[ تعرٌف على ] معادلة جبرية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | معادلة جبرية

المعادلة من الدرجة الرابعة

المقالة الرئيسة: معادلة رباعية
تاريخيا، حلحلت المعادلات من الدرجة الرابعة في عام 1540 قُبيل حلحلة المعادلات من الدرجة الثالثة حيث وجد لودوفيكو فيراري طريقة تمكن من المرور من معضلة حل معادلة من الدرجة الرابعة إلى معضلة حل المعادلة من الدرجة الثالثة. لهذا السبب، لم تكن هذه الحلحلة ذات فائدة، حتى حلحلت المعادلات التكعيبية ذاتها.
بحل المعادلات من الدرجة الثالثة، اكتمل حل المعادلات من الدرجة الرابعة. كاردانو نشر هذين الحلين في كتابه أرس ماغنا عام 1545. لمزيد من المعلومات، انظر إلى معادلة رباعية.

مثال

y 4
+ x
y 5
= x 3
7
−
x y 2
+ y 2
−
2
9
{\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{5}}={\frac {x^{3}}{7}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {2}{9}}}

المعادلة من الدرجة الثانية

المقالة الرئيسة: معادلة تربيعية
لحل المعادلة:
a x 2
+
b
x
+
c =
0 {\mathcal {}}ax^{2}+bx+c\,=0 , نحسب المميز
Δ {\mathcal {}}\Delta المعرف ب:
Δ
= b 2
−
4
a
c
\Delta =b^{2}-4ac\, , ويكون للمعادلة حلان هما: x 1
= −
b
−
Δ
2
a
x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}
x 2
= −
b
+
Δ
2
a
x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}} .

المعادلة من الدرجة الثالثة

المقالة الرئيسة: معادلة تكعيبية
تاريخيا، حلحلت المعادلات من الدرجة الثالثة خلال القرن السادس عشر الميلادي. لمعادلة تكعيبية ثلاث حلول على الأكثر. لمزيد من العلومات انظر إلى معادلة تكعيبية.

المبرهنة الأساسية في الجبر

إذا اعتبرنا المعادلة التالية:
x 2
+
2
x
+
1
=
0 {\mathcal {}}x^{2}+2x+1=0 فإن الحل هو
(
−
1
) {\mathcal {}}(-1) ولكن يتم اعتبار هذا الحل مكررا مرتين لأننا يمكن أن نكتب المعادلة بالشكل التالي: x 2
+
2
x
+
1
=
(
x
+
1 ) 2
=
(
x
+
1
)
(
x
+
1
)
=
0 {\mathcal {}}x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}=(x+1)(x+1)=0 و لذلك نرى أنه لتكون المعادلة صحيحة يجب أن يكون القوس الأول يساوي صفرا أو الثاني يساوي صفرا وفي كل مرة يعينا ذلك حلا أي أن الحل
(
−
1
) {\mathcal {}}(-1) مكرر مرتين.
كذلك إذا اعتبرنا (
x
−
1 ) n
=
0 {\mathcal {}}(x-1)^{n}=0 فإن الحل هو
1 {\mathcal {}}1 ولكنه مكرر
n {\mathcal {}}n مرة إلخ.... بهذه الطريقة تتم حساب عدد الحلول. وعلى أساس ذلك يكون كما هو مذكور أعلاه لكل معادلة حدودية من الدرجة
n {\mathcal {}}n عدد
n {\mathcal {}}n من الحلول طرق حل معادلات كثيرة الحدود

المعادلة من الدرجة الأولى

المقالة الرئيسة: معادلة من الدرجة الأولى
حل المعادلة:
a
x
+
b =
0 ax+b\,=0 هو
x
= −
b a x={\frac {-b}{a}} حيث
a
≠
0
a\neq 0\, ونستطيع حل معادلات الدرجة الأولى بكل سهولة فمثلا:
2x+5=10 لحلها نقوم أولا بالتخلص من الحد الثابت وذلك بإضافته معكوسه الجمعي إلى الطرفين، فيصبح 2x+5-5=10-5 أي 2x=5
بعدها نضرب الطرفين في المعكوس الضربي لمعامل x (أو ببساطة قسمة كلا الطرفين على العدد الموجود أمام x وهو (2)) وبهذا نحصل على x=2.5

المعادلة من الدرجة الخامسة فما فوق

المقالات الرئيسة: مبرهنة أبيل-روفيني وزمرة غالوا
برهن كل من إيفاريست غالوا ونيلس هنريك أبيل، كل واحد على حدى، أن متعددة حدود من الدرجة الخامسة فما فوق في شكلها العام، لا تقبل حلحلة بالجذور. بعض من المعادلات الحدودية الخاصة تقبل حلحلة بالجذور حتى إذا كانت درجتها تفوق الخمسة. برهن شارل آرميت على إمكانية حلحلة المعادلات من الدرجة الخامسة باستعمال الدوال الإهليلجية. انظر إلى دالة خماسية وإلى مبرهنة آبل

طرق رقمية لحل معادلات كثيرة الحدود

طريقة نيوتن في حل المعادلات

شرح مبسط

في الرياضيات، المعادلة الجبرية (بالإنجليزية: Algebraic equation)‏ أو معادلة متعددة الحدود (بالإنجليزية: Polynomial equation)‏ أو المعادلة الحدودية هي مساواة بين مقدارين جبريين يحوي أحدهما أو كلاهما متغيرا أو أكثر حيث القيمة العددية للمقدار الأول لا تساوي القيمة العددية للمقدار الثاني إلا مع قيم خاصة للمتغيرات.[1][2][3]
على سبيل المثال، معادلة حدودية أحادية المتغير، هي معادلة تأخذ الشكل التالي: