[ تعرٌف على ] متسلسلة ماكلورين # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | متسلسلة ماكلورين

وصلات داخلية

متسلسلة تايلور
متسلسلة (رياضيات)
كولين ماكلورين

أمثلة

e x
=
1
+
x 1
! + x 2 2
! +
…
{\displaystyle e^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\dots }
sin
⁡
(
x
)
=
x
− x 3 3
! + x 5 5
! −
…
{\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots }
cos
⁡
(
x
)
=
1
− x 2 2
! + x 4 4
! −
…
{\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots }
ln
⁡
(
x
+
1
)
= ∑ n
=
1
∞ (
−
1 ) n
−
1 n x n
=
x
− x 2
2
+ x 3
3
− x 4
4
+
⋯
.
{\displaystyle \ln(x+1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots .} cosh
⁡
x
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n
( 2
n ) !
= 1
+ x 2 2
! + x 4 4
!
+
x 6 6
! +
… {\displaystyle {\cosh x=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\left({2n}\right)!}}}={1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}}+{{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots }} sinh
⁡
x
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n
+
1
( 2
n
+
1 ) !
= x
+ x 3 3
!
+ x 5 5
! +
x 7 7
! +
… {\displaystyle {\sinh x=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{\left({2n+1}\right)!}}}={x+{\frac {x^{3}}{3!}}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots }}

تعريف

إذا كانت الدالة الرياضية
f
(
x
) f(x) قابلة للاشتقاق n
{\displaystyle n} مرة في النقطة x
0 {\displaystyle {x}_{0}\!} فإنه يمكن كتابتها كما يلي: f
(
x
)
= ∑ k
=
0
n
f k
( x 0
)
k
! (
x
− x 0 ) k
+ R n
(
x
) {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+R_{n}(x)\!}
إذا عوضت n
{\displaystyle n} بلانهاية فإنه يُحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f
{\displaystyle f} أي أن الجزء
R n
(
x
) {\displaystyle R_{n}(x)\!} يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط x
x : f
(
x
)
= ∑ k
=
0
∞
f k
( x 0
)
k
! (
x
− x 0 ) k
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}}
أو f
(
x
)
=
f
( x 0
)
+
f
′ ( x 0
)
1
! (
x
− x 0
)
+
f
″ ( x 0
)
2
! (
x
− x 0 ) 2
+
⋯
{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\cdots }
إذا كانت
x 0
=
0 {\displaystyle x_{0}=0\,} في هذه المتسلسلة يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين: f
(
x
)
=
f
(
0
)
+
f
′ (
0
)
1
! (
x
)
+
f
″ (
0
)
2
! (
x ) 2
+
f (
3
)
(
0
)
3
! (
x ) 3
+
⋯
{\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}(x)+{\frac {f''(0)}{2!}}(x)^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}(x)^{3}+\cdots }

شرح مبسط

إذا كانت




x

0


=
0



{\displaystyle x_{0}=0\,}

في متسلسلة تايلور، يمكن الحصول على متسلسلة أبسط للنشر بقرب الصفر وهي متسلسلة ماكلورين. سميت السلسلة على اسم عالم الرياضيات الإسكتلندي كولين ماكلورين.[1]