[ تعرٌف على ] تباعد # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | تباعد

التباعد في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد

يحسب التباعد لحقل متجهي في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد
F
→ (
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\vec {F}}(x,y,z)} وفقا لما يلي: div
F
→ = ∂ F x
∂
x + ∂ F y
∂
y + ∂ F z
∂
z {\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}
وفي الإحداثيات الإسطوانية
F
→ (
ρ
,
φ
,
z
)
{\displaystyle {\vec {F}}(\rho ,\varphi ,z)} : div
F
→ =
1
ρ
∂ ∂
ρ (
ρ F ρ
)
+
1
ρ ∂ F φ
∂
φ + ∂ F z
∂
z {\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho F_{\rho })+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}
أما في الإحداثيات الكروية
F
→ (
r
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle {\vec {F}}(r,\theta ,\varphi )}
div
F
→ =
1 r 2
∂ ∂
r ( r 2 F r
)
+
1 r
sin
⁡
θ ∂ ∂
θ ( F θ
sin
⁡
θ
)
+
1 r
sin
⁡
θ
∂ F φ
∂
φ {\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}F_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(F_{\theta }\sin \theta )+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}}

العمليات على المتجهات

يدرس التفاضل الشعاعي العديد من العمليات التفاضلية معرفة في الحقل الشعاعي أو السلمي، والتي يعبر عنها غالباً على شكل المؤثر نابلا ( ∇
{\displaystyle \nabla } ). العمليات الرئيسية الأربعة في التفاضل الشعاعي هي: العملية
الترميز
الوصف
المجال
تدرج Gradient grad
⁡
(
f
)
=
∇
f
{\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}
تقيس معدل وجهة التغير في الحقل السلمي.
تسقط الحقل السلمي على الحقل الشعاعي.
دوران Curl curl
⁡
( F )
=
∇
× F {\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }
يقيس قابلية الدوران حول نقطة في الحقل الشعاعي.
يسقط الحقل الشعاعي على الحقل الشعاعي.
تباعد Divergence div
⁡
( F )
=
∇
⋅ F {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }
يقيس ميل المصدر أو المصرف عند نقطة معينة في الحقل الشعاعي.
يسقط الحقل الشعاعي على الحقل السلمي.
لابلاسي Laplacian Δ
f
= ∇ 2
f
=
∇
⋅
∇
f
{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}
مركب من عمليتي التباعد والتدرج.
يسقط الحقل السلمي على الحقل السلمي.

التعريف

يعرف تباعد الحقل المتجهي
F
→ :
R
n
→
R
n
{\displaystyle {\vec {F}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} الذي تمتد مركباته في ن من الأبعاد على أنه قسمة المركبة
F i
{\displaystyle F_{i}} بالكمية
∂ ∂ x i
{\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}} . على سبيل المثال إذا كانت ن=3 أي
F
→ ( x 1
, x 2
, x 3
)
{\displaystyle {\vec {F}}(x_{1},x_{2},x_{3})} في ثلاثة أبعاد فإن التباعد يعطى بالصيغة التالية: div
: F
→ = (
F 1
, F 2
, F 3 ) ↦
∂ ∂ x 1
F 1
+
∂ ∂ x 2
F 2
+
∂ ∂ x 3
F 3
{\displaystyle \operatorname {div} \colon {\vec {F}}=\left(F_{1},F_{2},F_{3}\right)\mapsto {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}F_{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}F_{2}+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}F_{3}}
والآن للتعميم على الحقل
F
→ =
( F 1
,
…
, F n
)
{\displaystyle {\vec {F}}=(F_{1},\ldots ,F_{n})} في ن من الأبعاد. فإن التباعد يكون: div
: F
→ = (
F 1
,
…
, F n ) ↦ ∑ i
=
1
n
∂ ∂ x i
F i
{\displaystyle \operatorname {div} \colon {\vec {F}}=\left(F_{1},\ldots ,F_{n}\right)\mapsto \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}F_{i}}

شرح مبسط

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات