[ تعرٌف على ] نقطة ثابتة تكرارية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | نقطة ثابتة تكرارية

خطوات طريقة النقطة الثابتة

نضع f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
f
(
x
)
=
0 ⇒ g
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=0{\Rightarrow }g(x)=x}
وضع قيمة ابتدائية و لتكن x 0 {\displaystyle {x_{0}}}
x n =
g
(
x n −
1
)
{\displaystyle {x_{n}}=g({x_{n}}-1)} ومن ثم نكرر هذه الخطوة إلى الوصول إلى معيار التوقف المطلوب .
مثال: أثبت أنه يوجد نقطة ثابتة وحيدة لدالة f
(
x
)
= x 3
−
2
x
−
5
{\displaystyle f(x)=x^{3}-2x-5} .
ثم استخدم طريقة النقطة الثابتة لإيجاد جذر الدالة في الفترة [
2
,
3
]
{\displaystyle [2,3]} وحيث أن مقدار الخطأ
ϵ = 10 −
5
{\displaystyle {\epsilon }=10^{-5}}
الحل: نختار f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0} x 3
−
2
x
−
5
=
0
{\displaystyle x^{3}-2x-5=0} x
=
(
2
x
−
5 )
1
3 {\displaystyle x=(2x-5)^{1 \over 3}} g
(
x
)
=
(
2
x
−
5 )
1
3 {\displaystyle g(x)=(2x-5)^{1 \over 3}} نختبرنظرية (1) g
(
2
)
=
2.08
∈
[
2
,
3
]
,
g
(
3
)
=
2.22
∈
[
2
,
3
]
{\displaystyle g(2)=2.08\in [2,3],g(3)=2.22\in [2,3]} ندرس تزايد أو تناقص الدالة لمعرفة أعلى قيمة
g
′ (
x
)
=
2
3
(
2
x
−
5 ) −
2 3 {\displaystyle g'(x)={2 \over 3}(2x-5)^{-2 \over 3}} إذًا هذه الدالة تزايدية مهما أخذت قيمة ل x {\displaystyle {x}}
في الفترة
[
2
,
3
]
{\displaystyle [2,3]}
g
″ (
x
)
= −
4 9
(
2
x
−
5
)
−
5 3
<
0 {\displaystyle g''(x)={-4 \over 9}{(2x-5)}^{-5 \over 3}{<0}}
و
g
′
{\displaystyle {g'}} تناقصية في هذه الفترة g
″ (
2
) = 0.23 ,
g
″ (
3
) = 0.2 {\displaystyle {g''(2)}={0.23},{g''(3)}={0.2}} وهذا يعني أن أعلى قيمة لدالة g
′
{\displaystyle {g'}}
عند
g
″ (
2
)
=
0.23
{\displaystyle g''(2)=0.23}
|
g
′ (
x
) | <
0.23
{\displaystyle |g'(x)|<0.23} إذًا يوجد نقطة ثابتة ووحيدة في الفترة [
2
,
3
]
{\displaystyle [2,3]} نفترض أن
x 0
=
2.5
{\displaystyle x_{0}=2.5} x 1
=
f
(
2.5
)
=
2.2544346
{\displaystyle x_{1}=f(2.5)=2.2544346}
x 2
=
2.1036120
{\displaystyle x_{2}=2.1036120}
x 3
=
2.0959274
{\displaystyle x_{3}=2.0959274}
x 4
=
2.0947605
{\displaystyle x_{4}=2.0947605}
x 5
=
2.0945832
{\displaystyle x_{5}=2.0945832}
x 6
=
2.0945563
{\displaystyle x_{6}=2.0945563}
x 7
=
2.0945522
{\displaystyle x_{7}=2.0945522}
| x 7 −
x 6
| = | 2.0945563
−
2.0945522 | =
4.1
× 10 −
6
< 10 −
5
{\displaystyle |{x_{7}}-{x_{6}}|=|2.0945563-2.0945522|=4.1\times 10^{-6}<10^{-5}}

