اليوم: السبت 27 ابريل 2024 , الساعة: 6:26 ص
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
اخر المشاهدات
- [ تعرٌف على ] دوري الملوك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ العناية بالوجه ] ما هو الميزوثيرابي للوجه # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تسوق وملابس الامارات ] لوريتال الأزياء ... العين # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] سوسن طاهر للتدريب و التعليم ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ محلات أحذية الامارات ] كروكس # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات طبية عيادات مستشفيات قطر ] ميدتيك MEDITECH ( MEDICAL TECHNOLOGY & ENGG EST ) ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل الشارقة الامارات ] رقم 1 الأحداث ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] متلازمات شبيهة الشياخ # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات البريطانية الروسية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ صحة نفسية ] ما هو علاج وسواس الخوف من الموت # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] معاذ محمد احمد مشبب ... المحاله ... منطقة عسير # اخر تحديث اليوم 2024-02-15
- [ تعرٌف على ] محمد حسين الكيشوان # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ الخدمات و الخياطة والتطريز قطر ] الراهية للخياطه النسائية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] فولكروفت (بنسيلفانيا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ جمال ورشاقة الامارات ] صالون زهرة السوسن للسيدات ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] إميليانو فيشيو # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ نقص الفيتامينات والمعادن ] أعراض نقص فيتامين ب12 عند الأطفال # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تسوق وملابس الامارات ] جلوريا سيتي للخياطة النسائية ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] نواف زهير بن محمد قباني ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ صحة وطب الامارات ] عيادة الدكتور مايكل لطب الأسنان ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الدوري المغربي لكرة القدم 2011–12 # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ محلات أحذية الامارات ] Shoe Centre LLC # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] هاي جيست فكيشون هومز ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم الامارات ] دجاج تكساس # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ سياحة وترفيه الامارات ] فندق هوارد جونسون ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سامي عبدالمحسن مجيدل العنزي ... الدرعيه ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-24
- [ خذها قاعدة ] بينما العقل لا يرى إلا الحدود، يعرف القلب الدرب المقدس. - جلال الدين الرومي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] قصر كورينتا للأدوات البحرية ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم الامارات ] كيكو ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] بافل ميليوكوف # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ بنوك وصرافة الامارات ] شركة الصقر الوطنية للتأمين (شركة مساهمة عامة) ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] متحف تاريخ أذربيجان الوطني # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تأجير سيارات الامارات ] Al Wazeer Rent A Car # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] كراج برو وركس ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم الامارات ] اماندا دجاج بروست ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] الجمعة للنقليات ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] ويف كوفي شوب ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] كاميلينا # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ابراهيم ماجد ناصر العجلان ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] باث آند بودي ووركس ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ المركبات الامارات ] سكومى لأدوات النفط المحدودة ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم السعودية ] مشويات العزيزية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] حلا (ممثلة) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ خذها قاعدة ] ليس السِّجن سيِّئاً إلى حدٍّ كبير ولكنَّني أكره الجدار بين زنزانتي وزنزانة السَّجين الآخر , وأؤكد لكَ أنني لستُ ألومُ السَّجَّان ولا مَن بنى السِّجن. - جبران خليل جبران # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] ابو زهير لبيع الاسماك الطازجة ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] خدمات حنان علي للسيارات ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] منظمة السلام الأخضر # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] مادة متفككة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مقاولون السعودية ] مؤسسة فهد العجلان للمقاولات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] مختبر ماتركس ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات الفنادق والاجنحة الفندقية قطر ] بيناكل الفندقية Pinnacle Hospitality & Services W.L.L ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ صيدليات السعودية ] صيدلية النهدي 125 # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ العناية بالطفل ] أضرار القطط على الأطفال # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل الشارقة الامارات ] نوفوتيه ايوب عيسى ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل الشارقة الامارات ] عيادة ساسيلز للأسنان ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات البريطانية البولندية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ موردون الامارات ] الموارد الفنية - قسم خدمات الورشة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] حق المرأة في التنقل والسفر في القانون المصري # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مقاولات و مقاولون الديكور قطر ] مؤسسة الاسقف لاعمال الديكور # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] متلازمة داون # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ عقود البناء و المقاولات قطر ] هرمز للمقاولات والنفط والغاز # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مراحل نمو الجنين ] كم وزن الجنين في الشهر الرابع # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ صحة وطب الامارات ] عيادة سماء الشام لطب الأسنان ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وزارات وهيئات حكومية السعودية ] حرس الحدود مركز التدريب # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات البريطانية النيكاراغوية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ محامين السعودية ] منيره خالد عبدالرحمن العمار ... الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] دجاج جنوب فرايد ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] علي حماد حميد الحربي ... المدينه المنوره ... منطقة المدينة المنورة # اخر تحديث اليوم 2024-02-13
- [ حكمــــــة ] « أن تزهد ، فيما أحل الله ، فأما ما حرم الله فإن ارتكبته عذبك الله ؛ يعني : إن تركه فرض » # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم الامارات ] Café on First - Ajman Hotel # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ محلات أحذية الامارات ] Cavallo Collection - Ras Al Khaima # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ صيدليات السعودية ] صيدلية النهدي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ خدمات الفنادق و السياحة قطر ] برج وأجنحة الاصمخ # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ خذها قاعدة ] واحذر يا فتى، أن يأتي الله بك يوم القيامة ، فيقول لك: فيم شتمت عبدي هذا، ولعنت هذا وقذفت هذا ؟ فتقول، فيك يا رب ودفاعاً عن دينك ، فيقول، إني لا آمر بالفحشاء، بل سوءُ خلقٍ لازمَك ، ثم تُسحبُ على وجهك، وتطرح في النار. - ديك الجن # اخر تحديث ا
- [ تعرٌف على ] قرار مجلس الأمن التابع للأمم المتحدة رقم 2014 # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ الكترونيات الامارات ] بيغاسوس ستار لتجارة الكمبيوتر ذ.م.م ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] روج (مستحضر تجميلي) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد علي ناصر العاصمي ... محائل ... منطقة عسير # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات الأوكرانية البالاوية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] فرضية الملكة الحمراء # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ ملوك وأمراء ] سلطان بن فهد (أمير سعودي) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم الامارات ] مطعم برزة المشاكيك ... العين # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] معهد رسيم للتدريب ... الاحساء ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] مصنع الشرق الاوسط للثلج وتحليه المياه - شركة مساهمة مقفلة ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ بنوك وصرافة الامارات ] شركة الصقر الوطنية للتأمين (شركة مساهمة عامة) ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] روسيل (مينيسوتا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] مهتاب وحيد ناصر محمد غلوم ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل أبوظبي الامارات ] ذا فاكيشن للسفريات ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات المجرية الإيرانية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] ديفيد انسوورث # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] روح للفنون البصرية ... تبوك ... منطقة تبوك # اخر تحديث اليوم 2024-02-15
- [ مؤسسات البحرين ] عبدالرسول غلوم عباس حسن ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] حزام أخضر # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] فايبر كلاس الشرق الاوسط - شركة مساهمة بحرينية مقفلة ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] ميليتوس # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الكيمياء الحيوية لرائحة الجسم # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] طيبة للاتصالات ... القريات ... منطقة الجوف # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ صحة وطب الامارات ] عيادة طب الأسنان الشاملة ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تأجير سيارات الامارات ] Meydan Cars & Buses Rental # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مبيعات وخدمات تأجير السعودية ] شركة الاندلس للعقارات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
الأكثر قراءة
- مريم الصايغ في سطور
- سؤال و جواب | ما هى أسباب نزول الدم الاحمر بعد البراز؟ وهل هناك أسباب مرضية؟ وما الحل ؟
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً
- هل للحبة السوداء"حبة البركة "فوائد ؟
- كيف أتخلص من الغازات الكريهة التى تخرج مني باستمرار؟
- هناك ألم عندى فى الجانب الأيسر للظهر فهل من الممكن أن يكون بسبب الكلى ؟
- هل هناك علاج للصداع الئى أانيه فى الجانب الأيسر من الدماغ مع العين اليسرى ؟
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام»
- [ رقم تلفون ] مستر مندوب ... مع اللوكيشن المملكه العربية السعودية
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان
- نزع شوك السمك في المنام
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة
- ارقام وهواتف مستشفى الهلال الاحمر 34 ش رمسيس وسط البلد بالقاهرة
- جريمة قتل آمنة الخالدي تفاصيل الجريمة
- رسائل حب ساخنة للمتزوجين +18
- خليفة بخيت الفلاسي حياته
- تعرٌف على ... عائشة العتيبي | مشاهير
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟
- رقم هاتف مكتب النائب العام وكيفية تقديم بلاغ للنائب العام
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] شركة متجر كل شششي - المملكه العربية السعودية
- تفسير رؤية شخص اسمه محمد في المنام لابن سيرين
- ارقام وهواتف مطعم الشبراوى 33 ش احمد عرابى المهندسين, بالجيزة
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة
- ارقام وهواتف عيادة د. ياسر المليجى - 139 ش التحرير الدقى بالجيزة
- ارقام وهواتف مستشفى النور المحمدى الخيرى التخصصى المطرية, بالقاهرة
- تفسير رؤية الحشرات في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية
- قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟
- أعشاب تفتح الرحم للإجهاض
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟!
- قناة تمازيغت برامج القناة
- ارقام وهواتف مكتب صحة - السادس من اكتوبر ميدان الحصرى السادس من اكتوبر, بالجيزة
- سور القران لكل شهر من شهور الحمل
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين
- زخرفة اسماء تصلح للفيس بوك
- مدرسة ب/ 141 حكومي للبنات بجدة
- إلغ (برمجية) التاريخ
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان
- أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام
- تفسير حلم الكلب لابن سيرين
- [ رقم هاتف ] عيادة د. حازم ابو النصر - 20 ش عبد العزيز جاويش عابدين بالقاهرة
- انا بنت عندي 13 سنة لسة مجتليش الدورة الشهرية ......كنت ببات عند خالتي وكل ما
- هل تمرير الإصبع بشكل أفقي على فتحة المهبل يؤدي إلى فض غشاء البكارة؟
- [رقم هاتف] شركة الحراسة و التوظيف و التنظيف.. المغرب
- قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي
- ذا إكس فاكتور آرابيا فكرة البرنامج
- السلام عليكم ، أنا مشكلتي بصراحة الجنس من الخلف مع زوجي الأن صار ويحب حيل
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟
- لالة لعروسة (برنامج) الفائزون
- أنا حامل في الشهر الرابع وينزل مني دم .. هل هذا طبيعي؟
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها
- هل إدخال إصبع الزوج في مهبل الزوجة له أضرار؟
- تفسير حلم اصلاح الطريق في المنام
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة
- إيمان ظاظا حياتها ومشوارها المهني
- أهمية وضرورة إزالة الخيط الأسود من ظهر الجمبري
- اسماء فيس بنات مزخرفة | القاب بنات مزخرفه
- لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة
- تفسير رؤية المشاهير في المنام لابن سيرين
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن حرب 6 اكتوبر 1973 بالصور pdf doc -
- فوائد عشبة الفلية و الكمية المناسبة يوميا
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] شركة الرفق بالحيوان و الطبيعة.. المغرب
- كلمات - انت روحي - حمود السمه
- أعاني من لحمة زائدة في الدبر ، فلدي قطعة لحمية صغيرة في فتحة الشرج من الخارج
- ما الفرق بين الغشاء السليم وغير السليم؟
- تفسير حلم رؤية الإصابة بالرصاص في الكتف بالمنام
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟
- عمر فروخ
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة?
- إدمان الزوج للمواقع الإباحية: المشكلة والأسباب والعلاج
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء.
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام
- تظهر عندي حبوب في البظر والشفرتين بين حين وآخر.. هل لها مضاعفات، وما علاجها؟
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- الكرة الحديدية قواعد اللعبة
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن اللغة العربية والكفايات اللغويه -
- تفسير حلم رؤية الكنز فى المنام لابن سيرين
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟
روابط تهمك
مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع [ تعرٌف على ] معادلات الحقل لأينشتاين # اخر تحديث اليوم 2024-04-27 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 29/03/2024
[ تعرٌف على ] معادلات الحقل لأينشتاين # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
آخر تحديث منذ 29 يوم و 5 ساعة
4 مشاهدة
تم النشر اليوم 2024-04-27 | معادلات الحقل لأينشتاين
حفظ الطاقة وكمية الحركة
النسبية العامة متطابقة مع مبدأي حفظ الطاقة كمية الحركة المحلية المعبر عنهما بالعلاقات
∇ b T a
b = T a
b
;
b =
0
{\displaystyle \nabla _{b}T^{ab}\,=T^{ab}{}_{;b}\,=0} . اشتقاق انحفاظية الطاقة-كمية التحرك المحلية بتقليص متطابقة بيانشي التفاضلية
R a
b
[
c
d
;
e
]
= 0
{\displaystyle R_{ab[cd;e]}=\,0}
مع
g a
c
{\displaystyle g^{ac}} نحصل على, وبفضل الحقيقة القائلة أن الموتر المتري هو ثابت تبايني، أي
g a
b
;
c
=
0
{\displaystyle g^{ab}{}_{;c}=0} ,
R c
b
c
d
;
e
+
R c
b
e
c
;
d
+
R c
b
d
e
;
c
= 0
{\displaystyle R^{c}{}_{bcd;e}+\,R^{c}{}_{bec;d}+\,R^{c}{}_{bde;c}=\,0}
يسمح نقيض تماثل موتر ريمان للحد الثاني في التعبير السابق بإعادة كتابته على الصورة:
R c
b
c
d
;
e − R c
b
c
e
;
d + R c
b
d
e
;
c =
0
{\displaystyle R^{c}{}_{bcd;e}\,-R^{c}{}_{bce;d}\,+R^{c}{}_{bde;c}\,=0}
وهي مكافئة للعلاقة
R b
d
;
e − R b
e
;
d + R c
b
d
e
;
c =
0
{\displaystyle R_{bd;e}\,-R_{be;d}\,+R^{c}{}_{bde;c}\,=0}
باستعمال تعريفموتر ريكسي.
بالاختصار مرة أخرى بالمتري
g b
d
( R b
d
;
e − R b
e
;
d + R c
b
d
e
;
c
) =
0
{\displaystyle g^{bd}(R_{bd;e}\,-R_{be;d}\,+R^{c}{}_{bde;c})\,=0}
لتحصيل
R d
d
;
e − R d
e
;
d + R c
d
d
e
;
c =
0
{\displaystyle R^{d}{}_{d;e}\,-R^{d}{}_{e;d}\,+R^{cd}{}_{de;c}\,=0}
تعريفات موتر ريمان وقياسي ريكسي تبين لنا أن
R ,
e −
2 R c
e
;
c =
0
{\displaystyle R_{,e}\,-2R^{c}{}_{e;c}\,=0}
ويمكن إعادة كتابتها بالصورة ( R c
e −
1
2 g c
e
R ) ;
c =
0
{\displaystyle (R^{c}{}_{e}\,-{\frac {1}{2}}g^{c}{}_{e}R)_{;c}\,=0}
اختصار أخير
g e
d
{\displaystyle g^{ed}} يعطي ( R c
d −
1
2 g c
d
R ) ;
c =
0
{\displaystyle (R^{cd}\,-{\frac {1}{2}}g^{cd}R)_{;c}\,=0}
والتي تعطينا من التماثل بين الحاصرتين وتعريف موتر آينشتين -بعد إعادة عنونة المعاملات
G a
b
;
b =
0
{\displaystyle G^{ab}{}_{;b}\,=0}
باستعمال EFE, يعطينا هذا مباشرة
∇ b T a
b = T a
b
;
b =
0
{\displaystyle \nabla _{b}T^{ab}\,=T^{ab}{}_{;b}\,=0}
وهي تعبر عن بقاء الطاقة-الإجهاد. يعد قانون البقاء هذا متطلباً فيزيائياً. بفضل معادلاته للمجال تأكد آينشتين بأن النسبية العامة متوافقة مع شرط البقاء هذا. اللاخطية
إن عدم خطية معادلات آينشتين للمجال يميز النسبية العامة عن نظريات فيزيائية أخرى عديدة. على سبيل المثال، معادلات ماكسويل للكهرومغنطيسية تكون خطية في توزيعات المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي والشحنة والتيار. (أي أن مجموع الحلين هو حل أيضاً); مثال آخر هو معادلة شرودنجر في ميكانيكا الكم والتي هي خطية في دالة الموجة. مبدأ التوافق
تنخفض EFE إلى قانون الجذب العام لنيوتن باستعمال كل من تقريب المجال الضعيف وتقريب الحركة البطيئة. في الواقع، الثابت الذي يظهر في EFE نحصل عليه بفعل هذين التقريبين.
اشتقاق قانون الجذب العام لنيوتن يمكن صياغة الجاذبية النيوتينية كنظرية مجال قياسي، Φ {\displaystyle \Phi \!} ، والتي هي توتر الجاذبية بوحدات الجول لكل كيلوغرام.
∇ 2
Φ
[ x
→ ,
t
]
=
4
π
G
ρ
[ x
→ ,
t
]
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi [{\vec {x}},t]=4\pi G\rho [{\vec {x}},t]}
حيث ρ {\displaystyle \rho \!} كثافة الكتلة. يحقق مدار السقوط الحر العلاقة
x
→
¨ [
t
]
=
−
∇
Φ
[ x
→ [
t
]
,
t
] .
{\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}[t]=-\nabla \Phi [{\vec {x}}[t],t]\,.}
، بعلامات الموتر تصبح
Φ ,
i
i
=
4
π
G
ρ {\displaystyle \Phi _{,ii}=4\pi G\rho \,}
d 2 x i d
t
2
=
− Φ ,
i .
{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}=-\Phi _{,i}\,.}
تستبدل هذه المعادلات في النسبية العامة بمعادلات مجال آينشتين بصورة انعكاس الأثر
R μ
ν
=
K
( T μ
ν
−
1
2
T g μ
ν
)
{\displaystyle R_{\mu \nu }=K(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}Tg_{\mu \nu })}
لثابت ما، K، و معادلة جيوديسية d 2 x α d
τ
2
=
− Γ β
γ
α d x β
d
τ
d x γ
d
τ
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha }}{{d\tau }^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.}
لتوضيح كيفية اختصار هذه الأخيرة، إلى السابقة نفترض أن سرعة عينة الجسيم هي صفر تقريبا:
d x β
d
τ ≈
( d
t
d
τ ,
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle {\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx ({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0)}
وعليه d d
t
( d
t
d
τ ) ≈
0
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0}
والمتري ومشتقاته هي ساكنة تقريباً وأن مربعات الانحراف من متري منسكوسكي مهملة. بتطبيق فرضيات التبسيط هذه على المركبات المكانية للمعادلة الجيوديسية يعطينا d 2 x i d
t
2
≈
− Γ 00
i
{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}}
حيث أن عاملين من
d
t
d
τ {\displaystyle {\frac {dt}{d\tau }}} قد تمت قسمتهما. هذا يخفضها إلى نظيرتها النيوتنية، شريطة أن
Φ ,
i
≈ Γ 00
i
=
1
2 g i
α
( g α
0
,
0
+ g 0
α
,
0
− g 00
,
α
) .
{\displaystyle \Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={1 \over 2}g^{i\alpha }(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha })\,.}
افتراضاتنا تجبر مشتقات α=i والزمن (0) على البقاء أصفار. على هذا الأساس تتبسط إلى 2 Φ ,
i
≈ g i
j
(
− g 00
,
j
)
≈
− g 00
,
i {\displaystyle 2\Phi _{,i}\approx g^{ij}(-g_{00,j})\approx -g_{00,i}\,}
والتي تتحقق بوضع
g 00
≈
− c 2
−
2
Φ .
{\displaystyle g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.}
بموائمتها بمعادلات آينشتين، سنحتاج فقط لمركبة الزمن-الزمن
R 00
=
K
( T 00
−
1
2
T g 00
)
{\displaystyle R_{00}=K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})}
تقتضي افتراضات السرعات المنخفضة والمجال الساكن أن
T μ
ν
≈ d
i
a
g ( T 00
,
0
,
0
,
0
)
≈ d
i
a
g (
ρ c 4
,
0
,
0
,
0
) .
{\displaystyle T_{\mu \nu }\approx \mathrm {diag} (T_{00},0,0,0)\approx \mathrm {diag} (\rho c^{4},0,0,0)\,.}
إذن T
= g α
β T α
β
≈ g 00 T 00
≈ −
1
c 2
ρ c 4
=
−
ρ c 2 {\displaystyle T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx {-1 \over c^{2}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,}
وبالتالي K
( T 00
−
1
2
T g 00
)
≈
K
(
ρ c 4
−
1
2
(
−
ρ c 2
)
(
− c 2
)
)
=
1
2
K
ρ c 4 .
{\displaystyle K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})\approx K(\rho c^{4}-{1 \over 2}(-\rho c^{2})(-c^{2}))={1 \over 2}K\rho c^{4}\,.}
من تعريف موتر ريكسي
R 00
= Γ 00
,
ρ
ρ
− Γ ρ
0
,
0
ρ
+ Γ ρ
λ
ρ Γ 00
λ
− Γ 0
λ
ρ Γ ρ
0
λ
.
{\displaystyle R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.}
افتراضاتنا التبسيطية تنهي مربعات Γببعضها مع مشتقات الزمن
R 00
≈ Γ 00
,
i
i .
{\displaystyle R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.}
بدمج المعادلات السابقة
Φ ,
i
i
≈ Γ 00
,
i
i
≈ R 00
=
K
( T 00
−
1
2
T g 00
)
≈
1
2
K
ρ c 4 {\displaystyle \Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})\approx {1 \over 2}K\rho c^{4}\,}
والتي تنخفض إلى معادلة المجال النيوتيني بشرط 1
2
K
ρ c 4
=
4
π
G
ρ {\displaystyle {1 \over 2}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,}
والذي سيتحقق إذا كان K
= 8
π
G
c 4 .
{\displaystyle K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.}
نسبية خاصةنسبية عامة مفاهيم الزمكانزمكان متشعب الفروعمبدأ التكافؤتحويلات لورينتزفضاء مينكوفسكي نسبية عامةمدخل إلى النسبية العامةرياضيات النسبية العامةمعادلات الحقل لأينشتاين جاذبية كلاسيكيةمقدمة للثقالةقانون نيوتن للجاذبية رياضيات متعلقةمتجهة رباعيةاشتقاقات النسبيةمخططات زمكانيةهندسة تفاضليةفضاء منحنيرياضيات النسبية العامةطوبولوجيا الزمكان
عنت
يمكن كتابة معادلات آينشتين للمجال (EFE) على الصورة: R μ
ν
− 1
2 R
g μ
ν
+
Λ g μ
ν
= 8
π
G
c 4 T μ
ν
{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}
معادلات حقل أينشتاين على حائط في ليدن بهولندا
حيث
R μ
ν {\displaystyle R_{\mu \nu }\,} تمثل انحناء ريكسي، R {\displaystyle R\,} انحناء قياسي،
g μ
ν {\displaystyle g_{\mu \nu }\,} موتر متري، Λ {\displaystyle \Lambda \,} يمثل ثابت كوني، G {\displaystyle G\,} ثابت الجذب العام، c {\displaystyle c\,} هي سرعة الضوء، و
T μ
ν {\displaystyle T_{\mu \nu }\,} موتر انفعال-طاقة. EFE هي معادلة موتر تربط بين مجموعة من موترات 4 x 4 تماثلية، تكتب باستعمال علامة معامل مجردة. لكل موتر توجد 10 مركبات مستقلة. بمعلومية حرية الاختيار لإحداثيات الزمكان الأربعة، تنخفض المعادلات المستقلة إلى 6 عددياً. بالرغم من أن معادلات آينشتين للمجال تمت صياغتها في السياق بداية من نظرية رباعية الأبعاد، فقد قام بعض النظريين بتوسيع نتائجها إلى
n من الأبعاد. المعادلات في السياق خارج النسبية العامة لا زال يشار إليها بمعادلات آينشتين للمجال. تقوم معادلات مجال الفراغ بتعريف تشعبات آينشتين. بالرغم من المنظر البسيط الذي تبدو عليه المعادلات، إلّا أنها معقدة في الواقع. إذا علم توزيع معين للمادة والطاقة على هيئة موتر إجهاد-طاقة فإن EFE تفهم على أنها معادلاتان للموتر المتري
g μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }} ، لما كانت كلتيهما موتر ريكسي والانحناء القياسي معتمدة على على المتري بطريقة لا خطية معقدة، في الحقيقة، عند كتابتها كلياً، فإنEFE تمثل منظومة من 10 معادلات تفاضلية جزئية، مرتبطة لا خطية، مكافئة-بيضوية. يمكن للمرء كتابة EFE بصورة أكثر اندماجية بتعريف موتر آينشتين
G μ
ν
= R μ
ν
−
1
2
R g μ
ν
,
{\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu },}
وهو مؤثر تماثلي من الرتبة الثانية بشكل دالة في المتري. يمكن حينئذ كتابة EFE بالصورة
G μ
ν
= 8
π
G
c 4 T μ
ν
,
{\displaystyle G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },}
حيث تم اختزال الحد الكوني إلى موتر إجهاد-طاقة في طاقة مظلمة. باستعمال وحدات هندسية حيث G = c = 1, يمكن إعادة كتابتها كما يلي
G μ
ν
=
8
π T μ
ν .
{\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,.}
التعبير الأيسر يمثل تقوس الفضاء والزمان (الزمكان) الذي يتم إيجاده من المتري بينما التعبير على الطرف الأيمن يمثل محتوى الطاقة\المادة من الزمكان. بالتالي يمكن تفسير EFE كمجموعة من المعادلات تملي علينا كيفية ارتباط تقوس الزمكان بمحتوى المادة\الطاقة في الكون. هذه المعادلات مع المعادلة الجيوديسية, تشل نواة التصييغ الرياضياتي في النسبية العامة. اصطلاح الإشارة
يمثل الشكل السابق من EFE المعيار الذي تم تأسيسه في كتاب مسنر, ثورن, وويلر. قام المؤلفون بتحليل جميع الاصطلاحات الموجودة وصنفوها وفقاً للأإشارات الثلاث التاليةS1, S2, S3:
g μ
ν
=
[
S
1
]
×
diag
(
−
1
,
+
1
,
+
1
,
+
1
)
{\displaystyle g_{\mu \nu }~~=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)} R μ
a
β
γ
=
[
S
2
]
×
( Γ a
γ
,
β
μ
− Γ a
β
,
γ
μ
+ Γ σ
β
μ Γ γ
a
σ
− Γ σ
γ
μ Γ β
a
σ
)
{\displaystyle {R^{\mu }}_{a\beta \gamma }=[S2]\times (\Gamma _{a\gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{a\beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma a}^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta a}^{\sigma })} G μ
ν
=
[
S
3
]
× 8
π
G
c 4 T μ
ν
{\displaystyle G_{\mu \nu }~~=[S3]\times {8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}
الإشارة الثالثة أعلاه تتعلق باختيار الاصطلاح لموتر ريكسي:
R μ
ν
=
[
S
2
]
×
[
S
3
]
× R a
μ
a
ν
{\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{a}}_{\mu a\nu }}
حيث أن هذه التعريفات كتاب مسنر, ثورن, وويلر تصنف نفسها على أنها (
+
+
+
) {\displaystyle (+++)\,} , حيث Weinberg (1972) هي (
+
−
−
) {\displaystyle (+--)\,} , Peebles (1980) وEfstathiou (1990) هي (
−
+
+
) {\displaystyle (-++)\,} بينما Peacock (1994), Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin & Squires (1989) هي (
−
+
−
) {\displaystyle (-+-)\,} . استخدم المؤلفون بما فيهم آينشتين إشارة مختلفة في تعريفهم لموتر ريكسي والذي نتج عنه أن أصبحت إشارة الثابت على الطرف الأيمن سالبة
R μ
ν
−
1
2 g μ
ν R
− g μ
ν
Λ
=
− 8
π
G
c 4 T μ
ν
.
{\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R-g_{\mu \nu }\Lambda =-{8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.}
إشارة الحد الكوني (الصغير جداً) قد تتغير في كل هذه الإصدارات، إذا استعملنا اصطلاح الإشارة المتري +--- بدلاً عن MTW −+++ اصطلاح الإشارة المتري المتبنى هنا. صيغ مكافئة
يمكن كتابة معادلات آينشتين للمجال بالصورة (التقفي العكسي) المكافئة التالية:
R μ
ν
− g μ
ν
Λ
= 8
π
G
c 4
( T μ
ν
−
1
2
T
g μ
ν
)
{\displaystyle R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}T\,g_{\mu \nu })}
والتي يمكن أن تكون أكثر ملائمة في بعض الأحيان (مثلاً، عندما يهتم المرء بحد المجال الضعيف ويمكنه إبدال
g μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }} in التعبير على الطرف الأيمن بموتر مينكوسكي دونما فقد ملحوظ للدقة).
قام آينشتين بتعديل معادلاته الأصلية للمجال كي تتضمن حداً كونياً متناسباً مع المتري
R μ
ν
−
1
2 g μ
ν R
+ g μ
ν
Λ
= 8
π
G
c 4 T μ
ν .
{\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,.}
الثابت Λ
{\displaystyle \Lambda } يعد ثابت كوني. لأن Λ
{\displaystyle \Lambda } ثابتاً، فلن يتأثر مبدأ حفظ الطاقة. ثابت الحد الكوني كان آينشتين قد قدمه أصلاً لوصف كون ساكن (بمعنى أنه لا يتمدد ولا ينكمش). لم يكن هذا المجهود ناجحاً لسببين: الكون الساكن في هذه النظرية لم يكن مستقراً حيث أكدت مراقبة المجرات البعيدة بواسطة هوبل بعد عقد من الزمن أن كوننا ليس ساكناُ في الحقيقة بل أنه يتوسع. بالتالي تم التخلي عن Λ
{\displaystyle \Lambda } ، والتي أطلق علها آينشتين "أفضع خطأ فادح أرتكبه". ولأعوام عديدة ظل الثابت الكوني متفق على أنه 0 تقريباً. بعيداً عن حماسة آينشتين'المضللة في تقديم حد الثابت الكوني، لايوجد ما يتعارض مع حد كهذا في المعادلة. في الواقع، هناك تقنيات فلكية متطورة حديثة قد وجدت أن القيمة الموجبة لـ Λ
{\displaystyle \Lambda } ضرورية لتفسير بعض المشاهد. كان آينشتين يعتقد بأن الثابت الكوني ويسيط مستقل، لكن حده في المعادلة يمكن أن ينتقل أيضاً إلى الطرف الآخر جبرياً، المكتوب كجزء من موتر الإجهاد-الطاقة:
T μ
ν (
v
a
c
) =
− Λ c 4
8
π
G
g μ
ν .
{\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}g_{\mu \nu }\,.}
تعتبر طاقة الفراغ ثابتة بالعلاقة
ρ
v
a
c = Λ c 2
8
π
G {\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}
بالتالي فإن وجود ثابت كوني ذا طاقة فراغ لا صفرية.اليوم تستعمل الحدود في النسبية العامة بشكل تبادلي.
معادلات الحقل لأينشتاين (EFE) أو معادلات أينشتاين هي مجموعة عشر معادلات في نظرية ألبرت أينشتاين للنسبية العامة والتي تصف التآثر الأساسي في الجاذبية جراء تقوس الزمكان مع كل من المادة والطاقة.[1] نشرت بداية بواسطة أينشتاين في 1915[2] على أنها معادلة موتر، تعادل EFE انحناء الزمكان (يعبر عنها ب موتر آينشتين) مع الطاقة وكمية التحرك ضمن ذلك الزمكان (المعبر عنها بموتر الإجهاد-الطاقة).
خصائص
حفظ الطاقة وكمية الحركة
النسبية العامة متطابقة مع مبدأي حفظ الطاقة كمية الحركة المحلية المعبر عنهما بالعلاقات
∇ b T a
b = T a
b
;
b =
0
{\displaystyle \nabla _{b}T^{ab}\,=T^{ab}{}_{;b}\,=0} . اشتقاق انحفاظية الطاقة-كمية التحرك المحلية بتقليص متطابقة بيانشي التفاضلية
R a
b
[
c
d
;
e
]
= 0
{\displaystyle R_{ab[cd;e]}=\,0}
مع
g a
c
{\displaystyle g^{ac}} نحصل على, وبفضل الحقيقة القائلة أن الموتر المتري هو ثابت تبايني، أي
g a
b
;
c
=
0
{\displaystyle g^{ab}{}_{;c}=0} ,
R c
b
c
d
;
e
+
R c
b
e
c
;
d
+
R c
b
d
e
;
c
= 0
{\displaystyle R^{c}{}_{bcd;e}+\,R^{c}{}_{bec;d}+\,R^{c}{}_{bde;c}=\,0}
يسمح نقيض تماثل موتر ريمان للحد الثاني في التعبير السابق بإعادة كتابته على الصورة:
R c
b
c
d
;
e − R c
b
c
e
;
d + R c
b
d
e
;
c =
0
{\displaystyle R^{c}{}_{bcd;e}\,-R^{c}{}_{bce;d}\,+R^{c}{}_{bde;c}\,=0}
وهي مكافئة للعلاقة
R b
d
;
e − R b
e
;
d + R c
b
d
e
;
c =
0
{\displaystyle R_{bd;e}\,-R_{be;d}\,+R^{c}{}_{bde;c}\,=0}
باستعمال تعريفموتر ريكسي.
بالاختصار مرة أخرى بالمتري
g b
d
( R b
d
;
e − R b
e
;
d + R c
b
d
e
;
c
) =
0
{\displaystyle g^{bd}(R_{bd;e}\,-R_{be;d}\,+R^{c}{}_{bde;c})\,=0}
لتحصيل
R d
d
;
e − R d
e
;
d + R c
d
d
e
;
c =
0
{\displaystyle R^{d}{}_{d;e}\,-R^{d}{}_{e;d}\,+R^{cd}{}_{de;c}\,=0}
تعريفات موتر ريمان وقياسي ريكسي تبين لنا أن
R ,
e −
2 R c
e
;
c =
0
{\displaystyle R_{,e}\,-2R^{c}{}_{e;c}\,=0}
ويمكن إعادة كتابتها بالصورة ( R c
e −
1
2 g c
e
R ) ;
c =
0
{\displaystyle (R^{c}{}_{e}\,-{\frac {1}{2}}g^{c}{}_{e}R)_{;c}\,=0}
اختصار أخير
g e
d
{\displaystyle g^{ed}} يعطي ( R c
d −
1
2 g c
d
R ) ;
c =
0
{\displaystyle (R^{cd}\,-{\frac {1}{2}}g^{cd}R)_{;c}\,=0}
والتي تعطينا من التماثل بين الحاصرتين وتعريف موتر آينشتين -بعد إعادة عنونة المعاملات
G a
b
;
b =
0
{\displaystyle G^{ab}{}_{;b}\,=0}
باستعمال EFE, يعطينا هذا مباشرة
∇ b T a
b = T a
b
;
b =
0
{\displaystyle \nabla _{b}T^{ab}\,=T^{ab}{}_{;b}\,=0}
وهي تعبر عن بقاء الطاقة-الإجهاد. يعد قانون البقاء هذا متطلباً فيزيائياً. بفضل معادلاته للمجال تأكد آينشتين بأن النسبية العامة متوافقة مع شرط البقاء هذا. اللاخطية
إن عدم خطية معادلات آينشتين للمجال يميز النسبية العامة عن نظريات فيزيائية أخرى عديدة. على سبيل المثال، معادلات ماكسويل للكهرومغنطيسية تكون خطية في توزيعات المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي والشحنة والتيار. (أي أن مجموع الحلين هو حل أيضاً); مثال آخر هو معادلة شرودنجر في ميكانيكا الكم والتي هي خطية في دالة الموجة. مبدأ التوافق
تنخفض EFE إلى قانون الجذب العام لنيوتن باستعمال كل من تقريب المجال الضعيف وتقريب الحركة البطيئة. في الواقع، الثابت الذي يظهر في EFE نحصل عليه بفعل هذين التقريبين.
اشتقاق قانون الجذب العام لنيوتن يمكن صياغة الجاذبية النيوتينية كنظرية مجال قياسي، Φ {\displaystyle \Phi \!} ، والتي هي توتر الجاذبية بوحدات الجول لكل كيلوغرام.
∇ 2
Φ
[ x
→ ,
t
]
=
4
π
G
ρ
[ x
→ ,
t
]
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi [{\vec {x}},t]=4\pi G\rho [{\vec {x}},t]}
حيث ρ {\displaystyle \rho \!} كثافة الكتلة. يحقق مدار السقوط الحر العلاقة
x
→
¨ [
t
]
=
−
∇
Φ
[ x
→ [
t
]
,
t
] .
{\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}[t]=-\nabla \Phi [{\vec {x}}[t],t]\,.}
، بعلامات الموتر تصبح
Φ ,
i
i
=
4
π
G
ρ {\displaystyle \Phi _{,ii}=4\pi G\rho \,}
d 2 x i d
t
2
=
− Φ ,
i .
{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}=-\Phi _{,i}\,.}
تستبدل هذه المعادلات في النسبية العامة بمعادلات مجال آينشتين بصورة انعكاس الأثر
R μ
ν
=
K
( T μ
ν
−
1
2
T g μ
ν
)
{\displaystyle R_{\mu \nu }=K(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}Tg_{\mu \nu })}
لثابت ما، K، و معادلة جيوديسية d 2 x α d
τ
2
=
− Γ β
γ
α d x β
d
τ
d x γ
d
τ
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha }}{{d\tau }^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.}
لتوضيح كيفية اختصار هذه الأخيرة، إلى السابقة نفترض أن سرعة عينة الجسيم هي صفر تقريبا:
d x β
d
τ ≈
( d
t
d
τ ,
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle {\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx ({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0)}
وعليه d d
t
( d
t
d
τ ) ≈
0
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0}
والمتري ومشتقاته هي ساكنة تقريباً وأن مربعات الانحراف من متري منسكوسكي مهملة. بتطبيق فرضيات التبسيط هذه على المركبات المكانية للمعادلة الجيوديسية يعطينا d 2 x i d
t
2
≈
− Γ 00
i
{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}}
حيث أن عاملين من
d
t
d
τ {\displaystyle {\frac {dt}{d\tau }}} قد تمت قسمتهما. هذا يخفضها إلى نظيرتها النيوتنية، شريطة أن
Φ ,
i
≈ Γ 00
i
=
1
2 g i
α
( g α
0
,
0
+ g 0
α
,
0
− g 00
,
α
) .
{\displaystyle \Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={1 \over 2}g^{i\alpha }(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha })\,.}
افتراضاتنا تجبر مشتقات α=i والزمن (0) على البقاء أصفار. على هذا الأساس تتبسط إلى 2 Φ ,
i
≈ g i
j
(
− g 00
,
j
)
≈
− g 00
,
i {\displaystyle 2\Phi _{,i}\approx g^{ij}(-g_{00,j})\approx -g_{00,i}\,}
والتي تتحقق بوضع
g 00
≈
− c 2
−
2
Φ .
{\displaystyle g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.}
بموائمتها بمعادلات آينشتين، سنحتاج فقط لمركبة الزمن-الزمن
R 00
=
K
( T 00
−
1
2
T g 00
)
{\displaystyle R_{00}=K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})}
تقتضي افتراضات السرعات المنخفضة والمجال الساكن أن
T μ
ν
≈ d
i
a
g ( T 00
,
0
,
0
,
0
)
≈ d
i
a
g (
ρ c 4
,
0
,
0
,
0
) .
{\displaystyle T_{\mu \nu }\approx \mathrm {diag} (T_{00},0,0,0)\approx \mathrm {diag} (\rho c^{4},0,0,0)\,.}
إذن T
= g α
β T α
β
≈ g 00 T 00
≈ −
1
c 2
ρ c 4
=
−
ρ c 2 {\displaystyle T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx {-1 \over c^{2}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,}
وبالتالي K
( T 00
−
1
2
T g 00
)
≈
K
(
ρ c 4
−
1
2
(
−
ρ c 2
)
(
− c 2
)
)
=
1
2
K
ρ c 4 .
{\displaystyle K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})\approx K(\rho c^{4}-{1 \over 2}(-\rho c^{2})(-c^{2}))={1 \over 2}K\rho c^{4}\,.}
من تعريف موتر ريكسي
R 00
= Γ 00
,
ρ
ρ
− Γ ρ
0
,
0
ρ
+ Γ ρ
λ
ρ Γ 00
λ
− Γ 0
λ
ρ Γ ρ
0
λ
.
{\displaystyle R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.}
افتراضاتنا التبسيطية تنهي مربعات Γببعضها مع مشتقات الزمن
R 00
≈ Γ 00
,
i
i .
{\displaystyle R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.}
بدمج المعادلات السابقة
Φ ,
i
i
≈ Γ 00
,
i
i
≈ R 00
=
K
( T 00
−
1
2
T g 00
)
≈
1
2
K
ρ c 4 {\displaystyle \Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})\approx {1 \over 2}K\rho c^{4}\,}
والتي تنخفض إلى معادلة المجال النيوتيني بشرط 1
2
K
ρ c 4
=
4
π
G
ρ {\displaystyle {1 \over 2}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,}
والذي سيتحقق إذا كان K
= 8
π
G
c 4 .
{\displaystyle K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.}
الصورة الرياضياتية
جزء من سلسلة مقالات حولزمكاننسبية خاصةنسبية عامة مفاهيم الزمكانزمكان متشعب الفروعمبدأ التكافؤتحويلات لورينتزفضاء مينكوفسكي نسبية عامةمدخل إلى النسبية العامةرياضيات النسبية العامةمعادلات الحقل لأينشتاين جاذبية كلاسيكيةمقدمة للثقالةقانون نيوتن للجاذبية رياضيات متعلقةمتجهة رباعيةاشتقاقات النسبيةمخططات زمكانيةهندسة تفاضليةفضاء منحنيرياضيات النسبية العامةطوبولوجيا الزمكان
عنت
يمكن كتابة معادلات آينشتين للمجال (EFE) على الصورة: R μ
ν
− 1
2 R
g μ
ν
+
Λ g μ
ν
= 8
π
G
c 4 T μ
ν
{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}
معادلات حقل أينشتاين على حائط في ليدن بهولندا
حيث
R μ
ν {\displaystyle R_{\mu \nu }\,} تمثل انحناء ريكسي، R {\displaystyle R\,} انحناء قياسي،
g μ
ν {\displaystyle g_{\mu \nu }\,} موتر متري، Λ {\displaystyle \Lambda \,} يمثل ثابت كوني، G {\displaystyle G\,} ثابت الجذب العام، c {\displaystyle c\,} هي سرعة الضوء، و
T μ
ν {\displaystyle T_{\mu \nu }\,} موتر انفعال-طاقة. EFE هي معادلة موتر تربط بين مجموعة من موترات 4 x 4 تماثلية، تكتب باستعمال علامة معامل مجردة. لكل موتر توجد 10 مركبات مستقلة. بمعلومية حرية الاختيار لإحداثيات الزمكان الأربعة، تنخفض المعادلات المستقلة إلى 6 عددياً. بالرغم من أن معادلات آينشتين للمجال تمت صياغتها في السياق بداية من نظرية رباعية الأبعاد، فقد قام بعض النظريين بتوسيع نتائجها إلى
n من الأبعاد. المعادلات في السياق خارج النسبية العامة لا زال يشار إليها بمعادلات آينشتين للمجال. تقوم معادلات مجال الفراغ بتعريف تشعبات آينشتين. بالرغم من المنظر البسيط الذي تبدو عليه المعادلات، إلّا أنها معقدة في الواقع. إذا علم توزيع معين للمادة والطاقة على هيئة موتر إجهاد-طاقة فإن EFE تفهم على أنها معادلاتان للموتر المتري
g μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }} ، لما كانت كلتيهما موتر ريكسي والانحناء القياسي معتمدة على على المتري بطريقة لا خطية معقدة، في الحقيقة، عند كتابتها كلياً، فإنEFE تمثل منظومة من 10 معادلات تفاضلية جزئية، مرتبطة لا خطية، مكافئة-بيضوية. يمكن للمرء كتابة EFE بصورة أكثر اندماجية بتعريف موتر آينشتين
G μ
ν
= R μ
ν
−
1
2
R g μ
ν
,
{\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu },}
وهو مؤثر تماثلي من الرتبة الثانية بشكل دالة في المتري. يمكن حينئذ كتابة EFE بالصورة
G μ
ν
= 8
π
G
c 4 T μ
ν
,
{\displaystyle G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },}
حيث تم اختزال الحد الكوني إلى موتر إجهاد-طاقة في طاقة مظلمة. باستعمال وحدات هندسية حيث G = c = 1, يمكن إعادة كتابتها كما يلي
G μ
ν
=
8
π T μ
ν .
{\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,.}
التعبير الأيسر يمثل تقوس الفضاء والزمان (الزمكان) الذي يتم إيجاده من المتري بينما التعبير على الطرف الأيمن يمثل محتوى الطاقة\المادة من الزمكان. بالتالي يمكن تفسير EFE كمجموعة من المعادلات تملي علينا كيفية ارتباط تقوس الزمكان بمحتوى المادة\الطاقة في الكون. هذه المعادلات مع المعادلة الجيوديسية, تشل نواة التصييغ الرياضياتي في النسبية العامة. اصطلاح الإشارة
يمثل الشكل السابق من EFE المعيار الذي تم تأسيسه في كتاب مسنر, ثورن, وويلر. قام المؤلفون بتحليل جميع الاصطلاحات الموجودة وصنفوها وفقاً للأإشارات الثلاث التاليةS1, S2, S3:
g μ
ν
=
[
S
1
]
×
diag
(
−
1
,
+
1
,
+
1
,
+
1
)
{\displaystyle g_{\mu \nu }~~=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)} R μ
a
β
γ
=
[
S
2
]
×
( Γ a
γ
,
β
μ
− Γ a
β
,
γ
μ
+ Γ σ
β
μ Γ γ
a
σ
− Γ σ
γ
μ Γ β
a
σ
)
{\displaystyle {R^{\mu }}_{a\beta \gamma }=[S2]\times (\Gamma _{a\gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{a\beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma a}^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta a}^{\sigma })} G μ
ν
=
[
S
3
]
× 8
π
G
c 4 T μ
ν
{\displaystyle G_{\mu \nu }~~=[S3]\times {8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}
الإشارة الثالثة أعلاه تتعلق باختيار الاصطلاح لموتر ريكسي:
R μ
ν
=
[
S
2
]
×
[
S
3
]
× R a
μ
a
ν
{\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{a}}_{\mu a\nu }}
حيث أن هذه التعريفات كتاب مسنر, ثورن, وويلر تصنف نفسها على أنها (
+
+
+
) {\displaystyle (+++)\,} , حيث Weinberg (1972) هي (
+
−
−
) {\displaystyle (+--)\,} , Peebles (1980) وEfstathiou (1990) هي (
−
+
+
) {\displaystyle (-++)\,} بينما Peacock (1994), Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin & Squires (1989) هي (
−
+
−
) {\displaystyle (-+-)\,} . استخدم المؤلفون بما فيهم آينشتين إشارة مختلفة في تعريفهم لموتر ريكسي والذي نتج عنه أن أصبحت إشارة الثابت على الطرف الأيمن سالبة
R μ
ν
−
1
2 g μ
ν R
− g μ
ν
Λ
=
− 8
π
G
c 4 T μ
ν
.
{\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R-g_{\mu \nu }\Lambda =-{8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.}
إشارة الحد الكوني (الصغير جداً) قد تتغير في كل هذه الإصدارات، إذا استعملنا اصطلاح الإشارة المتري +--- بدلاً عن MTW −+++ اصطلاح الإشارة المتري المتبنى هنا. صيغ مكافئة
يمكن كتابة معادلات آينشتين للمجال بالصورة (التقفي العكسي) المكافئة التالية:
R μ
ν
− g μ
ν
Λ
= 8
π
G
c 4
( T μ
ν
−
1
2
T
g μ
ν
)
{\displaystyle R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}T\,g_{\mu \nu })}
والتي يمكن أن تكون أكثر ملائمة في بعض الأحيان (مثلاً، عندما يهتم المرء بحد المجال الضعيف ويمكنه إبدال
g μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }} in التعبير على الطرف الأيمن بموتر مينكوسكي دونما فقد ملحوظ للدقة).
الثابت الكوني
قام آينشتين بتعديل معادلاته الأصلية للمجال كي تتضمن حداً كونياً متناسباً مع المتري
R μ
ν
−
1
2 g μ
ν R
+ g μ
ν
Λ
= 8
π
G
c 4 T μ
ν .
{\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,.}
الثابت Λ
{\displaystyle \Lambda } يعد ثابت كوني. لأن Λ
{\displaystyle \Lambda } ثابتاً، فلن يتأثر مبدأ حفظ الطاقة. ثابت الحد الكوني كان آينشتين قد قدمه أصلاً لوصف كون ساكن (بمعنى أنه لا يتمدد ولا ينكمش). لم يكن هذا المجهود ناجحاً لسببين: الكون الساكن في هذه النظرية لم يكن مستقراً حيث أكدت مراقبة المجرات البعيدة بواسطة هوبل بعد عقد من الزمن أن كوننا ليس ساكناُ في الحقيقة بل أنه يتوسع. بالتالي تم التخلي عن Λ
{\displaystyle \Lambda } ، والتي أطلق علها آينشتين "أفضع خطأ فادح أرتكبه". ولأعوام عديدة ظل الثابت الكوني متفق على أنه 0 تقريباً. بعيداً عن حماسة آينشتين'المضللة في تقديم حد الثابت الكوني، لايوجد ما يتعارض مع حد كهذا في المعادلة. في الواقع، هناك تقنيات فلكية متطورة حديثة قد وجدت أن القيمة الموجبة لـ Λ
{\displaystyle \Lambda } ضرورية لتفسير بعض المشاهد. كان آينشتين يعتقد بأن الثابت الكوني ويسيط مستقل، لكن حده في المعادلة يمكن أن ينتقل أيضاً إلى الطرف الآخر جبرياً، المكتوب كجزء من موتر الإجهاد-الطاقة:
T μ
ν (
v
a
c
) =
− Λ c 4
8
π
G
g μ
ν .
{\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }=-{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}g_{\mu \nu }\,.}
تعتبر طاقة الفراغ ثابتة بالعلاقة
ρ
v
a
c = Λ c 2
8
π
G {\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }={\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}
بالتالي فإن وجود ثابت كوني ذا طاقة فراغ لا صفرية.اليوم تستعمل الحدود في النسبية العامة بشكل تبادلي.
شرح مبسط
معادلات الحقل لأينشتاين (EFE) أو معادلات أينشتاين هي مجموعة عشر معادلات في نظرية ألبرت أينشتاين للنسبية العامة والتي تصف التآثر الأساسي في الجاذبية جراء تقوس الزمكان مع كل من المادة والطاقة.[1] نشرت بداية بواسطة أينشتاين في 1915[2] على أنها معادلة موتر، تعادل EFE انحناء الزمكان (يعبر عنها ب موتر آينشتين) مع الطاقة وكمية التحرك ضمن ذلك الزمكان (المعبر عنها بموتر الإجهاد-الطاقة).
شاركنا رأيك
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع [ تعرٌف على ] معادلات الحقل لأينشتاين # اخر تحديث اليوم 2024-04-27 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 29/03/2024
اعلانات العرب الآن