اليوم: السبت 27 ابريل 2024 , الساعة: 10:57 م
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
اخر المشاهدات
- [ تعرٌف على ] مقيم مؤقت (كندا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] جائزة الدوحة للكتابة الدرامية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم الامارات ] بيت الزيتون ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] برادات رومانه ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] كلاركس (لويزيانا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل الشارقة الامارات ] مطعم رمال الصحراء فرع 1 ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] نادر غازي مارق العتيبي ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] احمد فرحان بن هلال العتيبي ... تبوك ... منطقة تبوك # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- طريقة عمل عيش بالشبنت والزعفران مثل المطاعم - اكلات من المطبخ الكويتي # اخر تحديث اليوم 2024-04-14
- [ تعرٌف على ] تحليل المكونات المستقلة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مراكز صالونات التجميل قطر ] نيلز Nails Qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم الامارات ] بانيفيكو مركز دبي المالي العالمي ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المطاعم العربية والاجنبية قطر ] مطعم ومقهى الفطيرة Turkish Qatar El Fatira Restaurant and Sweet\'s ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] اولمبيك للأبواب الجرارة ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات البترول والغاز قطر ] بتروفاك قطر petrofac Qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مقاولات و عقود كهربائية قطر ] زون بات كونتراكتينغ # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المدارس الخاصة والمستقلة قطر ] مدرسة الرواد انترناشونال Al-Rowad International School Qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل الشارقة الامارات ] ورشة اسود الصحراء لصيانة ميكانيكا السيارات ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ خذها قاعدة ] الكرم الحقيقي هو أن تفعل فعلا محمودا لشخص لن يعرف أبدا بما فعلته. - فرانك كلارك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] بطولة أم المعارك 2000 # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] احتلوا كندا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] برج الطاقة الشمسية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] أحمد المنصور الذهبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] ليغن روزيت ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] النزاع التجاري بين كندا وأستراليا حول السلمون # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات الألمانية السلوفينية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل عجمان الامارات ] مطعم رمال الصحراء ... عجمان # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] محل نجمة الصحراء للخراطة ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة? # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- وزارة الداخلية (قطر) fontcolor a30234 معلومات عامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] علي المنصوري # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] علم الكواكب خارج المجموعة الشمسية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ فنادق السعودية ] فندق فورسيزونز # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] قصة رون كلارك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دول أجنبية ] 4 معلومات عن نيوزلندا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل العين الامارات ] تغيير زيت ... العين # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ حكمــــــة ] قال المغيرة بن شعبة :النّازل للإخوان منزول. قال المنصور لإسحق بن مسلم العقيلي :ما بقي من لذّتك ؟ قال :أخٌ أشتهي معه طول السهر ،ودابةٌ أستهي معها طول السّفر. # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] باسم خلف هلال المطيري ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ اعلان السعودية ] مجموعة الهلال # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ دليل أبوظبي الامارات ] مكتب السفير للكتابة والتصوير ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ثامر بندر حباب العتيبي ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دول أجنبية ] الدول المستعمرة من طرف فرنسا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] أبو جعفر المنصور # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] زونا ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] عطورات روما ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] مقاولات الزيتونة ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] محمد بن صالح المنصور # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] تكوين للاستشارات الادارية و المالية ذ.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مكتب رزون للخدمات العقارية ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] أحمد شارع مبارك العتيبي ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] سكان الكويت # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟ # اخر تحديث اليوم 2024-02-13
- [ مؤسسات البحرين ] رومانتيك فون ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ المركبات الامارات ] كارليس لتأجير السيارات ، مركز دبي المالي العالمي ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] قراح لتقنية المعلومات ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-02-13
- [ مدن أجنبية ] مدن السويد # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] الجناح الأزرق للأبواب ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مزون علي مرزن مبشر ... ابها ... منطقة عسير # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] جائزة المغرب للكتاب # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات النظافة قطر ] كيم دراى للتنظيف ChemdryQatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] أحمد المنصور الذهبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] مكتب الفتح للكتابة والتصوير ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- حلمت ان طليقتي تزوجت # اخر تحديث اليوم 2024-03-09
- [رقم هاتف] الطبيب عياط الميلودي .. المغرب # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- قائمة المسلسلات التلفزيونية التونسية 1999-1990 # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] حوسبة مستقلة ذاتيا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] بزون ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ اثاث منزلى السعودية ] مؤسسة مفروشات البهلال للأثاث والمفروشات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أطباق خليجية ] أكلات شعبية يمنية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الحملة الفرنسية على نورماندي (1202–1204) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- طريقة تحضير دزيريات القالب … بالصور # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] فايف سيزون للنظارات ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تسوق وملابس الامارات ] نوادر العود للتجارة ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] سكان كرواتيا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] المنصورة (مصر) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] منتخب كندا لكرة القدم للسيدات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات طبية السعودية ] عالم الاوزون ... الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] صابرين فزاع براهيم الرشيدي ... الهلاليه ... منطقة القصيم # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ مؤسسات البحرين ] مقاولات روما ذ.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] مغسلة ستيم زون لاين للسيارات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات الاستشارات الهندسية قطر ] تي. اتش. قطر للهندسة والمقاولات T.H.E QATAR ENGINEERING CONTSUITING W.L.L. ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أطباق الأرز ] 3 طرق لإعداد الأرز البسمتي الأصفر # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] ب و ب للتجارة والمقاولات B & B TRADING & CONTRACTING WLL ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ صرافون وتجار عملة الامارات ] سوق أبوظبي للأوراق المالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] الشركة الوطنية المالية للصرافة ذ.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] النصب التذكاري للحرب الوطنية (كندا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] تي زد دي جلوبال TZD GLOBAL TRADING WLL ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] وسام كندا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل العين الامارات ] الفجر للأوراق المالية ذ.م.م فرع العين ... العين # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات الجورجية السلوفاكية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ صحة الجنين ] متى يظهر نوع الجنين في الحمل؟ 6 فحوصات هامة لمعرفة نوع الجنين أثناء شهور الحمل # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الحملة الهولندية إلى فالديفيا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] معرض كندا الوطني # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] فوكس للتدقيق و الإستشارات المالية ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات البترول والغاز قطر ] بتروفاك قطر PETROFAC QATAR WLL ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] منى مترك صنت الرشيدي ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] ثيوفيلوس (مطران سائر أمريكا وكندا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] اولمبيك للأبواب الجرارة ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مهند عثمان بن علي السناني ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-17
- تفسير حلم الجوارب في المنام لابن سيرين # اخر تحديث اليوم 2024-03-10
الأكثر قراءة
- مريم الصايغ في سطور
- سؤال و جواب | ما هى أسباب نزول الدم الاحمر بعد البراز؟ وهل هناك أسباب مرضية؟ وما الحل ؟
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً
- هل للحبة السوداء"حبة البركة "فوائد ؟
- كيف أتخلص من الغازات الكريهة التى تخرج مني باستمرار؟
- هناك ألم عندى فى الجانب الأيسر للظهر فهل من الممكن أن يكون بسبب الكلى ؟
- هل هناك علاج للصداع الئى أانيه فى الجانب الأيسر من الدماغ مع العين اليسرى ؟
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام»
- [ رقم تلفون ] مستر مندوب ... مع اللوكيشن المملكه العربية السعودية
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان
- نزع شوك السمك في المنام
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة
- ارقام وهواتف مستشفى الهلال الاحمر 34 ش رمسيس وسط البلد بالقاهرة
- جريمة قتل آمنة الخالدي تفاصيل الجريمة
- رسائل حب ساخنة للمتزوجين +18
- خليفة بخيت الفلاسي حياته
- تعرٌف على ... عائشة العتيبي | مشاهير
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟
- رقم هاتف مكتب النائب العام وكيفية تقديم بلاغ للنائب العام
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] شركة متجر كل شششي - المملكه العربية السعودية
- تفسير رؤية شخص اسمه محمد في المنام لابن سيرين
- ارقام وهواتف مطعم الشبراوى 33 ش احمد عرابى المهندسين, بالجيزة
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة
- ارقام وهواتف عيادة د. ياسر المليجى - 139 ش التحرير الدقى بالجيزة
- ارقام وهواتف مستشفى النور المحمدى الخيرى التخصصى المطرية, بالقاهرة
- تفسير رؤية الحشرات في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية
- قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟
- أعشاب تفتح الرحم للإجهاض
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟!
- قناة تمازيغت برامج القناة
- ارقام وهواتف مكتب صحة - السادس من اكتوبر ميدان الحصرى السادس من اكتوبر, بالجيزة
- سور القران لكل شهر من شهور الحمل
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين
- زخرفة اسماء تصلح للفيس بوك
- مدرسة ب/ 141 حكومي للبنات بجدة
- إلغ (برمجية) التاريخ
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان
- أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام
- تفسير حلم الكلب لابن سيرين
- [ رقم هاتف ] عيادة د. حازم ابو النصر - 20 ش عبد العزيز جاويش عابدين بالقاهرة
- انا بنت عندي 13 سنة لسة مجتليش الدورة الشهرية ......كنت ببات عند خالتي وكل ما
- هل تمرير الإصبع بشكل أفقي على فتحة المهبل يؤدي إلى فض غشاء البكارة؟
- [رقم هاتف] شركة الحراسة و التوظيف و التنظيف.. المغرب
- قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي
- ذا إكس فاكتور آرابيا فكرة البرنامج
- السلام عليكم ، أنا مشكلتي بصراحة الجنس من الخلف مع زوجي الأن صار ويحب حيل
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟
- لالة لعروسة (برنامج) الفائزون
- أنا حامل في الشهر الرابع وينزل مني دم .. هل هذا طبيعي؟
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها
- هل إدخال إصبع الزوج في مهبل الزوجة له أضرار؟
- تفسير حلم اصلاح الطريق في المنام
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة
- إيمان ظاظا حياتها ومشوارها المهني
- أهمية وضرورة إزالة الخيط الأسود من ظهر الجمبري
- اسماء فيس بنات مزخرفة | القاب بنات مزخرفه
- لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة
- تفسير رؤية المشاهير في المنام لابن سيرين
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن حرب 6 اكتوبر 1973 بالصور pdf doc -
- فوائد عشبة الفلية و الكمية المناسبة يوميا
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] شركة الرفق بالحيوان و الطبيعة.. المغرب
- كلمات - انت روحي - حمود السمه
- أعاني من لحمة زائدة في الدبر ، فلدي قطعة لحمية صغيرة في فتحة الشرج من الخارج
- ما الفرق بين الغشاء السليم وغير السليم؟
- تفسير حلم رؤية الإصابة بالرصاص في الكتف بالمنام
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟
- عمر فروخ
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة?
- إدمان الزوج للمواقع الإباحية: المشكلة والأسباب والعلاج
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء.
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام
- تظهر عندي حبوب في البظر والشفرتين بين حين وآخر.. هل لها مضاعفات، وما علاجها؟
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- الكرة الحديدية قواعد اللعبة
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن اللغة العربية والكفايات اللغويه -
- تفسير حلم رؤية الكنز فى المنام لابن سيرين
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟
روابط تهمك
مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع [ تعرٌف على ] قائمة تكاملات الدوال المثلثية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 10/11/2023
[ تعرٌف على ] قائمة تكاملات الدوال المثلثية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
آخر تحديث منذ 5 شهر و 19 يوم
1 مشاهدة
تم النشر اليوم 2024-04-27 | قائمة تكاملات الدوال المثلثية
cot n
a
x d
x sin 2
a
x =
−
1 a
(
n
+
1
)
cot n
+
1
a
x
+
C (for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\,dx}{\sin ^{2}ax}}=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cot ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}}
sin
a
x d
x
=
−
1
a
cos
a
x
+
C
{\displaystyle \int \sin ax\;dx=-{\frac {1}{a}}\cos ax+C\,\!}
∫ sin 2
a
x
d
x
=
x
2
−
1 4
a sin
2
a
x
+
C
=
x
2
−
1 2
a sin
a
x
cos
a
x
+
C {\displaystyle \int \sin ^{2}{ax}\;dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C\!}
∫
sin
a 1
x
sin
a 2
x d
x
= sin
[
( a 1
− a 2
)
x
]
2
( a 1
− a 2
) − sin
[
( a 1
+ a 2
)
x
]
2
( a 1
+ a 2
) +
C (for |
a 1 | ≠ |
a 2 | )
{\displaystyle \int \sin a_{1}x\sin a_{2}x\;dx={\frac {\sin[(a_{1}-a_{2})x]}{2(a_{1}-a_{2})}}-{\frac {\sin[(a_{1}+a_{2})x]}{2(a_{1}+a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}\,\!}
∫ sin n
a
x
d
x
=
−
sin n
−
1
a
x
cos
a
x
n
a + n
−
1 n
∫ sin n
−
2
a
x d
x (for
n
>
0
)
{\displaystyle \int \sin ^{n}{ax}\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
∫ d
x
sin
a
x =
1
a
ln
| tan
a
x 2 | +
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫ d
x sin n
a
x = cos
a
x
a
(
1
−
n
) sin n
−
1
a
x + n
−
2
n
−
1 ∫ d
x sin n
−
2
a
x
(for
n
>
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}ax}}={\frac {\cos ax}{a(1-n)\sin ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}\,\!}
∫
x
sin
a
x d
x
= sin
a
x
a 2
− x
cos
a
x a
+
C
{\displaystyle \int x\sin ax\;dx={\frac {\sin ax}{a^{2}}}-{\frac {x\cos ax}{a}}+C\,\!}
∫ x n
sin
a
x d
x
=
− x n
a
cos
a
x
+
n
a
∫ x n
−
1
cos
a
x d
x (for
n
>
0
)
{\displaystyle \int x^{n}\sin ax\;dx=-{\frac {x^{n}}{a}}\cos ax+{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\cos ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!} ∫ −
a 2
a
2
x 2 sin 2
n
π
x a d
x
=
a 3
( n 2 π 2
−
6
)
24 n 2 π 2
(for
n
=
2
,
4
,
6...
)
{\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(for }}n=2,4,6...{\mbox{)}}\,\!}
∫ sin
a
x x
d
x
= ∑ n
=
0
∞
(
−
1 ) n (
a
x ) 2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
⋅
(
2
n
+
1
)
! +
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x}}dx=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}+C\,\!}
∫ sin
a
x
x n
d
x
=
− sin
a
x
(
n
−
1
) x n
−
1 +
a n
−
1 ∫ cos
a
x
x n
−
1
d
x
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x^{n}}}dx=-{\frac {\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\cos ax}{x^{n-1}}}dx\,\!}
∫ d
x
1
±
sin
a
x =
1
a
tan
(
a
x 2
∓
π
4 ) +
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1\pm \sin ax}}={\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}
∫ x d
x
1
+
sin
a
x =
x
a
tan
(
a
x 2
−
π
4 ) +
2 a 2
ln
| cos
(
a
x 2
−
π
4 )
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\sin ax}}={\frac {x}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫ x d
x
1
−
sin
a
x =
x
a
cot
( π
4
− a
x 2 ) +
2 a 2
ln
| sin
( π
4
− a
x 2 )
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\sin ax}}={\frac {x}{a}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}
∫ sin
a
x d
x
1
±
sin
a
x =
±
x
+
1
a
tan
( π
4
∓ a
x 2 ) +
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{1\pm \sin ax}}=\pm x+{\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {ax}{2}}\right)+C}
(
csc
x
)
(
cot
x
) d
x
=
−
csc
x
+
C
{\displaystyle \int (\csc x)(\cot x)\,dx=-\csc x+C} عنتقائمة التكاملات
قائمة تكاملات الدوال الكسرية
قائمة تكاملات الدوال غير الكسرية
قائمة تكاملات الدوال المثلثية
قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية
قائمة تكاملات الدوال الزائدية
قائمة تكاملات الدوال الزائدية العكسية
قائمة تكاملات الدوال الأسية
قائمة تكاملات الدوال اللوغاريتمية
قائمة التكاملات الغوصية [الإنجليزية]
قائمة التكاملات المحددة [الإنجليزية] عنتمواضيع التفاضل والتكاملما قبل حساب التفاضل والتكامل [الإنجليزية]
مبرهنة ذي الحدين
دوال
خطيَّة
مُستمِرة
مُقعَّرة
العاملي
فرق محدود
المتغير الحر والمتغير المقيد
تمثيل الدالة البياني
ميل المستقيم
راديان
مبرهنة رول
القاطع
المماس
النهايات
صيغة غير مُحدَّدة
نهاية دالة
وحيدة الجانب
نهاية متتالية
درجة التقريب
حساب التفاضل
مُشتَق
تفاضلي [الإنجليزية]
معادلة تفاضلية
مؤثر تفاضلي
مبرهنة القيمة المتوسطة
تدوين التفاضل [الإنجليزية]
لايبنز
نيوتن [الإنجليزية]
قواعد التفاضل
الخطيَّة
الرفع إلى أُس
السلسلة
لوبيتال
الضرب
قاعدة لايبنيز العامة
ناتج القسمة
تقنيات أخرى
الدوال العكسية
اللوغاريتم
المعدلات المرتبطة
نقاط الثبات
اختبار المشتق
مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
النقاط الحرجة
تطبيقات أُخرى
طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
سلسلة تايلور
حساب التكامل
المبرهنة الأساسية
مُشتَق التكامل
ثابت التكامل
بالتجزئة
بالتعويض
مُثلثي
أويلر [الإنجليزية]
فايرشتراس [الإنجليزية]
تربيعي [الإنجليزية]
شبه المنحرف
مُشتَق عكسي
طول القوس
الحجوم
بالأقراص
بالطبقات الأسطوانية
حساب المتجهات
مشتق اتجاهي
المؤثرات
دوران
تباعد
تدرج
لابلاس
مبرهنات رئيسة
التدرُّج
التباعد
غرين
كلفن وستوكس
حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات
مبرهنة التباعد
حساب المصفوفات
حساب هندسي
ياكوبية
هيسية
معامل لاغرانج
تكاملات
خط
سطح
حجم
متعدد
مشتق جزئي
مواضيع مُتقدِّمة
أشكال تفاضلية
مشتق خارجي
مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
حساب المُوتِّر
المتتاليات والسلاسل
متتالية حسابية هندسية [الإنجليزية]
أنواع السلاسل
متناوبة
ذات حدين
فورييه
هندسية
متناسقة
قوى
تايلور
متداخلة
اختبارات التقارب
أبيل [الإنجليزية]
السلاسل المتناوبة [الإنجليزية]
كوشي للتكثيف [الإنجليزية]
المقارنة المباشرة [الإنجليزية]
دركليه
التكامل [الإنجليزية]
مقارنة النهايات [الإنجليزية]
النسبة
الأصل [الإنجليزية]
الحد النوني
دوال وأرقام مُميَّزة
أعداد برنولي
ثابت أويلر
دالة أسية
لوغاريتم طبيعي
تقريب ستيرلينغ
تاريخ التفاضل والتكامل
شخصيات
تايلور
ماكلورين
لايبنتس
نيوتن
أويلر
مفاهيم
تسوية [الإنجليزية]
المتناهيات في الصغر
التدفق
قانون الاستمرارية [الإنجليزية]
عمومية الجبر [الإنجليزية]
كتب
طريقة المبرهنات الميكانيكية
طرق التدفق
قوائم
قواعد التفاضل
تكاملات الدوال
اللوغاريتمية
الأسية
المثلثية
العكسية
القواطع [الإنجليزية]
المُكعَّبة [الإنجليزية]
الزائدية
العكسية
الكسرية
غير الكسرية
النهايات
مواضيع متنوعة
الانحناء
هندسة تفاضلية
للمنحنيات
للسطوح [الإنجليزية]
صيغة أويلر وماكلورين
بوق جبريل
إثبات أن 22/7 أكبر من π
مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى [الإنجليزية]
مجسم شتاينميتز [الإنجليزية]
تصنيف • كومنز بوابة رياضيات • بوابة تحليل رياضي • بوابة هندسة رياضية بوابة رياضيات
بوابة تحليل رياضي
cot
a
x d
x
=
1
a
ln
| sin
a
x | +
C
{\displaystyle \int \cot ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln |\sin ax|+C}
∫ cot n
a
x d
x
=
−
1 a
(
n
−
1
)
cot n
−
1
a
x
−
∫ cot n
−
2
a
x d
x (for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \cot ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\cot ^{n-1}ax-\int \cot ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫ d
x
1
+
cot
a
x =
∫ tan
a
x d
x
tan
a
x
+
1 {\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax+1}}}
∫ d
x
1
−
cot
a
x =
∫ tan
a
x d
x
tan
a
x
−
1 {\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax-1}}}
tan n
a
x d
x cos 2
a
x =
1 a
(
n
+
1
)
tan n
+
1
a
x
+
C (for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\,dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n+1)}}\tan ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}}
cot n
a
x d
x cos 2
a
x =
1 a
(
1
−
n
)
tan 1
−
n
a
x
+
C (for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\,dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(1-n)}}\tan ^{1-n}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
(
sin
a
x
)
(
tan
a
x
) d
x
=
1
a
(
ln
| sec
a
x
+
tan
a
x | −
sin
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int (\sin ax)(\tan ax)\,dx={\frac {1}{a}}(\ln |\sec ax+\tan ax|-\sin ax)+C}
∫
tan n
a
x d
x sin 2
a
x =
1 a
(
n
−
1
)
tan n
−
1
(
a
x
)
+
C (for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\,dx}{\sin ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}(ax)+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
csc
a
x
d
x
=
−
1
a
ln
| csc
a
x +
cot
a
x
|
+
C
=
1
a
ln
| csc
a
x −
cot
a
x
|
+
C
=
1
a
ln
| tan
( a
x 2
) |
+
C
{\displaystyle \int \csc {ax}\,dx=-{\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|}+C={\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}-\cot {ax}\right|}+C={\frac {1}{a}}\ln {\left|\tan {\left({\frac {ax}{2}}\right)}\right|}+C}
∫ csc 2
x d x
=
−
cot
x +
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\,\mathrm {d} x=-\cot {x}+C}
∫ csc n
a
x d x
=
−
csc n
−
1
( a
x ) cot
( a
x ) a
(
n
−
1
)
+
n
−
2
n
−
1 ∫ csc n
−
2
a
x d x (
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \csc ^{n}{ax}\,\mathrm {d} x=-{\frac {\csc ^{n-1}\left(ax\right)\cot \left(ax\right)}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}{ax}\,\mathrm {d} x\qquad (n\neq 1)\,\!}
∫
d x
csc
x +
1 =
x
− 2
sin
x
2
cos
x
2
+
sin
x
2 +
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\csc {x}+1}}=x-{\frac {2\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}}}+C}
∫
d x
csc
x −
1 = 2
sin
x
2
cos
x
2
−
sin
x
2 −
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\csc {x}-1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}-\sin {\frac {x}{2}}}}-x+C}
sec
a
x d x
=
1
a
ln
| sec
a
x +
tan
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\ln {\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|}+C}
∫ sec 2
x d x
=
tan
x +
C
{\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\,\mathrm {d} x=\tan {x}+C}
∫ sec 3
x d
x
=
1
2
sec
x
tan
x
+
1
2
ln
| sec
x
+
tan
x | +
C
.
