[ تعرٌف على ] مبرهنة العلم البريطاني # اخر تحديث اليوم 2024-04-28

تم النشر اليوم 2024-04-28 | مبرهنة العلم البريطاني

البرهان

البرهان
نرسم من النقطة P أعمدة على AB، BC، CD، AD، لتلاقيها في النقاط W، X، Y، Z على الترتيب، كما هو مرسوم على الشكل جانباً، نلاحظ أن WY يعامد XZ، وبتطبيق مبرهنة فيثاغورس ، وبملاحظة أن WP=AZ نجد أن: A P 2
=
A W 2
+
W P 2
=
A W 2
+
A Z 2
{\displaystyle AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}}
P C 2
=
W B 2
+
Z D 2
{\displaystyle PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2}}
B P 2
=
W B 2
+
A Z 2
{\displaystyle BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2}}
P D 2
=
Z D 2
+
A W 2
{\displaystyle PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}}
ومنه:
A P 2
+
P C 2
=
(
A W 2
+
A Z 2
)
+
(
W B 2
+
Z D 2
)
=
(
W B 2
+
A Z 2
)
+
(
Z D 2
+
A W 2
)
=
B P 2
+
P D 2
. {\displaystyle AP^{2}+PC^{2}=(AW^{2}+AZ^{2})+(WB^{2}+ZD^{2})=(WB^{2}+AZ^{2})+(ZD^{2}+AW^{2})=BP^{2}+PD^{2}.\,}

التسمية

علم المملكة المتحدة بريطانيا.
الاسم مأخوذ من أنه عند رسم القطع المستقيمة الواصلة بين P ورؤوس المستطيل، ورسم الأعمدة من P على الأضلاع، يصبح الشكل الناتج شبيهاً بعلم الاتحاد.

شرح مبسط

في الهندسة الإقليدية، مبرهنة العلم البريطاني تنص على أنه إذا كانت النقطة P داخل المستطيل ABCD، فإن مجموع مربعَي المسافتين الإقليديتين بين P ورأسين متقابلين في هذا المستطيل، تساوي مجموع مربعي المسافتين بين P والنقطتين الأخريين المتقابلتين.[1][2][3]
أي أن:



A

P

2


+
C

P

2


=
B

P

2


+
D

P

2




{\displaystyle AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}}


تتحقق المبرهنة أيضاً إذا كانت النقطة P خارج المستطيل ABCD، ويمكن تعميمها إلى أي نقطة في الفضاء الإقليدي.[4]