اليوم: السبت 27 ابريل 2024 , الساعة: 5:32 م
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
اخر المشاهدات
- [ مطاعم السعودية ] طرابزون مشاوي و فطائر # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] زاوية كنتة # اخر تحديث اليوم 2024-04-25
- [ تعرٌف على ] زاوية كنتة # اخر تحديث اليوم 2024-04-25
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟ # اخر تحديث اليوم 2024-02-13
- [ مؤسسات البحرين ] قصر روما للهواتف ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ معدات السلامة والأمن والإشارات المرورية و تجارة قطر ] انفال للأبواب والأنظمة الأوتوماتيكية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] المنصور فخر الدين عثمان # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الاتحاد الوطني للكتاب في أوكرانيا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] مؤسسة توكيلات التقنية للاتصالات وتقنية المعلومات ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-02-13
- [ تعرٌف على ] أبو جعفر المنصور # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أطباق خليجية ] طريقة طبخ الكبسة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] مطعم الزيتون ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سعود عبدالعزيز علي الضويان ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] كلاركسفيل (أوهايو) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مقاولون السعودية ] مؤسسة بن شجاع للمقاولات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- هل يتأثر غشاء البكارة باللمس؟ # اخر تحديث اليوم 2024-02-17
- [ تعرٌف على ] ميكروبات بشرية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] شركة دوال للتسويق ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- تفسير آية ثم يأتي من بعد ذلك عام فيه يغاث الناس وفيه يعصرون # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ شركات المقاولات قطر ] شركة ميتالكس للتجارة والمقاولات METALEX TRADING & CONTG CO ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ محامين السعودية ] هتان حسين محمود عزوني ... جدة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] عبد العزيز المنصور (مغني) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] لاما الصحراء للسياحه ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات العقارات قطر ] ستب ون للعقارات Step One Qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] إرم الحلول المتقدمة لتقنية نظم المعلومات ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ مدن أجنبية ] مدينة سامسون تركيا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] رومان للتجارة ذ.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] كلاركسفيل (ميشيغان) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وكالات سفر الامارات ] الصحراء للسفر والسياحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعليم الامارات ] فينيكس التدريب المالي ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات الديكور و التصميم داخلي قطر ] انزون قطر للديكور Inzon Qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تسوق وملابس الامارات ] مصبغة رمال الصحراء ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] كلية السياحة والفنادق (جامعة المنصورة) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] مفروشات البيت الرومانسي لبيع الاثاث ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أطباق شرقية ] طريقة عمل كوسة بالبشاميل # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] بطولة العالم للسباحة 2015 # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] المنصورة (مصر) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ بنوك وصرافة الامارات ] المتكاملة للأوراق المالية ذ م م ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] Deco Project Trading Qatar - ديكو بروجكت ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ بنوك وصرافة الامارات ] بنك الصين التجاري والصناعي ، دبي (فرع مركز دبي المالي العالمي) ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] شركة بروماس للاستشارات ذ.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] سي زون ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ المركبات الامارات ] وسط الصحراء لسحب السيارات ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] مؤسسة الدراجة التجارية ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ تعرٌف على ] كلارك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] متجر تيك زون ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] شركة البحرين المالية القابضة ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ جمال ورشاقة الامارات ] صالون جمال الصحراء للسيدات ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ بنوك وصرافة الامارات ] الرايه للاستشارات المالية ذ.م.م ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- بقع سوداء في الجسم بسبب قرص الناموس كيف أصفي بشرتي؟ # اخر تحديث اليوم 2024-03-16
- [ تعرٌف على ] براندون (كندا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] شركة السامر للأبواب والأنظمة الإلكترونية ذ.م.م ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] بو محمد للأبواب الجراره الحديدية والألمنيوم ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شقق مفروشة السعودية ] شقق هلا هاوس # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أطباق الأرز ] طريقة البرياني بالزبادي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] مجموعة العمل المستقلة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ موردون الامارات ] عبر الصحراء لتجارة الانابيب ومعدات الحريق # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] مصفوفة فائضة مستقلة الأقراص # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] المنصور بن أبي عامر # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ خذها قاعدة ] والشر إن تلقَهُ بالخير ضِقتَ بهِ .. ذرعاً وإن تلقَهُ بالشرّ ينحسم. - أحمد شوقي # اخر تحديث اليوم 2024-04-25
- [ رقم هاتف ] مستشفى الجمال عين شمس الغربية بالقاهرة # اخر تحديث اليوم 2024-03-09
- [ مطاعم الامارات ] كافتيريا خبز وزيتون ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم الامارات ] مطعم وكافتيريا طريق الصحراء ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أطباق صحية ] أطباق صحية وسهلة التحضير # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] دبي العالمية للأوراق المالية ذ.م.م ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] عبد الحفيظ للتجارة والمقاولات ABDUL HAFIZ TRADING & CONTRACTING ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات التجارة العامه قطر ] شركة مناني للتجارة (قطع غيار السيارات) MANNAI TRADING CO WLL ( AUTO PARTS DIV ) ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] كلية التجارة (جامعة المنصورة) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] المهدي عباس بن المنصور # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] صحراء بنى ياس للنقليات والصيانة العامة ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] مطعم سبانتيني روما - شركة تضامن بحرينية ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] الرؤية السريعة للاتصالات وتقنية المعلومات ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-02-12
- [ دليل الشارقة الامارات ] صحراء الأشبال أكاديمية الكريكيت ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] بريان كامبل كلارك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الاتساق الداخلي للكتاب المقدس # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] البطولة الوطنية التونسية 1985–86 # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سلمان محسن بن عبدالهادي العتيبي ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أطباق مصرية ] 5 وصفات مختلفة لطريقة عمل صلصة الكشري # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] مانيك للأبواب الجرارة شركة تضامن بحرينية ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] مقاولات البناء في الصحراء ذ.م.م ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] زيتيس للإلكترونيات ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أطباق الأرز ] أكلات أرز مع دجاج # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ اثاث الامارات ] شركة عاطف للمفروشات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات المدارس الخاصة والمستقلة قطر ] حضانة ليتل مونتسورى Little Montessori Nursery ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات البوسنية السلوفينية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] كونزيت للمقاولات العامة ذ.م.م. ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مدن أجنبية ] مساحة مدينة إسطنبول # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل الفجيرة الامارات ] كراج الصحراء ... الفجيرة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] إنارة للإستشارات المالية ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ياسر خالد قعيد العتيبي ... الدوادمى ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] ي وايف فنشير للاواق الماليه ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] مجزرة المنصوري # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] كافتيريا الزيتون الاخضر ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- بانشي (مسلسل) القصة # اخر تحديث اليوم 2024-02-20
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء. # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- الصفرات ..سكان الصفرات ..عوائل أهل الصفرات ..قرى المحمل ...معلومات تفصيلية 2021 # اخر تحديث اليوم 2024-03-11
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] نايف عوض عقيل الحربي ... بريده ... منطقة القصيم # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- تعرٌف على ... خالد صبيح المصري | مشاهير # اخر تحديث اليوم 2024-03-18
الأكثر قراءة
- مريم الصايغ في سطور
- سؤال و جواب | ما هى أسباب نزول الدم الاحمر بعد البراز؟ وهل هناك أسباب مرضية؟ وما الحل ؟
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً
- هل للحبة السوداء"حبة البركة "فوائد ؟
- كيف أتخلص من الغازات الكريهة التى تخرج مني باستمرار؟
- هناك ألم عندى فى الجانب الأيسر للظهر فهل من الممكن أن يكون بسبب الكلى ؟
- هل هناك علاج للصداع الئى أانيه فى الجانب الأيسر من الدماغ مع العين اليسرى ؟
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام»
- [ رقم تلفون ] مستر مندوب ... مع اللوكيشن المملكه العربية السعودية
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان
- نزع شوك السمك في المنام
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة
- ارقام وهواتف مستشفى الهلال الاحمر 34 ش رمسيس وسط البلد بالقاهرة
- جريمة قتل آمنة الخالدي تفاصيل الجريمة
- رسائل حب ساخنة للمتزوجين +18
- خليفة بخيت الفلاسي حياته
- تعرٌف على ... عائشة العتيبي | مشاهير
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟
- رقم هاتف مكتب النائب العام وكيفية تقديم بلاغ للنائب العام
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] شركة متجر كل شششي - المملكه العربية السعودية
- تفسير رؤية شخص اسمه محمد في المنام لابن سيرين
- ارقام وهواتف مطعم الشبراوى 33 ش احمد عرابى المهندسين, بالجيزة
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة
- ارقام وهواتف عيادة د. ياسر المليجى - 139 ش التحرير الدقى بالجيزة
- ارقام وهواتف مستشفى النور المحمدى الخيرى التخصصى المطرية, بالقاهرة
- تفسير رؤية الحشرات في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية
- قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟
- أعشاب تفتح الرحم للإجهاض
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟!
- قناة تمازيغت برامج القناة
- ارقام وهواتف مكتب صحة - السادس من اكتوبر ميدان الحصرى السادس من اكتوبر, بالجيزة
- سور القران لكل شهر من شهور الحمل
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين
- زخرفة اسماء تصلح للفيس بوك
- مدرسة ب/ 141 حكومي للبنات بجدة
- إلغ (برمجية) التاريخ
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان
- أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام
- تفسير حلم الكلب لابن سيرين
- [ رقم هاتف ] عيادة د. حازم ابو النصر - 20 ش عبد العزيز جاويش عابدين بالقاهرة
- انا بنت عندي 13 سنة لسة مجتليش الدورة الشهرية ......كنت ببات عند خالتي وكل ما
- هل تمرير الإصبع بشكل أفقي على فتحة المهبل يؤدي إلى فض غشاء البكارة؟
- [رقم هاتف] شركة الحراسة و التوظيف و التنظيف.. المغرب
- قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي
- ذا إكس فاكتور آرابيا فكرة البرنامج
- السلام عليكم ، أنا مشكلتي بصراحة الجنس من الخلف مع زوجي الأن صار ويحب حيل
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟
- لالة لعروسة (برنامج) الفائزون
- أنا حامل في الشهر الرابع وينزل مني دم .. هل هذا طبيعي؟
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها
- هل إدخال إصبع الزوج في مهبل الزوجة له أضرار؟
- تفسير حلم اصلاح الطريق في المنام
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة
- إيمان ظاظا حياتها ومشوارها المهني
- أهمية وضرورة إزالة الخيط الأسود من ظهر الجمبري
- اسماء فيس بنات مزخرفة | القاب بنات مزخرفه
- لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة
- تفسير رؤية المشاهير في المنام لابن سيرين
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن حرب 6 اكتوبر 1973 بالصور pdf doc -
- فوائد عشبة الفلية و الكمية المناسبة يوميا
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] شركة الرفق بالحيوان و الطبيعة.. المغرب
- كلمات - انت روحي - حمود السمه
- أعاني من لحمة زائدة في الدبر ، فلدي قطعة لحمية صغيرة في فتحة الشرج من الخارج
- ما الفرق بين الغشاء السليم وغير السليم؟
- تفسير حلم رؤية الإصابة بالرصاص في الكتف بالمنام
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟
- عمر فروخ
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة?
- إدمان الزوج للمواقع الإباحية: المشكلة والأسباب والعلاج
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء.
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام
- تظهر عندي حبوب في البظر والشفرتين بين حين وآخر.. هل لها مضاعفات، وما علاجها؟
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- الكرة الحديدية قواعد اللعبة
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن اللغة العربية والكفايات اللغويه -
- تفسير حلم رؤية الكنز فى المنام لابن سيرين
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟
روابط تهمك
مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع [ تعرٌف على ] ط (رياضيات) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 10/11/2023
[ تعرٌف على ] ط (رياضيات) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
آخر تحديث منذ 5 شهر و 18 يوم
1 مشاهدة
تم النشر اليوم 2024-04-27 | ط (رياضيات)
الاسم
سنة ۱٧۹٧م محمد حسين العطار الدمشقي من علماء الحساب في العصر العثماني، استعمل مقاربة لثابت الدائرة في هذه المخطوطة كما جرت العادة (ثلاثة وسُبع)
عمم ليونهارد أويلر استعمال الحرف الإغريقي
π {\displaystyle {\pi }} في عمل لهُ نشره عام 1748.
مُثل الثابت
π {\displaystyle {\pi }} في هذا الفسيفساء خارج مبنى لتدريس الرياضيات في معهد برلين للتكنولوجيا.
الرمز المستخدم من طرف علماء الرياضيات من أجل تمثيل النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هو الحرف الإغريقي
π {\displaystyle {\pi }} و يُقرأ هذا الحرف باي و لا ينبغي خلط هذا العدد مع الحرف Π، والذي يعني الجداء. ويُنطق
π {\displaystyle {\pi }} في اللغة الإنجليزية (/paɪ/). وكان أول عالم رياضيات استعمل الحرف الإغريقي من أجل تمثيل نسبة محيط الدائرة على قطرها هو ويليام جونز، الذي استعملها في عام 1706 في عمل له. التعريف
محيط دائرة يزيد بقليل عن ثلاثة أضعاف قطرها. تساوي النسبة بينهما π
{\displaystyle \pi } . π {\displaystyle {\pi }} هي نسبة محيط الدائرة C على قطرها d: π
=
C
d
{\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}
نسبة C/d هي ثابتة بغض النظر عن محيط أو مساحة الدائرة. هذا التعريف ل π
{\displaystyle \pi } يستعمل بشكل غير مباشر مفهوم الهندسة الأقليدية المسطحة. رغم أن مفهوم الدائرة قد يمدد إلى الهندسة غير الإقليدية المنحنية، فإن هذه الدوائر الجديدة لا تحقق المعادلة π
=
C
d
{\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}} . هناك تعريفات أخرى لا تستعمل نهائيا الدوائر. على سبيل المثال، π
{\displaystyle \pi } هو ضعف أصغر عدد موجب حيث تنعدم دالة الجيب التمام. محيط الدائرة هو طول القوس المحيط بالدائرة، وهي كمية يمكن تعريفها رسميًا بشكل مستقل عن الهندسة باستخدام الحدود، وهو مفهوم في حساب التفاضل والتكامل. على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يحسب مباشرة طول القوس للنصف العلوي من دائرة الوحدة، الوارد في الإحداثيات الديكارتية بالمعادلة x2 + y2 = 1، باعتبارها التكامل: π
= ∫ −
1
1 d
x
1
− x 2 .
{\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
الخصائص
بما أن
π {\displaystyle {\pi }} عدد متسام، تربيع الدائرة غير ممكن في عدد منته من الخطوات باستعمال الأدوات الكلاسيكية المتمثلة في الفرجار والمسطرة.
π عدد غير كسري. هذا يعني أنه لا يمكن كتابته على شكل نسبة عددين صحيحين، مثل 22/7، أو أي كسر آخر مستعمل تقريبًا للباي. ولهذا السبب، فإن π عدد غير منته من الأرقام بعد الفاصلة في تمثيله العشري، وأنه لا توجد أي سلسلة من الأرقام تتكرر بشكل غير منته. هناك عدة البرهان على أن باي عدد غير كسري. π عدد متسام. هذا يعني أنه لا يمكن أن يكون جذرا لأي متعددة حدود غير منعدمة عواملها أعداد كسرية، كما هو الحال بالنسبة لمتعددة الحدود x 5
120
− x 3
6
+
x
=
0. {\displaystyle \scriptstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0.} . لتسامي π نتيجتان مهمتان أولهما: لا يمكن أن يُعبر عن π بأي دمج لأعداد كسربة وجذور مربعة وجذور مكعبة وما يشبه ذلك مثل
31 3
{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{3}]{31}}} أو
10 2 . {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{2}]{10}}.} . أما ثانيهما، فهو بما أنه يُستحال انشاء عدد متسام بواسطة البركار والمسطرة، كذلك من المستحيل تربيع الدائرة. الكسور المستمرة
العدد ط، كونه عددا غير كسري، لا يمكن تمثيله كسرا بسيطا. هذه الخاصية تبقى صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد غير الكسرية. ولكن الأعداد غير الكسرية، بما في ذلك ط، يمكن تمثيلها بكسور متكررة تسمى الكسور المستمرة: π
=
3
+ 1 7
+ 1 15
+ 1 1
+ 1 292
+ 1 1
+ 1 1
+ 1 1
+
⋱
{\displaystyle \pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}
ايقاف هذا الكسر المستمر في مستوى ما يعطي تقريبا معينا للعدد ط. استعمل الكسران 22/7 و 355/113 عبر التاريخ من أجل إعطاء قيمة مقربة للعدد ط. رغم عدم وجود أي انتظام أو تكرار في الكسر المستمر البسيط الذي يعطي قيمة العدد ط، فإن علماء الرياضيات وجدوا كسورا مستمرة معممة تحتوي على سلاسل عددية منتطمة أو متكررة. مثالا الكسور المستمرة التالية: π
= 4 1
+
1 2 2
+
3 2 2
+
5 2 2
+
7 2 2
+
9 2 2
+
⋱ =
3
+
1 2 6
+
3 2 6
+
5 2 6
+
7 2 6
+
9 2 6
+
⋱ = 4 1
+
1 2 3
+
2 2 5
+
3 2 7
+
4 2 9
+
⋱
{\displaystyle \pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}
قيمة مقربة
قيمة
π {\displaystyle {\pi }} التقريبية حتى 1000 مرتبة عشرية:
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679
8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196
4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273
7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094
3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912
9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132
0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235
4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859
5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303
15982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989
في الهندسة وحساب المثلثات
مساحة الدائرة تساوي ط مرة مساحة المربع الملون.