{\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C.}
∫ sec n
a
x d x
=
sec n
−
2
a
x tan
a
x a
(
n
−
1
)
+
n
−
2
n
−
1 ∫ sec n
−
2
a
x d x (
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \sec ^{n}{ax}\,\mathrm {d} x={\frac {\sec ^{n-2}{ax}\tan {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{ax}\,\mathrm {d} x\qquad (n\neq 1)\,\!}
∫
d x
sec
x +
1 =
x
−
tan
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sec {x}+1}}=x-\tan {\frac {x}{2}}+C}
(
sec
x
)
(
tan
x
) d
x
=
sec
x
+
C
{\displaystyle \int (\sec x)(\tan x)\,dx=\sec x+C}
x
cos
a
x
±
sin
a
x =
1 a
2 ln
| tan
(
a
x 2
±
π
8 )
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax\pm \sin ax}}={\frac {1}{a{\sqrt {2}}}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}\pm {\frac {\pi }{8}}\right)\right|+C}
∫ d
x
(
cos
a
x
±
sin
a
x ) 2 =
1 2
a tan
( a
x
∓
π
4 ) +
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos ax\pm \sin ax)^{2}}}={\frac {1}{2a}}\tan \left(ax\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}
∫ d
x
(
cos
x
+
sin
x ) n =
1 n
−
1
(
sin
x
−
cos
x
(
cos
x
+
sin
x ) n
−
1 −
2
(
n
−
2
)
∫ d
x
(
cos
x
+
sin
x ) n
−
2
) {\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)^{n-1}}}-2(n-2)\int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n-2}}}\right)}
∫ cos
a
x d
x
cos
a
x
+
sin
a
x =
x
2
+
1 2
a ln
| sin
a
x
+
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}
∫ cos
a
x d
x
cos
a
x
−
sin
a
x =
x
2
−
1 2
a ln
| sin
a
x
−
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\cos ax-\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}
∫ sin
a
x d
x
cos
a
x
+
sin
a
x =
x
2
−
1 2
a ln
| sin
a
x
+
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}
∫ sin
a
x d
x
cos
a
x
−
sin
a
x =
−
x
2
−
1 2
a ln
| sin
a
x
−
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ax-\sin ax}}=-{\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}
∫ cos
a
x d
x
(
sin
a
x
)
(
1
+
cos
a
x
) =
−
1 4
a
tan 2
a
x 2
+
1 2
a ln
| tan
a
x 2 | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1+\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\tan ^{2}{\frac {ax}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫ cos
a
x d
x
(
sin
a
x
)
(
1
−
cos
a
x
) =
−
1 4
a
cot 2
a
x 2
−
1 2
a ln
| tan
a
x 2 | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1-\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\cot ^{2}{\frac {ax}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫ sin
a
x d
x
(
cos
a
x
)
(
1
+
sin
a
x
) =
1 4
a
cot 2
(
a
x 2
+
π
4 ) +
1 2
a ln
| tan
(
a
x 2
+
π
4 )
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1+\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\cot ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫ sin
a
x d
x
(
cos
a
x
)
(
1
−
sin
a
x
) =
1 4
a
tan 2
(
a
x 2
+
π
4 ) −
1 2
a ln
| tan
(
a
x 2
+
π
4 )
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1-\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\tan ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫
(
sin
a
x
)
(
cos
a
x
) d
x
=
1 2
a
sin 2
a
x
+
C
{\displaystyle \int (\sin ax)(\cos ax)\,dx={\frac {1}{2a}}\sin ^{2}ax+C}
∫
(
sin
a 1
x
)
(
cos
a 2
x
) d
x
=
− cos
(
( a 1
− a 2
)
x
)
2
( a 1
− a 2
) − cos
(
( a 1
+ a 2
)
x
)
2
( a 1
+ a 2
) +
C (for |
a 1 | ≠ |
a 2 | )
{\displaystyle \int (\sin a_{1}x)(\cos a_{2}x)\,dx=-{\frac {\cos((a_{1}-a_{2})x)}{2(a_{1}-a_{2})}}-{\frac {\cos((a_{1}+a_{2})x)}{2(a_{1}+a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}}
∫
( sin n
a
x
)
(
cos
a
x
) d
x
=
1 a
(
n
+
1
)
sin n
+
1
a
x
+
C (for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int (\sin ^{n}ax)(\cos ax)\,dx={\frac {1}{a(n+1)}}\sin ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}}
∫
(
sin
a
x
)
( cos n
a
x
) d
x
=
−
1 a
(
n
+
1
)
cos n
+
1
a
x
+
C (for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int (\sin ax)(\cos ^{n}ax)\,dx=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cos ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}}
∫
( sin n
a
x
)
( cos m
a
x
) d
x =
− ( sin n
−
1
a
x
)
( cos m
+
1
a
x
)
a
(
n
+
m
) + n
−
1
n
+
m ∫
( sin n
−
2
a
x
)
( cos m
a
x
) d
x (for
m
,
n
>
0
)
= ( sin n
+
1
a
x
)
( cos m
−
1
a
x
)
a
(
n
+
m
) + m
−
1
n
+
m ∫
( sin n
a
x
)
( cos m
−
2
a
x
) d
x (for
m
,
n
>
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int (\sin ^{n}ax)(\cos ^{m}ax)\,dx&=-{\frac {(\sin ^{n-1}ax)(\cos ^{m+1}ax)}{a(n+m)}}+{\frac {n-1}{n+m}}\int (\sin ^{n-2}ax)(\cos ^{m}ax)\,dx\qquad {\mbox{(for }}m,n>0{\mbox{)}}\\&={\frac {(\sin ^{n+1}ax)(\cos ^{m-1}ax)}{a(n+m)}}+{\frac {m-1}{n+m}}\int (\sin ^{n}ax)(\cos ^{m-2}ax)\,dx\qquad {\mbox{(for }}m,n>0{\mbox{)}}\end{aligned}}}
∫ d
x
(
sin
a
x
)
(
cos
a
x
) =
1
a
ln
| tan
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ax)}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan ax\right|+C}
∫ d
x
(
sin
a
x
)
( cos n
a
x
) =
1 a
(
n
−
1
) cos n
−
1
a
x +
∫ d
x
(
sin
a
x
)
( cos n
−
2
a
x
)
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ^{n}ax)}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ^{n-2}ax)}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫ d
x
( sin n
a
x
)
(
cos
a
x
) =
−
1 a
(
n
−
1
) sin n
−
1
a
x +
∫ d
x
( sin n
−
2
a
x
)
(
cos
a
x
)
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ^{n}ax)(\cos ax)}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{(\sin ^{n-2}ax)(\cos ax)}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫ sin
a
x d
x cos n
a
x =
1 a
(
n
−
1
) cos n
−
1
a
x +
C (for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
sin 2
a
x d
x
cos
a
x =
−
1
a
sin
a
x
+
1
a
ln
| tan
( π
4
+ a
x 2 )
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\,dx}{\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\sin ax+{\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}
∫
sin 2
a
x d
x cos n
a
x = sin
a
x
a
(
n
−
1
) cos n
−
1
a
x −
1 n
−
1 ∫ d
x cos n
−
2
a
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\,dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
sin n
a
x d
x
cos
a
x =
−
sin n
−
1
a
x
a
(
n
−
1
) +
∫
sin n
−
2
a
x d
x
cos
a
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-1)}}+\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
sin n
a
x d
x cos m
a
x =
{ sin n
+
1
a
x
a
(
m
−
1
) cos m
−
1
a
x − n
−
m
+
2
m
−
1 ∫
sin n
a
x d
x cos m
−
2
a
x (for
m
≠
1
)
sin n
−
1
a
x
a
(
m
−
1
) cos m
−
1
a
x − n
−
1
m
−
1 ∫
sin n
−
2
a
x d
x cos m
−
2
a
x (for
m
≠
1
)
−
sin n
−
1
a
x
a
(
n
−
m
) cos m
−
1
a
x + n
−
1
n
−
m ∫
sin n
−
2
a
x d
x cos m
a
x (for
m
≠
n
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ^{m}ax}}={\begin{cases}{\frac {\sin ^{n+1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ^{m-2}ax}}&{\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\\{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ^{m-2}ax}}&{\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\\-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-m)\cos ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ^{m}ax}}&{\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\end{cases}}}
∫ cos
a
x d
x sin n
a
x =
−
1 a
(
n
−
1
) sin n
−
1
a
x +
C (for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
cos 2
a
x d
x
sin
a
x =
1
a ( cos
a
x
+
ln
| tan
a
x 2 |
) +
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\,dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\left(\cos ax+\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|\right)+C}
∫
cos 2
a
x d
x sin n
a
x =
−
1 n
−
1
(
cos
a
x
a sin n
−
1
a
x +
∫ d
x sin n
−
2
a
x
)
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\,dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\cos ax}{a\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\right)\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
cos n
a
x d
x sin m
a
x =
{ −
cos n
+
1
a
x
a
(
m
−
1
) sin m
−
1
a
x − n
−
m
+
2
m
−
1 ∫
cos n
a
x d
x sin m
−
2
a
x (for
m
≠
1
)
−
cos n
−
1
a
x
a
(
m
−
1
) sin m
−
1
a
x − n
−
1
m
−
1 ∫
cos n
−
2
a
x d
x sin m
−
2
a
x (for
m
≠
1
)
cos n
−
1
a
x
a
(
n
−
m
) sin m
−
1
a
x + n
−
1
n
−
m ∫
cos n
−
2
a
x d
x sin m
a
x (for
m
≠
n
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\,dx}{\sin ^{m}ax}}={\begin{cases}-{\frac {\cos ^{n+1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n}ax\,dx}{\sin ^{m-2}ax}}&{\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\\-{\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\,dx}{\sin ^{m-2}ax}}&{\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\\{\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(n-m)\sin ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\,dx}{\sin ^{m}ax}}&{\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\end{cases}}}
cos
a
x
d x
=
1
a
sin
a
x
+
C
{\displaystyle \int \cos ax\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\sin ax+C\,\!}
∫ cos 2
a
x d x
=
x
2
+
1 4
a sin
2
a
x
+
C
=
x
2
+
1 2
a sin
a
x
cos
a
x
+
C {\displaystyle \int \cos ^{2}{ax}\;\mathrm {d} x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C\!}
∫ cos n
a
x
d x
=
cos n
−
1
a
x
sin
a
x
n
a + n
−
1 n
∫ cos n
−
2
a
x
d x (for
n
>
0
)
{\displaystyle \int \cos ^{n}ax\;\mathrm {d} x={\frac {\cos ^{n-1}ax\sin ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}ax\;\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
∫
x
cos
a
x
d x
= cos
a
x
a 2
+ x
sin
a
x a
+
C
{\displaystyle \int x\cos ax\;\mathrm {d} x={\frac {\cos ax}{a^{2}}}+{\frac {x\sin ax}{a}}+C\,\!}
∫ x 2 cos 2
a
x d x
= x 3
6
+ (
x 2 4
a −
1 8 a 3
) sin
2
a
x
+
x 4 a 2 cos
2
a
x
+
C {\displaystyle \int x^{2}\cos ^{2}{ax}\;\mathrm {d} x={\frac {x^{3}}{6}}+\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax+{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C\!}
∫ x n
cos
a
x
d x
=
x n
sin
a
x a
−
n
a
∫ x n
−
1
sin
a
x
d x = ∑ k
=
0
2
k
+
1
≤
n
(
−
1 ) k x n
−
2
k
−
1 a 2
+
2
k n
!
(
n
−
2
k
−
1
)
! cos
a
x
+ ∑ k
=
0
2
k
≤
n
(
−
1 ) k x n
−
2
k a 1
+
2
k n
!
(
n
−
2
k
)
! sin
a
x {\displaystyle \int x^{n}\cos ax\;\mathrm {d} x={\frac {x^{n}\sin ax}{a}}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\sin ax\;\mathrm {d} x\,=\sum _{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\sin ax\!}
∫ cos
a
x x d x
=
ln
| a
x | + ∑ k
=
1
∞
(
−
1 ) k (
a
x ) 2
k
2
k
⋅
(
2
k
)
! +
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x}}\mathrm {d} x=\ln |ax|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(ax)^{2k}}{2k\cdot (2k)!}}+C\,\!}
∫ cos
a
x
x n d x
=
− cos
a
x
(
n
−
1
) x n
−
1 −
a n
−
1 ∫ sin
a
x
x n
−
1 d x (for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x^{n}}}\mathrm {d} x=-{\frac {\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\sin ax}{x^{n-1}}}\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d x
cos
a
x =
1
a
ln
| tan
(
a
x 2
+
π
4 )
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫
d x cos n
a
x = sin
a
x
a
(
n
−
1
) cos n
−
1
a
x + n
−
2
n
−
1 ∫
d x cos n
−
2
a
x
(for
n
>
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {\mathrm {d} x}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d x
1
+
cos
a
x =
1
a
tan
a
x 2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{1+\cos ax}}={\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
∫
d x
1
−
cos
a
x =
−
1
a
cot
a
x 2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{1-\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C}
∫ x
d x
1
+
cos
a
x =
x
a
tan
a
x 2
+
2 a 2
ln
| cos
a
x 2 | +
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;\mathrm {d} x}{1+\cos ax}}={\frac {x}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫ x
d x
1
−
cos
a
x =
−
x
a
cot
a
x 2
+
2 a 2
ln
| sin
a
x 2 | +
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;\mathrm {d} x}{1-\cos ax}}=-{\frac {x}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫ cos
a
x
d x
1
+
cos
a
x =
x
−
1
a
tan
a
x 2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;\mathrm {d} x}{1+\cos ax}}=x-{\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
∫ cos
a
x
d x
1
−
cos
a
x =
−
x
−
1
a
cot
a
x 2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;\mathrm {d} x}{1-\cos ax}}=-x-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
∫
cos
a 1
x
cos
a 2
x
d x
= sin
( a 2
− a 1
)
x
2
( a 2
− a 1
) + sin
( a 2
+ a 1
)
x
2
( a 2
+ a 1
) +
C (for |
a 1 | ≠ |
a 2 | )
{\displaystyle \int \cos a_{1}x\cos a_{2}x\;\mathrm {d} x={\frac {\sin(a_{2}-a_{1})x}{2(a_{2}-a_{1})}}+{\frac {\sin(a_{2}+a_{1})x}{2(a_{2}+a_{1})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}\,\!}
tan
a
x
d x
=
−
1
a
ln
| cos
a
x | +
C
=
1
a
ln
| sec
a
x | +
C
{\displaystyle \int \tan ax\;\mathrm {d} x=-{\frac {1}{a}}\ln |\cos ax|+C={\frac {1}{a}}\ln |\sec ax|+C\,\!}
∫ tan 2
x d x
=
tan
x −
x
+
C
{\displaystyle \int \tan ^{2}{x}\,\mathrm {d} x=\tan {x}-x+C}
∫ tan n
a
x
d x
=
1 a
(
n
−
1
)
tan n
−
1
a
x
−
∫ tan n
−
2
a
x
d x (for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \tan ^{n}ax\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}ax-\int \tan ^{n-2}ax\;\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d x
q
tan
a
x
+
p =
1
p 2
+ q 2 (
p
x
+
q
a
ln
| q
sin
a
x
+
p
cos
a
x | )
+
C (for p 2
+ q 2
≠
0
)
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{q\tan ax+p}}={\frac {1}{p^{2}+q^{2}}}(px+{\frac {q}{a}}\ln |q\sin ax+p\cos ax|)+C\qquad {\mbox{(for }}p^{2}+q^{2}\neq 0{\mbox{)}}\,\!}
∫
d x
tan
a
x
+
1 =
x
2
+
1 2
a ln
| sin
a
x
+
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!}
∫
d x
tan
a
x
−
1 =
−
x
2
+
1 2
a ln
| sin
a
x
−
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\tan ax-1}}=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!}
∫ tan
a
x
d x
tan
a
x
+
1 =
x
2
−
1 2
a ln
| sin
a
x
+
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\tan ax\;\mathrm {d} x}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!}
∫ tan
a
x
d x
tan
a
x
−
1 =
x
2
+
1 2
a ln
| sin
a
x
−
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\tan ax\;\mathrm {d} x}{\tan ax-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!}
هذه قائمة ببعض تكاملات الدوال المثلثية. في كل هذه الصيغ نعتبر
a
{\displaystyle a}
غير منعدم و
C
{\displaystyle C}
هي ثابتة التكامل.
تكاملات تحتوي على كل من الجيب وظل التمام
∫cot n
a
x d
x sin 2
a
x =
−
1 a
(
n
+
1
)
cot n
+
1
a
x
+
C (for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\,dx}{\sin ^{2}ax}}=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cot ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}}
تكاملات مثلثية تحتوي فقط على الجيب
∫sin
a
x d
x
=
−
1
a
cos
a
x
+
C
{\displaystyle \int \sin ax\;dx=-{\frac {1}{a}}\cos ax+C\,\!}
∫ sin 2
a
x
d
x
=
x
2
−
1 4
a sin
2
a
x
+
C
=
x
2
−
1 2
a sin
a
x
cos
a
x
+
C {\displaystyle \int \sin ^{2}{ax}\;dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C\!}
∫
sin
a 1
x
sin
a 2
x d
x
= sin
[
( a 1
− a 2
)
x
]
2
( a 1
− a 2
) − sin
[
( a 1
+ a 2
)
x
]
2
( a 1
+ a 2
) +
C (for |
a 1 | ≠ |
a 2 | )
{\displaystyle \int \sin a_{1}x\sin a_{2}x\;dx={\frac {\sin[(a_{1}-a_{2})x]}{2(a_{1}-a_{2})}}-{\frac {\sin[(a_{1}+a_{2})x]}{2(a_{1}+a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}\,\!}
∫ sin n
a
x
d
x
=
−
sin n
−
1
a
x
cos
a
x
n
a + n
−
1 n
∫ sin n
−
2
a
x d
x (for
n
>
0
)
{\displaystyle \int \sin ^{n}{ax}\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
∫ d
x
sin
a
x =
1
a
ln
| tan
a
x 2 | +
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫ d
x sin n
a
x = cos
a
x
a
(
1
−
n
) sin n
−
1
a
x + n
−
2
n
−
1 ∫ d
x sin n
−
2
a
x
(for
n
>
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}ax}}={\frac {\cos ax}{a(1-n)\sin ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}\,\!}
∫
x
sin
a
x d
x
= sin
a
x
a 2
− x
cos
a
x a
+
C
{\displaystyle \int x\sin ax\;dx={\frac {\sin ax}{a^{2}}}-{\frac {x\cos ax}{a}}+C\,\!}
∫ x n
sin
a
x d
x
=
− x n
a
cos
a
x
+
n
a
∫ x n
−
1
cos
a
x d
x (for
n
>
0
)
{\displaystyle \int x^{n}\sin ax\;dx=-{\frac {x^{n}}{a}}\cos ax+{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\cos ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!} ∫ −
a 2
a
2
x 2 sin 2
n
π
x a d
x
=
a 3
( n 2 π 2
−
6
)
24 n 2 π 2
(for
n
=
2
,
4
,
6...
)
{\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(for }}n=2,4,6...{\mbox{)}}\,\!}
∫ sin
a
x x
d
x
= ∑ n
=
0
∞
(
−
1 ) n (
a
x ) 2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
⋅
(
2
n
+
1
)
! +
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x}}dx=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}+C\,\!}
∫ sin
a
x
x n
d
x
=
− sin
a
x
(
n
−
1
) x n
−
1 +
a n
−
1 ∫ cos
a
x
x n
−
1
d
x
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x^{n}}}dx=-{\frac {\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\cos ax}{x^{n-1}}}dx\,\!}
∫ d
x
1
±
sin
a
x =
1
a
tan
(
a
x 2
∓
π
4 ) +
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1\pm \sin ax}}={\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}
∫ x d
x
1
+
sin
a
x =
x
a
tan
(
a
x 2
−
π
4 ) +
2 a 2
ln
| cos
(
a
x 2
−
π
4 )
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\sin ax}}={\frac {x}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫ x d
x
1
−
sin
a
x =
x
a
cot
( π
4
− a
x 2 ) +
2 a 2
ln
| sin
( π
4
− a
x 2 )
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\sin ax}}={\frac {x}{a}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}
∫ sin
a
x d
x
1
±
sin
a
x =
±
x
+
1
a
tan
( π
4
∓ a
x 2 ) +
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{1\pm \sin ax}}=\pm x+{\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {ax}{2}}\right)+C}
تكاملات تحتوي على كل من ظل التمام وقاطع التمام
∫(
csc
x
)
(
cot
x
) d
x
=
−
csc
x
+
C
{\displaystyle \int (\csc x)(\cot x)\,dx=-\csc x+C} عنتقائمة التكاملات
قائمة تكاملات الدوال الكسرية
قائمة تكاملات الدوال غير الكسرية
قائمة تكاملات الدوال المثلثية
قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية
قائمة تكاملات الدوال الزائدية
قائمة تكاملات الدوال الزائدية العكسية
قائمة تكاملات الدوال الأسية
قائمة تكاملات الدوال اللوغاريتمية
قائمة التكاملات الغوصية [الإنجليزية]
قائمة التكاملات المحددة [الإنجليزية] عنتمواضيع التفاضل والتكاملما قبل حساب التفاضل والتكامل [الإنجليزية]
مبرهنة ذي الحدين
دوال
خطيَّة
مُستمِرة
مُقعَّرة
العاملي
فرق محدود
المتغير الحر والمتغير المقيد
تمثيل الدالة البياني
ميل المستقيم
راديان
مبرهنة رول
القاطع
المماس
النهايات
صيغة غير مُحدَّدة
نهاية دالة
وحيدة الجانب
نهاية متتالية
درجة التقريب
حساب التفاضل
مُشتَق
تفاضلي [الإنجليزية]
معادلة تفاضلية
مؤثر تفاضلي
مبرهنة القيمة المتوسطة
تدوين التفاضل [الإنجليزية]
لايبنز
نيوتن [الإنجليزية]
قواعد التفاضل
الخطيَّة
الرفع إلى أُس
السلسلة
لوبيتال
الضرب
قاعدة لايبنيز العامة
ناتج القسمة
تقنيات أخرى
الدوال العكسية
اللوغاريتم
المعدلات المرتبطة
نقاط الثبات
اختبار المشتق
مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
النقاط الحرجة
تطبيقات أُخرى
طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
سلسلة تايلور
حساب التكامل
المبرهنة الأساسية
مُشتَق التكامل
ثابت التكامل
بالتجزئة
بالتعويض
مُثلثي
أويلر [الإنجليزية]
فايرشتراس [الإنجليزية]
تربيعي [الإنجليزية]
شبه المنحرف
مُشتَق عكسي
طول القوس
الحجوم
بالأقراص
بالطبقات الأسطوانية
حساب المتجهات
مشتق اتجاهي
المؤثرات
دوران
تباعد
تدرج
لابلاس
مبرهنات رئيسة
التدرُّج
التباعد
غرين
كلفن وستوكس
حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات
مبرهنة التباعد
حساب المصفوفات
حساب هندسي
ياكوبية
هيسية
معامل لاغرانج
تكاملات
خط
سطح
حجم
متعدد
مشتق جزئي
مواضيع مُتقدِّمة
أشكال تفاضلية
مشتق خارجي
مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
حساب المُوتِّر
المتتاليات والسلاسل
متتالية حسابية هندسية [الإنجليزية]
أنواع السلاسل
متناوبة
ذات حدين
فورييه
هندسية
متناسقة
قوى
تايلور
متداخلة
اختبارات التقارب
أبيل [الإنجليزية]
السلاسل المتناوبة [الإنجليزية]
كوشي للتكثيف [الإنجليزية]
المقارنة المباشرة [الإنجليزية]
دركليه
التكامل [الإنجليزية]
مقارنة النهايات [الإنجليزية]
النسبة
الأصل [الإنجليزية]
الحد النوني
دوال وأرقام مُميَّزة
أعداد برنولي
ثابت أويلر
دالة أسية
لوغاريتم طبيعي
تقريب ستيرلينغ
تاريخ التفاضل والتكامل
شخصيات
تايلور
ماكلورين
لايبنتس
نيوتن
أويلر
مفاهيم
تسوية [الإنجليزية]
المتناهيات في الصغر
التدفق
قانون الاستمرارية [الإنجليزية]
عمومية الجبر [الإنجليزية]
كتب
طريقة المبرهنات الميكانيكية
طرق التدفق
قوائم
قواعد التفاضل
تكاملات الدوال
اللوغاريتمية
الأسية
المثلثية
العكسية
القواطع [الإنجليزية]
المُكعَّبة [الإنجليزية]
الزائدية
العكسية
الكسرية
غير الكسرية
النهايات
مواضيع متنوعة
الانحناء
هندسة تفاضلية
للمنحنيات
للسطوح [الإنجليزية]
صيغة أويلر وماكلورين
بوق جبريل
إثبات أن 22/7 أكبر من π
مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى [الإنجليزية]
مجسم شتاينميتز [الإنجليزية]
تصنيف • كومنز بوابة رياضيات • بوابة تحليل رياضي • بوابة هندسة رياضية بوابة رياضيات
بوابة تحليل رياضي
تكاملات مثلثية تحتوي فقط على ظل التمام
∫cot
a
x d
x
=
1
a
ln
| sin
a
x | +
C
{\displaystyle \int \cot ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln |\sin ax|+C}
∫ cot n
a
x d
x
=
−
1 a
(
n
−
1
)
cot n
−
1
a
x
−
∫ cot n
−
2
a
x d
x (for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \cot ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\cot ^{n-1}ax-\int \cot ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫ d
x
1
+
cot
a
x =
∫ tan
a
x d
x
tan
a
x
+
1 {\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax+1}}}
∫ d
x
1
−
cot
a
x =
∫ tan
a
x d
x
tan
a
x
−
1 {\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\,dx}{\tan ax-1}}}
تكاملات تحتوي على كل من جيب التمام والظل
∫tan n
a
x d
x cos 2
a
x =
1 a
(
n
+
1
)
tan n
+
1
a
x
+
C (for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\,dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n+1)}}\tan ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}}
تكاملات تحتوي على كل من جيب التمام وظل التمام
∫cot n
a
x d
x cos 2
a
x =
1 a
(
1
−
n
)
tan 1
−
n
a
x
+
C (for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\,dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(1-n)}}\tan ^{1-n}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
تكاملات تحتوي على كل من الجيب والظل
∫(
sin
a
x
)
(
tan
a
x
) d
x
=
1
a
(
ln
| sec
a
x
+
tan
a
x | −
sin
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int (\sin ax)(\tan ax)\,dx={\frac {1}{a}}(\ln |\sec ax+\tan ax|-\sin ax)+C}
∫
tan n
a
x d
x sin 2
a
x =
1 a
(
n
−
1
)
tan n
−
1
(
a
x
)
+
C (for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\,dx}{\sin ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}(ax)+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
تكاملات مثلثية تحتوي فقط على قاطع التمام
∫csc
a
x
d
x
=
−
1
a
ln
| csc
a
x +
cot
a
x
|
+
C
=
1
a
ln
| csc
a
x −
cot
a
x
|
+
C
=
1
a
ln
| tan
( a
x 2
) |
+
C
{\displaystyle \int \csc {ax}\,dx=-{\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|}+C={\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}-\cot {ax}\right|}+C={\frac {1}{a}}\ln {\left|\tan {\left({\frac {ax}{2}}\right)}\right|}+C}
∫ csc 2
x d x
=
−
cot
x +
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\,\mathrm {d} x=-\cot {x}+C}
∫ csc n
a
x d x
=
−
csc n
−
1
( a
x ) cot
( a
x ) a
(
n
−
1
)
+
n
−
2
n
−
1 ∫ csc n
−
2
a
x d x (
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \csc ^{n}{ax}\,\mathrm {d} x=-{\frac {\csc ^{n-1}\left(ax\right)\cot \left(ax\right)}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}{ax}\,\mathrm {d} x\qquad (n\neq 1)\,\!}
∫
d x
csc
x +
1 =
x
− 2
sin
x
2
cos
x
2
+
sin
x
2 +
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\csc {x}+1}}=x-{\frac {2\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}}}+C}
∫
d x
csc
x −
1 = 2
sin
x
2
cos
x
2
−
sin
x
2 −
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\csc {x}-1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}-\sin {\frac {x}{2}}}}-x+C}
تكاملات مثلثية تحتوي فقط على القاطع
∫sec
a
x d x
=
1
a
ln
| sec
a
x +
tan
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\ln {\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|}+C}
∫ sec 2
x d x
=
tan
x +
C
{\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\,\mathrm {d} x=\tan {x}+C}
∫ sec 3
x d
x
=
1
2
sec
x
tan
x
+
1
2
ln
| sec
x
+
tan
x | +
C
.
{\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C.}
∫ sec n
a
x d x
=
sec n
−
2
a
x tan
a
x a
(
n
−
1
)
+
n
−
2
n
−
1 ∫ sec n
−
2
a
x d x (
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \sec ^{n}{ax}\,\mathrm {d} x={\frac {\sec ^{n-2}{ax}\tan {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{ax}\,\mathrm {d} x\qquad (n\neq 1)\,\!}
∫
d x
sec
x +
1 =
x
−
tan
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sec {x}+1}}=x-\tan {\frac {x}{2}}+C}
تكاملات تحتوي على كل من القاطع والظل
∫(
sec
x
)
(
tan
x
) d
x
=
sec
x
+
C
{\displaystyle \int (\sec x)(\tan x)\,dx=\sec x+C}
تكاملات تحتوي على كل من الجيب وجيب التمام
∫ dx
cos
a
x
±
sin
a
x =
1 a
2 ln
| tan
(
a
x 2
±
π
8 )
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax\pm \sin ax}}={\frac {1}{a{\sqrt {2}}}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}\pm {\frac {\pi }{8}}\right)\right|+C}
∫ d
x
(
cos
a
x
±
sin
a
x ) 2 =
1 2
a tan
( a
x
∓
π
4 ) +
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos ax\pm \sin ax)^{2}}}={\frac {1}{2a}}\tan \left(ax\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}
∫ d
x
(
cos
x
+
sin
x ) n =
1 n
−
1
(
sin
x
−
cos
x
(
cos
x
+
sin
x ) n
−
1 −
2
(
n
−
2
)
∫ d
x
(
cos
x
+
sin
x ) n
−
2
) {\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)^{n-1}}}-2(n-2)\int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n-2}}}\right)}
∫ cos
a
x d
x
cos
a
x
+
sin
a
x =
x
2
+
1 2
a ln
| sin
a
x
+
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}
∫ cos
a
x d
x
cos
a
x
−
sin
a
x =
x
2
−
1 2
a ln
| sin
a
x
−
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\cos ax-\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}
∫ sin
a
x d
x
cos
a
x
+
sin
a
x =
x
2
−
1 2
a ln
| sin
a
x
+
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}
∫ sin
a
x d
x
cos
a
x
−
sin
a
x =
−
x
2
−
1 2
a ln
| sin
a
x
−
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ax-\sin ax}}=-{\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}
∫ cos
a
x d
x
(
sin
a
x
)
(
1
+
cos
a
x
) =
−
1 4
a
tan 2
a
x 2
+
1 2
a ln
| tan
a
x 2 | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1+\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\tan ^{2}{\frac {ax}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫ cos
a
x d
x
(
sin
a
x
)
(
1
−
cos
a
x
) =
−
1 4
a
cot 2
a
x 2
−
1 2
a ln
| tan
a
x 2 | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1-\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\cot ^{2}{\frac {ax}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫ sin
a
x d
x
(
cos
a
x
)
(
1
+
sin
a
x
) =
1 4
a
cot 2
(
a
x 2
+
π
4 ) +
1 2
a ln
| tan
(
a
x 2
+
π
4 )
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1+\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\cot ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫ sin
a
x d
x
(
cos
a
x
)
(
1
−
sin
a
x
) =
1 4
a
tan 2
(
a
x 2
+
π
4 ) −
1 2
a ln
| tan
(
a
x 2
+
π
4 )
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1-\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\tan ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫
(
sin
a
x
)
(
cos
a
x
) d
x
=
1 2
a
sin 2
a
x
+
C
{\displaystyle \int (\sin ax)(\cos ax)\,dx={\frac {1}{2a}}\sin ^{2}ax+C}
∫
(
sin
a 1
x
)
(
cos
a 2
x
) d
x
=
− cos
(
( a 1
− a 2
)
x
)
2
( a 1
− a 2
) − cos
(
( a 1
+ a 2
)
x
)
2
( a 1
+ a 2
) +
C (for |
a 1 | ≠ |
a 2 | )
{\displaystyle \int (\sin a_{1}x)(\cos a_{2}x)\,dx=-{\frac {\cos((a_{1}-a_{2})x)}{2(a_{1}-a_{2})}}-{\frac {\cos((a_{1}+a_{2})x)}{2(a_{1}+a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}}
∫
( sin n
a
x
)
(
cos
a
x
) d
x
=
1 a
(
n
+
1
)
sin n
+
1
a
x
+
C (for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int (\sin ^{n}ax)(\cos ax)\,dx={\frac {1}{a(n+1)}}\sin ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}}
∫
(
sin
a
x
)
( cos n
a
x
) d
x
=
−
1 a
(
n
+
1
)
cos n
+
1
a
x
+
C (for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int (\sin ax)(\cos ^{n}ax)\,dx=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cos ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}}
∫
( sin n
a
x
)
( cos m
a
x
) d
x =
− ( sin n
−
1
a
x
)
( cos m
+
1
a
x
)
a
(
n
+
m
) + n
−
1
n
+
m ∫
( sin n
−
2
a
x
)
( cos m
a
x
) d
x (for
m
,
n
>
0
)
= ( sin n
+
1
a
x
)
( cos m
−
1
a
x
)
a
(
n
+
m
) + m
−
1
n
+
m ∫
( sin n
a
x
)
( cos m
−
2
a
x
) d
x (for
m
,
n
>
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int (\sin ^{n}ax)(\cos ^{m}ax)\,dx&=-{\frac {(\sin ^{n-1}ax)(\cos ^{m+1}ax)}{a(n+m)}}+{\frac {n-1}{n+m}}\int (\sin ^{n-2}ax)(\cos ^{m}ax)\,dx\qquad {\mbox{(for }}m,n>0{\mbox{)}}\\&={\frac {(\sin ^{n+1}ax)(\cos ^{m-1}ax)}{a(n+m)}}+{\frac {m-1}{n+m}}\int (\sin ^{n}ax)(\cos ^{m-2}ax)\,dx\qquad {\mbox{(for }}m,n>0{\mbox{)}}\end{aligned}}}
∫ d
x
(
sin
a
x
)
(
cos
a
x
) =
1
a
ln
| tan
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ax)}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan ax\right|+C}
∫ d
x
(
sin
a
x
)
( cos n
a
x
) =
1 a
(
n
−
1
) cos n
−
1
a
x +
∫ d
x
(
sin
a
x
)
( cos n
−
2
a
x
)
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ^{n}ax)}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ^{n-2}ax)}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫ d
x
( sin n
a
x
)
(
cos
a
x
) =
−
1 a
(
n
−
1
) sin n
−
1
a
x +
∫ d
x
( sin n
−
2
a
x
)
(
cos
a
x
)
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ^{n}ax)(\cos ax)}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{(\sin ^{n-2}ax)(\cos ax)}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫ sin
a
x d
x cos n
a
x =
1 a
(
n
−
1
) cos n
−
1
a
x +
C (for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
sin 2
a
x d
x
cos
a
x =
−
1
a
sin
a
x
+
1
a
ln
| tan
( π
4
+ a
x 2 )
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\,dx}{\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\sin ax+{\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}
∫
sin 2
a
x d
x cos n
a
x = sin
a
x
a
(
n
−
1
) cos n
−
1
a
x −
1 n
−
1 ∫ d
x cos n
−
2
a
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\,dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
sin n
a
x d
x
cos
a
x =
−
sin n
−
1
a
x
a
(
n
−
1
) +
∫
sin n
−
2
a
x d
x
cos
a
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-1)}}+\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
sin n
a
x d
x cos m
a
x =
{ sin n
+
1
a
x
a
(
m
−
1
) cos m
−
1
a
x − n
−
m
+
2
m
−
1 ∫
sin n
a
x d
x cos m
−
2
a
x (for
m
≠
1
)
sin n
−
1
a
x
a
(
m
−
1
) cos m
−
1
a
x − n
−
1
m
−
1 ∫
sin n
−
2
a
x d
x cos m
−
2
a
x (for
m
≠
1
)
−
sin n
−
1
a
x
a
(
n
−
m
) cos m
−
1
a
x + n
−
1
n
−
m ∫
sin n
−
2
a
x d
x cos m
a
x (for
m
≠
n
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ^{m}ax}}={\begin{cases}{\frac {\sin ^{n+1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ^{m-2}ax}}&{\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\\{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ^{m-2}ax}}&{\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\\-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-m)\cos ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ^{m}ax}}&{\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\end{cases}}}
∫ cos
a
x d
x sin n
a
x =
−
1 a
(
n
−
1
) sin n
−
1
a
x +
