[ تعرٌف على ] حساب المثلثات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | حساب المثلثات

تطبيقات

السدس آلة تستعمل لقياس الزاوية التي تكونها الشمس أو النجوم مع الأفق. باستعمال الحساب المثلثي وكرونوميتر بحري، يمكن تحديد مكان الباخرة.
لعلم المثلثات تطبيقات كثيرة، منها حساب المسافات والزوايا في إنشاء المباني والطرق وفي صناعة المحركات وأجهزة التلفزيون والأثاث وملاعب الكرة، وكذلك وفي حساب المسافات الجغرافية والفلك، وفي أنظمة الاستكشاف بالأقمار الصناعية. انظر إلى التثليث. تمثيل تيار متردد بدائرة وحدة
هذا الشكل المتحرك يوضح حساب موجة جيبية بواسطة دائرة وحدة. الموجة الجيبية يمكن أن تمثل تيارًا مترددًا. عملية تمثيل دالة (y = sin(x باستخدام دائرة الوحدة

صيغ عامة للدوال المثلثية

هناك حالة خاصة في حالة حساب جيب تمام الزاوية إذا كان 1 و0. قانون الجيب
قانون الجيب من أجل مثلث معين ما ينص على ما يلي: a sin
⁡
A =
b sin
⁡
B =
c sin
⁡
C =
2
R
= a
b
c
2
Δ ,
{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},}
حيث Δ
\Delta هي مساحة المثلث و R هو شعاع الدائرة المحيطة بالمثلث. قانون الجيب التمام
قانون جيب التمام هو امتداد لمبرهنة فيتاغورس حيث تبقى هذه المبرهنة صحيحة مهما كانت طبيعة هذا المثلث على عكس مبرهنة فيتاغورس التي تكتفي بالمثلثات قائمة الزاوية. تنص هذه المبرهنة على مايلي:
c 2
= a 2
+ b 2
−
2
a
b
cos
⁡
C
,
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}
صيغة أويلر
صيغة أويلر بما أنها تنص على أن
e i
x
=
cos
⁡
x
+
i
sin
⁡
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} ، تعطي النتائج التالية: sin
⁡
x
=
e i
x
− e −
i
x
2
i , cos
⁡
x
=
e i
x
+ e −
i
x 2
, tan
⁡
x
= ( e i
x
− e −
i
x
)
i
( e i
x
+ e −
i
x
) .
{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {(e^{ix}-e^{-ix})}{i(e^{ix}+e^{-ix})}}.}

التاريخ

المقالة الرئيسة: تاريخ الحساب المثلثي
أبرخش, يعود إليه أول جدول مثلثي. وُصف بكونه «أب الحساب المثلثي».
يعتبر قدماء المصريين أول من عمل بقواعد حساب المثلثات، إذ استخدموها في بناء الأهرامات وبناء معابدهم. لكن قليل من الموروث عنهم في هيئة مخطوطات، ومنها أن عرّّفوا مساحة الدائرة بكونها مساوية لتسعة أعشار مساحة المربع المحيط بها المماس لها من أربع أضلاع. وترجع معرفتنا بحساب المثلثات إلى الإغريق الذين وضعوا قوانينها، ومن أهمها هي القائمة والحادة والمنفرجة. يعتبر العلامة الفارسي نصير الدين الطوسي أول من اعتبر الحساب المثلثي فرعا مستقلا عن علم النجوم. وصلت معرفة الدوال المثلثية إلى أوروبا الغربية من خلال الترجمات إلى اللاتينية لأعمال كل من بطليموس وأعمال علماء الفلك الفرس والعرب من أمثال نصير الدين الطوسي والبتاني. كان عالم الرياضيات الهولندي جيما فريزيوس هو أول من وصف طريقة التثليث و التي ما زالت مستعملة حاليا في علم المساحة. كان عالم الرياضيات السويسري ليونهارت أويلر أول من أقحم الأعداد المركبة في علم المثلثات. كان لعمل عالمي الرياضيات جيمس جريجوري وكولين ماكلورين الاسكتلنديين تأثيرا كبيرا في تطور المتسلسلات المثلثية. الأول منهما عاش في القرن السابع عشر والثاني في الثامن عشر.

نظرة عامة

المقالة الرئيسة: دوال مثلثية
في هذا المثلث قائم الزاوية: sin A = a/c; cos A = b/c; tan A = a/b.
في المثلث القائم المبين في الشكل، يُرمز للوتر (الضلع الأكبر في المثلث) بالرمز h. فيكون تعريف خواص الزاوية A كالآتي: sin ، جا: جيب الزاوية A = طول الضلع المقابل / الوتر(h/a)
cos ، جتا: جيب تمام الزاوية A = طول الضلع المجاور / الوتر (h/b)
tan ، ظا: ظل الزاوية A = طول الضلع المقابل/طول الضلع المجاور (b/a).
تنطبق التعريفات السابقة على الزوايا بين 0 و 90 درجة (بين صفر و π/2 راديان). وباستخدام دائرة واحدية يمكن حساب الدوال المثلثية للزوايا الدائرية بين 0 و 360 درجة . في تلك الحالات يمكن أن يكون الضلع a موجبا أو سالبا (انظر دالة مثلثية). الدوال المثلثية هي دوال دورية (تتكرر بانتظام) ولها دورة مقدارها 360 درجة أو 2π راديان. أي أن احداثياتها تتكرر من دورة لدورة . ويمكن لظل الزاوية أو ظل تمام الزاوية أن يصل إلى الصفر عند 180 درجة أو عند 360 درجة. تعريف الدالة المثلثية بالأعداد المركبة
Fig. 1a – تعريف جا و جيب تمام الزاوية θ باستخدام دائرة وحدة .
يمكن تعريف الدوال المثلثية بطريقة أخرى غير طريقة حساب المثلثات، وهي طريقة باستخدام الحساب والمتتاليات اللانهائية . ومع تلك التعريفات يمكن صياغة الدوال المثلثية بالأعداد المركبة . ومن مميزات الدوال الأسية المركبة أنها تستخدم كثيرا في الهندسة الكهربائية وحسابات التيار المتردد والمحركات الكهربائية وكذلك في علم الفلك.
e x
+
i
y
= e x
(
cos
⁡
y
+
i
sin
⁡
y
)
.
{\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}
أنظر صيغة أويلر وصيغة دي موافر.

شرح مبسط

علم المثلثات أو حساب المثلثات (باللاتينية: Trigonometria) هو فرع من الرياضيات يدرس الزوايا والمثلثات والتوابع المثلثية كالجيب والجيب التمام.[1][2][3] وهو أحد فروع علم الهندسة العامة.