[ تعرٌف على ] حجة كانتور القطرية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | حجة كانتور القطرية

مجموعة غير عدودة

اعتبر كانتور المجموعة T التي ترمز لجميع المتتاليات اللانهائية للأرقام الثنائية (أي أن كل رقم إما صفر أو واحد). ثم يبدأ بـ برهان إنشائي [الإنجليزية] على الليمة التالية: إذا كانت المتواليات s1 ، s2، ... ،sn، ... هي أي تعداد لعناصر المجموعة T، فيمكن إنشاء متوالية s في T لا تقابل أي مجموعة sn في هذا التعداد.
يبدأ البرهان بتعداد عناصر T، كمثال s1 =
(0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
...)
s2 =
(1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
...)
s3 =
(0,
1,
0,
1,
0,
1,
0,
...)
s4 =
(1,
0,
1,
0,
1,
0,
1,
...)
s5 =
(1,
1,
0,
1,
0,
1,
1,
...)
s6 =
(0,
0,
1,
1,
0,
1,
1,
...)
s7 =
(1,
0,
0,
0,
1,
0,
0,
...)
... بعد ذلك، ننشئ متوالية s بجعل أول رقم مكمل لأول رقم في s1 (بتحويل كل الأصفار لآحاد وبالعكس)، وثاني رقم مكمل لثاني رقم في s2 ، وثالث رقم مكمل لثالث رقم في s3، وبالمثل لأي n، الرقم n مكمل للرقم n في sn. وبتطبيق هذا على المثال أعلاه، نحصل على s1
=
(0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
...)
s2
=
(1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
...)
s3
=
(0,
1,
0,
1,
0,
1,
0,
...)
s4
=
(1,
0,
1,
0,
1,
0,
1,
...)
s5
=
(1,
1,
0,
1,
0,
1,
1,
...)
s6
=
(0,
0,
1,
1,
0,
1,
1,
...)
s7
=
(1,
0,
0,
0,
1,
0,
0,
...)
... s
=
(1,
0,
1,
1,
1,
0,
1,
...) عن طريق هذا الإنشاء، نجد أن s تنتمي لـ T وتختلف عن كل المتواليات sn، لأن الأرقام في الموضع n في كل مجموعة مختلف (كما مُوضح بالأعلى). لذا، يستحيل وجود s في التعداد. وبناءً على هذه الليمة، يستخدم كانتور بعد ذلك برهان بالتناقض ليصل إلى أن: المجموعة T غير عدودة.
بدأ الإثبات بفرض قابلية T للعد. يمكن تعداد عناصرها هكذا s1 ، s2 ، ...، sn ،. . . . تطبيق الليمة السابقة على هذا التعداد أنتج متوالية s تنتمي لـ T، ولكنها غير موجودة في التعداد السابق. ومع ذلك، لم قمنا بتعداد T، سنحصل على كل عضو في T، بما فيهم المتوالية الجديدة s. هذا التناقض يستلزم خطأ الافتراض السابق. لذا فإن T غير عدودة.

شرح مبسط

حجة كانتور القُطْرية هي برهان رياضي في نظرية المجموعات نشره جورج كانتور عام 1891 لبرهنة وجود مجموعات غير منتهية لا يمكن مقابلة عناصرها مع عناصر مجموعة الأعداد الطبيعية الغير منتهية.[2][3]:20–[4] تُعرف هذه المجموعات الآن بالمجموعات غير العدودة، وتساعدنا نظرية كانتور للأعداد الأصلية في التعامل مع حجم هذه المجموعات الغير منتهية.