[ رياضيات ] كيف تقوم بحساب الانحراف المعياري؟ 3 أمثلة لحل مسائل الانحراف المعياري # اخر تحديث اليوم 2024-04-28

تم النشر اليوم 2024-04-28 | كيف تقوم بحساب الانحراف المعياري؟ 3 أمثلة لحل مسائل الانحراف المعياري

أمثلة على كيفية حساب الانحراف المعياري

لكي نفهم أهمية الحساب المعياري، يجب عرض العديد من الأمثلة الهامة حول الانحراف المعياري، وهذا ما سنتعرف في النقاط التالية التي تعرض العديد من الأمثلة الرياضية باستخدام العلاقات والقوانين الحسابية المختلفة:
المثال الأول
ما هي قيمة الانحراف المعياري للقيم التالية:
6، 2، 3، 1؟
فما هو الحل؟
في البداية يتم التعبير عن حساب الانحراف المعياري عبر القانون التالي: الانحراف المعياري = iiمجموع (س-μ)²/نii√.
وبالتالي فإن المتوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها= (6+2+3+1)/4= 12/4 = 3.
ويمكن التعبير عن الانحراف المعياري من خلال عمل جدول نضع فيها خانة عن:
القيمة – المتوسط الحسابي
وبالتالي فإن القيمة 6 = 6-3=3
القيمة 3= 3-3= صفرالقيمة 2= 3-2= 1القيمة 1=3-1= 2
أما إذا تم حسابها عبر ( القيمة – المتوسط الحسابي)² فإن القيم 6-3-2-1 تكون على الترتيب: 9- صفر- 1- 4
أما المجموع = 14
وبالتالي فإن في النهاية يتم حساب الانحراف المعياري = (14/4)√ = 1.87 بالتقريب.
المثال الثاني
ما هو الانحراف المعياري للقيم التالية والتي تمثل العينات من أحد المجتمعات بالقيم التالية: 4، 6، 2، 2، 1؟
فما هو الحل؟


الحل يتم عبر هذه العلاقة الرياضية: الانحراف المعياري للعينة = iiمجموع (س-الوسط الحسابي للعينة)² / (ن-1)ii√.
أما الخطوة الأولى هي عبارة عن إيجاد الوسط الحسابي من خلال:
المتوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها = (6+4+2+2+1)/5 = 15/5 = 3.
وبالتالي الانحراف المعياري هو: الانحراف المعياري= ii16/(5-1)ii√ =2.
المثال الثالث
ما هو حساب الانحراف المعياري للقيم التالية: 4، 9، 11، 12، 17، 5، 8، 12، 14؟
فما هو حل هذه القيم؟
الحل عبر الخطوات التالي:
يتم الحل عبر العلاقة التالية: الانحراف المعياري = iiمجموع (س-μ)²/نii√.
وبالتالي فإن الخطوة التالية حساب المتوسط الحسابي والتي يتم حسابه عبر:
المتوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها = 4+9+11+12+17+5+8+12+14 = 92/9 = 10.222 بالتقريب.
وبالتالي يتم حساب الانحراف المعياري في النهاية عبر العلاقة التالية: الانحراف المعياري = ii139.55/9ii√ = 3.94.
هذه الأمثلة تبيّن أهمية الانحراف المعياري التي تُستخدم في الجوانب الحياتية وفي الحياة العملية، فقد تعرفنا منذ قليل على أهميته من خلال التنبؤ بالطقس، أو معرفة التقريب في التجارب والحصول على النتائج العلمية وأهميتها بالنسبة للأنشطة العملية في المصانع والمعامل وغيرها من الأنشطة.
الانحراف المعياري له أهمية كبيرة، وقد تعرفنا على هذه الأهمية من خلال هذا العرض السابق، لذلك علينا معرفة القوانين لحساب الانحراف المعياري حتى نستخدمها في الأمثلة العملية، وقد قمنا بالفعل بعرض هذه الأمثلة من خلال هذا المقال.
ومن هنا نكون قد أوضحنا موضوعنا النحراف المعياري بالتفصيل، وجدير بالذكر أنه لا يستخدم فقط في علم الاجتماع ولكنه يستخدم أيضا في العمليات التجارية والمالية، كما أن مهم للغاية في عمليات أخرى في السيكس سيجما وذلك لتحسين جودة الخدمات والمنتجات المقدمة، وكذلك يستخدم على نطاق واسع في المشاريع والمشروعات الكبرى، وسيكون صديق جيد ودائم لمن يعملون في مجالات الأعمال والمال.
مقولات رائعة عن الرياضيات
علمتني الرياضيات أنّه يمكننا الوصول لنتيجة صحيحة بأكثر من طريقة فلا تظن أنّك وحدك صاحب الحقيقة وأن كل من خالفك مخطئ، وأيضاً في درس المصفوفات صفوا أمنياتكم واحسنوا الظن بربكم فأمنياتكم اليوم هي واقعكم غداً باذن الله تعالى.الرياضيات علم صغير جداً، بحجم علم النحو بالنسبة للغة.الرياضيات هو العلم الذي لم يستطع العالم أن يستغنى عنه منذ آلاف السنين حتى الآن برغم الشكوى المستمرة منه طول هذه الفترة.بقدر ما تشير الحقائق الرياضية للواقع بقدر ما تكون غير مؤكدة، وبقدر ما تكون مؤكدة بقدر ما تكون غير واقعية.يرتكز كل عالمنا على أسس رياضية، وهذه الأسس متشابكة على نحو غير ظاهر في ثقافتنا، بالمعنى العميق للكلمة إن كنّا لا ننتبه دوماً إلى أي حد تؤثر الرياضيات على حياتنا، فلأنّنا نتجنبها بقدر ما نستطيع.

أنواع حساب الانحراف المعياري

هناك العديد من أنواع حساب الانحراف المعياري والتي تتمثل في:
الانحراف المعياري للعينة: وهو يعبر عنه الرمز S ويتم استخدام البيانات من خلال حساب الانحراف المعياري والتي لا تمثل كامل البيانات في المجتمع والدراسة، وذلك من خلال عينة منها بسبب كثرة المجموعة للعينة مثل أفراد وأعضاء الدراسة والمجتمع.
أما حساب الانحراف المعياري في هذه الحالة يمكن حسابه من خلال العلاقة الرياضية التالية: الانحراف المعياري للعينة = iiمجموع (س-الوسط الحسابي للعينة)² / (ن-1)ii√
ورمز ن هنا هو عدد القيم – ( ن-1) وتُسمى بتصحيح باسل أو Bessel’s correction
أما س = لقيم المشمولة في الدراسة.
الانحراف المعياري للمجتمع ويتم التعبير عنه بالرمز (σ) ويُعرف أيضاً باسم Population Standard Deviation أما عن أهميته فهو يُستخدم للتعبير عن كافة أفراد المجتمع والدراسة مثل البيانات لحساب الانحراف المعياري.
أما القانون لهذا النوع من حساب الانحراف المعياري فهو: الانحراف المعياري للمجتمع = iiمجموع (س-μ)²/نii√.
حساب الانحراف المعياري للجداول التكرارية: وهو نوع هام للغاية لحساب الانحراف المعياري لحساب الفئات المختلفة بحساب التكرار، وذلك من خلال العلاقة الرياضية التالية: مركز الفئة (الحد الأعلى للفئة+الحد الأدنى للفئة)/2


وكذلك يتم التعبير عنه بحساب المتوسط الحسابي للمسألة في البداية من خلال العلاقة التالية: (مركز الفئة×التكرار)/مجموع التكرارات
ثم يتم حساب الانحراف المعياري التكراري في هذا النوع عبر هذا القانون:
حساب الانحراف المعياري = iiمجموع (التكرار×(مركز الفئة – المتوسط الحسابي)²)/مجموع التكراراتii√

حساب الانحراف المعياري

الانحراف المعياري هو عبارة مقدار بُعد البيانات والانتشار بالنسبة للوسط الحسابي، ويتم في العادة رمزه رياضياً بالرمز (σ) أما عن طريقة حسابه يتم طريق حساب الجذر التربيعي للتباين، أما عن أهمية حساب الانحراف المعياري فهناك العديد من الجوانب العملية الرياضية التي تدل على أهميته والتي نتعرف بالتفصيل من خلال هذا المقال، كما نتعرف على العديد من الأمثلة الهامة التي تتحدث عن الانحراف المعياري وطريقة وخطوات حسابه.

أهمية الانحراف المعياري في الحياة العملية

الانحراف المعياري أهميته تكمن في قياس تشتت البيانات ومقدار الاختلاف بينها، وكيفية تحديد انتشار البيانات وبعدها عن بعضها البعض، وعن المتوسط الحسابي والانحراف المعياري لمجموعة البيانات.
أما عن المتوسط الحسابي، يتم تحديده من خلال تحديد مركز هذه البيانات ومنتصفها، وماهو المقدار الهامة لارتفاع المنحنى الطبيعي وكلما اقترب الانحراف المعياري من القيمة ( O) وبالتالي القيمة الموجودة هي الأكثر قرباً للمتوسط الحسابي، وكذلك يمكن نشر القيمة من الانحراف المعياري من خلال بعد القيمة عن المتوسط الحسابي.
ويعد الانحراف المعياري من أهم المقاييس التي تُحسب في كثير من التجارب العلمية وفي الانشطة الصناعية العديدة وكذلك قيمة التأكد من مدى دقة التجارب المختلفة، وكلما كانت قيمة الانحراف المعياري قليلة، فهذا يعني أن البيانات في هذه التجارب هي الأقرب للقيمة المتوقعة.
اما العكس، أي عندما نجد أن قيمة الانحراف المعياري كبيرة، كانت البيانات بعيدة عن القيمة المتوقعة، وبالتالي تتمثل بالمتوسط الحسابي.


فعلى سبيل المثال تُستخدم قيمة الانحراف المعياري في نشاط ضبط الجودة في المصانع المختلفة بحساب الانحراف المعياري الخاص بالمنتجات في المصانع وعن الخدمات والمنتجات المختلفة، والتأكد من سير العمليات بالشكل الصحيح من خلال وضع الحدود المقبولة للقيم المتعلقة بفحص الجودة للمنتجات من خلال حساب الانحراف المعياري لها.
وليست الأنشطة الصناعية أو حساب جودة المنتجات فقط، ولكن في حالات التنبؤ بالطقس، حيث يتم استخدام الانحراف المعياري، لحساب درجات الحرارة الأقرب لمنطقة معينة جغرافياً، وبالتالي فإن التباين في درجات الحرارة بشكل قريب بين منطقتين يتم استخدامه من خلال حساب الانحراف المعياري بشكل كبير، وبالتالي معرفة الشكل الدقيق لدرجات الحرارة في المناطق المختلفة.

ما هي أهم الخطوات لحساب الانحراف المعياري؟

هناك العديد من الخطوات لحساب الانحراف المعياري، وهذه الخطوات تتمثل في:
استخدام القانون التالي لحساب الانحراف المعياري: iiمجموع (س-μ)²/نii√
وبالنسبة لاستخدام الرموز الرياضية فإن ن= عدد القيم ، بينما س= القيم الشاملة في الدراسة، بينما μ عبارة عن المتوسط الحسابي للقيم.
وهناك العديد من الخطوات لاستخدام القانون الخاص بالانحراف المعياري، فهيا بنا نتعرف على الخطوات في المثال التالي:
كيف نجد حساب الانحراف المعياري للقيم التالية:
9، 2، 5، 4، 12، 7، 8، 11، 9، 3، 7، 4، 12، 5، 4، 10، 9، 6، 9، 4
يتم في البداية إيجاد الوسط الحساب من خلال المعادلة التالية الوسط الحسابي = مجموع القيم / العدد
وبالتالي تكون حساب الوسط الحسابي =


9+2+5+4+12+7+8+11+9+3+7+4+12+5+4+10+9+6+9+4 / 20 = 140/20= 7.
أما الخطوة التالية تتم عبر طرح الوسط الحسابي لكل قيمة من القيم السابقة، وبالتالي القيام بتربيع القيمة الناتجة وذلك من خلال النقاط التالية:
(9 – 7)² = (2)² = 4(2 – 7)² = (-5)² = 25(5 – 7)² = (-2)² = 4(4 – 7)² = (-3)² = 9(12 – 7)² = (5)² = 25(7 – 7)² = صفر(8 – 7)² = (1)² = 1
وبالتالي بعد حساب النواتج السابقة نحصل على القيم التالية: 4، 25، 4، 9، 25، 0، 1، 16، 4، 16، 0، 9، 25، 4، 9، 9، 4، 1، 4، 9.
أما الخطوة الثالثة، فهي عبارة عن إيجاد مجموع القيم المربعة السابقة وذلك من خلال هذه المعادلة:
4+25+4+9+25+0+1+16+4+16+0+9+25+4+9+9+4+1+4+9= 178.
وعليه فإن الخطوة التالي عبارة عن قسمة المجموع السابق على عدد من القيم من خلال هذه المعادلة: 178/20= 8.9.
أما الخطوة الأخيرة إيجاد الجذر التربيعي لهذه القيمة وهي 8.9√ كما أنها تساوي حوالي 2.983 وبالتالي فإن الانحراف المعياري لهذه القيم هو مقدار بعدها عن المتوسط الحسابي.