اليوم: السبت 27 ابريل 2024 , الساعة: 3:20 ص
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
اخر المشاهدات
- [ تعرٌف على ] شوق (ممثلة) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] خالد جمال محمد المعجل ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل رأس الخيمة الامارات ] الجمعية الهندية ... راس الخيمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] متلازمة ميلكرسون روزنتال # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] هوكر 800 # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الدوري المصري المحترفين لكرة اليد # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] اوسكار الدولي لاستيراد وتصدير الأدوات الكهربائية ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ناصر بن حمدان بن سلامه البلوي ... المدينه المنوره ... منطقة المدينة المنورة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] بطولة أستراليا المفتوحة 1995 - الزوجي المختلط # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الجسم الأسود # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ بنوك وصرافة الامارات ] سوسيتيه جنرال ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] منيره ثائب مبارك المطيري ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ خذها قاعدة ] ما نلاحظه ليست الطبيعة نفسها ، وإنما الطبيعة معرضة لأساليبنا في التفكير. - فيرنر هايزنبيرغ # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] الوريد للدعاية والاعلان ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] زهير ايوب حسين حسن ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ خذها قاعدة ] عندما تكون في أفضل حالاتك حاول أن تساعد اولئك الذين في أسوأ حالاتهم. - ويل سميث ( ممثل أمريكي ) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] ذي مست لاونج للكوفي و شيشة ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ أطفال ] علامات الصرع عند الأطفال # اخر تحديث اليوم 2024-04-25
- [ تعرٌف على ] أمين ساعاتي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] أحداث ضائرة للقاح # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] قائمة أحداث يو إف سي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] أبو الخير المصري # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ سياحة وترفيه الامارات ] طيران الاتحاد ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ برمجة وتصميم المواقع ] لغة C و4 معلومات من المهم أن تعرفها عن واحدة من أهم لغات البرمجة # اخر تحديث اليوم 2024-04-25
- [ دليل دبي الامارات ] برج اربيان اوركس ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ العناية بالشعر ] أضرار البيض للشعر # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] قرطاسية حنان ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فهد منير بن محماس القحطاني ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] مؤسسة سوسن حسين جاسم النايم ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تأمين السعودية ] مكتب الإختصاص للتنمية والخدمات التجارية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات طبية عيادات مستشفيات قطر ] دايت كافية diet caffe ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ العناية بالجسم ] كيفية إزالة الشعر بالليزر # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] بطاقة الهوية الأذربيجانية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] كبريتيد # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ خطوط جوية الامارات ] رامجيت لدعم الطيران # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] مسرح المتفرجين الشباب في أذربيجان # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] مارجي بروفت # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل الشارقة الامارات ] سوسن للهواتف النقالة ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] بلان ايه كوفي ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] احمرار القزحية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم السعودية ] مطبخ التعاون للحم المندى # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] غلو صالون & سبا ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ ماذونين السعودية ] خالد حماد حمدي الفارسي ... المدينة المنورة # اخر تحديث اليوم 2024-02-14
- [ عيادات طب اسنان الامارات ] مركز ابن الهيثم لطب الأسنان # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ خدمات عامة الامارات ] وزارة الموارد البشرية والتوطين - مركز سعادة المتعاملين ... العين # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ ملوك وأمراء ] الملك عبد العزيز آل سعود # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالله سعد شويمي السبيعي ... الخفجى ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] نيو براونفيلز # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] عاصمه الموضه للخياطه ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] لؤي بن احمد بن حنش العمري ... الدمام ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تجارة و تجارة الرخام والجرانيت والبلاط والبلوك قطر ] مصنع المالكي للرخام والجرانيت مرهون لصالح بنك قطر للتنميه # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] وليد ظافر مغرم الشهري ... الجبيله ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] بندر بن مسلم بن علي الشويمان ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سالم سعيد سالم القرني ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ متاجر السعودية ] ركاز للاثاث ... الرس ... منطقة القصيم # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟ # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ تعرٌف على ] أسرى الحرب الفرنسيين في الحرب العالمية الثانية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مقاهي الامارات ] Cafe Renard # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم الامارات ] دجاج كنتاكي ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مؤسسة المهارات المتقدمة للخدمات العقارية ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ تعرٌف على ] دورة ألعاب الكومنولث والإمبراطورية البريطانية 1958 # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] منيره عون سعيد آل السند ... وادى بن هشبل ... منطقة عسير # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] رجاء سالم بن حمدان الجهني ... تبوك ... منطقة تبوك # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] كيكو ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ ملابس السعودية ] مؤسسة حامد القريشى التجارية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات مقاولات السعودية ] شركة أسامة أمين عبدالله أبوالحسن وشركاه التجارية المحدودة ... جدة ... مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ شركات مقاولات السعودية ] مؤسسة زاد الشمال للمقاولات العامة ... القريات ... الجوف # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] نجيب بن مبيريك بن حماد الصعيدي ... خليص ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] سقف أخضر # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] زياد ابراهيم بن حامد العمري ... المدينه المنوره ... منطقة المدينة المنورة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] بوابة العاصمة للتجارة العامة ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] متلازمة الضلع المنزلق # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ ماذونين السعودية ] محمد بن علي بن مصحب العمري ... خميس مشيط # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ماجد عبدالله غانم السماعيل ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] الإمارات العربية المتحدة للمعادن والمواد الكاشطة ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] سندويشات النعيم ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ اعمال النظافة ومعداتها و تجارة قطر ] الكناني للتجارة والمقاولات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مطاعم السعودية ] مشويات ابو محمد # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] قصر الحمراء # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ سيارات السعودية ] مؤسسة الجمعان لقطع غيار السيارات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] ايفرست لأدوات الكهرباء ومواد البناء ذ.م.م ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] ماريا ايميليا أميرة البرازيل # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] القضايا البيئية في اليمن # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] الهمة للتسويق والترويج ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] ميلين فارمر # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] هندية (ممثلة) # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ مؤسسات البحرين ] جولادا كوفي ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل الشارقة الامارات ] الجوهرة العربية لتجارة السيارات المستعملة وقطع غيارها ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] هوبير جيرولد براون # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] أحداث 7 أيار # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] العلاقات التشيكية الليسوتوية # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ البرامج و الخدمات التدريبية الإدارية والاستشارية قطر ] عواصم للتطوير # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] تشكيل المعادن # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] الدوري الفرنسي الدرجة الثانية 1957–58 # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ دليل دبي الامارات ] كيشام ريكريتمنت العالمية جي ال تي ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- [ تعرٌف على ] قصة هوكستون # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين # اخر تحديث اليوم 2024-02-13
- [ صيدليات السعودية ] صيدلية رمزي الخباز 3 # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
الأكثر قراءة
- مريم الصايغ في سطور
- سؤال و جواب | ما هى أسباب نزول الدم الاحمر بعد البراز؟ وهل هناك أسباب مرضية؟ وما الحل ؟
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً
- هل للحبة السوداء"حبة البركة "فوائد ؟
- كيف أتخلص من الغازات الكريهة التى تخرج مني باستمرار؟
- هناك ألم عندى فى الجانب الأيسر للظهر فهل من الممكن أن يكون بسبب الكلى ؟
- هل هناك علاج للصداع الئى أانيه فى الجانب الأيسر من الدماغ مع العين اليسرى ؟
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام»
- [ رقم تلفون ] مستر مندوب ... مع اللوكيشن المملكه العربية السعودية
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان
- نزع شوك السمك في المنام
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة
- ارقام وهواتف مستشفى الهلال الاحمر 34 ش رمسيس وسط البلد بالقاهرة
- جريمة قتل آمنة الخالدي تفاصيل الجريمة
- رسائل حب ساخنة للمتزوجين +18
- خليفة بخيت الفلاسي حياته
- تعرٌف على ... عائشة العتيبي | مشاهير
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟
- رقم هاتف مكتب النائب العام وكيفية تقديم بلاغ للنائب العام
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] شركة متجر كل شششي - المملكه العربية السعودية
- تفسير رؤية شخص اسمه محمد في المنام لابن سيرين
- ارقام وهواتف مطعم الشبراوى 33 ش احمد عرابى المهندسين, بالجيزة
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة
- ارقام وهواتف عيادة د. ياسر المليجى - 139 ش التحرير الدقى بالجيزة
- ارقام وهواتف مستشفى النور المحمدى الخيرى التخصصى المطرية, بالقاهرة
- تفسير رؤية الحشرات في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية
- قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟
- أعشاب تفتح الرحم للإجهاض
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟!
- قناة تمازيغت برامج القناة
- ارقام وهواتف مكتب صحة - السادس من اكتوبر ميدان الحصرى السادس من اكتوبر, بالجيزة
- سور القران لكل شهر من شهور الحمل
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين
- زخرفة اسماء تصلح للفيس بوك
- مدرسة ب/ 141 حكومي للبنات بجدة
- إلغ (برمجية) التاريخ
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان
- أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام
- تفسير حلم الكلب لابن سيرين
- [ رقم هاتف ] عيادة د. حازم ابو النصر - 20 ش عبد العزيز جاويش عابدين بالقاهرة
- انا بنت عندي 13 سنة لسة مجتليش الدورة الشهرية ......كنت ببات عند خالتي وكل ما
- هل تمرير الإصبع بشكل أفقي على فتحة المهبل يؤدي إلى فض غشاء البكارة؟
- [رقم هاتف] شركة الحراسة و التوظيف و التنظيف.. المغرب
- قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي
- ذا إكس فاكتور آرابيا فكرة البرنامج
- السلام عليكم ، أنا مشكلتي بصراحة الجنس من الخلف مع زوجي الأن صار ويحب حيل
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟
- لالة لعروسة (برنامج) الفائزون
- أنا حامل في الشهر الرابع وينزل مني دم .. هل هذا طبيعي؟
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها
- هل إدخال إصبع الزوج في مهبل الزوجة له أضرار؟
- تفسير حلم اصلاح الطريق في المنام
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة
- إيمان ظاظا حياتها ومشوارها المهني
- أهمية وضرورة إزالة الخيط الأسود من ظهر الجمبري
- اسماء فيس بنات مزخرفة | القاب بنات مزخرفه
- لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة
- تفسير رؤية المشاهير في المنام لابن سيرين
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن حرب 6 اكتوبر 1973 بالصور pdf doc -
- فوائد عشبة الفلية و الكمية المناسبة يوميا
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] شركة الرفق بالحيوان و الطبيعة.. المغرب
- كلمات - انت روحي - حمود السمه
- أعاني من لحمة زائدة في الدبر ، فلدي قطعة لحمية صغيرة في فتحة الشرج من الخارج
- ما الفرق بين الغشاء السليم وغير السليم؟
- تفسير حلم رؤية الإصابة بالرصاص في الكتف بالمنام
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟
- عمر فروخ
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة?
