[ تعرٌف على ] مسألة نهاية سعيدة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27

تم النشر اليوم 2024-04-27 | مسألة نهاية سعيدة

مضلعات أكبر

مجموعة من ثمانية نقط في مواضع عامة بدون مثمن محدب.
برهن أيردوش & سكريش (1935) التعميم التالي: لأي عدد صحيح موجب N، أي مجموعة نقاط محدودة كبيرة بما فيه الكفاية في المستوي في مواضع عامة لها مجموعة جزئية من N نقط التي تشكل مضلع محدب. يظهر البرهان في نفس المقال الذي يبرهن نظرية إيردوس-سيكيرس على مجموعات جزئية رتيبة في تسلسل أعداد. نرمز بـ (f(N لأدنى قيمة لـ M بحيث لمجموعة من M نقط في مواضع عامة يجب أن تحتوي على محدب بـ N رؤوس، معروف أن: f(3) = 3, بديهيا.
f(4) = 5.
f(5) = 9.
f(6) = 17.
قيمة (f(N غير معروفة لكل N > 6; كنتيجة من أيردوش & سكريش (1935) معروفة أنها محدودة.
على أساس القيم (f(N المعروفة لكل N = 3, 4 و 5، حزر إيدرش وسكريش في مقالهما الأصلي أن f
(
N
)
=
1
+ 2 N
−
2 for all
N
≥
3.
{\displaystyle f(N)=1+2^{N-2}\quad {\mbox{for all }}N\geq 3.}
برهنوا لاحقا، عن طريق بناء أمثلة واضحة، أن: f
(
N
)
≥
1
+ 2 N
−
2
,
{\displaystyle f(N)\geq 1+2^{N-2},}
ولكن الحد الأعلى الأفضل المعروف لـ N ≥ 7 هو: f
(
N
)
≤ ( 2
N
−
5
N
−
2 ) +
1
=
O ( 4 N N ) .
{\displaystyle f(N)\leq {2N-5 \choose N-2}+1=O\left({\frac {4^{N}}{\sqrt {N}}}\right).}

شرح مبسط

في الرياضيات، مسألة النهاية السعيدة، سميت بهذا الاسم من قبل بول إيردوس لأنها أدت إلى زواج جورج سيكيرس من إيستير كلاين، تنص على ما يلي: