[ تعرٌف على ] متباينة برنولي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | متباينة برنولي

برهان المتراجحة

ليكن x
x من R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} . لنبين بالترجع على n
n أن: (
1
+
x ) n
≥
1
+
n
x
{\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx} الخاصية صحيحة من أجل n
=
0
{\displaystyle n=0} لأن: (
1
+
x ) 0
≥
1
+
0
x
{\displaystyle (1+x)^{0}\geq 1+0x} تكافئ 1
≥
1
{\displaystyle 1\geq 1} . نفترض أن الخاصية صحيحة من أجل n
n من N
{\displaystyle N} .إذن: (
1
+
x
)
(
1
+
x ) n
≥
(
1
+
x
)
(
1
+
n
x
)
{\displaystyle (1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)} (لأن (
1
+
x
)
≥
0
{\displaystyle (1+x)\geq 0} ) (
1
+
x ) n
+
1
≥
1
+
n
x
+
x
+
n x 2
⟸
{\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x+nx^{2}\Longleftarrow } .
(
1
+
x ) n
+
1
≥
1
+
(
n
+
1
)
x
+
n x 2
⟸
{\displaystyle .(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+nx^{2}\Longleftarrow } (
1
+
x ) n
+
1
≥
1
+
(
n
+
1
)
x
⟸
{\displaystyle (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x\Longleftarrow } إذن الخاصية صحيحة من أجل n
+
1
{\displaystyle n+1} ، و منه النتيجة.

شرح مبسط

في التحليل الحقيقي، متراجحة برنولي المسماة هكذا نسبة إلى ياكوب بيرنولي، هي متراجحة تمكن من الاقتراب من دالة الأس ل



1
+
x


{\displaystyle 1+x}

.[1]