- إدمان الزوج للمواقع الإباحية: المشكلة والأسباب والعلاج
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء.
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام
- تظهر عندي حبوب في البظر والشفرتين بين حين وآخر.. هل لها مضاعفات، وما علاجها؟
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- الكرة الحديدية قواعد اللعبة
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن اللغة العربية والكفايات اللغويه -
- تفسير حلم رؤية الكنز فى المنام لابن سيرين
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟
روابط تهمك
مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع [ تعرٌف على ] تمثيل المتجهات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 10/11/2023
[ تعرٌف على ] تمثيل المتجهات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27
آخر تحديث منذ 5 شهر و 18 يوم
1 مشاهدة
تم النشر اليوم 2024-04-27 | تمثيل المتجهات
مستطيل
متوازي المستطيلات
المتجه المستطيل rectangular vector هو متجه إحداثيات تحدده المكونات التي تحدد مستطيلاً (أو متوازي مستطيلات في ثلاثي الأبعاد، وأشكال مماثلة للأبعاد الأكبر). تقع نقطة البداية ونقطة النهائية للمتجه على طرفين متقابلين للمستطيل (أو متوازي المستطيلات، إلخ.). تمثيله بمجموعة مرتبة
يمكن تحديد المتجه المستطيل في الفضاء R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} باستخدام مجموعة مرتبة من المكونات، محاطة إما بأقواس أو أقواس زاوية. بشكل عام، يمكن تمثيل متجه v ذي أبعاد n أو n-dimensional بأي من الأشكال التالية:
v =
( v 1
, v 2
,
…
, v n
−
1
, v n
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n-1},v_{n})} v =
⟨ v 1
, v 2
,
…
, v n
−
1
, v n
⟩
{\displaystyle \mathbf {v} =\langle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n-1},v_{n}\rangle }
حيث v1، v2، …، vn-1، vn هي مكونات (مُركبات) المتجه v. تمثيله بالمصفوفة
يمكن تمثيل متجه مستطيل في R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} أيضًا كصف أو مصفوفة عمود، تحتوي على مجموعة المكونات المرتبة. يُعرف المتجه المحدد كـ "مصفوفة صف" باسم متجه الصف row vector؛ ويُعرَّف المتجه المحدد كـ "مصفوفة عمود" باسم متجه العمود column vector. مرة أخرى، المتجه
v {\displaystyle \mathbf {v} } ذي الأبعاد n يمكن تمثيله بأي من الأشكال التالية باستخدام المصفوفات:
v =
[
v 1 v 2
⋯ v n
−
1 v n ]
=
(
v 1 v 2
⋯ v n
−
1 v n )
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n-1}&v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n-1}&v_{n}\end{pmatrix}}} v =
[
v 1 v 2
⋮ v n
−
1 v n ]
=
(
v 1 v 2
⋮ v n
−
1 v n )
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{pmatrix}}}
حيث v1، v2، …، vn-1، vn هي مكونات v. في بعض السياقات المتقدمة، يكون لمتجه الصف والعمود معنى مختلف ؛ انظر التباين في المتجهات covariance and contravariance of vectorsللمزيد من المعلومات. تمثيل متجه الوحدة
المتجه في R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} (ثلاثي الأبعاد) (أو أبعاد أقل، مثل R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} عندما vz أدناه هي صفر) يمكن تمثيله كمجموع المضاعفات العددية لمكونات متجهات الوحدة الأساسية القياسية في R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} . تُمثل متجهات الوحدة كالتالي:
ı
^ =
(
1
,
0
,
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\imath }}}=(1,0,0)} و
ȷ
^ =
(
0
,
1
,
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}=(0,1,0)} ، و
k
^ =
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {k}}}=(0,0,1)} . المتجه ثلاثي الأبعاد
v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} يمكن تمثيله بالشكل التالي، باستخدام تمثيل متجه الوحدة:
v = v x ı
^ + v y ȷ
^ + v z k
^ {\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+v_{y}{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+v_{z}{\boldsymbol {\hat {k}}}} حيث vx وvy وvz هي المكونات العددية لـ v. قد تكون المكونات العددية موجبة أو سلبية ؛ القيمة المطلقة للمكوِّن القياسي هي مقدارها.
الإحداثيات الكروية (r، θ، φ) كما تُستخدم غالبًا في الرياضيات: المسافة الشعاعية r، الزاوية السمتيّة θ، وزاوية الذروة φ. جرى تبديل معاني θ و φ مقارنة بالشائع في الفيزياء.
المتجه الكروي هو طريقة أخرى لتوسيع مفهوم المتجهات القطبية إلى ثلاثة أبعاد. إنه أقرب إلى سهم في نظام الإحداثيات الكروية. يمكن تمثيل المتجه الكروي بالمقدار وزاوية السمت azimuth وزاوية الذروة zenith. عادة ما يُرمز للمقدار بـ ρ. يُرمز لزاوية السمت azimuth عادة بـ θ، وتقاس في اتجاه عكس عقارب الساعة مع الاتجاه الموجب لمحور x. زاوية الذروة zenith، يُرمز لها بالرمز φ، وهي الزاوية مع الاتجاه الموجب لمحور z. التمثيل بمجموعة مرتبة أوبالمصفوفة
يمكن تمثيل المتجهات الكروية مثل المتجهات القطبية، حيث يُضاف مكون ثالث يمثل زاوية الذروة zenith لتشكيل مجموعة مرتبة، أو تستخدم مصفوفات ثلاثية. يمكن أن تكون الزوايامسبوقة برمز الزاوية ( ∠
{\displaystyle \angle } ). يمكن تمثيل المتجه الكروي ثلاثي الأبعاد v على بأي مما يلي، باستخدام إما مجموعة ثلاثية مرتبة أو مصفوفة:
v =
(
ρ
,
∠
θ
,
∠
ϕ
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(\rho ,\angle \theta ,\angle \phi )} v =
⟨
ρ
,
∠
θ
,
∠
ϕ
⟩
{\displaystyle \mathbf {v} =\langle \rho ,\angle \theta ,\angle \phi \rangle } v =
[ ρ
∠
θ
∠
ϕ ]
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\rho &\angle \theta &\angle \phi \end{bmatrix}}} v =
[ ρ
∠
θ
∠
ϕ ]
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\rho \\\angle \theta \\\angle \phi \end{bmatrix}}}
حيث ρ هي المقدار، و θ هي زاوية السمت azimuth، وφ هي زاوية الذروة zenith. التمثيل المباشر
مثل المتجهات القطبية والأسطوانية، يمكن تمثيل المتجهات الكروية باستخدام معادلات مستقلة مبسطة، في هذه الحالة لـ ρ وθ و φ. متجه ثلاثي الأبعاد مقداره 5 وحدات، وزاوية سمته π/9 دائري (أي 20° درجة)، وزاوية ذروة π/4 دائري (أي 45° درجة) يمكن تمثيله على النحو التالي: ρ
=
5
,
θ
=
π
9
,
ϕ
=
π
4
{\displaystyle \rho =5,\ \theta ={\pi \over 9},\ \phi ={\pi \over 4}}
ρ
=
5
,
θ
= 20 ∘
,
ϕ
= 45 ∘
{\displaystyle \rho =5,\ \theta =20^{\circ },\ \phi =45^{\circ }}
طالع Del وNabla symbol
يُستخدم تمثيل المتجه في حساب التفاضل والتكامل من خلال العامل Nabla على الصورة:
i ∂ ∂
x + j ∂ ∂
y + k ∂ ∂
z {\displaystyle \mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}} للدالة العددية f، يُكتب التدرج تدرج (رياضيات) على هيئة ∇
f ,
{\displaystyle \nabla f\,,} أما بالنسبة للمتجه F، يُكتب التباعد تباعدعلى هيئة ∇
⋅
F
,
{\displaystyle \nabla \cdot F,} وللمتجه، يُكتب الدوران دوران (متجهات) على هيئة ∇
×
F
.
{\displaystyle \nabla \times F.}
النقاط في نظام الإحداثيات القطبية حيث القطب O والمحور القطبي L. باللون الأخضر، النقطة ذات الإحداثيات الشعاعية 3 والإحداثيات الزاوية 60 درجة، أو (3،60). باللون الأزرق النقطة (4،210).
يمكن اعتبار الإحداثيين القطبيين لنقطة في المستوى متجهًا ثنائي الأبعاد. يتكون هذا المتجه القطبي من مقدار (أو طول) واتجاه (أو زاوية). المقدار، الذي يُمثل عادةً كـ r، هو المسافة من نقطة البداية، الأصل، إلى النقطة التي يجري تمثيلها. أما الزاوية، التي تُمثل عادةً كـ θ (الحرف اليوناني ثيتا)، هي الزاوية، وعادةً ما تُقاس في اتجاه عكس عقارب الساعة، بين اتجاه ثابت، عادةً اتجاه المحور x الموجب، والاتجاه من نقطة الأصل إلى النقطة. عادة ما تُستخدم الزاوية داخل النطاق 0
≤
θ
<
2
π
{\displaystyle 0\leq \theta <2\pi } بالتقدير الدائري أو ما يقابل 0
≤
θ
< 360 ∘
{\displaystyle 0\leq \theta <360^{\circ }} بالتقدير الستيني. يجب التأكيد على أن المتجه القطبي ليس متجهًا حقًا، حيث لم يُعرَّف إضافة متجهين قطبين. التمثيل بمجموعة مرتبة أو بالمصفوفة
يمكن تمثيل المتجهات القطبية باستخدام إما الزوج المرتب (مجموعة فرعية من تمثيل المجموعة المرتبة باستخدام مكونين فقط)، أو تمثيل المصفوفة، كما هو الحال مع المتجهات المستطيلة. في هذه الأشكال، المكون الأول للمتجه هو r (بدلاً من v1)، والمكون الثاني هو θ (بدلاً من v2). للتمييز بين المتجهات القطبية والمتجهات المستطيلة، يمكن أن تكون الزاوية مسبوقة برمز الزاوية، ∠
{\displaystyle \angle } . يمكن تمثيل المتجه القطبي ثنائي الأبعاد v على أنه أي مما يلي، باستخدام إما الزوج المرتب أو المصفوفة:
v =
(
r
,
∠
θ
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(r,\angle \theta )} v =
⟨
r
,
∠
θ
⟩
{\displaystyle \mathbf {v} =\langle r,\angle \theta \rangle } v =
[ r
∠
θ ]
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r&\angle \theta \end{bmatrix}}} v =
[ r
∠
θ ]
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r\\\angle \theta \end{bmatrix}}}
حيث r هو المقدار، وθ هي الزاوية، ورمز الزاوية ( ∠
{\displaystyle \angle } ) هو اختياري. التمثيل المباشر
يمكن أيضًا تحديد المتجهات القطبية باستخدام معادلات مستقلة مبسطة تحدد r وθ بشكل صريح. قد يكون هذا غير عملي، ولكنه مفيد لتجنب الالتباس مع المتجهات المستطيلة ثنائية الأبعاد التي تنشأ عن استخدام تمثيل الزوج المرتب أو المصفوفة. يمكن تحديد متجه ثنائي الأبعاد طوله 5 وحدات واتجاهه π/9 دائري (أي 20° درجة) باستخدام أي من الأشكال التالية: r
=
5
,
θ
=
π
9
{\displaystyle r=5,\ \theta ={\pi \over 9}}
r
=
5
,
θ
= 20 ∘
{\displaystyle r=5,\ \theta =20^{\circ }}
في أي فضاء متجهي، يمكن تعريف عمليات الجمع المتجه والضرب القياسي. يحدد الفضاء المتجهي المعياري أيضًا عملية تُعرف باسم المعيار (أو تحديد المقدار). يُعرِّف فضاء الضرب الداخلي أيضًا عملية تُعرف باسم الضرب الداخلي. في R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} and R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}} ، يُعرف الضرب الداخلي باسم الضرب القياسي. في R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} و R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}} ، يتم أيضًا تعريف عملية إضافية تُعرف باسم الضرب الاتجاهي. جمع المتجهات
يجري تمثيل جمع المتجهات بعلامة الجمع المستخدمة كعامل بين متجهين. تمثيل مجموع المتجهين u وv يُكتب على النحو التالي:
u + v {\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} } ضرب متجه في قيمة عددية
يتم تمثيل الضرب العددي Scalar multiplicationبنفس طرق الضرب الجبري. يشير العدد القياسي الموجود بجانب المتجه (قد يكون أحدهما أو كلاهما بين قوسين). يمكن تمثيل حاصل ضرب العدد k مع المتجه v بأي من الأشكال التالية: k v {\displaystyle k\mathbf {v} }
k
⋅ v {\displaystyle k\cdot \mathbf {v} }
طرح المتجهات والقسمة على عدد
باستخدام الخصائص الجبرية للطرح والقسمة، جنبًا إلى جنب مع الضرب في عدد، من الممكن أيضًا تمثيل "طرح" متجهين و"قسمة" متجه على عدد. يُجرى طرح المتجهات عن طريق ضرب المتجه الثاني بالقيمة -1 ثم جمع الناتج إلى المتجه الأول. يمكن تمثيل ذلك باستخدام علامة الطرح كمعامل. يمكن تمثيل الفرق بين المتجهين u وv بأي من الأشكال التالية:
u +
− v {\displaystyle \mathbf {u} +-\mathbf {v} } u − v {\displaystyle \mathbf {u} -\mathbf {v} }
تُجرى القسمة على عدد بضرب المتجه في المعكوس الضربي للعدد. يمكن تمثيل ذلك باستخدام علامة الكسر أو علامات القسمة. يمكن تمثيل حاصل قسمة المتجه v على العدد c بأي من الأشكال التالية: 1
c v {\displaystyle {1 \over c}\mathbf {v} } v c
{\displaystyle {\mathbf {v} \over c}}
v ÷
c {\displaystyle {\mathbf {v} \div c}}
المعيار
يُرمز لمعيار المتجه بأشرطة مزدوجة على جانبي المتجه. فمعيار المتجه v يُكتب على النحو التالي: ‖ v ‖
{\displaystyle \|\mathbf {v} \|} يُمثل المعيار أيضًا في بعض الأحيان بأشرطة مفردة، مثل
|
v
| {\displaystyle |\mathbf {v} |} ، ولكن يمكن الخلط بين هذا وبين القيمة المطلقة (وهو نوع من المعايير). الضرب القياسي Inner product
يُمثل الضرب القياسي scalar product لمتجهين (يُعرف أيضًا باسم الضرب الداخلي فضاء الجداء الداخلي، ويجب عدم الخلط بينه وبين الضرب في عدد) كزوج مرتب محاط بأقواس زاوية. سيتم تمثيل الضرب القياسي لمتجهين u وv على النحو التالي: ⟨ u , v ⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle } الضرب القياسي Dot product
في R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ، يُعرف الضرب القياسي باسم Dot product. يمكن تمثيل حاصل الضرب القياسي لمتجهين u وv على النحو التالي:
u ⋅ v {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} } الضرب الاتجاهي
حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين (في R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ) يمكن تمثيله باستخدام علامة الضرب x. فيكون حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين u وv على النحو التالي:
u × v {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} } وأحيانًا يُرمز له برمز الإسفين، على الصورة:
u ∧ v {\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} } وفي بعض الكتابات القديمة، يستخدم الرميز التالي لحاصل الضرب الاتجاهي بين u وv: [ u , v ]
{\displaystyle [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]}
في عام 1835 قدم جوستو بيلافيتيس فكرة القطعة المستقيمة الموجهة المكافئة Equipollence مثل A
B
≏
C
D
{\displaystyle AB\bumpeq CD} مما أدى إلى مفهوم المتجه كفئة تكافؤ لهذه القطعة المستقيمة الموجهة. صاغ وليم روان هاملتون مصطلح المتجه vector حوالي عام 1843، حيث كشف عن نظام رباعي الأبعاد، وهو نظام يستخدم المتجهات والقياسات لتمتد إلى فضاء رباعي الأبعاد. بالنسبة للربع q = a + b i + c j + d k، استخدم هاملتون إسقاطين: S q = a، للجزء القياسي من q، وV q = b i + c j + d k، للجزء المتجه منه. باستخدام المصطلحات الحديثة حاصل الضرب الاتجاهي (×) وحاصل الضرب القياسي (.)، يمكن كتابة حاصل الضرب الرباعي quaternion product لمتجهين p وq على الصورة pq = –p.q + p×q. في عام 1878، استخدم ويليام كليفورد الضربين الاتجاهي والقياسي لجعل العملية الرباعية مفيدة للطلاب في كتابه المدرسي Elements of Dynamic. قدم جوزيه جيبس محاضرة في جامعة ييل تمثيلًا للضرب القياسي والضرب الاتجاهي، والتي استُخدمت في تحليل المتجهات Vector Analysis. في عام 1891، ذكر أوليفر هيفيسايد في كلاريندون Clarendon (typeface) لتمييز المتجهات vector عن الكميات القياسية scalar. وانتقد استخدام الحروف اليونانية من قِبل تايت Tait والرسائل القوطية Gothic letters من قِبل ماكسويل. في عام 1912، ساهم جيه بي شو J.B. Shaw "تمثيل مقارن للتعبير عن المتجهات" في نشرة جمعية كواترنيون. بعد ذلك، وصف الكسندر ماكفارلين 15 معيارًا للتعبير الواضح باستخدام المتجهات في نفس المنشور. قدم هيرمان غراسمان Hermann Grassmann أفكار المتجهات في عام 1841، ومرة أخرى في عام 1862 باللغة الألمانية. لكن علماء الرياضيات الألمان لم يؤخذوا بالرباعيات بقدر ما كان علماء الرياضيات الناطقون بالإنجليزية. عندما كان فيليكس كلاين ينظم الموسوعة الرياضية الألمانية، كلف أرنولد سومرفيلد بتوحيد تمثيل المتجه. في عام 1950 ، عندما نشرت Academic Press ترجمة G. Kuerti للإصدار الثاني من المجلد الثاني لكتاب Lectures on Theoretical Physics من تأليف Sommerfeld، كان تمثيل المتجه موضوع حاشية سفلية: "في النص الألماني الأصلي، طُبعت المتجهات ومكوناتها بنفس اللغة القوطية. جرى اعتماد الطريقة الأكثر شيوعًا للتمييز المطبعي بين الاثنين لهذه الترجمة."
نظام إحداثيات أسطواني، نقطة الأصل O والمحور القطبي A والمحور الطولي L. النقطة هي النقطة ذات المسافة الشعاعية ρ=4، والزاوية φ=130° درجة والارتفاع z=4.
المتجه الأسطواني هو توسيع لمفهوم المتجهات القطبية إلى ثلاثة أبعاد. إنه أقرب إلى سهم في نظام الإحداثيات الأسطواني. يُحدد المتجه الأسطواني من خلال المسافة في المستوى xy، والزاوية، والمسافة إلى المستوى xy (الارتفاع). المسافة الأولى، عادةً ما ييُرمز لها بـ r أو ρ (الحرف اليوناني rho)، وهي مقدار إسقاط المتجه على المستوى xy. تُقاس الزاوية، التي يُرمز لها بالرمز θ أو φ (الحرف اليوناني phi)، على أنها الزاوية مع الخط الموازي للاتجاه الموجب من محور x؛ عادة ما يجري تقليل الزاوية لتقع داخل النطاق 0
≤
θ
<
2
π
{\displaystyle 0\leq \theta <2\pi } . المسافة الثانية، عادةً ما يرمز لها بـ h أو z، هي المسافة العمودية من المستوى xy إلى نقطة نهاية المتجه. التمثيل بمجموعة مرتبة أو بالمصفوفة
تُمثل المتجهات الأسطوانية مثل المتجهات القطبية، حيث يُضاف مكون المسافة الثاني كمكون ثالث لتشكيل مجموعة مرتبة من ثلاث عناصر. يمكن أن تكون الزاوية مسبوقة برمز الزاوية ( ∠
{\displaystyle \angle } ) ؛ يميز تركيبة "مسافة - زاوية - مسافة" المتجهات الأسطوانية في هذا التمثيل عن المتجهات الكروية في تمثيل مماثل. يمكن تمثيل المتجه الأسطواني ثلاثي الأبعاد v على أنه أي مما يلي، باستخدام إما تمثيل ثلاثي مرتب أو مصفوفة:
v =
(
r
,
∠
θ
,
h
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(r,\angle \theta ,h)} v =
⟨
r
,
∠
θ
,
h
⟩
{\displaystyle \mathbf {v} =\langle r,\angle \theta ,h\rangle } v =
[ r
∠
θ
h ]
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r&\angle \theta &h\end{bmatrix}}} v =
[ r
∠
θ
h ]
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r\\\angle \theta \\h\end{bmatrix}}}
حيث r هو مقدار إسقاط v على المستوى xy، و θ هي الزاوية بين الجزء الموجب من محور x وv، وh هي الارتفاع من المستوى xy إلى نقطة نهاية v. مرة أخرى، رمز الزاوية ( ∠
{\displaystyle \angle } ) هو اختياري. التمثيل المباشر
