[ تعرٌف على ] توزيع احتمالي طبيعي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | توزيع احتمالي طبيعي

مبرهنة النهاية المركزية

المقالة الرئيسة: مبرهنة النهاية المركزية
كلما كبر عدد الأحداث المتقطعة، كلما زادت الدالة شبها للتوزيع الطبيعي
مقارنة دوال كثافة الاحتمال p (k) لمجموع n نرد سداسي الجوانب (زهر لعبة الطاولة) لإظهار تقاربها مع توزيع احتمالي طبيعي مع زيادة n ، وفقًا لنظرية الحد المركزي. في الرسم البياني السفلي الأيمن ، تم إعادة رسم المنحنيات جميعها ثم القيام بتتطابقها ومقارنتها بالتوزيع الطبيعي (المنحنى الأسود).
Z
=
n ( 1
n ∑ i
=
1
n
i ) {\displaystyle Z={\sqrt {n}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)}

خصائص

التناظر والاشتقاق
لتوزيع طبيعي f
(
x
)
{\displaystyle f(x)} متوسطه μ
{\displaystyle \mu } وانحرافه σ
{\displaystyle \sigma } الخصائص التالية: الكثافة φ
\varphi متناظرة حول النقطة x
=
μ
{\displaystyle x=\mu } والتي تمثل في نفس الوقت، منوال التوزيع ووسيطه وقيمته المتوقعة.
أحادي المنوال.
يمكن اشتقاق هذه الدالة عدداً لا متناهياً من المرّات وتحقق مهما كان
t
∈ R {\displaystyle \ t\in \mathbb {R} } المعادلة التالية
φ
′ (
t
)
=
−
t φ
(
t
)
{\displaystyle \varphi '(t)=-t\,\varphi (t)} .
القيم الأكثر تكراراً تقع في مركز التوزيع
كل من المتوسط، الوسيط، والمنوال يقع في مركز التوزيع
القيم البعيدة عن المتوسط ذات تكرار أقل
مجموع تكرارات القيم التي هي أكبر من المتوسط يساوي مجموع تكرارات القيم التي تحته
توجد علاقة معروفة بين نسبة المشاهدات (p) التي تقع ضمن مجال يبعد عن المتوسط بمقدار (z) من الانحرافات المعيارية
تحويل فورييه والدالة المميزة
تحويل فورييه لتوزيع طبيعي متوسطه μ
{\displaystyle \mu } وانحرافه σ
{\displaystyle \sigma } يعطي بالصيغة التالية:
ϕ
^ (
t
)
= ∫ −
∞
∞ f
(
x
) e i
t
x
d
x
= e i
μ
t e −
1
2
(
σ
t ) 2
{\displaystyle {\hat {\phi }}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\!f(x)e^{itx}dx=e^{i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}(\sigma t)^{2}}}
حيث i
{\displaystyle i} هو الوحدة التخيلية.

دالة التوزيع التراكمي

لتكن Φ
{\displaystyle \Phi } دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الموسّط المختزل. تحدد لكل عدد حقيقي x
{\displaystyle x} بـ:
Φ
(
x
)
= ∫ −
∞
x
φ
(
t
) d
t
= ∫ −
∞
x
1 2 π
e
− t 2
2 d
t
{\displaystyle \ \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\varphi (t)\,dt=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt} .
وهي تكامل φ
\varphi ونهايتها في −
∞
{\displaystyle -\infty } تساوي 0، ولا يمكن كتابتها باستعمال الدالات المعروفة (أس، جيب..) ولكن تصبح هي بنفسها دالة مستعملة بكثرة ومهمّة لكلّ من يمارس حساب الاحتمالات والإحصاء. خاصيات الدالة Φ
{\displaystyle \Phi } : قابلة للاشتقاق بعدد غير متناهي من المرّات و
Φ
′ =
φ
{\displaystyle \Phi '=\varphi }
نامية حصرياً وتنتهي إلى 0 في −
∞
{\displaystyle -\infty } وإلى 1 في +
∞
{\displaystyle +\infty }

التاريخ

كارل فريدريش غاوس اكتشف التوزيع الطبيعي في عام 1809 أثناء عمله على طريقة المربعات الدنيا.
في عام 1733 وضع Abraham De Moivre نطريته الأولى حول التوزيع الطبيعي والتي كانت تعرف بـ Exponential bell-shaped curve بناءً على التقريب التقديري الذي وصل إليه من نظرية أحتمال رمي القطع المعدنيه عدة مرات وتوزيعها. في عام 1809 قام Carl Frieddrich Gauss بإطلاق النظرية الهامة وأسماها Normal distribuition (التوزيع الطبيعي) حيثم قام باستخدامها لحساب توقعات أماكن الهيئات الفلكية. ومنذ ذلك الحين أخذ هذا التوزيع أهميته وانتشاره وعرف أيضاً باسم Gaussian distribution "توزيع جاوسي".

تعريف

التوزيع الطبيعي الموسّط المختزل
تُعرف أبسط حالة من التوزيع الطبيعي باسم التوزيع الطبيعي الموسّط المختزل.
إنه حالة خاصة حيث μ
=
0
{\displaystyle \mu =0} و σ
=
1
{\displaystyle \sigma =1} .
نسمي التوزيع الطبيعي (أو غاوسي) موسّط مختزل التوزيع المعرّف بدالة الكثافة φ
\varphi . الرسم البياني لهذه الكثافة يمثل شكل جرس. الدالّة φ
: R →
R
+
{\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}} بحيث φ
(
t
)
=
1 2 π
e
− t 2
2
{\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{\sqrt {2\;\pi }}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {t^{2}}{2}}}} هي دالة كثافة احتمالية: هي متواصلة وتكاملها على R {\displaystyle \ \mathbb {R} } يساوي 1. نعلم أن ∫ −
∞
+
∞
e
− t 2
2

d
t
=
2 π
{\displaystyle \ \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ dt={\sqrt {2\,\pi }}} تكامل غاوسي. ونبين أن (انظر التالي) التوزيع الذي يقع تحديده انطلاقاً من دالة الكثافة هذه
له قيمة متوقعة تساوى 0 وتباينا يساوي 0.

شرح مبسط

0 (في حالة توزيع طبيعي موسّط ومختزل)