اليوم: الاحد 28 ابريل 2024 , الساعة: 4:03 م
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
اخر المشاهدات
- تفسير رؤية طائر كبير في المنام لابن سيرين # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ سيارات السعودية ] منتجات ثري ام # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ رقم هاتف ] كراج التنين للسيارات في الهملة البحرين وعنوان كراج تصليح سيارات في البحرين # اخر تحديث اليوم 2024-03-05
- مريم الصايغ في سطور # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام» # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021 # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ متاجر السعودية ] مؤسسة بصمة إبداع للاعمال والاستشارات التسويقية ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- دعاء ختم القرآن مكتوب # اخر تحديث اليوم 2024-03-17
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء. # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ سياحة وترفيه الامارات ] طيران رأس الخيمة ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- كيفية مداعبة الزوجة # اخر تحديث اليوم 2024-03-19
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ تعرٌف على ] الاعتلال العصبي البصري الإقفاري الخلفي # اخر تحديث اليوم 2024-03-19
- [ محامين السعودية ] عبدالله خالد يعقوب المدالله ... الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ رقم هاتف ] د. محمد الباهى .استشاري الطب النفسي # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ تعرٌف على ] تشكيلات منتخبات كأس العالم 1966 # اخر تحديث اليوم 2024-03-24
- القرينة المؤسسون # اخر تحديث اليوم 2024-03-04
- [ تعرٌف على ] مصرفية إسلامية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ رقم هاتف ] شركة سعاده الزراعية .. لبنان # اخر تحديث اليوم 2024-04-16
- [ تعرٌف على ] قبو الدماغ (تشريح عصبي) # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- إلغ (برمجية) التاريخ # اخر تحديث اليوم 2024-02-17
- [ تعرٌف على ] 29 سبتمبر # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ تعرٌف على ] مبارك بن شحيمان # اخر تحديث اليوم 2024-03-16
- [ رقم تليفون و لوكيشن ] العارضية لقطع غيار السيارات - الصليبية .. الجهراء - الكويت # اخر تحديث اليوم 2024-04-04
- ملكاوي أصل العشيرة # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] نفلاء هديان بن سماح الرويلي ... سكاكا ... منطقة الجوف # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- حلويات أحمد عوني الحلاب وأولاده 1881 - الروشة، لبنان # اخر تحديث اليوم 2024-03-20
- وكالة فرسان للسفر والسياحة (المكتب الرئيسي) # اخر تحديث اليوم 2024-02-20
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- هواتف وعنوان الملحقية الثقافية السعودية فى تركيا # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ تعرٌف على ] الشقيري # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [رقم هاتف] احمد ابو هشيمة..مصر 2020 # اخر تحديث اليوم 2024-03-18
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمود فلاح سليم واكد ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ مطاعم السعودية ] Sabha Matan Shop # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- شون شيميل أدواره في الأنمي # اخر تحديث اليوم 2024-03-08
- [رقم هاتف] عيادة الطبيب بزّي نورما علي سعيد .. لبنان # اخر تحديث اليوم 2024-03-14
- حلمت اني اتوحم وانا عزباء # اخر تحديث اليوم 2024-02-29
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبير فرج جراد العنزي ... تبوك ... منطقة تبوك # اخر تحديث اليوم 2024-03-15
- - مكتب تكسي التوبه # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- منطقة المقاوبة -مصراتة سكان المقاوبة # اخر تحديث اليوم 2024-02-17
- [رقم هاتف] عيادة الطبيب مرهج سليمان توفيق .. لبنان # اخر تحديث اليوم 2024-02-19
- السلام عليكم دكتوره اني عندي حكة كولش قويه في المهبل بحيث من الحكة طلع دم # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- كنة الشام وكناين الشامية (مسلسل) عن العمل # اخر تحديث اليوم 2024-03-07
- دبليو دبليو إي راو (لعبة فيديو 2002) وصلة خارجية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] هولت (مينيسوتا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] قطر الندى للمقاولات ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] نعيمه جاسم عيسى احمد ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] أذربيجان الغربية (مفهوم سياسي) # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] حسين عبدالله عبدالله الغانم ... القطيف ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] دار الحنان للعبايات ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ متاجر السعودية ] مجمع الأمل الحديث الطبي ... صامطة ... منطقة جازان # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ شركات المقاولات قطر ] الطريق المنير للمقاولات bright way qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مستوصفات وعيادات السعودية ] مجمع عيادات اجياد الطبى # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] إميليا (لويزيانا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] كفاية للخياطة النسائية ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ صيدليات السعودية ] صيدلية النهدي 39 # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] كباب ملوكي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] العلاقات الكاميرونية الإيرانية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] العلاقات التشادية الفرنسية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] صفوت إبريغيث # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ فنانين وإعلاميين ] 1 من أسباب استياء الممثل حسن البلام من مسلسله اليوم الأسود # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] مؤسسة ندى هلال علي فردان ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] المسيحية في سينت أوستاتيوس # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] الانتداب البريطاني على فلسطين # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سلطان صياح بن ظاهر الحربي ... الطرفية الشرقية ... منطقة القصيم # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] العلاقات الكينية المصرية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] كافتيريا سكاي كوفي ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] صراع إيران وبيجاك # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ ماذونين السعودية ] عيد بن غربي بن الأسود الحربي ... القيصومة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] مجوهرات ابو هندى ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ فائدةالخلاصة البهية فى ترتيب أحداث السيرة النبوية للشيخ وحيد عبدالسلام ] 8 - وفي رمضان من هذه السنة : ولد الحسن بن علي - رضي الله عنهما - . سبط النبي محمد رسول الإسلام وحفيده ويلقب بسيد شباب أهل الجنة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ النظر في كتاب الله ] ما رأيت شيئاً يغذِّي العقل والروح ويحفظ الجسم ويضمن السعادة أكثر من إدامة النظر في كتاب الله. # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ شركات مقاولات السعودية ] مؤسسة سالم بن مجيول بن صالح المطرفي للمقاولات العامة ... مكة المكرمة ... مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] مؤسسة عملات البلاد للتجارة ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] العلاقات البريطانية اللبنانية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ نقص الفيتامينات والمعادن ] هل نقص الكالسيوم يسبب تشنجات عند الأطفال # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ فــــــرصةصحيح الترغيب للالبانى ] عن أبي هريرة رضي الله عنه قال سمعت رسول الله صلى الله عليه وسلم يقول إن أعمال بني آدم تعرض كل خميس ليلة الجمعة فلا يقبل عمل قاطع رحم # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ مؤسسات البحرين ] حنان عبدالله مكي عبدالله الغريفي ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] منطقة كيشنجاني # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] العلاقات البريطانية الكرواتية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] المسيحية في أمريكا الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] جزر ساكيشيما # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ تعرٌف على ] واردير كلايد ألي # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] الوليد خالد ضيدان المطرفي ... حائل ... منطقة حائل # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
الأكثر قراءة
- مريم الصايغ في سطور
- سؤال و جواب | ما هى أسباب نزول الدم الاحمر بعد البراز؟ وهل هناك أسباب مرضية؟ وما الحل ؟
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً
- هل للحبة السوداء"حبة البركة "فوائد ؟
- كيف أتخلص من الغازات الكريهة التى تخرج مني باستمرار؟
- هناك ألم عندى فى الجانب الأيسر للظهر فهل من الممكن أن يكون بسبب الكلى ؟
- هل هناك علاج للصداع الئى أانيه فى الجانب الأيسر من الدماغ مع العين اليسرى ؟
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام»
- [ رقم تلفون ] مستر مندوب ... مع اللوكيشن المملكه العربية السعودية
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان
- نزع شوك السمك في المنام
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة
- ارقام وهواتف مستشفى الهلال الاحمر 34 ش رمسيس وسط البلد بالقاهرة
- جريمة قتل آمنة الخالدي تفاصيل الجريمة
- رسائل حب ساخنة للمتزوجين +18
- خليفة بخيت الفلاسي حياته
- تعرٌف على ... عائشة العتيبي | مشاهير
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟
- رقم هاتف مكتب النائب العام وكيفية تقديم بلاغ للنائب العام
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] شركة متجر كل شششي - المملكه العربية السعودية
- تفسير رؤية شخص اسمه محمد في المنام لابن سيرين
- ارقام وهواتف مطعم الشبراوى 33 ش احمد عرابى المهندسين, بالجيزة
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة
- ارقام وهواتف عيادة د. ياسر المليجى - 139 ش التحرير الدقى بالجيزة
- ارقام وهواتف مستشفى النور المحمدى الخيرى التخصصى المطرية, بالقاهرة
- تفسير رؤية الحشرات في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية
- قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟
- أعشاب تفتح الرحم للإجهاض
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟!
- قناة تمازيغت برامج القناة
- ارقام وهواتف مكتب صحة - السادس من اكتوبر ميدان الحصرى السادس من اكتوبر, بالجيزة
- سور القران لكل شهر من شهور الحمل
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين
- زخرفة اسماء تصلح للفيس بوك
- مدرسة ب/ 141 حكومي للبنات بجدة
- إلغ (برمجية) التاريخ
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان
- أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام
- تفسير حلم الكلب لابن سيرين
- [ رقم هاتف ] عيادة د. حازم ابو النصر - 20 ش عبد العزيز جاويش عابدين بالقاهرة
- انا بنت عندي 13 سنة لسة مجتليش الدورة الشهرية ......كنت ببات عند خالتي وكل ما
- هل تمرير الإصبع بشكل أفقي على فتحة المهبل يؤدي إلى فض غشاء البكارة؟
- [رقم هاتف] شركة الحراسة و التوظيف و التنظيف.. المغرب
- قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي
- ذا إكس فاكتور آرابيا فكرة البرنامج
- السلام عليكم ، أنا مشكلتي بصراحة الجنس من الخلف مع زوجي الأن صار ويحب حيل
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟
- لالة لعروسة (برنامج) الفائزون
- أنا حامل في الشهر الرابع وينزل مني دم .. هل هذا طبيعي؟
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها
- هل إدخال إصبع الزوج في مهبل الزوجة له أضرار؟
- تفسير حلم اصلاح الطريق في المنام
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة
- إيمان ظاظا حياتها ومشوارها المهني
- أهمية وضرورة إزالة الخيط الأسود من ظهر الجمبري
- اسماء فيس بنات مزخرفة | القاب بنات مزخرفه
- لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة
- تفسير رؤية المشاهير في المنام لابن سيرين
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن حرب 6 اكتوبر 1973 بالصور pdf doc -
- فوائد عشبة الفلية و الكمية المناسبة يوميا
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] شركة الرفق بالحيوان و الطبيعة.. المغرب
- كلمات - انت روحي - حمود السمه
- أعاني من لحمة زائدة في الدبر ، فلدي قطعة لحمية صغيرة في فتحة الشرج من الخارج
- ما الفرق بين الغشاء السليم وغير السليم؟
- تفسير حلم رؤية الإصابة بالرصاص في الكتف بالمنام
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟
- عمر فروخ
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة?
- إدمان الزوج للمواقع الإباحية: المشكلة والأسباب والعلاج
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء.
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام
- تظهر عندي حبوب في البظر والشفرتين بين حين وآخر.. هل لها مضاعفات، وما علاجها؟
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- الكرة الحديدية قواعد اللعبة
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن اللغة العربية والكفايات اللغويه -
- تفسير حلم رؤية الكنز فى المنام لابن سيرين
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟
روابط تهمك
مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع [ تعرٌف على ] خوارزمية أقليدس # اخر تحديث اليوم 2024-04-28 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 10/11/2023
[ تعرٌف على ] خوارزمية أقليدس # اخر تحديث اليوم 2024-04-28
آخر تحديث منذ 5 شهر و 19 يوم
1 مشاهدة
تم النشر اليوم 2024-04-28 | خوارزمية أقليدس
القاسم المشترك الأكبر ل 48 و 60 هو 12. القاسم المشترك الأكبر للعددين 252 و 198: 252 = 198 * 1 + 54 ‘ أربع وخمسون هو باقي قسمة 252 على 198 فنجد القاسم المشترك للعددين 198 و 54 198 = 54 * 3 + 36 ‘ ست وثلاثون هو باقي القسمة. نكرر العملية هذه المرة مع: 54 و 36 54 = 36 * 1 + 18 مرة أخرى:
36 = 18 * 2 + 0 هنا وصلنا للصفر فيكون العدد الثاني 18 هو القاسم المشترك الأكبر.
المقالة الرئيسة: قاسم مشترك أكبر
يمكن أن تطبق الخوارزمية الإقليدية في نظرية العقد.
الأعداد الجذرية والأعداد الحقيقية
متعددات الحدود المقالة الرئيسة: القاسم المشترك الأكبر لمتعددتي حدود r k
−
2
(
x
)
= q k
(
x
) r k
−
1
(
x
)
+ r k
(
x
)
,
{\displaystyle r_{k-2}(x)=q_{k}(x)r_{k-1}(x)+r_{k}(x),}
a
(
x
) = x 4
−
4 x 3
+
4 x 2
−
3
x
+
14
=
( x 2
−
5
x
+
7
)
( x 2
+
x
+
2
)
and b
(
x
) = x 4
+
8 x 3
+
12 x 2
+
17
x
+
6
=
( x 2
+
7
x
+
3
)
( x 2
+
x
+
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}a(x)&=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}-3x+14=(x^{2}-5x+7)(x^{2}+x+2)\qquad {\text{and}}\\b(x)&=x^{4}+8x^{3}+12x^{2}+17x+6=(x^{2}+7x+3)(x^{2}+x+2).\end{aligned}}}
الأعداد الطبيعية الغاوسية
توزيع الأعداد الطبيعية الغاوسية u+vi في المستوى العقدي، من معايير u2+v2 أصغر من 500
الأعداد الغاوسية الصحيحة هن أعداد مركبة α = u + vi حيث u و v أعداد صحيحة، وi هو الجذر التربيعي لناقص واحد. بتعريف خوارزمية مماثلة لخوارزمية أقليدس، يتبين أن الأعداد الغاوسية تقبل هي الأخرى تفكيكا وحيدا لجداء أعداد غاوسية أخرى، وذلك باستعمال الحجة نفسها التي استعمل أعلاه. هذا التفكيك الوحيد يساعد في العديد من المجالات، منها على سبيل المثال، ايجاد جميع ثلاثيات فيثاغورس، ومنها أيضا البرهان على مبرهنة فيرما حول مجموع مربعين. مساهمة خوارزمية أقليدس في هذه التطبيقات غير أساسية حيث يمكن أن يُبرهن عليها بطرق أخرى. المجالات الإقليدية
الحلقات غير التبادلية
متطابقة بيزو
تنص متطابقة بيزو على أن القاسم المشترك الأكبر g لعددين a و b يمكن أن يمثل مجموعا خطيا للعددين a و b؛ أي أنه يوجد عددان، s و t حيث يتوفر ما يلي:
g
=
s
a
+
t
b
{\displaystyle g=sa+tb} الخوارزمية الإقليدية الممتدة المقالة الرئيسة: خوارزمية إقليدس الممددة
یمكن تمثیل القاسم المشترك الأكبر للعددین عن طریق دمج خطي مع عددین آخرین، كیف یمكن أیجاد قیمتي n و m وذلك عن طریق خوارزمیة اقلیدس الممتدة وهناك ثلاثة طرق لمعرفة هذه القیم (الطرق هي مشابه لبعض، لكن یمكن القول أنها مختصره من الأخریات).
الطريقة الأولى: وهي يمكن ان نطلق عليها التراجع وفي هذه الطريقة نقوم بالحل عن طريق خوارزمية اقليدس وبعدها تقول بالتراجع الخلفي لايجاد قيمتي m،n كما في المثال التالي:
مثال: قم بتمثيل العددين 26 و 21 بطريقة اقليدس الممتدة:
فنبدأ بالحل كما هو الحال في طريقة اقليدس:
26 = 1* 21 + 5 و 21 = 4 * 5 + 1 و 5 = 5 * 1 + 0
وتتوقف عند الصفر. الآن المعادلة التي قبل المعادلة التي باقيها صفر أي المعادلة الثانية نقوم بكتابتها بالشكل التالي: 1
=
21
−
4
∗
5
{\displaystyle 1=21-4*5}
أیضا المعادلة الأولى بنفس الشكل: 5
=
26
−
1
∗
21
{\displaystyle 5=26-1*21}
في المعادلتين السابقتين 1 = 21 – 4 * (26 – 1 * 21)
ومن غیر أجراء عملیة حسابیة، فقط نفك القوس لینتج:
1 = 21 -4*26 +4*21
1=21(1+4)-4*26 حيث 21 عامل مشترك
لیكون لدینا الناتج النهائي: 4*21 +21 1 = 5*21 + (-4)*26
نتاكد من النتيجة 5*21+ -4*26 والناتج يساوي واحد إذاً المعادلة صحيحة إذاً قيمة m هي 5 وقيمة n هي -4. طريقة المصفوفات
a = q 0
b
+ r 0
b = q 1 r 0
+ r 1 ⋮ r N
−
2 = q N r N
−
1
+
0
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=q_{0}b+r_{0}\\b&=q_{1}r_{0}+r_{1}\\&\,\,\,\vdots \\r_{N-2}&=q_{N}r_{N-1}+0\end{aligned}}}
( a
b )
=
(
q 0
1
1
0 )
( b r 0 )
=
(
q 0
1
1
0 )
(
q 1
1
1
0 )
(
r 0 r 1 )
=
⋯
= ∏ i
=
0
N
(
q i
1
1
0 )
(
r N
−
1
0 ) .
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\r_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{0}\\r_{1}\end{pmatrix}}=\cdots =\prod _{i=0}^{N}{\begin{pmatrix}q_{i}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{N-1}\\0\end{pmatrix}}\,.} M =
(
m 11 m 12 m 21 m 22 )
= ∏ i
=
0
N
(
q i
1
1
0 )
=
(
q 0
1
1
0 )
(
q 1
1
1
0 )
⋯
(
q N
1
1
0 ) .
{\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}}=\prod _{i=0}^{N}{\begin{pmatrix}q_{i}&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdots {\begin{pmatrix}q_{N}&1\\1&0\end{pmatrix}}\,.}
( a
b )
= M (
r N
−
1
0 )
= M ( g
0 ) .
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=\mathbf {M} {\begin{pmatrix}r_{N-1}\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {M} {\begin{pmatrix}g\\0\end{pmatrix}}\,.}
( g
0 )
=
M
−
1
( a
b )
=
(
−
1 ) N
+
1
(
m 22
− m 12
− m 21 m 11 )
( a
b ) .
{\displaystyle {\begin{pmatrix}g\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {M} ^{-1}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=(-1)^{N+1}{\begin{pmatrix}m_{22}&-m_{12}\\-m_{21}&m_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\,.}
g = (−1)N+1 ( m22 a − m12 b),
المعادلات الديوفانتية الخطية
يمكن لخوارزمية أقليدس أيضا أن تستعمل من أجل حلحلة العديد من المعادلات الديوفانتية الخطية. تظهر واحدة من هده المعادلات في مبرهنة الباقي الصيني.
x 1 ≡
x
mod m 1 x 2 ≡
x
mod m 2
⋮ x N ≡
x
mod m N .
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&\equiv x{\bmod {m}}_{1}\\x_{2}&\equiv x{\bmod {m}}_{2}\\&\vdots \\x_{N}&\equiv x{\bmod {m}}_{N}\,.\end{aligned}}}
مبرهنة الباقي الصيني
مبرهنة الباقي الصيني
x 1 ≡
x
(
mod
m 1
)
x 2 ≡
x
(
mod
m 2
)
⋮ x N ≡
x
(
mod
m N
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&\equiv x{\pmod {m_{1}}}\\x_{2}&\equiv x{\pmod {m_{2}}}\\&\,\,\,\vdots \\x_{N}&\equiv x{\pmod {m_{N}}}\,.\end{aligned}}}
شجرة ستيرن-بروكوت
شجرة ستيرن-بروكوت، و متتاليات ستيرن-بروكوت من الرتبة i حيث i = 1، 2، 3، 4.