C (for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
cos 2
a
x d
x
sin
a
x =
1
a ( cos
a
x
+
ln
| tan
a
x 2 |
) +
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\,dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\left(\cos ax+\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|\right)+C}
∫
cos 2
a
x d
x sin n
a
x =
−
1 n
−
1
(
cos
a
x
a sin n
−
1
a
x +
∫ d
x sin n
−
2
a
x
)
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\,dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\cos ax}{a\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\right)\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
cos n
a
x d
x sin m
a
x =
{ −
cos n
+
1
a
x
a
(
m
−
1
) sin m
−
1
a
x − n
−
m
+
2
m
−
1 ∫
cos n
a
x d
x sin m
−
2
a
x (for
m
≠
1
)
−
cos n
−
1
a
x
a
(
m
−
1
) sin m
−
1
a
x − n
−
1
m
−
1 ∫
cos n
−
2
a
x d
x sin m
−
2
a
x (for
m
≠
1
)
cos n
−
1
a
x
a
(
n
−
m
) sin m
−
1
a
x + n
−
1
n
−
m ∫
cos n
−
2
a
x d
x sin m
a
x (for
m
≠
n
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\,dx}{\sin ^{m}ax}}={\begin{cases}-{\frac {\cos ^{n+1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n}ax\,dx}{\sin ^{m-2}ax}}&{\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\\-{\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\,dx}{\sin ^{m-2}ax}}&{\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\\{\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(n-m)\sin ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\,dx}{\sin ^{m}ax}}&{\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\end{cases}}}
تكاملات مثلثية تحتوي فقط على جيب التمام
∫cos
a
x
d x
=
1
a
sin
a
x
+
C
{\displaystyle \int \cos ax\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\sin ax+C\,\!}
∫ cos 2
a
x d x
=
x
2
+
1 4
a sin
2
a
x
+
C
=
x
2
+
1 2
a sin
a
x
cos
a
x
+
C {\displaystyle \int \cos ^{2}{ax}\;\mathrm {d} x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C\!}
∫ cos n
a
x
d x
=
cos n
−
1
a
x
sin
a
x
n
a + n
−
1 n
∫ cos n
−
2
a
x
d x (for
n
>
0
)
{\displaystyle \int \cos ^{n}ax\;\mathrm {d} x={\frac {\cos ^{n-1}ax\sin ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}ax\;\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
∫
x
cos
a
x
d x
= cos
a
x
a 2
+ x
sin
a
x a
+
C
{\displaystyle \int x\cos ax\;\mathrm {d} x={\frac {\cos ax}{a^{2}}}+{\frac {x\sin ax}{a}}+C\,\!}
∫ x 2 cos 2
a
x d x
= x 3
6
+ (
x 2 4
a −
1 8 a 3
) sin
2
a
x
+
x 4 a 2 cos
2
a
x
+
C {\displaystyle \int x^{2}\cos ^{2}{ax}\;\mathrm {d} x={\frac {x^{3}}{6}}+\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax+{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C\!}
∫ x n
cos
a
x
d x
=
x n
sin
a
x a
−
n
a
∫ x n
−
1
sin
a
x
d x = ∑ k
=
0
2
k
+
1
≤
n
(
−
1 ) k x n
−
2
k
−
1 a 2
+
2
k n
!
(
n
−
2
k
−
1
)
! cos
a
x
+ ∑ k
=
0
2
k
≤
n
(
−
1 ) k x n
−
2
k a 1
+
2
k n
!
(
n
−
2
k
)
! sin
a
x {\displaystyle \int x^{n}\cos ax\;\mathrm {d} x={\frac {x^{n}\sin ax}{a}}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\sin ax\;\mathrm {d} x\,=\sum _{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\sin ax\!}
∫ cos
a
x x d x
=
ln
| a
x | + ∑ k
=
1
∞
(
−
1 ) k (
a
x ) 2
k
2
k
⋅
(
2
k
)
! +
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x}}\mathrm {d} x=\ln |ax|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(ax)^{2k}}{2k\cdot (2k)!}}+C\,\!}
∫ cos
a
x
x n d x
=
− cos
a
x
(
n
−
1
) x n
−
1 −
a n
−
1 ∫ sin
a
x
x n
−
1 d x (for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x^{n}}}\mathrm {d} x=-{\frac {\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\sin ax}{x^{n-1}}}\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d x
cos
a
x =
1
a
ln
| tan
(
a
x 2
+
π
4 )
| +
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫
d x cos n
a
x = sin
a
x
a
(
n
−
1
) cos n
−
1
a
x + n
−
2
n
−
1 ∫
d x cos n
−
2
a
x
(for
n
>
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {\mathrm {d} x}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d x
1
+
cos
a
x =
1
a
tan
a
x 2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{1+\cos ax}}={\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
∫
d x
1
−
cos
a
x =
−
1
a
cot
a
x 2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{1-\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C}
∫ x
d x
1
+
cos
a
x =
x
a
tan
a
x 2
+
2 a 2
ln
| cos
a
x 2 | +
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;\mathrm {d} x}{1+\cos ax}}={\frac {x}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫ x
d x
1
−
cos
a
x =
−
x
a
cot
a
x 2
+
2 a 2
ln
| sin
a
x 2 | +
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;\mathrm {d} x}{1-\cos ax}}=-{\frac {x}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫ cos
a
x
d x
1
+
cos
a
x =
x
−
1
a
tan
a
x 2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;\mathrm {d} x}{1+\cos ax}}=x-{\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
∫ cos
a
x
d x
1
−
cos
a
x =
−
x
−
1
a
cot
a
x 2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;\mathrm {d} x}{1-\cos ax}}=-x-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
∫
cos
a 1
x
cos
a 2
x
d x
= sin
( a 2
− a 1
)
x
2
( a 2
− a 1
) + sin
( a 2
+ a 1
)
x
2
( a 2
+ a 1
) +
C (for |
a 1 | ≠ |
a 2 | )
{\displaystyle \int \cos a_{1}x\cos a_{2}x\;\mathrm {d} x={\frac {\sin(a_{2}-a_{1})x}{2(a_{2}-a_{1})}}+{\frac {\sin(a_{2}+a_{1})x}{2(a_{2}+a_{1})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}\,\!}
تكاملات مثلثية تحتوي فقط على الظل
∫tan
a
x
d x
=
−
1
a
ln
| cos
a
x | +
C
=
1
a
ln
| sec
a
x | +
C
{\displaystyle \int \tan ax\;\mathrm {d} x=-{\frac {1}{a}}\ln |\cos ax|+C={\frac {1}{a}}\ln |\sec ax|+C\,\!}
∫ tan 2
x d x
=
tan
x −
x
+
C
{\displaystyle \int \tan ^{2}{x}\,\mathrm {d} x=\tan {x}-x+C}
∫ tan n
a
x
d x
=
1 a
(
n
−
1
)
tan n
−
1
a
x
−
∫ tan n
−
2
a
x
d x (for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \tan ^{n}ax\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}ax-\int \tan ^{n-2}ax\;\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d x
q
tan
a
x
+
p =
1
p 2
+ q 2 (
p
x
+
q
a
ln
| q
sin
a
x
+
p
cos
a
x | )
+
C (for p 2
+ q 2
≠
0
)
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{q\tan ax+p}}={\frac {1}{p^{2}+q^{2}}}(px+{\frac {q}{a}}\ln |q\sin ax+p\cos ax|)+C\qquad {\mbox{(for }}p^{2}+q^{2}\neq 0{\mbox{)}}\,\!}
∫
d x
tan
a
x
+
1 =
x
2
+
1 2
a ln
| sin
a
x
+
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!}
∫
d x
tan
a
x
−
1 =
−
x
2
+
1 2
a ln
| sin
a
x
−
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\tan ax-1}}=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!}
∫ tan
a
x
d x
tan
a
x
+
1 =
x
2
−
1 2
a ln
| sin
a
x
+
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\tan ax\;\mathrm {d} x}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!}
∫ tan
a
x
d x
tan
a
x
−
1 =
x
2
+
1 2
a ln
| sin
a
x
−
cos
a
x | +
C
{\displaystyle \int {\frac {\tan ax\;\mathrm {d} x}{\tan ax-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!}
شرح مبسط
هذه قائمة ببعض تكاملات الدوال المثلثية. في كل هذه الصيغ نعتبر
a
{\displaystyle a}
غير منعدم و
C
{\displaystyle C}
هي ثابتة التكامل.
شاركنا رأيك
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع [ تعرٌف على ] قائمة تكاملات الدوال المثلثية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 10/11/2023
اعلانات العرب الآن