دالتا الجيب وجيب التمام دوريتان دورتهما تساوي 2ط.
يظهر العدد ط في حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة والمخروط والطارة. فيما يلي، بعض من الصيغ الأكثر أهمية والتي تحتوي على العدد ط: محيط دائرة شعاعها r هو 2
π
r
{\displaystyle 2\pi r} .
مساحة دائرة شعاعها r هي π r 2
{\displaystyle \pi r^{2}} .
حجم كرة شعاعها r هو
4
3 π r 3
{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}} .
مساحة كرة شعاعها r هو 4
π r 2
{\displaystyle 4\pi r^{2}} .
طريقة مونت كارلو
طرق مونت كارلو من أجل ايجاد قيمة مقربة للعدد ط بطيئة جدا مقارنة مع طرق أخرى، وبالتالي، لا تستعمل أبدا إذا كانت السرعة والدقة هما المطلوبتان. في الأعداد العقدية والتحليل
الربط بين القوى التخيلية للعدد e والنقط الموجودة على الدائرة الوحدة التي مركزها هو مركز المستوى العقدي أعطته صيغة أويلر.
كل عدد عقدي، يمكن أن يُعبر عنه باستعمال عددين حقيقين. في النظام الإحداثي القطبي، يستعمل عدد حقيقي r (الشعاع أو نصف القطر) من أجل تمثيل المسافة بين z وأصل المعلم في المستوى العقدي. ويستعمل عدد حقيقي ثان (الزاوية أو φ) يمثل كمية الدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة، انطلاقا من نصف محور الأراتيب المحتوي على الأعداد الحقيقية الموجبة ووصولا إلى z ذاته، كما يلي: z
=
r
⋅
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
{\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )}
حيث i هي الوحدة التخيلية التي تحقق i2 = −1. الظهور المكثف للعدد ط في التحليل العقدي قد يكون مرتبطا بالدالة الأسية لمتغير عقدي، كما وصفت ذلك صيغة أويلر:
e i
φ
=
cos
φ
+
i
sin
φ
{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }
حيث الثابتة e هي أساس اللوغارتم الطبيعي. في هاته الصيغة، عندما يكون φ مساويا ل π، تنتج صيغة أويل متطابقة أويلر، التي نظر إليها علماء الرياضيات كثيرا لاحتوائها على الثابتات الرياضياتية الخمسة، الأكثر أهمية:
e i
π
+
1
=
0
{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
يوجد n عدد مركب تختلف عن بعضا البعض z يحققن المعادلة zn = 1. تسمى هذه الأعداد بالجذور النونية للوحدة، وتحدد بواسطة الصيغة التالية:
e 2
i
π
k / n (
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
)
.
{\displaystyle e^{2i\pi k/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}
في نظرية الأعداد ودالة زيتا لريمان
دالة زيتا لريمان (ζ(s هي دالة مستعملة في مجالات عديدة من الرياضيات. عندما يكون s مساويا ل 2، يمكن أن تكتب كما يلي: ζ
(
2
)
=
1 1 2
+
1 2 2
+
1 3 2
+
⋅
⋯
{\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdot \cdots }
كان ايجاد قيمة هذه المتسلسلة غير المنتهية معضلة مشهورة في الرياضيات، تدعى معضلة بازل. حلحلها ليونهارد أويلر عام 1735 حيث برهن أنها تساوي π 2
6 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} . هاته النتيجة أدت إلى نتيجة أخرى في نظرية الأعداد وهي كون احتمال أن يكون عددان طبيعيان، اختيرا عشوائيا، أوليين فيما بينهما، مساويا ل
6 π 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}} .
∏ p
∞ ( 1
−
1 p 2 ) =
(
∏ p
∞
1 1
− p −
2
)
−
1
=
1 1
+
1 2 2
+
1 3 2
+
⋯ =
1 ζ
(
2
) =
6 π 2
≈
61
%
{\displaystyle \prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%}
يمكن لهذا الاحتمال أن يستعمل، بالإضافة إلى مولد للأعداد العشوائية، من أجل إعطاء قيمة مقربة ل π
{\displaystyle \pi } ، اعتمادا على طريقة مونتي كارلو. في الفيزياء
يمكن رؤية العدد ط أو π في العديد من القوانين الفيزيائية من أهمها: الثابت الكوني:
Λ
= 8
π
G
3 c 2 ρ
{\displaystyle \Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho }
مبدأ الريبة، الذي ينص على أن قياس موضع جسيم (Δx) وكمية التحرك (Δp) لايمكن لكليهما أن يكونا صغيرين في نفس الوقت:
Δ
x Δ
p
≥
h 4
π {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}
معادلات أينشتاين للمجال في النسبية العامة: R i
k
−
g i
k
R 2
+
Λ g i
k
= 8
π
G
c 4 T i
k
{\displaystyle R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}}
قانون كولوم للقوة الكهربائية، يصف القوة بين شحنتين كهربائيتين(q1 وq2) تفصلهما مسافة r:
F
= |
q 1 q 2 |
4
π ε 0 r 2 {\displaystyle F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}
النفاذية المغناطيسية في الفراغ: μ 0
=
4
π
⋅ 10 −
7
N /
A 2
{\displaystyle \mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N/A^{2}} \,}
قوانين كبلر، التي تربط بين الزمن المداري (P) والمحور الإهليجي الأكبر a والكتل(M وm) لجسمين مداريين حول بعضهما: P 2 a 3
= (
2
π ) 2
G
(
M
+
m
) {\displaystyle {\frac {P^{2}}{a^{3}}}={(2\pi )^{2} \over G(M+m)}}
في الاحتمالات والإحصاء
رسم بياني للدالة الغاوسية ƒ(x) =e−x2. المنطقة الملونة بين منحنى الدالة ومحور y لها مساحة تساوي
π {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\pi }}} .
في علم الاحتمالات والإحصاء، توجد العديد من التوزيعات التي تحوي العدد π، منها ما يلي: دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع المنتظم بالمتوسط μ والانحراف المعياري σ، نتيجة للتكامل الغاوسي:
f
(
x
)
=
1 σ
2
π e −
(
x
−
μ ) 2 / (
2 σ 2
)
{\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}}
دالة الكثافة الاحتمالية لتوزيع كوشي:
f
(
x
)
=
1 π
(
1
+ x 2
) .
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.}
توجد طرق عديدة ومختلفة لنشر وحساب العدد ط منها النشر بواسطة سلاسل تايلور وماكلورين، النشر بواسطة متسلسلات فوريير، النشر بالنظام الثنائي، والنشر بالكسور المستمرة. النشر بواسطة متسلسلة ماكلورين
إحدى المعادلات المعروفة لإيجاد ط هي: 4
×
(
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
⋯
)
{\displaystyle 4\times (1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots )} ويمكن استنتاج هذه الصيغة من متسلسلة ماكلورين لدالة قوس الظل (بالإنجليزية: arctan) حيث arctan x
=
x
− x 3
3
+ x 5
5
− x 7
7
+
⋯ {\displaystyle \arctan \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \!} في الحقيقة لاتستخدم الالات الحسابية السلسلة السابقة (عند تعويض x =1) بسبب تقاربها البطيء ويمكن ملاحظة ذلك عند الوصول إلى رقم المليون وواحد مثلا ستكون الدقة لاتتجاوز خمس مراتب عشرية، وهكذا. يمكن استعمال الصيغة الرياضية عند تعويضات x أكبر من الواحد للحصول على تقارب أسرع مثل: π
=
12
( 1
−
1 3
⋅
3 +
1 5
⋅ 3 2 −
1 7
⋅ 3 3 +
⋯ )
{\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)\!}
سلاسل أخرى
هناك حسابات أخرى مثل: اما في العصر الحديث فقد ظهرت خوارزميات أكثر تقاربا بكثير مثل: سلسلة رامانجن:
1
π
= 2
2 9801 ∑ k
=
0
∞ (
4
k
)
!
(
1103
+
26390
k
)
(
k
! ) 4 396 4
k
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!}
سلسلة الإخوان شودنوفسكي التي سمحت لأول مرة تقريب ط لمليار مرتبة عشرية عام 1989 باستخدام الحاسوب العملاق: 426880
10005 π
= ∑ k
=
0
∞ (
6
k
)
!
(
13591409
+
545140134
k
)
(
3
k
)
!
(
k
! ) 3
(
−
640320 ) 3
k
{\displaystyle {\frac {426880{\sqrt {10005}}}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409 +545140134 k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}\!}
و كان لخوارزمية برنت سالامن الاكتشاف الاروع والتي تبدأ بوضع:
a 0
=
1
b 0
=
1 2 t 0
=
1
4
p 0
=
1 {\displaystyle a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4}}\quad \quad \quad p_{0}=1\!}
ثم المعاودة:
a n
+
1
=
a n
+ b n 2
b n
+
1
= a n b n {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\!} t n
+
1
= t n
− p n
( a n
− a n
+
1 ) 2
p n
+
1
=
2 p n {\displaystyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n}\!}
حتى تصبح an وbn متقاربة بما يكفي. ويعطى تقريب π π
≈ ( a n
+ b n ) 2
4 t n . {\displaystyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.\!}
في عام 2006 استطاع سيمون بلوف توليد سلسلة من الصيغ المدهشة بوضع q = eπ، وبالتالي π
24
= ∑ n
=
1
∞
1
n ( 3
q n
−
1 −
4
q 2
n
−
1 +
1
q 4
n
−
1
) {\displaystyle {\frac {\pi }{24}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {3}{q^{n}-1}}-{\frac {4}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)} π 3
180
= ∑ n
=
1
∞
1 n 3 ( 4
q n
−
1 −
5
q 2
n
−
1 +
1
q 4
n
−
1
) {\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{180}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\left({\frac {4}{q^{n}-1}}-{\frac {5}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)}
وأخرى بالشكل،
π k
= ∑ n
=
1
∞
1 n k ( a
q n
−
1 +
b
q 2
n
−
1 +
c
q 4
n
−
1
) {\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)}
حيث q = eπ و k هو عدد فردي، وa,b,c هي أعداد نسبية. إذا كانت k على الشكل 4m+3، تصبح الصيغة بالشكل المبسط، p π k
= ∑ n
=
1
∞
1 n k (
2 k
−
1
q n
−
1 −
2 k
−
1
+
1 q 2
n
−
1 +
1
q 4
n
−
1
) {\displaystyle p\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {2^{k-1}}{q^{n}-1}}-{\frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)}
صيغة بيلارد
حسّن منشورَ سيمون بلوف فابريس بيلارد مكتشفا صيغة حسابية جديدة أسرع بحوالي 43% من سابقتها كما أمكنه ولأول مرة بها حساب ط لرقم قياسي جديد على حاسوب شخصي لايتجاوز سعره 3000 دولار (وصل إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية مقارنة بالحساب السابق الذي تم بمساعدة الحاسوب العملاق للوصول إلى 2.6 ترليون مرتبة عشرية أو 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية) مع نهاية عام 2009.
تدعى هذه الصيغة بصيغة بيلارد: π
=
1 2 6 ∑ n
=
0
∞ (
−
1 ) n
2 10
n
( − 2 5 4
n
+
1 −
1 4
n
+
3 + 2 8 10
n
+
1 − 2 6 10
n
+
3
− 2 2 10
n
+
5 − 2 2 10
n
+
7 +
1 10
n
+
9
) {\displaystyle {\begin{aligned}\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\,\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}\right.&{}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}\left.{}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)\end{aligned}}}
في العصور القديمة والوسطى
من غير المعروف كيف ومتى اكتشف الإنسان أن النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هي نسبة ثابتة، لكن من الأكيد أن هذه الحقيقة قد عرفت منذ قديم الزمان. فالحضارات القديمة كالحضارة المصرية والبابلية تعاملت مع ط. كان البابليون يستخدمون التقريب 25 / 8
{\displaystyle 25/8} بينما استخدم المصريون التقريب 256 / 81
{\displaystyle 256/81} .
ويرجع حصر قيمة
π {\displaystyle {\pi }} بين 22 / 7
{\displaystyle 22/7} و 221 / 73
{\displaystyle 221/73} إلى العالم اليوناني أرخميدس الذي ابتكر طريقة الاستنفاذ لحساب قيمة تقريبية للعدد ط. في القرون التالية اهتم الفلكيون بتدقيق الحساب التقريبي لـ ط، وأوجد الفلكيون الهنود والصينيون عدة صيغ للقيمة التقريبية، وشارك العلماء العرب والمسلمون في تحسين تلك الصيغ، فتوصل غياث الدين جمشيد الكاشي في القرن الخامس عشر لحساب قيمة تقريبية صحيحة حتى ستة عشر رقما عشريا، وكان ذلك قبل ظهور الآلات الحاسبة بأربعمائة سنة. عصر التقريب بمتعددي الأضلع
يمكن أن تعطي قيم مقربة ل
π {\displaystyle {\pi }} بحساب مساحات متعددي الأضلاع المحيطة بالدائرة والمحاطة بها.
اعتمدت أول خوارزمية مسجلة في التاريخ والتي تمكن من حساب قيمة π بصفة دقيقة على مقاربة هندسية تستعمل متعددي الأضلع. كان ذلك في عام حوالي 250 قبل الميلاد من طرف عالم الرياضيات الإغريقي أرخميدس. بقيت هذه الطريقة المعتمدة على متعددي الأضلع هي الطريقة الأساسية من أجل حساب π لمدة تزيد عن الألف سنة. نتيجة لذلك، كان يشار في بعض الأحيان إلى π على أنها ثابتة أرخميدس. أرخميدس طور طريقة التقريب بحساب مساحة متعددي الأضلاع
π {\displaystyle {\pi }} .
في عام 1424، تمكن غياث الدين الكاشي من حساب ما يكافئ ستة عشر رقما بعد الفاصلة ل π، بالاستعانة بمتعدد للأضلاع عدد أضلاعه يساوي 3×228. بقي هذا العمل الأكثر دقة في العالم لمدة تقارب 180 سنة. المتسلسلات غير المنتهية
استعمل إسحاق نيوتن المتسلسلات غير المنتهية لحساب
π {\displaystyle {\pi }} إلى حدود خمسة عشر رقماً، كاتباً فيما بعد ""استحى ان اخبركم بعدد الارقام التي حملتها لهذه الحسابات".
تطور حساب ط بشكل هائل في القرنين السادس عشر والسابع عشر بفضل اكتشاف المتسلسلات غير المنتهية، والتي هي مجاميع تحتوي على عدد غير منته من الحدود. أول متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا كانت جداء غير منته (بدلا من مجموع غير منته كما جرت العادة من أجل حساب العدد ط)، اكتشفها عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت عام 1593: 2
π
= 2 2
⋅ 2
+
2 2
⋅ 2
+
2
+
2 2
⋯
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }
تسمى هذه المتسلسلة صيغة فييت. ثاني متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا، وجدها جون واليس في عام 1655. وكانت هي أيضا جداء غير منته. تسمى هذه المتسلسلة جداء واليس. π
2
=
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
7
⋅
8
7
⋅
8
9
⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots \!}
في أوروبا، أُعيد اكتشاف صيغة مادهافا من طرف عالم الرياضيات السكوتلاندي جيمس غريغوري في عام 1671 ومن طرف لايبنز في عام 1674. arctan
z
=
z
− z 3
3
+ z 5
5
− z 7
7
+
⋯
{\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }
هاته الصيغة، المعروفة باسم متسلسلة غريغوري-لايبنز، تساوي
π / 4 {\displaystyle \scriptstyle \pi /4} عندما يساوي z واحدا. في عام 1706، استعمل جون ماشن متسلسلات غريغوري-لايبنز فوجد خوارزمية تؤول إلى العدد ط بسرعة أكبر من سابقاتها. π
4
=
4 arctan
1
5
−
arctan
1
239
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}
باستعمال هاته الصيغة، وصل ماشن إلى مائة رقم عشري بعد الفاصلة عند إعطائه لتقريب للعدد ط. وهي الطريقة التي استعملت فيما بعد في أجهزة الحاسوب وحتى عهد قريب. انظر صيغة مشابهة لصيغة ماشن. سرعة الاقتراب
متسلسلات تحسب قيمة
π {\displaystyle {\pi }}
بعد الدورة الأولى
بعد الدورة الثانية
بعد الدورة الثالثة
بعد الدورة الرابعة
بعد الدورة الخامسة
تؤول إلى: π
=
4
1
−
4
3
+
4
5
−
4
7
+
4
9
−
4
11
+
4
13
⋯
. {\displaystyle \scriptstyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}\cdots .} 4.0000
2.6666...
3.4666...
2.8952...
3.3396... π {\displaystyle {\pi }} = 3.1415... π
= 3 +
4 2
×
3
×
4 −
4 4
×
5
×
6 +
4 6
×
7
×
8 ⋯
. {\displaystyle \scriptstyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}\cdots .} 3.0000
3.1666...
3.1333...
3.1452...
3.1396...
كون π عددا غير كسري وكونه عددا متساميا
لم يكن الهدف الوحيد من تطور الرياضيات المتعلقة ب π هو حساب أكبر قدر ممكن من الأرقام في تمثيلها العشري. عندما حل أويلر معضلة بازل عام 1735، واجدا بذلك القيمة الدقيقة لمجموع مقلوبات مربعات الأعداد الصيحيحة الطبيعية، أثبت وجود علاقة وطيدة بينها وبين الأعداد الأولية. ساهم ذلك فيما بعد، بتطور ودراسة دالة زيتا لريمان.
π 2
6
=
1 1 2
+
1 2 2
+
1 3 2
+
1 4 2
+
⋅
⋯
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdot \cdots }
برهن العالم السويسري يوهان هاينريش لامبرت في عام 1761 أن π عدد غير كسري، مما يعني أنه لا يمكن أن يساوي نسبة عددين صحيحين. استعمل برهان لامبرت تمثيلا بالكسور المستمرة لدالة الظل. برهن عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجاندر في عام 1794 أن π
2
{\displaystyle {\pi }^{2}} هو أيضا عدد غير كسري. في عام 1882، برهن عالم الرياضيات الألماني فيردينوند فون ليندمان أن π عدد متسام، مثبتا بذلك حدسية كل من ليجاندر وأويلر. عصر الحاسوب والخوارزميات التكرارية
جون فون نيومان كان عضوا في الفرقة التي استعملت حاسوبا للمرة الأولى من أجل حساب ط. هذا الحاسوب هو إينياك.
مع ظهور الآلات الحاسبة ثم الحاسبات الإلكترونية والنظرية الرياضية للنهايات والمتسلسلات اللانهائية تحسنت قدرة العلماء على حساب قيم تقريبية للعدد ط، ووصل السجل العالمي حتى عام 2002 إلى أكثر من تريليون رقم عشري.
الجدير بالذكر أن فابريس بيلارد حطم رقما قياسيا جديدا في 31 ديسمبر 2009 حين قام بحساب هذا العدد على حاسوب شخصي إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية، وقد استغرقه الحساب 131 استخدم خلالهاأسرع خوارزمية على الإطلاق حتى اليوم وكتب الشفرة المصدرية بلغة سي. الهدف من حساب ط
حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة والمخروط والاسطوانة المتسلسلات المتقاربة بسرعة
سرينفاسا أينجار رامانجن، يعمل في معزل في الهند، أنتج عددا من المتسلسلات الرائدة التي تمكن من حساب ط.
خوارزميات الحنفية
اكتشفت خوارزميتان في عام 1995، فتحتا بابا واسعا للبحث المتعلق بالعدد ط. هاتان الخوارزميتان تسميان بخوارزميات الحنفية لأنها كسيلان الماء من حنفية، تنتج أرقاما في التمثيل العشري للعدد ط، لا تستعمل ولا يُحتاج إليها بعد حسابها. اكتشفت خوارزمية حنفية أخرى في عام 1995، وهي خوارزمية BBP لاستئصال الأرقام العشرية. تم اكتشافها من طرف سيمون بلوف. π
= ∑ k
=
0
∞
1 16 k ( 4 8
k
+
1 −
2 8
k
+
4 −
1 8
k
+
5 −
1 8
k
+
6
) {\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)}
كونها بصيغة كسرية يمكن بها استخلاص الأرقام السداسية عشر والثنائية دون حساب سابقاتها وبها أمكن الوصول إلى 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية.
تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات
الأساسيات
الاسم
سنة ۱٧۹٧م محمد حسين العطار الدمشقي من علماء الحساب في العصر العثماني، استعمل مقاربة لثابت الدائرة في هذه المخطوطة كما جرت العادة (ثلاثة وسُبع)
عمم ليونهارد أويلر استعمال الحرف الإغريقي
π {\displaystyle {\pi }} في عمل لهُ نشره عام 1748.
مُثل الثابت
π {\displaystyle {\pi }} في هذا الفسيفساء خارج مبنى لتدريس الرياضيات في معهد برلين للتكنولوجيا.
الرمز المستخدم من طرف علماء الرياضيات من أجل تمثيل النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هو الحرف الإغريقي
π {\displaystyle {\pi }} و يُقرأ هذا الحرف باي و لا ينبغي خلط هذا العدد مع الحرف Π، والذي يعني الجداء. ويُنطق
π {\displaystyle {\pi }} في اللغة الإنجليزية (/paɪ/). وكان أول عالم رياضيات استعمل الحرف الإغريقي من أجل تمثيل نسبة محيط الدائرة على قطرها هو ويليام جونز، الذي استعملها في عام 1706 في عمل له. التعريف
محيط دائرة يزيد بقليل عن ثلاثة أضعاف قطرها. تساوي النسبة بينهما π
{\displaystyle \pi } . π {\displaystyle {\pi }} هي نسبة محيط الدائرة C على قطرها d: π
=
C
d
{\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}
نسبة C/d هي ثابتة بغض النظر عن محيط أو مساحة الدائرة. هذا التعريف ل π
{\displaystyle \pi } يستعمل بشكل غير مباشر مفهوم الهندسة الأقليدية المسطحة. رغم أن مفهوم الدائرة قد يمدد إلى الهندسة غير الإقليدية المنحنية، فإن هذه الدوائر الجديدة لا تحقق المعادلة π
=
C
d
{\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}} . هناك تعريفات أخرى لا تستعمل نهائيا الدوائر. على سبيل المثال، π
{\displaystyle \pi } هو ضعف أصغر عدد موجب حيث تنعدم دالة الجيب التمام. محيط الدائرة هو طول القوس المحيط بالدائرة، وهي كمية يمكن تعريفها رسميًا بشكل مستقل عن الهندسة باستخدام الحدود، وهو مفهوم في حساب التفاضل والتكامل. على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يحسب مباشرة طول القوس للنصف العلوي من دائرة الوحدة، الوارد في الإحداثيات الديكارتية بالمعادلة x2 + y2 = 1، باعتبارها التكامل: π
= ∫ −
1
1 d
x
1
− x 2 .
{\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
الخصائص
بما أن
π {\displaystyle {\pi }} عدد متسام، تربيع الدائرة غير ممكن في عدد منته من الخطوات باستعمال الأدوات الكلاسيكية المتمثلة في الفرجار والمسطرة.
π عدد غير كسري. هذا يعني أنه لا يمكن كتابته على شكل نسبة عددين صحيحين، مثل 22/7، أو أي كسر آخر مستعمل تقريبًا للباي. ولهذا السبب، فإن π عدد غير منته من الأرقام بعد الفاصلة في تمثيله العشري، وأنه لا توجد أي سلسلة من الأرقام تتكرر بشكل غير منته. هناك عدة البرهان على أن باي عدد غير كسري. π عدد متسام. هذا يعني أنه لا يمكن أن يكون جذرا لأي متعددة حدود غير منعدمة عواملها أعداد كسرية، كما هو الحال بالنسبة لمتعددة الحدود x 5
120
− x 3
6
+
x
=
0. {\displaystyle \scriptstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0.} . لتسامي π نتيجتان مهمتان أولهما: لا يمكن أن يُعبر عن π بأي دمج لأعداد كسربة وجذور مربعة وجذور مكعبة وما يشبه ذلك مثل
31 3
{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{3}]{31}}} أو
10 2 . {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{2}]{10}}.} . أما ثانيهما، فهو بما أنه يُستحال انشاء عدد متسام بواسطة البركار والمسطرة، كذلك من المستحيل تربيع الدائرة. الكسور المستمرة
العدد ط، كونه عددا غير كسري، لا يمكن تمثيله كسرا بسيطا. هذه الخاصية تبقى صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد غير الكسرية. ولكن الأعداد غير الكسرية، بما في ذلك ط، يمكن تمثيلها بكسور متكررة تسمى الكسور المستمرة: π
=
3
+ 1 7
+ 1 15
+ 1 1
+ 1 292
+ 1 1
+ 1 1
+ 1 1
+
⋱
{\displaystyle \pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}
ايقاف هذا الكسر المستمر في مستوى ما يعطي تقريبا معينا للعدد ط. استعمل الكسران 22/7 و 355/113 عبر التاريخ من أجل إعطاء قيمة مقربة للعدد ط. رغم عدم وجود أي انتظام أو تكرار في الكسر المستمر البسيط الذي يعطي قيمة العدد ط، فإن علماء الرياضيات وجدوا كسورا مستمرة معممة تحتوي على سلاسل عددية منتطمة أو متكررة. مثالا الكسور المستمرة التالية: π
= 4 1
+
1 2 2
+
3 2 2
+
5 2 2
+
7 2 2
+
9 2 2
+
⋱ =
3
+
1 2 6
+
3 2 6
+
5 2 6
+
7 2 6
+
9 2 6
+
⋱ = 4 1
+
1 2 3
+
2 2 5
+
3 2 7
+
4 2 9
+
⋱
{\displaystyle \pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}
قيمة مقربة
قيمة
π {\displaystyle {\pi }} التقريبية حتى 1000 مرتبة عشرية:
الاستعمال
المقالة الرئيسة: قائمة الصيغ المحتوية طفي الهندسة وحساب المثلثات
مساحة الدائرة تساوي ط مرة مساحة المربع الملون.
دالتا الجيب وجيب التمام دوريتان دورتهما تساوي 2ط.
يظهر العدد ط في حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة والمخروط والطارة. فيما يلي، بعض من الصيغ الأكثر أهمية والتي تحتوي على العدد ط: محيط دائرة شعاعها r هو 2
π
r
{\displaystyle 2\pi r} .
مساحة دائرة شعاعها r هي π r 2
{\displaystyle \pi r^{2}} .
حجم كرة شعاعها r هو
4
3 π r 3
{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}} .
مساحة كرة شعاعها r هو 4
π r 2
{\displaystyle 4\pi r^{2}} .
طريقة مونت كارلو
طرق مونت كارلو من أجل ايجاد قيمة مقربة للعدد ط بطيئة جدا مقارنة مع طرق أخرى، وبالتالي، لا تستعمل أبدا إذا كانت السرعة والدقة هما المطلوبتان. في الأعداد العقدية والتحليل
الربط بين القوى التخيلية للعدد e والنقط الموجودة على الدائرة الوحدة التي مركزها هو مركز المستوى العقدي أعطته صيغة أويلر.
كل عدد عقدي، يمكن أن يُعبر عنه باستعمال عددين حقيقين. في النظام الإحداثي القطبي، يستعمل عدد حقيقي r (الشعاع أو نصف القطر) من أجل تمثيل المسافة بين z وأصل المعلم في المستوى العقدي. ويستعمل عدد حقيقي ثان (الزاوية أو φ) يمثل كمية الدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة، انطلاقا من نصف محور الأراتيب المحتوي على الأعداد الحقيقية الموجبة ووصولا إلى z ذاته، كما يلي: z
=
r
⋅
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
{\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )}
حيث i هي الوحدة التخيلية التي تحقق i2 = −1. الظهور المكثف للعدد ط في التحليل العقدي قد يكون مرتبطا بالدالة الأسية لمتغير عقدي، كما وصفت ذلك صيغة أويلر:
e i
φ
=
cos
φ
+
i
sin
φ
{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }
حيث الثابتة e هي أساس اللوغارتم الطبيعي. في هاته الصيغة، عندما يكون φ مساويا ل π، تنتج صيغة أويل متطابقة أويلر، التي نظر إليها علماء الرياضيات كثيرا لاحتوائها على الثابتات الرياضياتية الخمسة، الأكثر أهمية:
e i
π
+
1
=
0
{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
يوجد n عدد مركب تختلف عن بعضا البعض z يحققن المعادلة zn = 1. تسمى هذه الأعداد بالجذور النونية للوحدة، وتحدد بواسطة الصيغة التالية:
e 2
i
π
k / n (
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
)
.
{\displaystyle e^{2i\pi k/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}
في نظرية الأعداد ودالة زيتا لريمان
دالة زيتا لريمان (ζ(s هي دالة مستعملة في مجالات عديدة من الرياضيات. عندما يكون s مساويا ل 2، يمكن أن تكتب كما يلي: ζ
(
2
)
=
1 1 2
+
1 2 2
+
1 3 2
+
⋅
⋯
{\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdot \cdots }
كان ايجاد قيمة هذه المتسلسلة غير المنتهية معضلة مشهورة في الرياضيات، تدعى معضلة بازل. حلحلها ليونهارد أويلر عام 1735 حيث برهن أنها تساوي π 2
6 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} . هاته النتيجة أدت إلى نتيجة أخرى في نظرية الأعداد وهي كون احتمال أن يكون عددان طبيعيان، اختيرا عشوائيا، أوليين فيما بينهما، مساويا ل
6 π 2 {\displaystyle \scriptstyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}} .
∏ p
∞ ( 1
−
1 p 2 ) =
(
∏ p
∞
1 1
− p −
2
)
−
1
=
1 1
+
1 2 2
+
1 3 2
+
⋯ =
1 ζ
(
2
) =
6 π 2
≈
61
%
{\displaystyle \prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%}
يمكن لهذا الاحتمال أن يستعمل، بالإضافة إلى مولد للأعداد العشوائية، من أجل إعطاء قيمة مقربة ل π
{\displaystyle \pi } ، اعتمادا على طريقة مونتي كارلو. في الفيزياء
يمكن رؤية العدد ط أو π في العديد من القوانين الفيزيائية من أهمها: الثابت الكوني:
Λ
= 8
π
G
3 c 2 ρ
{\displaystyle \Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho }
مبدأ الريبة، الذي ينص على أن قياس موضع جسيم (Δx) وكمية التحرك (Δp) لايمكن لكليهما أن يكونا صغيرين في نفس الوقت:
Δ
x Δ
p
≥
h 4
π {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}
معادلات أينشتاين للمجال في النسبية العامة: R i
k
−
g i
k
R 2
+
Λ g i
k
= 8
π
G
c 4 T i
k
{\displaystyle R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}}
قانون كولوم للقوة الكهربائية، يصف القوة بين شحنتين كهربائيتين(q1 وq2) تفصلهما مسافة r:
F
= |
q 1 q 2 |
4
π ε 0 r 2 {\displaystyle F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}
النفاذية المغناطيسية في الفراغ: μ 0
=
4
π
⋅ 10 −
7
N /
A 2
{\displaystyle \mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N/A^{2}} \,}
قوانين كبلر، التي تربط بين الزمن المداري (P) والمحور الإهليجي الأكبر a والكتل(M وm) لجسمين مداريين حول بعضهما: P 2 a 3
= (
2
π ) 2
G
(
M
+
m
) {\displaystyle {\frac {P^{2}}{a^{3}}}={(2\pi )^{2} \over G(M+m)}}
في الاحتمالات والإحصاء
رسم بياني للدالة الغاوسية ƒ(x) =e−x2. المنطقة الملونة بين منحنى الدالة ومحور y لها مساحة تساوي
π {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\pi }}} .
