[ تعرٌف على ] دوال زائدية عكسية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | دوال زائدية عكسية

المشتقات

d d
x arsinh
⁡
x =
1
x 2
+
1 , for all real x
d d
x arcosh
⁡
x =
1
x 2
−
1 , for all real x
>
1
d d
x artanh
⁡
x =
1 1
− x 2 , for all real
| x | <
1
d d
x arcoth
⁡
x =
1 1
− x 2 , for all real
| x | >
1
d d
x arsech
⁡
x = −
1
x
1
− x 2 , for all real x
∈
(
0
,
1
)
d d
x arcsch
⁡
x = −
1 | x | 1
+ x 2 , for all real x , except 0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}} إثبات: نضع على سبيل المثال θ = arsinh x (حيث sinh 2 θ = (sinh θ) 2):
d arsinh
⁡
x
d
x = d
θ
d
sinh
⁡
θ =
1 cosh
⁡
θ =
1 1
+ sinh 2
⁡
θ =
1 1
+ x 2 .
{\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsinh} x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}

التدوين

التدوين أكثر شيوعا وتلك المحددة من قبل ISO 80000-2 هو تسمية الدوال الزائدية العكسية باستخدام البادئة ar- (من الكلمة الإنجليزية area التي تعني "مساحة") لأن عمدتها هي عبارة عن مساحة القطاع الزائدي المحدد بنصفي مستقيم، مثال: arsinh ،arcosh. يفضل مؤلفون آخرون استخدام التدوين (argsinh، وargcosh، وargtanh)، حيث البادئة arg- هي اختصار للكلمة اللاتينية argumentum التي تعني "عُمْدة"، هذا التدوين اللاتيني يقابله باللغة العربية عمدة الجيب الزائدي، عمدة جيب تمام الزائدي، ... وهكذا. في علوم الحاسوب، تُختصَر الدوال غالبًا باستخدام البادئة a-، مثل asinh.

تركيب الدوال الزائدية والزائدية العكسية

sinh
⁡
(
arcosh
⁡
x
)
= x 2
−
1
for | x | >
1 sinh
⁡
(
artanh
⁡
x
)
=
x 1
− x 2 for
−
1
<
x
<
1 cosh
⁡
(
arsinh
⁡
x
)
=
1
+ x 2 cosh
⁡
(
artanh
⁡
x
)
=
1 1
− x 2 for
−
1
<
x
<
1 tanh
⁡
(
arsinh
⁡
x
)
=
x 1
+ x 2
tanh
⁡
(
arcosh
⁡
x
)
=
x 2
−
1 x
for | x | >
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -11\end{aligned}}}

التكاملات

المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال الزائدية العكسية ∫
arsinh
⁡
(
x
) d
x
=
x
arsinh
⁡
(
x
)
− x 2
+
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arsinh} (x)\,dx=x\operatorname {arsinh} (x)-{\sqrt {x^{2}+1}}+C}
∫
arcosh
⁡
(
x
) d
x
=
x
arcosh
⁡
(
x
)
− x 2
−
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcosh} (x)\,dx=x\operatorname {arcosh} (x)-{\sqrt {x^{2}-1}}+C}
∫
artanh
⁡
(
x
) d
x
=
x
artanh
⁡
(
x
)
+
1
2
ln
⁡ ( 1
− x 2 ) +
C
{\displaystyle \int \operatorname {artanh} (x)\,dx=x\operatorname {artanh} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1-x^{2}\right)+C}
∫
arcoth
⁡
(
x
) d
x
=
x
arcoth
⁡
(
x
)
+
1
2
ln
⁡ (
x 2
−
1 ) +
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcoth} (x)\,dx=x\operatorname {arcoth} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(x^{2}-1\right)+C}
∫
arsech
⁡
(
x
) d
x
=
x
arsech
⁡
(
x
)
− 2 arctan
⁡
1
−
x
1
+
x
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arsech} (x)\,dx=x\operatorname {arsech} (x)-{2}\operatorname {arctan} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}+C}
∫
arcsch
⁡
(
x
) d
x
=
x
arcsch
⁡
(
x
)
+
arcoth
⁡
1 x 2
+
1
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {arcsch} (x)\,dx=x\operatorname {arcsch} (x)+\operatorname {arcoth} {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}+C}

صيغ الإضافة

arsinh
⁡
u
±
arsinh
⁡
v
=
arsinh
⁡ ( u
1
+ v 2
±
v
1
+ u 2 ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}
arcosh
⁡
u
±
arcosh
⁡
v
=
arcosh
⁡ ( u
v
±
( u 2
−
1
)
( v 2
−
1
) ) {\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}
artanh
⁡
u
±
artanh
⁡
v
=
artanh
⁡ ( u
±
v
1
±
u
v ) {\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}
arsinh
⁡
u
+
arcosh
⁡
v =
arsinh
⁡ ( u
v
+
(
1
+ u 2
)
( v 2
−
1
) ) =
arcosh
⁡ ( v
1
+ u 2
+
u v 2
−
1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}

العبارات اللوغاريتمية للدوال

د.ع للجيب الزائدي
دالة معرفة على جميع الأعداد الحقيقية بـ: arsinh
⁡
x
=
ln
⁡ ( x
+ x 2
+
1 ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
د.ع لجيب التمام الزائدي
دالة معرفة على المجال: [
1
,
+
∞
[
{\displaystyle [1,+\infty [} بـ: arcosh
⁡
x
=
ln
⁡ ( x
+ x 2
−
1 ) {\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
د.ع للظل الزائدي
دالة معرفة على المجال ]
−
1
,
1
[
{\displaystyle ]-1,1[} بـ: artanh
⁡
x
=
1
2
ln
⁡ ( 1
+
x
1
−
x ) {\displaystyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}
د.ع لظل التمام الزائدي
دالة معرفة على المجال ]
−
∞
,
−
1
[
∪
]
1
,
+
∞
[
{\displaystyle ]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty [} بـ: arcoth
⁡
x
=
1
2
ln
⁡ ( x
+
1
x
−
1 ) {\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)}
د.ع للقاطع الزائدي
دالة معرفة على المجال ]
0
,
1
]
{\displaystyle ]0,1]} بـ: arsech
⁡
x
=
ln
⁡ ( 1
x
+
1 x 2
−
1 ) =
ln
⁡ ( 1
+
1
− x 2 x
) {\displaystyle \operatorname {arsech} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)}
د.ع لقاطع التمام الزائدي
دالة معرفة على جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر بـ: arcsch
⁡
x
=
ln
⁡ ( 1
x
+
1 x 2
+
1 ) =
ln
⁡ ( 1
x
+ 1
+ x 2
|
x
|
) {\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)}
إثبات
الطريقة 1 ∀
x
∈
[
1
,
+
∞
[ : arcosh
⁡
(
x
)
=
ln
⁡
(
x
+ x 2
−
1
)
{\displaystyle \forall x\in [1,+\infty [\;:\;\operatorname {arcosh} (x)=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}
نضع:
y =
arcosh
⁡
(
x
)
; x
≥
1
x =
cosh
⁡
(
y
)
;



y
≥
0
{\displaystyle {\begin{aligned}y&=\operatorname {arcosh} (x);\quad x\geq 1\\x&=\operatorname {cosh} (y);\quad \ \ \ \ y\geq 0\end{aligned}}}
لدينا:
cosh
⁡
(
y
)
+
sinh
⁡
(
y
)
= e y
.
.
.
.
(
∗
)
{\displaystyle \cosh(y)+\sinh(y)=e^{y}....(*)}
و cosh 2
⁡
(
y
)
− sinh 2
⁡
(
y
)
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}(y)-\sinh ^{2}(y)=1}
إذن: sinh 2
⁡
(
y
)
= cosh 2
⁡
(
y
)
−
1
{\displaystyle \sinh ^{2}(y)=\cosh ^{2}(y)-1}
ومنه: | sinh
⁡
(
y
) |
= cosh 2
⁡
(
y
)
−
1 ; y
≥
0
⇒
sinh
⁡
(
y
)
≥
0
sinh
⁡
(
y
) = cosh 2
⁡
(
y
)
−
1
(
∗
) :
cosh
⁡
(
y
)
+ cosh 2
⁡
(
y
)
−
1
= e y
⇒
y =
ln
⁡ ( cosh
⁡
(
y
)
+ cosh 2
⁡
(
y
)
−
1 ) arcosh
⁡
(
x
) =
ln
⁡ ( x
+ x 2
−
1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}|\sinh(y)|&={\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\;;\;y\geq 0\Rightarrow \sinh(y)\geq 0\\\sinh(y)&={\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\\(*)&:\cosh(y)+{\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}=e^{y}\\\Rightarrow y&=\ln \left(\cosh(y)+{\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\end{aligned}}} الطريقة 2
نعتبر دالة جيب التمام العكسية التالية: y
=
arcosh
⁡
x
{\displaystyle y=\operatorname {arcosh} x} بالتعريف:
x
=
cosh
⁡
y
=
e y
+ e −
y 2
{\displaystyle x=\cosh y={\frac {e^{y}+e^{-y}}{2}}}
2
x
=
e y
+ e −
y {\displaystyle 2x={e^{y}+e^{-y}}} e y
−
2
x
+ e −
y
=
0
{\displaystyle e^{y}-2x+e^{-y}=0} e y
−
2
x
+
1 e y
=
0
{\displaystyle e^{y}-2x+{\frac {1}{e^{y}}}=0} e 2
y
−
2
x e y
+
1
=
0
{\displaystyle e^{2y}-2xe^{y}+1=0} نضع u
= e y
{\displaystyle u=e^{y}} : u 2
−
2
x
u
+
1
=
0
{\displaystyle u^{2}-2xu+1=0} نحل المعادلة من الدرجة الثانية:
u
= 2
x
±
4 x 2
−
4 2
{\displaystyle u={\frac {2x\pm {\sqrt {4x^{2}-4}}}{2}}} e y
= 2
x
±
4 x 2
−
4 2
{\displaystyle e^{y}={\frac {2x\pm {\sqrt {4x^{2}-4}}}{2}}} e y
= 2
x
±
4
( x 2
−
1
) 2
{\displaystyle e^{y}={\frac {2x\pm {\sqrt {4(x^{2}-1)}}}{2}}}
2 e y
= 2
x
±
2 x 2
−
1 {\displaystyle 2e^{y}={2x\pm 2{\sqrt {x^{2}-1}}}} e y
= x
± x 2
−
1 {\displaystyle e^{y}={x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}}} ندخل اللوغاريتم الطبيعي الطرفين:
ln
⁡ e y
=
ln
⁡ ( x
± x 2
−
1 ) {\displaystyle \ln e^{y}=\ln \left(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
y
=
ln
⁡ ( x
+ x 2
−
1 ) {\displaystyle y=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)} ومنه نستنتج أن:
arcosh
⁡
x
=
ln
⁡ ( x
+ x 2
−
1 ) {\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}

متسلسلات

يمكننا التعبير عن الدوال بواسطة المتسلسلات التالية:
arsinh
⁡
x =
x
− (
1
2
)
x 3
3
+ ( 1
⋅
3
2
⋅
4 )
x 5
5
− ( 1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6 )
x 7
7
±
⋯
= ∑ n
=
0
∞ ( (
−
1 ) n
(
2
n
)
! 2 2
n
(
n
! ) 2 )
x 2
n
+
1 2
n
+
1 ,
|
x
| <
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}
arcosh
⁡
x =
ln
⁡
(
2
x
)
− (
(
1
2
)
x −
2
2
+ ( 1
⋅
3
2
⋅
4 )
x −
4
4
+ ( 1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6 )
x −
6
6
+
⋯ ) =
ln
⁡
(
2
x
)
− ∑ n
=
1
∞ ( (
2
n
)
! 2 2
n
(
n
! ) 2 )
x −
2
n 2
n ,
|
x
| >
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
artanh
⁡
x =
x
+ x 3
3
+ x 5
5
+ x 7
7
+
⋯
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n
+
1 2
n
+
1 ,
|
x
| <
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}
arcsch
⁡
x
=
arsinh
⁡
1
x = x −
1
− (
1
2
)
x −
3
3
+ ( 1
⋅
3
2
⋅
4 )
x −
5
5
− ( 1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6 )
x −
7
7
±
⋯
= ∑ n
=
0
∞ ( (
−
1 ) n
(
2
n
)
! 2 2
n
(
n
! ) 2 )
x −
(
2
n
+
1
) 2
n
+
1 ,
|
x
| >
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
arsech
⁡
x
=
arcosh
⁡
1
x =
ln
⁡
2
x
− (
(
1
2
)
x 2
2
+ ( 1
⋅
3
2
⋅
4 )
x 4
4
+ ( 1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6 )
x 6
6
+
⋯ ) =
ln
⁡
2
x
− ∑ n
=
1
∞ ( (
2
n
)
! 2 2
n
(
n
! ) 2 )
x 2
n 2
n , 0
<
x
≤
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0 arcoth
⁡
x
=
artanh
⁡
1
x = x −
1
+ x −
3
3
+ x −
5
5
+ x −
7
7
+
⋯
= ∑ n
=
0
∞ x −
(
2
n
+
1
) 2
n
+
1 ,
|
x
| >
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}

شرح مبسط

الدوال الزائدية العكسية (ويطلق عليها أيضا اسم الدوال المساحية)[1] هي الدوال العكسية للدوال الزائدية.