يمكن أيضًا تمثيل متجه أسطواني بشكل مباشر، باستخدام معادلات مستقلة مبسطة تحدد r (أو ρ) وθ (أو φ) وh (أو z). يجب استخدام الاتساق عند اختيار الأسماء المراد استخدامها للمتغيرات ؛ ρ لا يخلط مع θ وهكذا. المتجه ثلاثي الأبعاد، مقدار إسقاطه على المستوى xy هو 5 وحدات، وزاويته من المحور x الموجب هي π/9 دائري (أي 20° درجة)، وارتفاعه من المستوى xy هو 3 وحدات. يمكن تمثيله بأي من الأشكال التالية: r
=
5
,
θ
=
π
9
,
h
=
3
{\displaystyle r=5,\ \theta ={\pi \over 9},\ h=3}
r
=
5
,
θ
= 20 ∘
,
h
=
3
{\displaystyle r=5,\ \theta =20^{\circ },\ h=3}
ρ
=
5
,
ϕ
=
π
9
,
z
=
3
{\displaystyle \rho =5,\ \phi ={\pi \over 9},\ z=3}
ρ
=
5
,
ϕ
= 20 ∘
,
z
=
3
{\displaystyle \rho =5,\ \phi =20^{\circ },\ z=3}
في الرياضيات والفيزياء، تمثيل المتجهات vector notation هو تدوين رياضي شائع الاستخدام لتمثيل المتجهات، [1][2] والتي قد تكون متجهات إقليدية، أو بشكل عام، عناصر في فضاء متجهي.
متجهات مستطيلة
مستطيل
متوازي المستطيلات
المتجه المستطيل rectangular vector هو متجه إحداثيات تحدده المكونات التي تحدد مستطيلاً (أو متوازي مستطيلات في ثلاثي الأبعاد، وأشكال مماثلة للأبعاد الأكبر). تقع نقطة البداية ونقطة النهائية للمتجه على طرفين متقابلين للمستطيل (أو متوازي المستطيلات، إلخ.). تمثيله بمجموعة مرتبة
يمكن تحديد المتجه المستطيل في الفضاء R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} باستخدام مجموعة مرتبة من المكونات، محاطة إما بأقواس أو أقواس زاوية. بشكل عام، يمكن تمثيل متجه v ذي أبعاد n أو n-dimensional بأي من الأشكال التالية:
v =
( v 1
, v 2
,
…
, v n
−
1
, v n
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n-1},v_{n})} v =
⟨ v 1
, v 2
,
…
, v n
−
1
, v n
⟩
{\displaystyle \mathbf {v} =\langle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n-1},v_{n}\rangle }
حيث v1، v2، …، vn-1، vn هي مكونات (مُركبات) المتجه v. تمثيله بالمصفوفة
يمكن تمثيل متجه مستطيل في R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} أيضًا كصف أو مصفوفة عمود، تحتوي على مجموعة المكونات المرتبة. يُعرف المتجه المحدد كـ "مصفوفة صف" باسم متجه الصف row vector؛ ويُعرَّف المتجه المحدد كـ "مصفوفة عمود" باسم متجه العمود column vector. مرة أخرى، المتجه
v {\displaystyle \mathbf {v} } ذي الأبعاد n يمكن تمثيله بأي من الأشكال التالية باستخدام المصفوفات:
v =
[
v 1 v 2
⋯ v n
−
1 v n ]
=
(
v 1 v 2
⋯ v n
−
1 v n )
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n-1}&v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n-1}&v_{n}\end{pmatrix}}} v =
[
v 1 v 2
⋮ v n
−
1 v n ]
=
(
v 1 v 2
⋮ v n
−
1 v n )
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\v_{n}\end{pmatrix}}}
حيث v1، v2، …، vn-1، vn هي مكونات v. في بعض السياقات المتقدمة، يكون لمتجه الصف والعمود معنى مختلف ؛ انظر التباين في المتجهات covariance and contravariance of vectorsللمزيد من المعلومات. تمثيل متجه الوحدة
المتجه في R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} (ثلاثي الأبعاد) (أو أبعاد أقل، مثل R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} عندما vz أدناه هي صفر) يمكن تمثيله كمجموع المضاعفات العددية لمكونات متجهات الوحدة الأساسية القياسية في R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} . تُمثل متجهات الوحدة كالتالي:
ı
^ =
(
1
,
0
,
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\imath }}}=(1,0,0)} و
ȷ
^ =
(
0
,
1
,
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}=(0,1,0)} ، و
k
^ =
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {k}}}=(0,0,1)} . المتجه ثلاثي الأبعاد
v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} يمكن تمثيله بالشكل التالي، باستخدام تمثيل متجه الوحدة:
v = v x ı
^ + v y ȷ
^ + v z k
^ {\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+v_{y}{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+v_{z}{\boldsymbol {\hat {k}}}} حيث vx وvy وvz هي المكونات العددية لـ v. قد تكون المكونات العددية موجبة أو سلبية ؛ القيمة المطلقة للمكوِّن القياسي هي مقدارها.
المتجهات الكروية
الإحداثيات الكروية (r، θ، φ) كما تُستخدم غالبًا في الرياضيات: المسافة الشعاعية r، الزاوية السمتيّة θ، وزاوية الذروة φ. جرى تبديل معاني θ و φ مقارنة بالشائع في الفيزياء.
