[ تعرٌف على ] مصفوفة متساوية الأقطار # اخر تحديث اليوم 2024-04-28

تم النشر اليوم 2024-04-28 | مصفوفة متساوية الأقطار

أمثلة

مثال على مصفوفة حقيقية الأعداد ذات البعد
{\displaystyle } على سبيل المثال، A
=
( 1
2
3
2
3
2
3
2
1 )
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&2\\3&2&1\end{pmatrix}}}
بشكل عام، للمصفوفات المتطابقة قطريا بعد قدره
{\displaystyle } كما في الشكل الآتي ولكنه ليس محصوراً به فقط: A
=
( a
b
c
d
e
b
f
d
a )
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&b\\f&d&a\end{pmatrix}}}
بحيث أن a
,
b
,
c
,
d
,
e
,
f
∈
K
{\displaystyle a,b,c,d,e,f\in K} .

خصائص

التماثلات
باستخدام المصفوفة التبديلية
{\displaystyle } J
=
( δ i
,
n
−
j
+
1 ) i
j
=
( 0 1 ⋅
⋅ ⋅
1 0 )
{\displaystyle J=(\delta _{i,n-j+1})_{ij}={\begin{pmatrix}0&&1\\&\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot ^{\,\scriptstyle \cdot }}&\\1&&0\end{pmatrix}}}
يمكن وصف المصفوفة المتطابقة قطريا بشكل مختصر كالآتي: J
A
= A T
J
{\displaystyle JA=A^{T}J}
على سبيل المثال، مصفوفة توبليتزتعتبر متطابقة قطريا، حيث أن عناصرها على الأقطار(القطر الرئيسي والأقطار الجانبية) ثابتة ولها نفس القيمة. نفس الأمر ينطبق على المصفوفة الدوريةمن حيث تساوي عناصر أقطارها وما يميزها عن مصفوفة توبليتز هو تكرار الأقطار بشكل دوري فقط. الجمع والضرب
عملية الجمع لمصفوفتين متساويتي الأقطار A
+
B
{\displaystyle A+B} يُنتج بدوره مصفوفة ذات اقطار متساوية أيضا، وكذلك أيضا لو تم ضرب مصفوفة منهما بعدد ثابت. هي أيضا متساوية الاقطار. ضرب المصفوفتين ذوات الأقطار المتساوية A
⋅
B
{\displaystyle A\cdot B} ينتج بدوره مصفوفة متساوية الأقطار فقط إن كانت المصفوفتان تبادلايتان: J
A
B
= A T
J
B
= A T B T
J
=
(
B
A ) T
J
{\displaystyle JAB=A^{T}JB=A^{T}B^{T}J=(BA)^{T}J}
معكوس المصفوفة
بالنسبة لمعكوس المصفوفةذات الأقطار المتساوية
{\displaystyle } (طالما وُجدت) تُعطى كالآتي: J A −
1
=
(
A
J ) −
1
=
(
J A T ) −
1
= A −
T
J
{\displaystyle JA^{-1}=(AJ)^{-1}=(JA^{T})^{-1}=A^{-T}J} .
حيث أن معكوس المصفوفة متساوية الأقطار يُعطي أيضا مصفوفة متساوية الأقطار.

تعريف

تُعرف الممصفوفة المربعة على الحقل K
{\displaystyle K} بالمصفوفة متطابقة الأقطار، عند تحقق الآتي فيما يتعلق بعناصرها:
a i
,
j
= a n
−
j
+
1
,
n
−
i
+
1
{\displaystyle a_{i,j}=a_{n-j+1,n-i+1}} . ولهذا لا تتغير عناصر هذه المصفوفة إذا تم عكسها حول قطرها المعاكس.

شرح مبسط

المصفوفة متساوية أو متطابقة الأقطار (بالإنجليزية: persymmetric matrix)‏ في الرياضيات هي مصفوفة مربعة يتطابق فيها القطر مع القطر المعاكس المرادف له.