في علم الاحتمالات والإحصاء، توجد العديد من التوزيعات التي تحوي العدد π، منها ما يلي: دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع المنتظم بالمتوسط μ والانحراف المعياري σ، نتيجة للتكامل الغاوسي:
f
(
x
)
=
1 σ
2
π e −
(
x
−
μ ) 2 / (
2 σ 2
)
{\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}}
دالة الكثافة الاحتمالية لتوزيع كوشي:
f
(
x
)
=
1 π
(
1
+ x 2
) .
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.}
صيغ حسابية للعدد ط
توجد طرق عديدة ومختلفة لنشر وحساب العدد ط منها النشر بواسطة سلاسل تايلور وماكلورين، النشر بواسطة متسلسلات فوريير، النشر بالنظام الثنائي، والنشر بالكسور المستمرة. النشر بواسطة متسلسلة ماكلورين
إحدى المعادلات المعروفة لإيجاد ط هي: 4
×
(
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
⋯
)
{\displaystyle 4\times (1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots )} ويمكن استنتاج هذه الصيغة من متسلسلة ماكلورين لدالة قوس الظل (بالإنجليزية: arctan) حيث arctan x
=
x
− x 3
3
+ x 5
5
− x 7
7
+
⋯ {\displaystyle \arctan \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \!} في الحقيقة لاتستخدم الالات الحسابية السلسلة السابقة (عند تعويض x =1) بسبب تقاربها البطيء ويمكن ملاحظة ذلك عند الوصول إلى رقم المليون وواحد مثلا ستكون الدقة لاتتجاوز خمس مراتب عشرية، وهكذا. يمكن استعمال الصيغة الرياضية عند تعويضات x أكبر من الواحد للحصول على تقارب أسرع مثل: π
=
12
( 1
−
1 3
⋅
3 +
1 5
⋅ 3 2 −
1 7
⋅ 3 3 +
⋯ )
{\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)\!}
سلاسل أخرى
هناك حسابات أخرى مثل: اما في العصر الحديث فقد ظهرت خوارزميات أكثر تقاربا بكثير مثل: سلسلة رامانجن:
1
π
= 2
2 9801 ∑ k
=
0
∞ (
4
k
)
!
(
1103
+
26390
k
)
(
k
! ) 4 396 4
k
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!}
سلسلة الإخوان شودنوفسكي التي سمحت لأول مرة تقريب ط لمليار مرتبة عشرية عام 1989 باستخدام الحاسوب العملاق: 426880
10005 π
= ∑ k
=
0
∞ (
6
k
)
!
(
+
k
)
(
3
k
)
!
(
k
! ) 3
(
−
640320 ) 3
k
{\displaystyle {\frac {426880{\sqrt {10005}}}{\pi }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(
و كان لخوارزمية برنت سالامن الاكتشاف الاروع والتي تبدأ بوضع:
a 0
=
1
b 0
=
1 2 t 0
=
1
4
p 0
=
1 {\displaystyle a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4}}\quad \quad \quad p_{0}=1\!}
ثم المعاودة:
a n
+
1
=
a n
+ b n 2
b n
+
1
= a n b n {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\!} t n
+
1
= t n
− p n
( a n
− a n
+
1 ) 2
p n
+
1
=
2 p n {\displaystyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n}\!}
حتى تصبح an وbn متقاربة بما يكفي. ويعطى تقريب π π
≈ ( a n
+ b n ) 2
4 t n . {\displaystyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.\!}
في عام 2006 استطاع سيمون بلوف توليد سلسلة من الصيغ المدهشة بوضع q = eπ، وبالتالي π
24
= ∑ n
=
1
∞
1
n ( 3
q n
−
1 −
4
q 2
n
−
1 +
1
q 4
n
−
1
) {\displaystyle {\frac {\pi }{24}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {3}{q^{n}-1}}-{\frac {4}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)} π 3
180
= ∑ n
=
1
∞
1 n 3 ( 4
q n
−
1 −
5
q 2
n
−
1 +
1
q 4
n
−
1
) {\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{180}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\left({\frac {4}{q^{n}-1}}-{\frac {5}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)}
وأخرى بالشكل،
π k
= ∑ n
=
1
∞
1 n k ( a
q n
−
1 +
b
q 2
n
−
1 +
c
q 4
n
−
1
) {\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)}
حيث q = eπ و k هو عدد فردي، وa,b,c هي أعداد نسبية. إذا كانت k على الشكل 4m+3، تصبح الصيغة بالشكل المبسط، p π k
= ∑ n
=
1
∞
1 n k (
2 k
−
1
q n
−
1 −
2 k
−
1
+
1 q 2
n
−
1 +
1
q 4
n
−
1
) {\displaystyle p\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {2^{k-1}}{q^{n}-1}}-{\frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)}
صيغة بيلارد
حسّن منشورَ سيمون بلوف فابريس بيلارد مكتشفا صيغة حسابية جديدة أسرع بحوالي 43% من سابقتها كما أمكنه ولأول مرة بها حساب ط لرقم قياسي جديد على حاسوب شخصي لايتجاوز سعره 3000 دولار (وصل إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية مقارنة بالحساب السابق الذي تم بمساعدة الحاسوب العملاق للوصول إلى 2.6 ترليون مرتبة عشرية أو 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية) مع نهاية عام 2009.
تدعى هذه الصيغة بصيغة بيلارد: π
=
1 2 6 ∑ n
=
0
∞ (
−
1 ) n
2 10
n
( − 2 5 4
n
+
1 −
1 4
n
+
3 + 2 8 10
n
+
1 − 2 6 10
n
+
3
− 2 2 10
n
+
5 − 2 2 10
n
+
7 +
1 10
n
+
9
) {\displaystyle {\begin{aligned}\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\,\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}\right.&{}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}\left.{}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)\end{aligned}}}
التاريخ
المقالة الرئيسة: التسلسل الزمني لحساب قيمة πفي العصور القديمة والوسطى
من غير المعروف كيف ومتى اكتشف الإنسان أن النسبة بين محيط الدائرة وقطرها هي نسبة ثابتة، لكن من الأكيد أن هذه الحقيقة قد عرفت منذ قديم الزمان. فالحضارات القديمة كالحضارة المصرية والبابلية تعاملت مع ط. كان البابليون يستخدمون التقريب 25 / 8
{\displaystyle 25/8} بينما استخدم المصريون التقريب 256 / 81
{\displaystyle 256/81} .
ويرجع حصر قيمة
π {\displaystyle {\pi }} بين 22 / 7
{\displaystyle 22/7} و 221 / 73
{\displaystyle 221/73} إلى العالم اليوناني أرخميدس الذي ابتكر طريقة الاستنفاذ لحساب قيمة تقريبية للعدد ط. في القرون التالية اهتم الفلكيون بتدقيق الحساب التقريبي لـ ط، وأوجد الفلكيون الهنود والصينيون عدة صيغ للقيمة التقريبية، وشارك العلماء العرب والمسلمون في تحسين تلك الصيغ، فتوصل غياث الدين جمشيد الكاشي في القرن الخامس عشر لحساب قيمة تقريبية صحيحة حتى ستة عشر رقما عشريا، وكان ذلك قبل ظهور الآلات الحاسبة بأربعمائة سنة. عصر التقريب بمتعددي الأضلع
يمكن أن تعطي قيم مقربة ل
π {\displaystyle {\pi }} بحساب مساحات متعددي الأضلاع المحيطة بالدائرة والمحاطة بها.
اعتمدت أول خوارزمية مسجلة في التاريخ والتي تمكن من حساب قيمة π بصفة دقيقة على مقاربة هندسية تستعمل متعددي الأضلع. كان ذلك في عام حوالي 250 قبل الميلاد من طرف عالم الرياضيات الإغريقي أرخميدس. بقيت هذه الطريقة المعتمدة على متعددي الأضلع هي الطريقة الأساسية من أجل حساب π لمدة تزيد عن الألف سنة. نتيجة لذلك، كان يشار في بعض الأحيان إلى π على أنها ثابتة أرخميدس. أرخميدس طور طريقة التقريب بحساب مساحة متعددي الأضلاع
π {\displaystyle {\pi }} .
في عام 1424، تمكن غياث الدين الكاشي من حساب ما يكافئ ستة عشر رقما بعد الفاصلة ل π، بالاستعانة بمتعدد للأضلاع عدد أضلاعه يساوي 3×228. بقي هذا العمل الأكثر دقة في العالم لمدة تقارب 180 سنة. المتسلسلات غير المنتهية
استعمل إسحاق نيوتن المتسلسلات غير المنتهية لحساب
π {\displaystyle {\pi }} إلى حدود خمسة عشر رقماً، كاتباً فيما بعد ""استحى ان اخبركم بعدد الارقام التي حملتها لهذه الحسابات".
تطور حساب ط بشكل هائل في القرنين السادس عشر والسابع عشر بفضل اكتشاف المتسلسلات غير المنتهية، والتي هي مجاميع تحتوي على عدد غير منته من الحدود. أول متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا كانت جداء غير منته (بدلا من مجموع غير منته كما جرت العادة من أجل حساب العدد ط)، اكتشفها عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت عام 1593: 2
π
= 2 2
⋅ 2
+
2 2
⋅ 2
+
2
+
2 2
⋯
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }
تسمى هذه المتسلسلة صيغة فييت. ثاني متسلسلة غير منتهية اكتشفت في أوروبا، وجدها جون واليس في عام 1655. وكانت هي أيضا جداء غير منته. تسمى هذه المتسلسلة جداء واليس. π
2
=
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
7
⋅
8
7
⋅
8
9
⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots \!}
في أوروبا، أُعيد اكتشاف صيغة مادهافا من طرف عالم الرياضيات السكوتلاندي جيمس غريغوري في عام 1671 ومن طرف لايبنز في عام 1674. arctan
z
=
z
− z 3
3
+ z 5
5
− z 7
7
+
⋯
{\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }
هاته الصيغة، المعروفة باسم متسلسلة غريغوري-لايبنز، تساوي
π / 4 {\displaystyle \scriptstyle \pi /4} عندما يساوي z واحدا. في عام 1706، استعمل جون ماشن متسلسلات غريغوري-لايبنز فوجد خوارزمية تؤول إلى العدد ط بسرعة أكبر من سابقاتها. π
4
=
4 arctan
1
5
−
arctan
1
239
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}
باستعمال هاته الصيغة، وصل ماشن إلى مائة رقم عشري بعد الفاصلة عند إعطائه لتقريب للعدد ط. وهي الطريقة التي استعملت فيما بعد في أجهزة الحاسوب وحتى عهد قريب. انظر صيغة مشابهة لصيغة ماشن. سرعة الاقتراب
متسلسلات تحسب قيمة
π {\displaystyle {\pi }}
بعد الدورة الأولى
بعد الدورة الثانية
بعد الدورة الثالثة
بعد الدورة الرابعة
بعد الدورة الخامسة
تؤول إلى: π
=
4
1
−
4
3
+
4
5
−
4
7
+
4
9
−
4
11
+
4
13
⋯
. {\displaystyle \scriptstyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}\cdots .} 4.0000
2.6666...
3.4666...
2.8952...
3.3396... π {\displaystyle {\pi }} = 3.1415... π
= 3 +
4 2
×
3
×
4 −
4 4
×
5
×
6 +
4 6
×
7
×
8 ⋯
. {\displaystyle \scriptstyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}\cdots .} 3.0000
3.1666...
3.1333...
3.1452...
3.1396...
كون π عددا غير كسري وكونه عددا متساميا
لم يكن الهدف الوحيد من تطور الرياضيات المتعلقة ب π هو حساب أكبر قدر ممكن من الأرقام في تمثيلها العشري. عندما حل أويلر معضلة بازل عام 1735، واجدا بذلك القيمة الدقيقة لمجموع مقلوبات مربعات الأعداد الصيحيحة الطبيعية، أثبت وجود علاقة وطيدة بينها وبين الأعداد الأولية. ساهم ذلك فيما بعد، بتطور ودراسة دالة زيتا لريمان.
π 2
6
=
1 1 2
+
1 2 2
+
1 3 2
+
1 4 2
+
⋅
⋯
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdot \cdots }
برهن العالم السويسري يوهان هاينريش لامبرت في عام 1761 أن π عدد غير كسري، مما يعني أنه لا يمكن أن يساوي نسبة عددين صحيحين. استعمل برهان لامبرت تمثيلا بالكسور المستمرة لدالة الظل. برهن عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجاندر في عام 1794 أن π
2
{\displaystyle {\pi }^{2}} هو أيضا عدد غير كسري. في عام 1882، برهن عالم الرياضيات الألماني فيردينوند فون ليندمان أن π عدد متسام، مثبتا بذلك حدسية كل من ليجاندر وأويلر. عصر الحاسوب والخوارزميات التكرارية
جون فون نيومان كان عضوا في الفرقة التي استعملت حاسوبا للمرة الأولى من أجل حساب ط. هذا الحاسوب هو إينياك.
مع ظهور الآلات الحاسبة ثم الحاسبات الإلكترونية والنظرية الرياضية للنهايات والمتسلسلات اللانهائية تحسنت قدرة العلماء على حساب قيم تقريبية للعدد ط، ووصل السجل العالمي حتى عام 2002 إلى أكثر من تريليون رقم عشري.
الجدير بالذكر أن فابريس بيلارد حطم رقما قياسيا جديدا في 31 ديسمبر 2009 حين قام بحساب هذا العدد على حاسوب شخصي إلى 2.7 ترليون مرتبة عشرية، وقد استغرقه الحساب 131 استخدم خلالهاأسرع خوارزمية على الإطلاق حتى اليوم وكتب الشفرة المصدرية بلغة سي. الهدف من حساب ط
حساب مساحات وأحجام الأشكال الهندسية المعتمدة على الدائرة كالقطع الناقص والكرة والمخروط والاسطوانة المتسلسلات المتقاربة بسرعة
سرينفاسا أينجار رامانجن، يعمل في معزل في الهند، أنتج عددا من المتسلسلات الرائدة التي تمكن من حساب ط.
خوارزميات الحنفية
اكتشفت خوارزميتان في عام 1995، فتحتا بابا واسعا للبحث المتعلق بالعدد ط. هاتان الخوارزميتان تسميان بخوارزميات الحنفية لأنها كسيلان الماء من حنفية، تنتج أرقاما في التمثيل العشري للعدد ط، لا تستعمل ولا يُحتاج إليها بعد حسابها. اكتشفت خوارزمية حنفية أخرى في عام 1995، وهي خوارزمية BBP لاستئصال الأرقام العشرية. تم اكتشافها من طرف سيمون بلوف. π
= ∑ k
=
0
∞
1 16 k ( 4 8
k
+
1 −
2 8
k
+
4 −
1 8
k
+
5 −
1 8
k
+
6
) {\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)}
كونها بصيغة كسرية يمكن بها استخلاص الأرقام السداسية عشر والثنائية دون حساب سابقاتها وبها أمكن الوصول إلى 1,000,000,000,000,000 مرتبة ثنائية.
شرح مبسط
تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات
شاركنا رأيك
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع [ تعرٌف على ] ط (رياضيات) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 10/11/2023
اعلانات العرب الآن