[ تعرٌف على ] دالة الكثافة الاحتمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | دالة الكثافة الاحتمالية

استعمالات

حساب القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي ما يتم وفق المعادلة التالية:
E [
] = ∫ −
∞
+
∞
x
f (
x
) d
x
{\displaystyle E\left[X\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }xf\left(x\right)dx}
أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.

دوال كثافة احتمالية مهمة

التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغيّر العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة
[ a
,
b ] {\displaystyle \left[a,b\right]} إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة
[ a
,
b ] {\displaystyle \left[a,b\right]} مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة
[ a
,
b ] {\displaystyle \left[a,b\right]} ، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة
[ a
,
b ] {\displaystyle \left[a,b\right]} ، أي:
f (
x
) =
{ 1 b
−
a
a
≤
x
≤
b
0
x
<
a
,
x
>
b
{\displaystyle f\left(x\right)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}\quad a\leq x\leq b\\0\quad \quad xb\end{cases}}}
بالنسبة للتوزيع الاحتمالي الطبيعي أو الغاوسي، فإنّ دالة الكثافة الاحتمالية هي:
f (
x
) =
1 2
π
e − x 2
2
{\displaystyle f\left(x\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}
هذا في حالة كون المتغيّر عشوائي تابعا لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقعة مساوية لـ- μ
\mu والتباين مساويًا لـ-
σ 2
{\displaystyle \sigma ^{2}} تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:
f (
x
) =
1 2
π σ 2
e −
( x
−
μ )
2 2 σ 2 {\displaystyle f\left(x\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}

توزيعات مستمرة بمتغير واحد

تكون للمتغير العشوائي {\displaystyle X} دالة كثافة احتمالية f (
) {\displaystyle f\left(X\right)} ، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق: P [ a
≤
≤
b ] = ∫ a
b
f (
x
) d
x
{\displaystyle P\left[a\leq X\leq b\right]=\int _{a}^{b}f\left(x\right)dx}
أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير {\displaystyle X} قيمًا في الفترة
[ a
,
b ] {\displaystyle \left[a,b\right]} مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت F
F هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير {\displaystyle X} ، يتحقق: ,
F (
x
) = ∫ −
∞
x
f (
u
) d
u
{\displaystyle ,F\left(x\right)=\int _{-\infty }^{x}f\left(u\right)du}
وكذلك، فإنّ: f (
x
) =
d d
x F (
x
) {\displaystyle f\left(x\right)={\frac {d}{dx}}F\left(x\right)}
من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة f (
x
) {\displaystyle f\left(x\right)} ، عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي
[ x
,
x
+
d
x ] {\displaystyle \left[x,x+dx\right]} هو f (
x
) d
x
{\displaystyle f\left(x\right)dx} .

شرح مبسط

في نظرية الاحتمالات، دالة الكثافة الاحتمالية (د.[1] ك.ا)
(بالإنجليزية: probability density function)‏ أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما يكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد: