[ رياضيات ] تعريف متوازي المستطيلات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | تعريف متوازي المستطيلات

فيديو عن حجم ومساحة متوازي المستطيلات

للتعرف على هذا الشكل الهندسي تابع الفيديو:

مساحة متوازي المستطيلات

يمكن حساب مساحة متوازي المستطيلات باستخدام القوانين الآتية:




قانون مساحة متوازي المستطيلات


يمكن حساب مساحة متوازي المستطيلات باستخدام القانون الآتي:


المساحة الكلية متوازي المستطيلات= 2× (الطول×العرض+الطول×الارتفاع+العرض×الارتفاع)، وبالرموز: م=2× (س×ص+س×ع+ص×ع)؛ حيث:
م: مساحة متوازي المستطيلات.
س: طول متوازي المستطيلات.
ص: عرض متوازي المستطيلات.
ع: ارتفاع متوازي المستطيلات.



أما المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات، وهي مجموع مساحة كافة الأوجه عدا القاعدتين، فتساوي: 2× (الطول+العرض) ×الارتفاع، وبالرموز: المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات=2× (س+ص) ×ع؛ حيث:
س: طول متوازي المستطيلات.
ص: عرض متوازي المستطيلات.
ع: ارتفاع متوازي المستطيلات.
وبصورة أخرى: المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات= المساحة الجانبية+ مساحة القاعدتين.



ولتوضيح ما سبق فإن متوازي المستطيلات يعتبر شكلاً ذا أوجه متعددة، ولإيجاد مساحته يجب إيجاد مجموع مساحات أوجهه الستة كاملة، وبالتالي فإن مساحة متوازي المستطيلات= مساحة الوجه الأول+ مساحة الوجه الثاني+ مساحة الوجه الثالث+ مساحة الوجه الرابع+ مساحة الوجه الخامس+ مساحة الوجه السادس.



وبما أن كل زوج من الأوجه متطابق؛ فإن المساحة= 2×مساحة الوجه الأول (مساحة القاعدتين) + 2×مساحة الوجه الثاني (مساحة أول وجهين جانبيين) +2×مساحة الوجه الثالث (مساحة ثاني وجهين جانبيين) = 2×الطول×العرض (مساحة القاعديتن) + 2×العرض× الارتفاع (مساحة أول وجهين جانبيين) +2×الطول×الارتفاع (مساحة ثاني وجهين جانبيين)، علماً أن مساحة المستطيل=الطول×العرض.



أمثلة على حساب مساحة متوازي المستطيلات


وفيما يأتي بعض الأمثلة على حساب مساحة متوازي المستطيلات:




حساب المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات


مثال: إذا كان طول قاعدة متوازي مستطيلات 3سم، وعرضها 5سم، أما ارتفاعه فيساوي 4سم، جد مساحته الجانبية.

الحل: المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات= 2× (الطول+العرض) ×الارتفاع=2× (3+5) ×4=64سم².




حساب المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات


المثال الأول: متوازي مستطيلات، طول قاعدته 10م، وعرضها 4م، أما ارتفاعه فيساوي 5م، جد المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات.

الحل: باستخدام القانون: المساحة الكلية متوازي المستطيلات= 2× (الطول×العرض+الطول×الارتفاع+العرض×الارتفاع) =2× (10×4+10×5+4×5)، ومنه المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات =220م².


المثال الثاني: إذا كان طول قاعدة صندوق على شكل متوازي مستطيلات 40سم، وعرضها 31سم، أما ارتفاعه فيساوي 12سم، جد مساحته الكلية لتغليفه بالكامل بورق الهدايا.



الحل: باستخدام القانون: المساحة الكلية متوازي المستطيلات= 2× (الطول×العرض+الطول×الارتفاع+العرض×الارتفاع) =2× (40×31+40×12+31×12)، ومنه المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات =4,184م².

تعريف متوازي المستطيلات

يمكن تعريف متوازي المستطيلات (بالإنجليزية: Cuboid) بأنه أحد المُجسّمات الهندسية الثلاثية الأبعاد؛ أي له طول، وعرض، وارتفاع، وهو يشبه في شكله شكل الصندوق، ويُعتبر بشكل عام حالة خاصة من المنشور.

أقطار متوازي المستطيلات

لمتوازي المستطيلات نوعان مختلفان من الأقطار، هما:


أقطار الوجه: (بالإنجليزية: Face Diagonals) وهي الخطوط المستقيمة الواصلة بين كل زاويتين متقابلتين لأوجه متوازي المستطيلات، ولكل وجه قطران، بمجموع يبلغ اثني عشر قطراً لكامل متوازي المستطيلات، ولحساب طولها يمكن استخدام القانون الآتي:
طول قطر القاعدتين=الجذر التربيعي لـ (مربع الطول+مربع العرض)، وبالرموز: طول قطر القاعدتين= (س²+ص²) √.
طول قطر أول وجهين جانيين=الجذر التربيعي لـ (مربع الطول+مربع الارتفاع)، وبالرموز: طول قطر أول وجهين جانيين= (س²+ع²) √.
طول قطر ثاني وجهين جانيين=الجذر التربيعي لـ (مربع العرض+مربع الارتفاع)، وبالرموز: طول قطر ثاني وجهين جانيين= (ص²+ع²) √؛ حيث:

س: طول متوازي المستطيلات.
ص: عرض متوازي المستطيلات.
ع: ارتفاع متوازي المستطيلات.



أقطار متوازي المستطيلات: (بالإنجليزية: Space Diagonals) وهي عبارة عن القطعة المستقيمة الواصلة بين كلّ رأسين متقابلين في متوازي المستطيلات، ولكل متوازي مستطيلات أربعة أقطار، ويمكن حساب طولها باستخدام القانون الآتي:
طول قطر متوازي المستطيلات=الجذر التربيعي لـ (مربع الطول+مربع العرض+مربع الارتفاع)، وبالرموز: طول قطر متوازي المستطيلات= (س²+ص²+ع²)√.



فمثلاً لو كان هناك متوازي مستطيلات طول قاعدته 5سم، وعرضها 4سم، وارتفاعه 3سم، فإن طول أقطاره هو: طول قطر متوازي المستطيلات= (س²+ص²+ع²) √= (5²+4²+3²) √=50√سم.





أمثلة على حساب أقطار متوازي المستطيلات


وفيما يلي بعض الأمثلة على حساب أقطار متوازي المستطيلات:


المثال الأول: بركة سباحة على شكل متوازي مستطيلات، إذا كان طول قاعدتها 13 سم، وعرض قاعدتها 9 سم، وارتفاعها 3 سم، جد طول قطر هذه البركة.


الحل:



باستخدام قانون طول قطر متوازي المستطيلات= (الطول²+العرض²+الارتفاع²) √
طول قطر متوازي المستطيلات= (13² + 9² + 3²) √ = 259√ = 16.1 سم.
وعليه فإنّ طول قطر البركة= 16.1 سم.

المثال الثاني: ما هو طول قطر القاعدتين لمتوازي مستطيلات طول قاعدته 7 سم، وعرض قاعدته 5 سم، وارتفاعه 2 سم؟

الحل:



باستخدام قانون طول قطر القاعدتين= (الطول²+العرض²) √
طول قطر القاعدتين= (7²+5²) √= (74) √= 8.6 سم.
وعليه فإنّ طول قطر القاعدة الأولى= طول قطر القاعدة الثانية= 8.6 سم.

المثال الثالث: ما هو طول قطر كل وجه من أوجه متوازي المستطيلات الذي يبلغ ارتفاعه 5.5 سم، وطول قاعدته 9.6 سم، وعرض قاعدته 7 سم؟

الحل:



لحساب قطر أول وجهين جانبيين لمتوازي المستطيلات:
باستخدام قانون طول قطر أول وجهين جانيين= (الطول²+الارتفاع²) √
طول قطر أول وجهين جانيين = (9.6²+5.5²) √= (122.41) √= 11.06 سم.
وعليه فإنّ طول قطر أول وجه لمتوازي المستطيلات = طول قطر ثاني وجه لمتوازي المستطيلات= 11.06 سم.
باستخدام قانون طول قطر ثاني وجهين جانيين= (العرض²+الارتفاع²) √
طول قطر ثاني وجهين جانيين= (7²+5.5²) √= (79.25) √= 8.9 سم.
وعليه فإنّ طول قطر ثالث وجه لمتوازي المستطيلات = طول قطر رابع وجه لمتوازي المستطيلات= 8.9 سم.

أجزاء متوازي المستطيلات

يتكون متوازي المستطيلات من الأجزاء التالية:



الوجوه
الوجوه (وبالإنجليزية: Faces) لمتوازي المستطيلات ستة أسطح على شكل مستطيلات، تُعرف باسم وجوه متوازي المستطيلات.




الأحرف
الأحرف (وبالإنجليزية: Edge) هي حوافّه المكوّنة للأسطح ويمكن تعريفها بشكل آخر بأنها الخطوط المستقيمة الواصلة بين كل رأسين متجاورين في متوازي المستطيلات.






الرؤوس
الرؤوس (وبالإنجليزية: Vertices) هي النقاط أو الزوايا التي تلتقي عندها عادة ثلاثة أحرف لمتوازي المستطيلات، وجميعها قائمة.

حجم متوازي المستطيلات

يمكن حساب حجم متوازي المستطيلات باستخدام القوانين الآتية:




قانون حجم متوازي المستطيلات


يمكن حساب حجم متوازي المستطيلات الذي يعبّر عن مقدار الفراغ الموجود بداخله عن طريق استخدام العلاقة الآتية:

حجم متوازي المستطيلات= الطول×العرض×الارتفاع


وبالرموز: ح= س×ص×ع


حيث:



ح: حجم متوازي المستطيلات.
س: طول متوازي المستطيلات.
ص: عرض متوازي المستطيلات.
ع: ارتفاع متوازي المستطيلات.



أمثلة على حساب حجم متوازي المستطيلات


المثال الأول: دفتر صغير على شكل متوازي مستطيلات، طول قاعدته 6سم، وعرضها 4سم، أما ارتفاعه فيساوي 1سم، فجد كم يلزم من الصفحات لتعبئته.

الحل: باستخدام قانون حجم متوازي المستطيلات= الطول×العرض×الارتفاع=6×4×1=24سم³، وعليه فهو يحتاج 24سم³ من الصفحات لتعبئته.


المثال الثاني: جد حجم الشوكولاتة الموجودة داخل علبة على شكل متوازي مستطيلات، إذا كان طول قاعدتها 12سم، وعرضها 5سم، أما ارتفاعها 2.4سم.

الحل: باستخدام قانون حجم متوازي المستطيلات= الطول×العرض×الارتفاع=12×5×2.4=144سم³، وعليه فإن حجم الشوكولاتة الموجودة داخل العلبة=144سم³.

خصائص متوازي المستطيلات

يمتاز متوازي المستطيلات إضافة لما ذُكر في التعريف السابق بمجموعة من الخصائص، وهي:


كلّ زوج من الأوجه المُتقابِلة في متوازي المستطيلات متوازية ومتطابقة تماماً.
لمتوازي المستطيلات ستة وجوه، وثمانية رؤوس، واثنا عشر حرفاً.
الحواف المتقابلة لمتوازي المستطيلات متوازية.

يجدر بالذكر هنا أنه إذا تساوى الطول، والعرض، والارتفاع في طولهما فإن متوازي المستطيلات يُعرف وقتها باسم المكعّب (بالإنجليزية: Cube).