فكرة هذه الطريقة

تُعرف النقطة الثابتة لدالة بأنها القيمة التي لا تتغير عندها الدالة g
(
p
)
=
p
{\displaystyle g(p)=p} ولحل معادلة ما f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0} بطريقة النقطة الثابتة نضع أولًا المعادلة في الصورة x
=
g
(
x
)
{\displaystyle x=g(x)} حيث g
{\displaystyle g} دالة في x
{\displaystyle x} والواقع أنه يمكن وضع أي معادلة f
( x 0
)
=
0
{\displaystyle f(x_{0})=0} في هذه الصورة الخاصة المذكورة بعدد لا نهائي من الطرق . فمثلًا الدالة f
(
x
)
= x 3
−
2
x
−
5
{\displaystyle f(x)=x^{3}-2x-5} نستطيع كتابتها كالتالي: x 3
−
2
x
−
5
=
0
{\displaystyle x^{3}-2x-5=0} x
=
(
2
x
−
5 )
1
3 = g 1
(
x
)
{\displaystyle x=(2x-5)^{1 \over 3}=g_{1}(x)} أو x
= −
5
+ x 3 2
= g 2
(
x
)
{\displaystyle x={{-5+x^{3}} \over 2}=g_{2}(x)} أو x
=
5
x 2
−
2 = g 3
(
x
)
{\displaystyle x={5 \over {x^{2}-2}}=g_{3}(x)} ويتم اختيار صيغة من الصيغ الخاصة x
=
g
(
x
)
{\displaystyle x=g(x)} بحيث يؤدي حلها بطريقة النقطة الثابتة إلى التباعد أو التقارب حسب اختيار الدالة كما سيوضح في النظرية . نفترض أن لدينا معادلة على الصورة x
=
g
(
x
)
{\displaystyle x=g(x)} و لنبدأ بقيمة قريبة من الجذر و لتكن x
= x 0
{\displaystyle x=x_{0}} ثم نكون المتتالية من تقريب المتتابعة
x n
+
1
=
g
( x n
)
;
n
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
.
.
.
{\displaystyle x_{n+1}=g(x_{n});n=0,1,2,......} ومن الواضح أنه إذا كانت لهذه المتتالية
x 0
, x 1
, x 2
{\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2}} نهاية
ξ {\displaystyle {\xi }} فإن
ξ {\displaystyle {\xi }} يكون جذرًا للمعادلة x
=
g
(
x
)
{\displaystyle x=g(x)} و ذلك لأن
ξ =
g
( ξ )
{\displaystyle {\xi }=g({\xi })} . مالذي يضمن وجود النقطة الثابتة ؟! و كيف أستطيع تحديد دالة تقاربية ؟! سيوضح ذلك النظرية التالية . نظرية (1) إذا كانت ل دالة و g
∈
C
[
a
.
b
]
{\displaystyle g\in C[a.b]} أي دالة متصلة و قابلة للاشتقاق وَ g
(
x
)
∈
C
[
a
.
b
]
{\displaystyle g(x)\in C[a.b]} لأي قيمة x
∈
C
[
a
.
b
]
{\displaystyle x\in C[a.b]} فإن الدالة
g {\displaystyle {g}} نقطة ثابتة على الأقل .
بالإضافة إلى أن
g
′ (
x
)
{\displaystyle g'(x)} موجودة في (
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)} و العدد الموجب k
,
k
<
1
{\displaystyle k,k<1} موجود و يحقق أن
|
g
′ (
x
) | ≤
k
,
∀
x
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle |g'(x)|\leq k,\forall x\in (a,b)} فإنه يوجد بالضبط نقطة واحدة في
[
a
.
b
]
{\displaystyle [a.b]} البرهان: إذا كانت g
(
b
)
=
b
{\displaystyle g(b)=b} وَ g
(
a
)
=
a
{\displaystyle g(a)=a} حيث أن a
,
b
{\displaystyle a,b} نقط ثابتة .
نفترض أن g
(
a
)
≠
a
{\displaystyle g(a)\neq a} وَ g
(
b
)
≠
b
{\displaystyle g(b)\neq b} g
(
a
)
>
a
,
g
(
b
)
<
b ⇐ {\displaystyle g(a)>a,g(b) (
x
)
=
g
(
x
)
−
x
,
h
∈
C
[
a
,
b
]
{\displaystyle h(x)=g(x)-x,h\in C[a,b]} h
(
a
)
=
g
(
a
)
−
a
>
0
{\displaystyle h(a)=g(a)-a>0} h
(
b
)
=
g
(
b
)
−
b
<
0
{\displaystyle h(b)=g(b)-b<0} و باستخدام نظرية القيمة المتوسطة نحصل على: ∃
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \exists c\in [a,b]} بحيث أن h
(
c
)
=
0
{\displaystyle h(c)=0} h
(
c
)
=
g
(
c
)
−
c ⇐ {\displaystyle h(c)=g(c)-c{\Leftarrow }} g
(
c
)
=
c ⇐ {\displaystyle g(c)=c{\Leftarrow }}
c
⇐ {\displaystyle {c}{\Leftarrow }} نقطة ثابتة g
′
{\displaystyle {g'}} موجودة و يوجد عدد موجب
k {\displaystyle {k}} بحيث أن:
|
g
′ (
x
) | ≤
k
<
1
{\displaystyle |g'(x)|\leq k<1}
من نظرية القيمة المتوسطة نفترض أن
p , q {\displaystyle {p},{q}} نقطتين ثابتتين ∃ ξ ∈
(
p
,
q
)
⊆
[
a
,
b
] ⇐ {\displaystyle \exists {\xi }\in (p,q)\subseteq [a,b]{\Leftarrow }}
g
′ ( ξ )
= g
(
q
)
−
g
(
p
)
q
−
p {\displaystyle g'({\xi })={{g(q)-g(p)} \over {q-p}}} g
(
q
)
−
g
(
p
)
=
(
q
−
p
) g
′ ( ξ ) ⇐ {\displaystyle g(q)-g(p)=(q-p)g'({\xi }){\Leftarrow }}
| g
(
q
)
−
g
(
p
) | = | (
q
−
p
) g
′ ( ξ ) |
⇐ {\displaystyle |g(q)-g(p)|=|(q-p)g'({\xi })|{\Leftarrow }}
| g
(
q
)
−
g
(
p
) | = | (
q
−
p
) |
|
g
′ ( ξ ) |
⇐ {\displaystyle |g(q)-g(p)|=|(q-p)||g'({\xi })|{\Leftarrow }}
| q
−
p | < | q
−
p |
⇐ {\displaystyle |q-p|<|q-p|{\Leftarrow }} وهذا يؤدي إلى تناقض إذًا يوجد لدالة
g {\displaystyle {g}} نقطة ثابتة وحيدة .

نظرية (2)

بالإضافة إلى الشروط السابقة في النظرية (1) g
′
{\displaystyle {g'}} موجودة في (
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)} و الثابت 0
<
k
<
1
{\displaystyle 0 |
g
′ (
x
) | ≤
k
∀
x
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle |g'(x)|\leq k\forall x\in (a,b)} فإنه يوجد عدد p 0 {\displaystyle {p_{0}}}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]} بحيث المتتابعة معرفة كالتالي x n =
g
(
x n
−
1 )
;
n
≤
1
{\displaystyle {x_{n}}=g({x_{n-1}});n\leq 1} هذه المتتابعة تقاربية و تقترب من النقطة الثابتة الوحيدة . نستفيد من إضافة هذا الشرط في النظرية (2) لمعرفة ما إذا كانت الدالة
g {\displaystyle {g}} المختارة تقاربية .

تقارب طريقة النقطة الثابتة

لإيجاد علاقة تعطي الخطأ ϵ n
+
1 {\displaystyle {\epsilon _{n+1}}} بدلالة ϵ n {\displaystyle {\epsilon _{n}}} : نفترض أن
ξ {\displaystyle {\xi }} هي القسمة المضبوطة للجذر إذًا: x n = ξ +
ϵ n {\displaystyle {x_{n}}={\xi }+{\epsilon _{n}}} x n
+ = ξ +
ϵ n
+
1 {\displaystyle {x_{n+}}={\xi }+{\epsilon _{n+1}}} وبالتعويض في صيغة النقطة الثابتة: x n
+
1 =
g
( x n
)
{\displaystyle {x_{n+1}}=g(x_{n})} نحصل على
ξ +
ϵ n
+
1 =
g
( ξ +
ϵ n )
{\displaystyle {\xi }+{\epsilon _{n+1}}=g({\xi }+{\epsilon _{n}})} ϵ n
+
1 =
g
( ξ +
ϵ n )
− ξ {\displaystyle {\epsilon _{n+1}}=g({\xi }+{\epsilon _{n}})-{\xi }} و بما أن ξ {\displaystyle {\xi }} هي القسمة المضبوطة للجذر، أي أنها تحقق المعادلة g
(
x
)
=
x
{\displaystyle g(x)=x} إذًا
ξ =
g
( ξ )
{\displaystyle {\xi }=g({\xi })} إذًا ϵ n
+
1 =
g
( ξ +
ϵ n )
−
g
( ξ )
{\displaystyle {\epsilon _{n+1}}=g({\xi }+{\epsilon _{n}})-g({\xi })} و بتطبيق نظرية القيمة المتوسطة نجد أن: ϵ n
+
1 =
ϵ n . g
′ (
η n )
;
η n ∈
( ξ ,
ξ +
ϵ n
)
{\displaystyle {\epsilon _{n+1}}={\epsilon _{n}}.g'({\eta _{n}});{\eta _{n}}\in ({\xi },{{\xi }+{\epsilon _{n}}})}
| ϵ n
+
1
| = | ϵ n
| . |
g
′ (
η n ) | {\displaystyle |{\epsilon _{n+1}}|=|{\epsilon _{n}}|.|g'({\eta _{n}})|} بالتالي يكون شرط التقارب
|
g
′ (
η n ) | <
1
,
∀
n
{\displaystyle |g'({\eta _{n}})|<1,\forall n}

حدود الخطأ

نتيجة: عند تحقق الشروط في نظرية (1) و نظرية (2) فإن حدود الخطأ الناتجة من استخدام x n {\displaystyle {x_{n}}} لتقريب إلى
x {\displaystyle {x}} تعطى بالعلاقة التالية:
| x n −
x |
≤
k n m
a
x
[
x 0 −
a
,
b
−
x 0 ] {\displaystyle |{x_{n}}-x|{\leq {k^{n}}}{max[{x_{0}}-a,b-{x_{0}}]}} و أيضًا
| x n −
x | ≤
k n
1
−
k
| x 1 −
x 0
| ∀
n
≥
1
{\displaystyle |{x_{n}}-x|\leq {{k^{n}} \over {1-k}}|{x_{1}}-{x_{0}}|\forall n\geq 1}

شرح مبسط

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات