات الابواب الاكترونية قطر ] أنظمة فالكون الأوتوماتيكية للأبواب FALCON AUTOMATIC DOOR SYSTEMS ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] بنجاب للتجارة والمقاولات PUNJAB TRADING & CONTRACTING ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟ # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ابراهيم سليمان ابراهيم الزامل ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ تعرٌف على ] العلاقات الإماراتية السلوفينية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] الهلابي للعود ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ دليل أبوظبي الامارات ] مصبغة الزيتون ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مناحي ناصر مناحي العتيبي ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أطباق الأرز ] 4 خطوات تحضير أرز السمك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] اضطهاد الصرب في دولة كرواتيا المستقلة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] فندق ريتز كارلتون ، مركز دبي المالي العالمي ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] شركة الناخبي للأوراق المالية ذ.م.م ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] مكتب احمد محفوظ للكتابة والتصوير المستندات ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] ارواد التجارية Arwad Trading & Contracting Co. ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل الشارقة الامارات ] معمل سدمارب للحبوب وعصير زيت السمسم ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] شركة الاجهزة والتجهيزات للتجارة ... الخفجي ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- مكتب الاسكلة للخدمات التجارية والشحن السريع - رقم تلفون الاسكلا الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-02-23
- تفسير آية ثم يأتي من بعد ذلك عام فيه يغاث الناس وفيه يعصرون # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- فوائد واضرار كريم ثرومبكس Thrombex # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ تعرٌف على ] جائزة الروح المستقلة لأفضل أول فيلم # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] BADR Contracting and Trading بدر للمقاولات و التجارة ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم الامارات ] فريشي مركز دبي المالي العالمي ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات المغربية السلوفينية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] ماكرومارت ذ.م.م ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ربيع محمد خادم حسين قارىخياط ... مكه المكرمه ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] باريكس PAREX QATAR ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] وجود ... المدينة المنورة ... منطقة المدينة المنورة # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ خذها قاعدة ] إذا استطعت العثور على طريق خالٍ من المعوقات، فهو غالبا لا يؤدّي إلى أي مكان. - فرانك كلارك (كاتب أمريكي) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دول أجنبية ] ما هي دول الشنغن # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- زاوية كنتة السكان والمساحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-25
- [ دليل أم القيوين الامارات ] الشهاب للإطارات وخدمة تغيير الزيت ... ام القيوين # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المدارس الخاصة والمستقلة قطر ] حضانة كوالا koala nursery ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المواد الغذائية قطر ] مركز الحبارى التجاري ذ م م AL HABARI TRADING CENTRE WLL ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] المنصور (بودة) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] مركز المستقلة للمواد الغذائية ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] شركة سطوع لتقنية المعلومات ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-02-13
- [ تعرٌف على ] اختبار الحمل # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مراكز التدريب والتطوير قطر ] هاى تك للتدريب Hi-Tech Training Center Qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] كلاركسبورغ (تينيسي) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم السعودية ] طرابزون مشاوي و فطائر # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] زاوية كنتة # اخر تحديث اليوم 2024-04-25
- [ تعرٌف على ] زاوية كنتة # اخر تحديث اليوم 2024-04-25
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟ # اخر تحديث اليوم 2024-02-13
- [ مؤسسات البحرين ] قصر روما للهواتف ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ معدات السلامة والأمن والإشارات المرورية و تجارة قطر ] انفال للأبواب والأنظمة الأوتوماتيكية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] المنصور فخر الدين عثمان # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الاتحاد الوطني للكتاب في أوكرانيا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] مؤسسة توكيلات التقنية للاتصالات وتقنية المعلومات ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-02-13
- [ تعرٌف على ] أبو جعفر المنصور # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أطباق خليجية ] طريقة طبخ الكبسة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] مطعم الزيتون ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سعود عبدالعزيز علي الضويان ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] كلاركسفيل (أوهايو) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مقاولون السعودية ] مؤسسة بن شجاع للمقاولات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] شركة دوال للتسويق ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- هل يتأثر غشاء البكارة باللمس؟ # اخر تحديث اليوم 2024-02-17
- [ تعرٌف على ] ميكروبات بشرية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] نايف عوض عقيل الحربي ... بريده ... منطقة القصيم # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
الأكثر قراءة
- مريم الصايغ في سطور
- سؤال و جواب | ما هى أسباب نزول الدم الاحمر بعد البراز؟ وهل هناك أسباب مرضية؟ وما الحل ؟
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً
- هل للحبة السوداء"حبة البركة "فوائد ؟
- كيف أتخلص من الغازات الكريهة التى تخرج مني باستمرار؟
- هناك ألم عندى فى الجانب الأيسر للظهر فهل من الممكن أن يكون بسبب الكلى ؟
- هل هناك علاج للصداع الئى أانيه فى الجانب الأيسر من الدماغ مع العين اليسرى ؟
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام»
- [ رقم تلفون ] مستر مندوب ... مع اللوكيشن المملكه العربية السعودية
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان
- نزع شوك السمك في المنام
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة
- ارقام وهواتف مستشفى الهلال الاحمر 34 ش رمسيس وسط البلد بالقاهرة
- جريمة قتل آمنة الخالدي تفاصيل الجريمة
- رسائل حب ساخنة للمتزوجين +18
- خليفة بخيت الفلاسي حياته
- تعرٌف على ... عائشة العتيبي | مشاهير
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟
- رقم هاتف مكتب النائب العام وكيفية تقديم بلاغ للنائب العام
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] شركة متجر كل شششي - المملكه العربية السعودية
- تفسير رؤية شخص اسمه محمد في المنام لابن سيرين
- ارقام وهواتف مطعم الشبراوى 33 ش احمد عرابى المهندسين, بالجيزة
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة
- ارقام وهواتف عيادة د. ياسر المليجى - 139 ش التحرير الدقى بالجيزة
- ارقام وهواتف مستشفى النور المحمدى الخيرى التخصصى المطرية, بالقاهرة
- تفسير رؤية الحشرات في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية
- قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟
- أعشاب تفتح الرحم للإجهاض
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟!
- قناة تمازيغت برامج القناة
- ارقام وهواتف مكتب صحة - السادس من اكتوبر ميدان الحصرى السادس من اكتوبر, بالجيزة
- سور القران لكل شهر من شهور الحمل
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين
- زخرفة اسماء تصلح للفيس بوك
- مدرسة ب/ 141 حكومي للبنات بجدة
- إلغ (برمجية) التاريخ
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان
- أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام
- تفسير حلم الكلب لابن سيرين
- [ رقم هاتف ] عيادة د. حازم ابو النصر - 20 ش عبد العزيز جاويش عابدين بالقاهرة
- انا بنت عندي 13 سنة لسة مجتليش الدورة الشهرية ......كنت ببات عند خالتي وكل ما
- هل تمرير الإصبع بشكل أفقي على فتحة المهبل يؤدي إلى فض غشاء البكارة؟
- [رقم هاتف] شركة الحراسة و التوظيف و التنظيف.. المغرب
- قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي
- ذا إكس فاكتور آرابيا فكرة البرنامج
- السلام عليكم ، أنا مشكلتي بصراحة الجنس من الخلف مع زوجي الأن صار ويحب حيل
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟
- لالة لعروسة (برنامج) الفائزون
- أنا حامل في الشهر الرابع وينزل مني دم .. هل هذا طبيعي؟
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها
- هل إدخال إصبع الزوج في مهبل الزوجة له أضرار؟
- تفسير حلم اصلاح الطريق في المنام
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة
- إيمان ظاظا حياتها ومشوارها المهني
- أهمية وضرورة إزالة الخيط الأسود من ظهر الجمبري
- اسماء فيس بنات مزخرفة | القاب بنات مزخرفه
- لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة
- تفسير رؤية المشاهير في المنام لابن سيرين
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن حرب 6 اكتوبر 1973 بالصور pdf doc -
- فوائد عشبة الفلية و الكمية المناسبة يوميا
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] شركة الرفق بالحيوان و الطبيعة.. المغرب
- كلمات - انت روحي - حمود السمه
- أعاني من لحمة زائدة في الدبر ، فلدي قطعة لحمية صغيرة في فتحة الشرج من الخارج
- ما الفرق بين الغشاء السليم وغير السليم؟
- تفسير حلم رؤية الإصابة بالرصاص في الكتف بالمنام
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟
- عمر فروخ
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة?
- إدمان الزوج للمواقع الإباحية: المشكلة والأسباب والعلاج
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء.
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام
- تظهر عندي حبوب في البظر والشفرتين بين حين وآخر.. هل لها مضاعفات، وما علاجها؟
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- الكرة الحديدية قواعد اللعبة
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن اللغة العربية والكفايات اللغويه -
- تفسير حلم رؤية الكنز فى المنام لابن سيرين
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟
روابط تهمك
مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع [ تعرٌف على ] دوال زائدية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 10/11/2023
[ تعرٌف على ] دوال زائدية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
آخر تحديث منذ 5 شهر و 18 يوم
1 مشاهدة
تم النشر اليوم 2024-04-27 | دوال زائدية
تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا.
كما نعلم من الدائرة، تمثل النقاط cos
(
t
)
,
sin
(
t
) {\displaystyle \cos(t),\sin(t)\,} دائرة الوحدة (نصف قطرها = 1)، بالمثل فإن النقاط cosh
(
t
)
,
sinh
(
t
) {\displaystyle \cosh(t),\sinh(t)\,} تشكل النصف الأيمن من القطع الزائد.
تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية. في التحليل المركب، هي ببساطة دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.
d d
x sinh
(
x
)
=
cosh
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)\,}
d d
x cosh
(
x
)
=
sinh
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)\,}
d d
x tanh
(
x
)
=
1
− tanh 2
(
x
)
= sech 2
(
x
)
=
1 /
cosh 2
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}}^{2}(x)=1/\cosh ^{2}(x)\,}
d d
x coth
(
x
)
=
1
− coth 2
(
x
)
=
− csch 2
(
x
)
=
−
1 /
sinh 2
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth(x)=1-\coth ^{2}(x)=-{\hbox{csch}}^{2}(x)=-1/\sinh ^{2}(x)\,}
d d
x
csch
(
x
)
=
−
coth
(
x
)
csch
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {csch} (x)=-\coth(x)\ \operatorname {csch} (x)\,}
d d
x
sech
(
x
)
=
−
tanh
(
x
)
sech
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {sech} (x)=-\tanh(x)\ \operatorname {sech} (x)\,}
d d
x
(
sinh −
1
x ) =
1
x 2
+
1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sinh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
d d
x
(
cosh −
1
x ) =
1
x 2
−
1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\cosh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d d
x
(
tanh −
1
x ) =
1 1
− x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\tanh ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}}
d d
x
(
csch −
1
x ) =
−
1
|
x
| 1
+ x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {csch} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
d d
x
(
sech −
1
x ) =
−
1 x
1
− x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {sech} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
d d
x
(
coth −
1
x ) =
1 1
− x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\coth ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}}
هناك طرق متكافئة مختلفة لتعريف الدوال الزائدية. بدلالة الدوال الأسية
sinh, cosh و tanh
csch, sech و coth
الدوال الزائدية هي: الجيب الزائدي:
sinh
x
=
e x
− e −
x 2
=
e 2
x
−
1
2 e x = 1
− e −
2
x
2 e −
x {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}}
جيب التمام الزائدي:
cosh
x
=
e x
+ e −
x 2
=
e 2
x
+
1
2 e x = 1
+ e −
2
x
2 e −
x {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}}
الظل الزائدي:
tanh
x
= sinh
x
cosh
x = e x
− e −
x 2
e x
+ e −
x 2 =
e x
− e −
x e x
+ e −
x =
e 2
x
−
1 e 2
x
+
1 {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
ظل التمام الزائدي:
coth
x
= cosh
x
sinh
x = e x
+ e −
x 2
e x
− e −
x 2 =
e x
+ e −
x e x
− e −
x =
e 2
x
+
1 e 2
x
−
1 {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
القاطع الزائدي:
sech
x
=
1 cosh
x =
2
e x
+ e −
x {\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}
قاطع التمام الزائدي:
csch
x
=
1 sinh
x =
2
e x
− e −
x {\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}
يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة أويلر.
لاحظ أنه من التعريف,
s
i
n
h 2
x {\displaystyle {\rm {sinh}}^{2}x\,} تعني (
s
i
n
h
x ) 2 {\displaystyle ({\rm {sinh}}x)^{2}\,} , ليس s
i
n
h
(
s
i
n
h
x
) {\displaystyle {\rm {sinh}}({\rm {sinh}}x)\,} ; وبالمثل للدوال الزائدية الأخرى والأسات الموجبة. بواسطة المعادلات الفاضلية
يمكن تعريف الدوال الزائدية حلولًا للمعادلات التفاضلية: دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان هما الحلان الوحيدتان (s, c) للجملة:
c
′ (
x
) =
s
(
x
) s
′ (
x
) =
c
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x)\\s'(x)&=c(x)\end{aligned}}}
بحيث s(0) = 0 و c(0) = 1. وهما أيضًا حلان وحيدان للمعادلة f ″(x) = f (x),
بحيث f (0) = 1, f ′(0) = 0 بالنسبة لجيب التمام الزائدي، و f (0) = 0, f ′(0) = 1 بالنسبة للجيب الزائدي. الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية لمسألة القيمة الحدية: 1
2 f
″ = f 3
−
f ; f
(
0
)
= f
′ (
∞
)
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0}
بواسطة الدوال المثلثية لعدد مركب
يمكن استنتاج الدوال الزائدية من الدوال المثلثية لعدد مركب: الجيب الزائدي:
sinh
x
=
−
i
sin
(
i
x
)
{\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)}
جيب التمام الزائدي:
cosh
x
=
cos
(
i
x
)
{\displaystyle \cosh x=\cos(ix)}
الظل الزائدي:
tanh
x
=
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)}
ظل التمام الزائدي:
coth
x
=
i
cot
(
i
x
)
{\displaystyle \coth x=i\cot(ix)}
القاطع الزائدي:
sech
x
=
sec
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)}
قاطع التمام الزائدي:
csch
x
=
i
csc
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)}
حيث i وحدة تخيلية معرفة بأنها i2 = −1. ترتبط التعريفات المذكورة أعلاه بالتعريفات الأسية عبر صيغة أويلر. تعريف بواسطة التكامل
يمكن إظهار أن مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى جيب التمام الزائدي خلال فترة محدودة تساوي دائمًا طول القوس المقابل لتلك الفترة:
area = ∫ a
b
cosh
x d
x
= ∫ a
b
1
+
( d d
x cosh
x )
2 d
x
= arc length. {\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}
تحليل الدالة الأسية في أجزائها الزوجية والفردية يعطي المتطابقات التالية:
e x
=
cosh
x
+
sinh
x {\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}
تشبه الأولى صيغة أويلر.
e −
x
=
cosh
x
−
sinh
x
. {\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!}
بالإضافة إلى
e x
=
1
+
tanh
x
1
−
tanh
x
= 1
+
tanh
x
2
1
−
tanh
x
2 {\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}
لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن تامة الشكل. وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:
e i
x
=
cos
x
+
i sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\;\sin x} e −
i
x
=
cos
x
−
i sin
x
{\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x}
وعليه: cosh
(
i
x
) =
1
2 (
e i
x
+ e −
i
x ) =
cos
x
sinh
(
i
x
) =
1
2 (
e i
x
− e −
i
x ) =
i
sin
x
cosh
(
x
+
i
y
) =
cosh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
sinh
(
x
)
sin
(
y
)
sinh
(
x
+
i
y
) =
sinh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
cosh
(
x
)
sin
(
y
)
tanh
(
i
x
) =
i
tan
x
cosh
x =
cos
(
i
x
)
sinh
x =
−
i
sin
(
i
x
)
tanh
x =
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}
وبالتالي، تعد الدوال الزائدية دوالاً دورية ذات دورة 2
π
i
{\displaystyle 2\pi i} ( π
i
{\displaystyle \pi i} بالنسبة لدالتي الظل وظل التمام الزائديتين). إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية للدوال الزائدية المركبة (العقدية) الواردة أدناه مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال المثلثية توضح العلاقات بينهما.
دوال زائدية في المستوى المركب sinh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sinh} (z)} cosh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {cosh} (z)} tanh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {tanh} (z)} coth
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {coth} (z)} sech
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sech} (z)} csch
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (z)}
القطاع الدائري (بالأصفر) والقطاع الزائدي (الشكل الأحمر + الشكل الأصفر). الدائرة والقطع الزائد الذي يمسها عند (1,1) يعرضان هندسة الدوال الدائرية بدلالة مساحة القطاع الدائري u والدوال الزائدية اعتمادًا على مساحة القطاع الزائدي u.
تمثل الدوال الزائدية امتدادًا لحساب المثلثات خارج الدوال الدائرية. كلا النوعين يعتمد على عُمدة، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية. بما أن مساحة قطاع دائري له نصف قطر r وزاوية u تساوي r2u/2، ستكون مساويا لـu عندما يكون r = √2. في الرسم التخطيطي، تكون مثل هذه الدائرة مماسية للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1 في (1,1). تمثل القطاع الأصفر والأحمر مساحة ومقدار زاوية. وبالمثل، فإن القطاعات الصفراء والحمراء معا تمثل مساحة ومقدار زاوية زائدية. يبلغ طول ساقي المثلثين القائمين التي تحتوي على الوتر على الشعاع المحدد للزوايا √2 مرة الدوال الدائرية والزائدية. الزاوية الزائدية هي مقياس ثابت بالنسبة إلى الدوران الزائدي [الإنجليزية]، تمامًا كما تكون الزاوية الدائرية ثابتة تحت الدوران الدائري. تعطي دالة غودرمان (تكامل دالة القاطع الزائدية والتي تساوي gd
x
=
arcsin
( tanh
x ) =
arctan
(
sinh
x
)
{\displaystyle \operatorname {gd} x=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan(\sinh x)} ) علاقة مباشرة بين الدوال الدائرية والدوال الزائدية التي لا تتضمن أعدادًا مركبة. الرسم البياني للدالة cosh (x/a) هو عبارة عن سلسلي، وهو منحنى يتكون من سلسلة منتظمة ووقابلة للانثناء ومعلقة بِحُرية بين نقطتين ثابتتين تحت ثقل منتظم.
من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة متسلسلة تايلور: sinh
x
=
x
+ x 3 3
! + x 5 5
! + x 7 7
! +
⋯
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n
+
1 (
2
n
+
1
)
! {\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cosh
x
=
1
+ x 2 2
! + x 4 4
! + x 6 6
! +
⋯
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n (
2
n
)
! {\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
tanh
x
=
x
− x 3
3
+ 2 x 5 15
− 17 x 7 315
+
⋯
= ∑ n
=
1
∞
2 2
n
( 2 2
n
−
1
) B 2
n x 2
n
−
1
(
2
n
)
! , |
x
| <
π
2
{\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
coth
x
=
1
x
+
x
3
− x 3
45
+ 2 x 5 945
+
⋯
=
1
x
+ ∑ n
=
1
∞
2 2
n B 2
n x 2
n
−
1
(
2
n
)
! ,
0
< |
x
| <
π
{\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (متسلسلة لوران)
sech x
=
1
− x 2
2
+ 5 x 4 24
− 61 x 6 720
+
⋯
= ∑ n
=
0
∞
E 2
n x 2
n
(
2
n
)
! , |
x
| <
π
2
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
csch x
= x −
1
−
x
6
+ 7 x 3 360
− 31 x 5 15120
+
⋯
= x −
1
+ ∑ n
=
1
∞ 2
(
1
− 2 2
n
−
1
) B 2
n x 2
n
−
1
(
2
n
)
! ,
0
< |
x
| <
π
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (متسلسلة لوران)
حيث
B n {\displaystyle B_{n}\,} هي عدد بيرنولي رقم n E n {\displaystyle E_{n}\,} هي عدد أويلر رقم n
لاتقل هذه الدوال شأنا عن الدوال المثلثية، إذ يمكن استخدامها في بعض مسائل التكامل كتعويض مناسب لإيجاد الحل، كما نشأت في بعض المعادلات التفاضلية الخطية كحل عام كما هو الحال في معادلة لابلاس في الإحداثيات الكارتيزية والتي أصبح لها تطبيقات عديدة في الفيزياء. في علم الميكانيكا أيضا كان حساب طول السلاسل المعلقة بشكل حر يجري بشكل متسلسلة قبل التوصل لهذه الدوال. تنمذج محددات خطوط نقل الكهرباء بواسطة دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان.
المقالة الرئيسة: دوال زائدية عكسية
arsinh
x
=
ln
( x
+ x 2
+
1 ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
arcosh
x
=
ln
( x
+ x 2
−
1 ) ;
x
≥
1
{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}
artanh
x
=
1
2
ln
1
+
x
1
−
x ; |
x
| <
1
{\displaystyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};\left|x\right|<1}
arsech
x
=
ln
1
+
1
− x 2 x
;
0
<
x
≤
1
{\displaystyle \operatorname {arsech} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0
arcsch
x
=
ln
( 1
x
+ 1
+ x 2
|
x
|
) {\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)}
arcoth
x
=
1
2
ln
x
+
1
x
−
1 ; |
x
| >
1
{\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};\left|x\right|>1}
sinh
a
x d
x
=
1
a
cosh
a
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C}
∫
cosh
a
x d
x
=
1
a
sinh
a
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C}
∫
tanh
a
x d
x
=
1
a
ln
(
cosh
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \tanh ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\cosh ax)+C}
∫
coth
a
x d
x
=
1
a
ln
(
sinh
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \coth ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\sinh ax)+C}
∫
sech x d
x
=
arctan (
sinh
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C}
∫
csch x d
x
=
ln
| tanh
x
2 | +
C
, for x
≠
0
{\displaystyle \int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0}
∫ d
u a 2
+ u 2 = sinh −
1
(
u
a
) +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫ d
u u 2
− a 2 = cosh −
1
(
u
a
) +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫ d
u a 2
− u 2 =
1
a tanh −
1
(
u
a
) +
C
; u 2
< a 2
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2} ∫ d
u a 2
− u 2 =
1
a coth −
1
(
u
a
) +
C
; u 2
> a 2
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}}
∫ d
u
u a 2
− u 2 =
−
1
a sech −
1
(
u
a
) +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫ d
u
u a 2
+ u 2 =
−
1
a csch −
1
|
u
a
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C} في التعابير السابقة، يدعى C بثابت التكامل.
في الحقيقة يمكن التحويل بين المتطابقات المثلثية والمتطابقات الزائدية باستعمال قاعدة أوسبورن التي تنص على هذه الإمكانية عن طريق نشر المتطابقة كليا في حدود قوى تكاملات للجيب وجيب التمام، وبتغيير sin إلى sinh و cos إلى cosh، وتبديل الإشارة لكل حد يحوي مضروب من 2، 6، 10، 14،... جيب زائدي. الدوال الزوجية والفردية: sinh
(
−
x
) =
−
sinh
x
cosh
(
−
x
) =
cosh
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}
ومنهم: tanh
(
−
x
) =
−
tanh
x
coth
(
−
x
) =
−
coth
x
sech
(
−
x
) =
sech
x
csch
(
−
x
) =
−
csch
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}
وبالتالي، cosh x و sech x هي دوال زوجية؛ بينما الدوال الأخرى هي دوال فردية. تلبي دالتا جيب وجيب التمام الزائديان: cosh
x
+
sinh
x = e x
cosh
x
−
sinh
x = e −
x cosh 2
x
− sinh 2
x =
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}}
تشبه الأخيرة متطابقة فيثاغورس المثلثية. لدينا أيضا:
sech 2
x =
1
− tanh 2
x csch 2
x = coth 2
x
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}
بالنسبة إلى الدوال الأخرى. صيغ الجمع
sinh
(
x
+
y
) =
sinh
x
cosh
y
+
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
+
y
) =
cosh
x
cosh
y
+
sinh
x
sinh
y
tanh
(
x
+
y
) = tanh
x
+
tanh
y
1
+
tanh
x
tanh
y {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
لدينا أيضا: sinh
x
+
sinh
y =
2
sinh
( x
+
y 2
) cosh
( x
−
y 2
) cosh
x
+
cosh
y =
2
cosh
( x
+
y 2
) cosh
( x
−
y 2
) {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
صيغ ضعف الزاوية
cosh
(
2
x
) = sinh 2
x + cosh 2
x =
2 sinh 2
x
+
1
=
2 cosh 2
x
−
1
sinh
(
2
x
) =
2
sinh
x
cosh
x
tanh
(
2
x
) = 2
tanh
x
1
+ tanh 2
x {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}
صيغ الطرح
sinh
(
x
−
y
) =
sinh
x
cosh
y
−
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
−
y
) =
cosh
x
cosh
y
−
sinh
x
sinh
y
tanh
(
x
−
y
) = tanh
x
−
tanh
y
1
−
tanh
x
tanh
y {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
أيضا: sinh
x
−
sinh
y =
2
cosh
( x
+
y 2
) sinh
( x
−
y 2
) cosh
x
−
cosh
y =
2
sinh
( x
+
y 2
) sinh
( x
−
y 2
) {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
صيغ نصف الزاوية
sinh
(
x
2
)
= sinh
(
x
)
2
(
cosh
x
+
1
) =
sgn
x cosh
x
−
1 2 cosh
(
x
2
)
=
cosh
x
+
1 2 tanh
(
x
2
)
= sinh
x
cosh
x
+
1 =
sgn
x cosh
x
−
1
cosh
x
+
1
=
e x
−
1 e x
+
1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh(x)}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}
حيث sgn هي دالة الإشارة. إذا كان x ≠ 0، فإن: tanh
(
x
2
) = cosh
x
−
1
sinh
x =
coth
x
−
csch
x
{\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}
الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة أو الدوال الهُذْلولية [1] (بالإنجليزية: Hyperbolic functions) في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية (أو الدائرية)، لكنها معرفة بواسطة القطع الزائد بدلاً من الدائرة: تمامًا كما تشكل النقاط (cos t , sin t) دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط (cosh t , sinh t) النصف الأيمن من القطع الزائد.[2][3][4]
سبب التسمية
تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا.
كما نعلم من الدائرة، تمثل النقاط cos
(
t
)
,
sin
(
t
) {\displaystyle \cos(t),\sin(t)\,} دائرة الوحدة (نصف قطرها = 1)، بالمثل فإن النقاط cosh
(
t
)
,
sinh
(
t
) {\displaystyle \cosh(t),\sinh(t)\,} تشكل النصف الأيمن من القطع الزائد.
تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية. في التحليل المركب، هي ببساطة دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.
المشتقات
d d
x sinh
(
x
)
=
cosh
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)\,}
d d
x cosh
(
x
)
=
sinh
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)\,}
d d
x tanh
(
x
)
=
1
− tanh 2
(
x
)
= sech 2
(
x
)
=
1 /
cosh 2
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}}^{2}(x)=1/\cosh ^{2}(x)\,}
d d
x coth
(
x
)
=
1
− coth 2
(
x
)
=
− csch 2
(
x
)
=
−
1 /
sinh 2
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth(x)=1-\coth ^{2}(x)=-{\hbox{csch}}^{2}(x)=-1/\sinh ^{2}(x)\,}
d d
x
csch
(
x
)
=
−
coth
(
x
)
csch
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {csch} (x)=-\coth(x)\ \operatorname {csch} (x)\,}
d d
x
sech
(
x
)
=
−
tanh
(
x
)
sech
(
x
) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {sech} (x)=-\tanh(x)\ \operatorname {sech} (x)\,}
d d
x
(
sinh −
1
x ) =
1
x 2
+
1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sinh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
d d
x
(
cosh −
1
x ) =
1
x 2
−
1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\cosh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d d
x
(
tanh −
1
x ) =
1 1
− x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\tanh ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}}
d d
x
(
csch −
1
x ) =
−
1
|
x
| 1
+ x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {csch} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
d d
x
(
sech −
1
x ) =
−
1 x
1
− x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {sech} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
d d
x
(
coth −
1
x ) =
1 1
− x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\coth ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}}
تعريفات
هناك طرق متكافئة مختلفة لتعريف الدوال الزائدية. بدلالة الدوال الأسية
sinh, cosh و tanh
csch, sech و coth
الدوال الزائدية هي: الجيب الزائدي:
sinh
x
=
e x
− e −
x 2
=
e 2
x
−
1
2 e x = 1
− e −
2
x
2 e −
x {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}}
جيب التمام الزائدي:
cosh
x
=
e x
+ e −
x 2
=
e 2
x
+
1
2 e x = 1
+ e −
2
x
2 e −
x {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}}
الظل الزائدي:
tanh
x
= sinh
x
cosh
x = e x
− e −
x 2
e x
+ e −
x 2 =
e x
− e −
x e x
+ e −
x =
e 2
x
−
1 e 2
x
+
1 {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
ظل التمام الزائدي:
coth
x
= cosh
x
sinh
x = e x
+ e −
x 2
e x
− e −
x 2 =
e x
+ e −
x e x
− e −
x =
e 2
x
+
1 e 2
x
−
1 {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
القاطع الزائدي:
sech
x
=
1 cosh
x =
2
e x
+ e −
x {\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}
قاطع التمام الزائدي:
csch
x
=
1 sinh
x =
2
e x
− e −
x {\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}
يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة أويلر.
لاحظ أنه من التعريف,
s
i
n
h 2
x {\displaystyle {\rm {sinh}}^{2}x\,} تعني (
s
i
n
h
x ) 2 {\displaystyle ({\rm {sinh}}x)^{2}\,} , ليس s
i
n
h
(
s
i
n
h
x
) {\displaystyle {\rm {sinh}}({\rm {sinh}}x)\,} ; وبالمثل للدوال الزائدية الأخرى والأسات الموجبة. بواسطة المعادلات الفاضلية
يمكن تعريف الدوال الزائدية حلولًا للمعادلات التفاضلية: دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان هما الحلان الوحيدتان (s, c) للجملة:
c
′ (
x
) =
s
(
x
) s
′ (
x
) =
c
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x)\\s'(x)&=c(x)\end{aligned}}}
بحيث s(0) = 0 و c(0) = 1. وهما أيضًا حلان وحيدان للمعادلة f ″(x) = f (x),
بحيث f (0) = 1, f ′(0) = 0 بالنسبة لجيب التمام الزائدي، و f (0) = 0, f ′(0) = 1 بالنسبة للجيب الزائدي. الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية لمسألة القيمة الحدية: 1
2 f
″ = f 3
−
f ; f
(
0
)
= f
′ (
∞
)
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0}
بواسطة الدوال المثلثية لعدد مركب
يمكن استنتاج الدوال الزائدية من الدوال المثلثية لعدد مركب: الجيب الزائدي:
sinh
x
=
−
i
sin
(
i
x
)
{\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)}
جيب التمام الزائدي:
cosh
x
=
cos
(
i
x
)
{\displaystyle \cosh x=\cos(ix)}
الظل الزائدي:
tanh
x
=
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)}
ظل التمام الزائدي:
coth
x
=
i
cot
(
i
x
)
{\displaystyle \coth x=i\cot(ix)}
القاطع الزائدي:
sech
x
=
sec
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)}
قاطع التمام الزائدي:
csch
x
=
i
csc
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)}
حيث i وحدة تخيلية معرفة بأنها i2 = −1. ترتبط التعريفات المذكورة أعلاه بالتعريفات الأسية عبر صيغة أويلر. تعريف بواسطة التكامل
يمكن إظهار أن مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى جيب التمام الزائدي خلال فترة محدودة تساوي دائمًا طول القوس المقابل لتلك الفترة:
area = ∫ a
b
cosh
x d
x
= ∫ a
b
1
+
( d d
x cosh
x )
2 d
x
= arc length. {\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}
علاقاتها بالدوال الأسية
تحليل الدالة الأسية في أجزائها الزوجية والفردية يعطي المتطابقات التالية:
e x
=
cosh
x
+
sinh
x {\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}
تشبه الأولى صيغة أويلر.
e −
x
=
cosh
x
−
sinh
x
. {\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!}
بالإضافة إلى
e x
=
1
+
tanh
x
1
−
tanh
x
= 1
+
tanh
x
2
1
−
tanh
x
2 {\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}
الدوال الزائدية للأعداد المركبة
لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن تامة الشكل. وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:
e i
x
=
cos
x
+
i sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\;\sin x} e −
i
x
=
cos
x
−
i sin
x
{\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x}
وعليه: cosh
(
i
x
) =
1
2 (
e i
x
+ e −
i
x ) =
cos
x
sinh
(
i
x
) =
1
2 (
e i
x
− e −
i
x ) =
i
sin
x
cosh
(
x
+
i
y
) =
cosh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
sinh
(
x
)
sin
(
y
)
sinh
(
x
+
i
y
) =
sinh
(
x
)
cos
(
y
)
+
i
cosh
(
x
)
sin
(
y
)
tanh
(
i
x
) =
i
tan
x
cosh
x =
cos
(
i
x
)
sinh
x =
−
i
sin
(
i
x
)
tanh
x =
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}
وبالتالي، تعد الدوال الزائدية دوالاً دورية ذات دورة 2
π
i
{\displaystyle 2\pi i} ( π
i
{\displaystyle \pi i} بالنسبة لدالتي الظل وظل التمام الزائديتين). إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية للدوال الزائدية المركبة (العقدية) الواردة أدناه مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال المثلثية توضح العلاقات بينهما.
دوال زائدية في المستوى المركب sinh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sinh} (z)} cosh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {cosh} (z)} tanh
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {tanh} (z)} coth
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {coth} (z)} sech
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sech} (z)} csch
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (z)}
المقارنة مع الدوال المثلثية
القطاع الدائري (بالأصفر) والقطاع الزائدي (الشكل الأحمر + الشكل الأصفر). الدائرة والقطع الزائد الذي يمسها عند (1,1) يعرضان هندسة الدوال الدائرية بدلالة مساحة القطاع الدائري u والدوال الزائدية اعتمادًا على مساحة القطاع الزائدي u.
تمثل الدوال الزائدية امتدادًا لحساب المثلثات خارج الدوال الدائرية. كلا النوعين يعتمد على عُمدة، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية. بما أن مساحة قطاع دائري له نصف قطر r وزاوية u تساوي r2u/2، ستكون مساويا لـu عندما يكون r = √2. في الرسم التخطيطي، تكون مثل هذه الدائرة مماسية للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1 في (1,1). تمثل القطاع الأصفر والأحمر مساحة ومقدار زاوية. وبالمثل، فإن القطاعات الصفراء والحمراء معا تمثل مساحة ومقدار زاوية زائدية. يبلغ طول ساقي المثلثين القائمين التي تحتوي على الوتر على الشعاع المحدد للزوايا √2 مرة الدوال الدائرية والزائدية. الزاوية الزائدية هي مقياس ثابت بالنسبة إلى الدوران الزائدي [الإنجليزية]، تمامًا كما تكون الزاوية الدائرية ثابتة تحت الدوران الدائري. تعطي دالة غودرمان (تكامل دالة القاطع الزائدية والتي تساوي gd
x
=
arcsin
( tanh
x ) =
arctan
(
sinh
x
)
{\displaystyle \operatorname {gd} x=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan(\sinh x)} ) علاقة مباشرة بين الدوال الدائرية والدوال الزائدية التي لا تتضمن أعدادًا مركبة. الرسم البياني للدالة cosh (x/a) هو عبارة عن سلسلي، وهو منحنى يتكون من سلسلة منتظمة ووقابلة للانثناء ومعلقة بِحُرية بين نقطتين ثابتتين تحت ثقل منتظم.
تعابير متسلسلات تايلور
من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة متسلسلة تايلور: sinh
x
=
x
+ x 3 3
! + x 5 5
! + x 7 7
! +
⋯
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n
+
1 (
2
n
+
1
)
! {\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cosh
x
=
1
+ x 2 2
! + x 4 4
! + x 6 6
! +
⋯
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n (
2
n
)
! {\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
tanh
x
=
x
− x 3
3
+ 2 x 5 15
− 17 x 7 315
+
⋯
= ∑ n
=
1
∞
2 2
n
( 2 2
n
−
1
) B 2
n x 2
n
−
1
(
2
n
)
! , |
x
| <
π
2
{\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
coth
x
=
1
x
+
x
3
− x 3
45
+ 2 x 5 945
+
⋯
=
1
x
+ ∑ n
=
1
∞
2 2
n B 2
n x 2
n
−
1
(
2
n
)
! ,
0
< |
x
| <
π
{\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (متسلسلة لوران)
sech x
=
1
− x 2
2
+ 5 x 4 24
− 61 x 6 720
+
⋯
= ∑ n
=
0
∞
E 2
n x 2
n
(
2
n
)
! , |
x
| <
π
2
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
csch x
= x −
1
−
x
6
+ 7 x 3 360
− 31 x 5 15120
+
⋯
= x −
1
+ ∑ n
=
1
∞ 2
(
1
− 2 2
n
−
1
) B 2
n x 2
n
−
1
(
2
n
)
! ,
0
< |
x
| <
π
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (متسلسلة لوران)
حيث
B n {\displaystyle B_{n}\,} هي عدد بيرنولي رقم n E n {\displaystyle E_{n}\,} هي عدد أويلر رقم n
تطبيقات الدوال الزائدية
لاتقل هذه الدوال شأنا عن الدوال المثلثية، إذ يمكن استخدامها في بعض مسائل التكامل كتعويض مناسب لإيجاد الحل، كما نشأت في بعض المعادلات التفاضلية الخطية كحل عام كما هو الحال في معادلة لابلاس في الإحداثيات الكارتيزية والتي أصبح لها تطبيقات عديدة في الفيزياء. في علم الميكانيكا أيضا كان حساب طول السلاسل المعلقة بشكل حر يجري بشكل متسلسلة قبل التوصل لهذه الدوال. تنمذج محددات خطوط نقل الكهرباء بواسطة دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان.
الدوال العكسية في صور لوغاريتمية
المقالة الرئيسة: دوال زائدية عكسية
arsinh
x
=
ln
( x
+ x 2
+
1 ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
arcosh
x
=
ln
( x
+ x 2
−
1 ) ;
x
≥
1
{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}
artanh
x
=
1
2
ln
1
+
x
1
−
x ; |
x
| <
1
{\displaystyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};\left|x\right|<1}
arsech
x
=
ln
1
+
1
− x 2 x
;
0
<
x
≤
1
{\displaystyle \operatorname {arsech} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0
x
=
ln
( 1
x
+ 1
+ x 2
|
x
|
) {\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)}
arcoth
x
=
1
2
ln
x
+
1
x
−
1 ; |
x
| >
1
{\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};\left|x\right|>1}
تكاملات قياسية
المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال الزائدية ∫sinh
a
x d
x
=
1
a
cosh
a
x
+
C
{\displaystyle \int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C}
∫
cosh
a
x d
x
=
1
a
sinh
a
x
+
C
{\displaystyle \int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C}
∫
tanh
a
x d
x
=
1
a
ln
(
cosh
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \tanh ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\cosh ax)+C}
∫
coth
a
x d
x
=
1
a
ln
(
sinh
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \coth ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\sinh ax)+C}
∫
sech x d
x
=
arctan (
sinh
x
)
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C}
∫
csch x d
x
=
ln
| tanh
x
2 | +
C
, for x
≠
0
{\displaystyle \int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0}
∫ d
u a 2
+ u 2 = sinh −
1
(
u
a
) +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫ d
u u 2
− a 2 = cosh −
1
(
u
a
) +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫ d
u a 2
− u 2 =
1
a tanh −
1
(
u
a
) +
C
; u 2
< a 2
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2} ∫ d
u a 2
− u 2 =
1
a coth −
1
(
u
a
) +
C
; u 2
> a 2
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}}
∫ d
u
u a 2
− u 2 =
−
1
a sech −
1
(
u
a
) +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
∫ d
u
u a 2
+ u 2 =
−
1
a csch −
1
|
u
a
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C} في التعابير السابقة، يدعى C بثابت التكامل.
متطابقات
في الحقيقة يمكن التحويل بين المتطابقات المثلثية والمتطابقات الزائدية باستعمال قاعدة أوسبورن التي تنص على هذه الإمكانية عن طريق نشر المتطابقة كليا في حدود قوى تكاملات للجيب وجيب التمام، وبتغيير sin إلى sinh و cos إلى cosh، وتبديل الإشارة لكل حد يحوي مضروب من 2، 6، 10، 14،... جيب زائدي. الدوال الزوجية والفردية: sinh
(
−
x
) =
−
sinh
x
cosh
(
−
x
) =
cosh
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}
ومنهم: tanh
(
−
x
) =
−
tanh
x
coth
(
−
x
) =
−
coth
x
sech
(
−
x
) =
sech
x
csch
(
−
x
) =
−
csch
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}
وبالتالي، cosh x و sech x هي دوال زوجية؛ بينما الدوال الأخرى هي دوال فردية. تلبي دالتا جيب وجيب التمام الزائديان: cosh
x
+
sinh
x = e x
cosh
x
−
sinh
x = e −
x cosh 2
x
− sinh 2
x =
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}}
تشبه الأخيرة متطابقة فيثاغورس المثلثية. لدينا أيضا:
sech 2
x =
1
− tanh 2
x csch 2
x = coth 2
x
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}
بالنسبة إلى الدوال الأخرى. صيغ الجمع
sinh
(
x
+
y
) =
sinh
x
cosh
y
+
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
+
y
) =
cosh
x
cosh
y
+
sinh
x
sinh
y
tanh
(
x
+
y
) = tanh
x
+
tanh
y
1
+
tanh
x
tanh
y {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
لدينا أيضا: sinh
x
+
sinh
y =
2
sinh
( x
+
y 2
) cosh
( x
−
y 2
) cosh
x
+
cosh
y =
2
cosh
( x
+
y 2
) cosh
( x
−
y 2
) {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
صيغ ضعف الزاوية
cosh
(
2
x
) = sinh 2
x + cosh 2
x =
2 sinh 2
x
+
1
=
2 cosh 2
x
−
1
sinh
(
2
x
) =
2
sinh
x
cosh
x
tanh
(
2
x
) = 2
tanh
x
1
+ tanh 2
x {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}
صيغ الطرح
sinh
(
x
−
y
) =
sinh
x
cosh
y
−
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
−
y
) =
cosh
x
cosh
y
−
sinh
x
sinh
y
tanh
(
x
−
y
) = tanh
x
−
tanh
y
1
−
tanh
x
tanh
y {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
أيضا: sinh
x
−
sinh
y =
2
cosh
( x
+
y 2
) sinh
( x
−
y 2
) cosh
x
−
cosh
y =
2
sinh
( x
+
y 2
) sinh
( x
−
y 2
) {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
صيغ نصف الزاوية
sinh
(
x
2
)
= sinh
(
x
)
2
(
cosh
x
+
1
) =
sgn
x cosh
x
−
1 2 cosh
(
x
2
)
=
cosh
x
+
1 2 tanh
(
x
2
)
= sinh
x
cosh
x
+
1 =
sgn
x cosh
x
−
1
cosh
x
+
1
=
e x
−
1 e x
+
1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh(x)}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}
حيث sgn هي دالة الإشارة. إذا كان x ≠ 0، فإن: tanh
(
x
2
) = cosh
x
−
1
sinh
x =
coth
x
−
csch
x
{\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}
شرح مبسط
الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة أو الدوال الهُذْلولية [1] (بالإنجليزية: Hyperbolic functions) في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية (أو الدائرية)، لكنها معرفة بواسطة القطع الزائد بدلاً من الدائرة: تمامًا كما تشكل النقاط (cos t , sin t) دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط (cosh t , sinh t) النصف الأيمن من القطع الزائد.[2][3][4]
شاركنا رأيك
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع [ تعرٌف على ] دوال زائدية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 10/11/2023
اعلانات العرب الآن