[ تعرٌف على ] متتالية حسابية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | متتالية حسابية

الانحراف المعياري

يحسب الانحراف المعياري لممتالية حسابية كما يلي: σ
= | d | (
n
−
1
)
(
n
+
1
) 12 {\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}
حيث n هو عدد الحدود في المتتالية وd هو الفرق بين حدين متتابعين ما.

الجداء

جداء حدود متتالية حسابية منتهية، قيمتها الأولى هي a1، والفرق المشترك بين حدودها هو d وعدد عناصرها هو n:
a 1 a 2
⋯ a n
=
d a 1
d
d
( a 1
d
+
1
)
d
( a 1
d
+
2
)
⋯
d
( a 1
d
+
n
−
1
)
= d n ( a 1
d
)
n
¯ = d n Γ (
a 1 / d
+
n ) Γ (
a 1 / d )
,
{\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d{\frac {a_{1}}{d}}d({\frac {a_{1}}{d}}+1)d({\frac {a_{1}}{d}}+2)\cdots d({\frac {a_{1}}{d}}+n-1)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},}
حيث Γ
{\displaystyle \Gamma } هي دالة غاما.

المجموع

2
+
5
+
8
+
11
+
14
=
40
14
+
11
+
8
+
5
+
2
=
40 16
+
16
+
16
+
16
+
16
=
80
حساب المجموع 2 + 5 + 8 + 11 + 14. حين تكتب حدود المتتالية عكسيا، وتضاف إلى الحدود نفسها حداً حداً، تكون النتيجة مساوية لقيمة وحيدة متكررة، مساويةً لمجموع الحدين الأول والأخير (2 + 14 = 16). إذن، 16 × 5 = 80 هو ضعف المجموع المراد البحث عنه.
مجموع حدود متتالية حسابية منتهية يسمى متسلسلة حسابية. على سبيل المثال،: 2
+
5
+
8
+
11
+
14
{\displaystyle 2+5+8+11+14} الاستنتاج S n
= a 1
+
( a 1
+
d
)
+
( a 1
+
2
d
)
+
⋯
+
( a 1
+
(
n
−
2
)
d
)
+
( a 1
+
(
n
−
1
)
d
)
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)} S n
=
( a n
−
(
n
−
1
)
d
)
+
( a n
−
(
n
−
2
)
d
)
+
⋯
+
( a n
−
2
d
)
+
( a n
−
d
)
+ a n
.
{\displaystyle S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.}

2 S n
=
n
( a 1
+ a n
)
.
{\displaystyle \ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).} S n
=
n
2
( a 1
+ a n
)
.
{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).}

شرح مبسط

في الرياضيات، المتتالية الحسابية أو المتتابعة الحسابية (بالإنجليزية: Arithmetic progression)‏ هي متتالية من الأعداد حيث يكون الفرق بين أي حدين متتالين ثابتا.[1][2][3] على سبيل المثال فإن 3، 5، 7، 9، 11، 13، … هي متتالية حسابية لها أساس يساوي 2. أي أنّ 3، 5، 7 هي حدود من هذه المتتالية والأساس 2 هو العدد المضاف بين كل حدّين متتاليين.