تُستعمل خوارزمية أقليدس من أجل ترتيب جميع الأعداد الجذرية الموجبة في شجرة ثنائية البحث غير منتهية، تسمى شجرة ستيرن-بروكوت. الكسور المستمرة
a
b = q 0
+ r 0
b
b r 0 = q 1
+ r 1 r 0 r 0 r 1 = q 2
+ r 2 r 1 ⋮ r k
−
2 r k
−
1 = q k
+ r k r k
−
1 ⋮ r N
−
2 r N
−
1 = q N .
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{b}}&=q_{0}+{\frac {r_{0}}{b}}\\{\frac {b}{r_{0}}}&=q_{1}+{\frac {r_{1}}{r_{0}}}\\{\frac {r_{0}}{r_{1}}}&=q_{2}+{\frac {r_{2}}{r_{1}}}\\&\,\,\,\vdots \\{\frac {r_{k-2}}{r_{k-1}}}&=q_{k}+{\frac {r_{k}}{r_{k-1}}}\\&\,\,\,\vdots \\{\frac {r_{N-2}}{r_{N-1}}}&=q_{N}\,.\end{aligned}}}
a
b
= q 0
+
1
q 1
+ r 1
r 0 .
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=q_{0}+{\cfrac {1}{q_{1}+{\cfrac {r_{1}}{r_{0}}}}}\,.}
a
b
= q 0
+
1
q 1
+
1
q 2
+ r 2
r 1
.
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=q_{0}+{\cfrac {1}{q_{1}+{\cfrac {1}{q_{2}+{\cfrac {r_{2}}{r_{1}}}}}}}\,.}
a
b
= q 0
+
1
q 1
+
1
q 2
+
1 ⋱
+
1
q N
=
[ q 0
; q 1
, q 2
,
…
, q N
] .
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=q_{0}+{\cfrac {1}{q_{1}+{\cfrac {1}{q_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{q_{N}}}}}}}}}=[q_{0};q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}]\,.}
1071
462
=
2
+
1 3
+
1 7
=
[
2
;
3
,
7
]
{\displaystyle {\frac {1071}{462}}=2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{7}}}}=[2;3,7]}
القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين A، B يساوي القاسم المشترك الأكبر للعدد الثاني B وباقي قسمة A على B، ونكرر العملية نفسها حتى يصبح باقي القسمة مساويا الصفر، عندئذ يكون القاسم المشترك الأكبر هو العدد الآخر.
حيث r هو باقي قسمة A على B. N هو القاسم المشترك الأكبر.
من المحتمل أن تكون الخوارزمية الإقليدية قد اكتشفت قرونا قبل إقليدس. بُين هنا في رسم يعود تاريخه إلى عام 1474، حاملا لقدمة ذات الورنية
خوارزمية أقليدس هي واحدة من أقدم الخوارزميات الجارية الاستعمال. ظهرت في كتاب الأصول لإقليدس (في حوالي عام 300 قبل الميلاد)، وبالتحديد في الكتاب السابع (الخاصيتان الأولى والثانية) والكتاب العاشر (الخاصيتان الثانية والثالثة). في الكاتب السابع، طُبقت الخوارزمية على الأعداد الطبيعية بينما في الكتاب العاشر، طُبقت على أطوال القطع المستقيمة. خلال القرن التاسع عشر، فتحت خوارزمية أقليدس الباب نحو تطور أنظمة عددية جديدة. الأعداد الغاوسية وأعداد أيزنشتاين مثالان على ذلك. في عام 1815، استعمل غاوس خوارزمية أقليدس من أجل البرهان على وحدانية تفكيك الأعداد الغاوسية. رغم أن العمل قِيم بي في عام 1815، إلا أنه لم ينشر لأول مرة إلي في عام 1832. أشار غاوس إلى الخوارزمية في كتابه استفسارات حسابية والذي نُشر في عام 1801، ولكن فقط في شكل طريقة تمكن من حساب الكسور المستمرة.
عدد الخطوات المطلوبة في الخوارزمية الإقليدية لحساب القاسم المشترك الأكبر(x،y). النقط الحمراء تدل على عدد صغير نسبيا من الخطوات (سريع)، بينما النقط الصفراء والخضراء والزرقاء تدل على عدد أكبر على التوالي من النقط (بطيء). المنطقة الداكنة الزرقاء تخضع لمعادلة المستقيم y = Φx، حيث Φ يمثل النسبة الذهبية.
دُرست فعالية خوارزمية أقليدس بشكل كثيف. تتمثل هذه الفعالية في عدد الخطوات اللازمة من أجل إيجاد القاسم المشترك الأكبر المراد حسابه. أول تحليل لفعالية الخوارزمية يرجع إلى العالم غيينو، (كان ذلك عام 1811)، حيث أثبت أنه أثناء حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين u و v، عدد الخطوات اللازمة، لا يمكن أن يتجاوز v. وزاد فيما بعد هذا البرهانَ دقة عندما برهن أن هذا العدد لا يمكن أن يتجاوز v/2 +2. انظر إلى بيير جوزيف إتيان فينك. في عام 1837، درس إيميل ليجي أسوأ حالة، والتي هي حيث يكون المقسوم والمقسوم عليه عددان متتاليان من متتالية فيبوناتشي. واصل غابرييل لامي سير فينك في عام 1844، مبرهنا على أن عدد خطوات خوارزمية إقليدس لا تتجاوز أبدا خمس مرات عدد الأرقام اللائي يكونن المقسوم عليه، مكتوبا في القاعدة العشرية.
تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات
مثال
القاسم المشترك الأكبر ل 48 و 60 هو 12. القاسم المشترك الأكبر للعددين 252 و 198: 252 = 198 * 1 + 54 ‘ أربع وخمسون هو باقي قسمة 252 على 198 فنجد القاسم المشترك للعددين 198 و 54 198 = 54 * 3 + 36 ‘ ست وثلاثون هو باقي القسمة. نكرر العملية هذه المرة مع: 54 و 36 54 = 36 * 1 + 18 مرة أخرى:
36 = 18 * 2 + 0 هنا وصلنا للصفر فيكون العدد الثاني 18 هو القاسم المشترك الأكبر.
الخلفية: القاسم المشترك الأكبر
المقالة الرئيسة: قاسم مشترك أكبر
تعميمات إلى بُنى رياضياتية أخرى
يمكن أن تطبق الخوارزمية الإقليدية في نظرية العقد.
في النظم العددية الأخرى
الأعداد الجذرية والأعداد الحقيقية
متعددات الحدود المقالة الرئيسة: القاسم المشترك الأكبر لمتعددتي حدود r k
−
2
(
x
)
= q k
(
x
) r k
−
1
(
x
)
+ r k
(
x
)
,
{\displaystyle r_{k-2}(x)=q_{k}(x)r_{k-1}(x)+r_{k}(x),}
a
(
x
) = x 4
−
4 x 3
+
4 x 2
−
3
x
+
14
=
( x 2
−
5
x
+
7
)
( x 2
+
x
+
2
)
and b
(
x
) = x 4
+
8 x 3
+
12 x 2
+
17
x
+
6
=
( x 2
+
7
x
+
3
)
( x 2
+
x
+
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}a(x)&=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}-3x+14=(x^{2}-5x+7)(x^{2}+x+2)\qquad {\text{and}}\\b(x)&=x^{4}+8x^{3}+12x^{2}+17x+6=(x^{2}+7x+3)(x^{2}+x+2).\end{aligned}}}
الأعداد الطبيعية الغاوسية
توزيع الأعداد الطبيعية الغاوسية u+vi في المستوى العقدي، من معايير u2+v2 أصغر من 500
الأعداد الغاوسية الصحيحة هن أعداد مركبة α = u + vi حيث u و v أعداد صحيحة، وi هو الجذر التربيعي لناقص واحد. بتعريف خوارزمية مماثلة لخوارزمية أقليدس، يتبين أن الأعداد الغاوسية تقبل هي الأخرى تفكيكا وحيدا لجداء أعداد غاوسية أخرى، وذلك باستعمال الحجة نفسها التي استعمل أعلاه. هذا التفكيك الوحيد يساعد في العديد من المجالات، منها على سبيل المثال، ايجاد جميع ثلاثيات فيثاغورس، ومنها أيضا البرهان على مبرهنة فيرما حول مجموع مربعين. مساهمة خوارزمية أقليدس في هذه التطبيقات غير أساسية حيث يمكن أن يُبرهن عليها بطرق أخرى. المجالات الإقليدية
الحلقات غير التبادلية
تطبيقات رياضياتية
متطابقة بيزو
تنص متطابقة بيزو على أن القاسم المشترك الأكبر g لعددين a و b يمكن أن يمثل مجموعا خطيا للعددين a و b؛ أي أنه يوجد عددان، s و t حيث يتوفر ما يلي:
g
=
s
a
+
t
b
{\displaystyle g=sa+tb} الخوارزمية الإقليدية الممتدة المقالة الرئيسة: خوارزمية إقليدس الممددة
یمكن تمثیل القاسم المشترك الأكبر للعددین عن طریق دمج خطي مع عددین آخرین، كیف یمكن أیجاد قیمتي n و m وذلك عن طریق خوارزمیة اقلیدس الممتدة وهناك ثلاثة طرق لمعرفة هذه القیم (الطرق هي مشابه لبعض، لكن یمكن القول أنها مختصره من الأخریات).
الطريقة الأولى: وهي يمكن ان نطلق عليها التراجع وفي هذه الطريقة نقوم بالحل عن طريق خوارزمية اقليدس وبعدها تقول بالتراجع الخلفي لايجاد قيمتي m،n كما في المثال التالي:
مثال: قم بتمثيل العددين 26 و 21 بطريقة اقليدس الممتدة:
فنبدأ بالحل كما هو الحال في طريقة اقليدس:
26 = 1* 21 + 5 و 21 = 4 * 5 + 1 و 5 = 5 * 1 + 0
وتتوقف عند الصفر. الآن المعادلة التي قبل المعادلة التي باقيها صفر أي المعادلة الثانية نقوم بكتابتها بالشكل التالي: 1
=
21
−
4
∗
5
{\displaystyle 1=21-4*5}
أیضا المعادلة الأولى بنفس الشكل: 5
=
26
−
1
∗
21
{\displaystyle 5=26-1*21}
في المعادلتين السابقتين 1 = 21 – 4 * (26 – 1 * 21)
ومن غیر أجراء عملیة حسابیة، فقط نفك القوس لینتج:
1 = 21 -4*26 +4*21
1=21(1+4)-4*26 حيث 21 عامل مشترك
لیكون لدینا الناتج النهائي: 4*21 +21 1 = 5*21 + (-4)*26
نتاكد من النتيجة 5*21+ -4*26 والناتج يساوي واحد إذاً المعادلة صحيحة إذاً قيمة m هي 5 وقيمة n هي -4. طريقة المصفوفات
a = q 0
b
+ r 0
b = q 1 r 0
+ r 1 ⋮ r N
−
2 = q N r N
−
1
+
0
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=q_{0}b+r_{0}\\b&=q_{1}r_{0}+r_{1}\\&\,\,\,\vdots \\r_{N-2}&=q_{N}r_{N-1}+0\end{aligned}}}
( a
b )
=
(
q 0
1
1
0 )
( b r 0 )
=
(
q 0
1
1
0 )
(
q 1
1
1
0 )
(
r 0 r 1 )
=
⋯
= ∏ i
=
0
N
(
q i
1
1
0 )
(
r N
−
1
0 ) .
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\r_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{0}\\r_{1}\end{pmatrix}}=\cdots =\prod _{i=0}^{N}{\begin{pmatrix}q_{i}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r_{N-1}\\0\end{pmatrix}}\,.} M =
(
m 11 m 12 m 21 m 22 )
= ∏ i
=
0
N
(
q i
1
1
0 )
=
(
q 0
1
1
0 )
(
q 1
1
1
0 )
⋯
(
q N
1
1
0 ) .
{\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}}=\prod _{i=0}^{N}{\begin{pmatrix}q_{i}&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{0}&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdots {\begin{pmatrix}q_{N}&1\\1&0\end{pmatrix}}\,.}
( a
b )
= M (
r N
−
1
0 )
= M ( g
0 ) .
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=\mathbf {M} {\begin{pmatrix}r_{N-1}\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {M} {\begin{pmatrix}g\\0\end{pmatrix}}\,.}
( g
0 )
=
M
−
1
( a
b )
=
(
−
1 ) N
+
1
(
m 22
− m 12
− m 21 m 11 )
( a
b ) .
{\displaystyle {\begin{pmatrix}g\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {M} ^{-1}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=(-1)^{N+1}{\begin{pmatrix}m_{22}&-m_{12}\\-m_{21}&m_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\,.}
g = (−1)N+1 ( m22 a − m12 b),
المعادلات الديوفانتية الخطية
يمكن لخوارزمية أقليدس أيضا أن تستعمل من أجل حلحلة العديد من المعادلات الديوفانتية الخطية. تظهر واحدة من هده المعادلات في مبرهنة الباقي الصيني.
x 1 ≡
x
mod m 1 x 2 ≡
x
mod m 2
⋮ x N ≡
x
mod m N .
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&\equiv x{\bmod {m}}_{1}\\x_{2}&\equiv x{\bmod {m}}_{2}\\&\vdots \\x_{N}&\equiv x{\bmod {m}}_{N}\,.\end{aligned}}}
مبرهنة الباقي الصيني
مبرهنة الباقي الصيني
x 1 ≡
x
(
mod
m 1
)
x 2 ≡
x
(
mod
m 2
)
⋮ x N ≡
x
(
mod
m N
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&\equiv x{\pmod {m_{1}}}\\x_{2}&\equiv x{\pmod {m_{2}}}\\&\,\,\,\vdots \\x_{N}&\equiv x{\pmod {m_{N}}}\,.\end{aligned}}}
شجرة ستيرن-بروكوت
شجرة ستيرن-بروكوت، و متتاليات ستيرن-بروكوت من الرتبة i حيث i = 1، 2، 3، 4.
تُستعمل خوارزمية أقليدس من أجل ترتيب جميع الأعداد الجذرية الموجبة في شجرة ثنائية البحث غير منتهية، تسمى شجرة ستيرن-بروكوت. الكسور المستمرة
a
b = q 0
+ r 0
b
b r 0 = q 1
+ r 1 r 0 r 0 r 1 = q 2
+ r 2 r 1 ⋮ r k
−
2 r k
−
1 = q k
+ r k r k
−
1 ⋮ r N
−
2 r N
−
1 = q N .
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{b}}&=q_{0}+{\frac {r_{0}}{b}}\\{\frac {b}{r_{0}}}&=q_{1}+{\frac {r_{1}}{r_{0}}}\\{\frac {r_{0}}{r_{1}}}&=q_{2}+{\frac {r_{2}}{r_{1}}}\\&\,\,\,\vdots \\{\frac {r_{k-2}}{r_{k-1}}}&=q_{k}+{\frac {r_{k}}{r_{k-1}}}\\&\,\,\,\vdots \\{\frac {r_{N-2}}{r_{N-1}}}&=q_{N}\,.\end{aligned}}}
a
b
= q 0
+
1
q 1
+ r 1
r 0 .
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=q_{0}+{\cfrac {1}{q_{1}+{\cfrac {r_{1}}{r_{0}}}}}\,.}
a
b
= q 0
+
1
q 1
+
1
q 2
+ r 2
r 1
.
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=q_{0}+{\cfrac {1}{q_{1}+{\cfrac {1}{q_{2}+{\cfrac {r_{2}}{r_{1}}}}}}}\,.}
a
b
= q 0
+
1
q 1
+
1
q 2
+
1 ⋱
+
1
q N
=
[ q 0
; q 1
, q 2
,
…
, q N
] .
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=q_{0}+{\cfrac {1}{q_{1}+{\cfrac {1}{q_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{q_{N}}}}}}}}}=[q_{0};q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}]\,.}
1071
462
=
2
+
1 3
+
1 7
=
[
2
;
3
,
7
]
{\displaystyle {\frac {1071}{462}}=2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{7}}}}=[2;3,7]}
وصف الخوارزمية
القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين A، B يساوي القاسم المشترك الأكبر للعدد الثاني B وباقي قسمة A على B، ونكرر العملية نفسها حتى يصبح باقي القسمة مساويا الصفر، عندئذ يكون القاسم المشترك الأكبر هو العدد الآخر.
حيث r هو باقي قسمة A على B. N هو القاسم المشترك الأكبر.
التطور التاريخي
من المحتمل أن تكون الخوارزمية الإقليدية قد اكتشفت قرونا قبل إقليدس. بُين هنا في رسم يعود تاريخه إلى عام 1474، حاملا لقدمة ذات الورنية
خوارزمية أقليدس هي واحدة من أقدم الخوارزميات الجارية الاستعمال. ظهرت في كتاب الأصول لإقليدس (في حوالي عام 300 قبل الميلاد)، وبالتحديد في الكتاب السابع (الخاصيتان الأولى والثانية) والكتاب العاشر (الخاصيتان الثانية والثالثة). في الكاتب السابع، طُبقت الخوارزمية على الأعداد الطبيعية بينما في الكتاب العاشر، طُبقت على أطوال القطع المستقيمة. خلال القرن التاسع عشر، فتحت خوارزمية أقليدس الباب نحو تطور أنظمة عددية جديدة. الأعداد الغاوسية وأعداد أيزنشتاين مثالان على ذلك. في عام 1815، استعمل غاوس خوارزمية أقليدس من أجل البرهان على وحدانية تفكيك الأعداد الغاوسية. رغم أن العمل قِيم بي في عام 1815، إلا أنه لم ينشر لأول مرة إلي في عام 1832. أشار غاوس إلى الخوارزمية في كتابه استفسارات حسابية والذي نُشر في عام 1801، ولكن فقط في شكل طريقة تمكن من حساب الكسور المستمرة.
الفعالية الخوارزمية
عدد الخطوات المطلوبة في الخوارزمية الإقليدية لحساب القاسم المشترك الأكبر(x،y). النقط الحمراء تدل على عدد صغير نسبيا من الخطوات (سريع)، بينما النقط الصفراء والخضراء والزرقاء تدل على عدد أكبر على التوالي من النقط (بطيء). المنطقة الداكنة الزرقاء تخضع لمعادلة المستقيم y = Φx، حيث Φ يمثل النسبة الذهبية.
دُرست فعالية خوارزمية أقليدس بشكل كثيف. تتمثل هذه الفعالية في عدد الخطوات اللازمة من أجل إيجاد القاسم المشترك الأكبر المراد حسابه. أول تحليل لفعالية الخوارزمية يرجع إلى العالم غيينو، (كان ذلك عام 1811)، حيث أثبت أنه أثناء حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين u و v، عدد الخطوات اللازمة، لا يمكن أن يتجاوز v. وزاد فيما بعد هذا البرهانَ دقة عندما برهن أن هذا العدد لا يمكن أن يتجاوز v/2 +2. انظر إلى بيير جوزيف إتيان فينك. في عام 1837، درس إيميل ليجي أسوأ حالة، والتي هي حيث يكون المقسوم والمقسوم عليه عددان متتاليان من متتالية فيبوناتشي. واصل غابرييل لامي سير فينك في عام 1844، مبرهنا على أن عدد خطوات خوارزمية إقليدس لا تتجاوز أبدا خمس مرات عدد الأرقام اللائي يكونن المقسوم عليه، مكتوبا في القاعدة العشرية.
شرح مبسط
تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات
شاركنا رأيك
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع [ تعرٌف على ] خوارزمية أقليدس # اخر تحديث اليوم 2024-04-28 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 10/11/2023
اعلانات العرب الآن