المتجه الكروي هو طريقة أخرى لتوسيع مفهوم المتجهات القطبية إلى ثلاثة أبعاد. إنه أقرب إلى سهم في نظام الإحداثيات الكروية. يمكن تمثيل المتجه الكروي بالمقدار وزاوية السمت azimuth وزاوية الذروة zenith. عادة ما يُرمز للمقدار بـ ρ. يُرمز لزاوية السمت azimuth عادة بـ θ، وتقاس في اتجاه عكس عقارب الساعة مع الاتجاه الموجب لمحور x. زاوية الذروة zenith، يُرمز لها بالرمز φ، وهي الزاوية مع الاتجاه الموجب لمحور z. التمثيل بمجموعة مرتبة أوبالمصفوفة
يمكن تمثيل المتجهات الكروية مثل المتجهات القطبية، حيث يُضاف مكون ثالث يمثل زاوية الذروة zenith لتشكيل مجموعة مرتبة، أو تستخدم مصفوفات ثلاثية. يمكن أن تكون الزوايامسبوقة برمز الزاوية ( ∠
{\displaystyle \angle } ). يمكن تمثيل المتجه الكروي ثلاثي الأبعاد v على بأي مما يلي، باستخدام إما مجموعة ثلاثية مرتبة أو مصفوفة:
v =
(
ρ
,
∠
θ
,
∠
ϕ
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(\rho ,\angle \theta ,\angle \phi )} v =
⟨
ρ
,
∠
θ
,
∠
ϕ
⟩
{\displaystyle \mathbf {v} =\langle \rho ,\angle \theta ,\angle \phi \rangle } v =
[ ρ
∠
θ
∠
ϕ ]
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\rho &\angle \theta &\angle \phi \end{bmatrix}}} v =
[ ρ
∠
θ
∠
ϕ ]
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\rho \\\angle \theta \\\angle \phi \end{bmatrix}}}
حيث ρ هي المقدار، و θ هي زاوية السمت azimuth، وφ هي زاوية الذروة zenith. التمثيل المباشر
مثل المتجهات القطبية والأسطوانية، يمكن تمثيل المتجهات الكروية باستخدام معادلات مستقلة مبسطة، في هذه الحالة لـ ρ وθ و φ. متجه ثلاثي الأبعاد مقداره 5 وحدات، وزاوية سمته π/9 دائري (أي 20° درجة)، وزاوية ذروة π/4 دائري (أي 45° درجة) يمكن تمثيله على النحو التالي: ρ
=
5
,
θ
=
π
9
,
ϕ
=
π
4
{\displaystyle \rho =5,\ \theta ={\pi \over 9},\ \phi ={\pi \over 4}}
ρ
=
5
,
θ
= 20 ∘
,
ϕ
= 45 ∘
{\displaystyle \rho =5,\ \theta =20^{\circ },\ \phi =45^{\circ }}
نابلا Nabla
طالع Del وNabla symbol
يُستخدم تمثيل المتجه في حساب التفاضل والتكامل من خلال العامل Nabla على الصورة:
i ∂ ∂
x + j ∂ ∂
y + k ∂ ∂
z {\displaystyle \mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}} للدالة العددية f، يُكتب التدرج تدرج (رياضيات) على هيئة ∇
f ,
{\displaystyle \nabla f\,,} أما بالنسبة للمتجه F، يُكتب التباعد تباعدعلى هيئة ∇
⋅
F
,
{\displaystyle \nabla \cdot F,} وللمتجه، يُكتب الدوران دوران (متجهات) على هيئة ∇
×
F
.
{\displaystyle \nabla \times F.}
المتجهات القطبية
النقاط في نظام الإحداثيات القطبية حيث القطب O والمحور القطبي L. باللون الأخضر، النقطة ذات الإحداثيات الشعاعية 3 والإحداثيات الزاوية 60 درجة، أو (3،60). باللون الأزرق النقطة (4،210).
يمكن اعتبار الإحداثيين القطبيين لنقطة في المستوى متجهًا ثنائي الأبعاد. يتكون هذا المتجه القطبي من مقدار (أو طول) واتجاه (أو زاوية). المقدار، الذي يُمثل عادةً كـ r، هو المسافة من نقطة البداية، الأصل، إلى النقطة التي يجري تمثيلها. أما الزاوية، التي تُمثل عادةً كـ θ (الحرف اليوناني ثيتا)، هي الزاوية، وعادةً ما تُقاس في اتجاه عكس عقارب الساعة، بين اتجاه ثابت، عادةً اتجاه المحور x الموجب، والاتجاه من نقطة الأصل إلى النقطة. عادة ما تُستخدم الزاوية داخل النطاق 0
≤
θ
<
2
π
{\displaystyle 0\leq \theta <2\pi } بالتقدير الدائري أو ما يقابل 0
≤
θ
< 360 ∘
{\displaystyle 0\leq \theta <360^{\circ }} بالتقدير الستيني. يجب التأكيد على أن المتجه القطبي ليس متجهًا حقًا، حيث لم يُعرَّف إضافة متجهين قطبين. التمثيل بمجموعة مرتبة أو بالمصفوفة
يمكن تمثيل المتجهات القطبية باستخدام إما الزوج المرتب (مجموعة فرعية من تمثيل المجموعة المرتبة باستخدام مكونين فقط)، أو تمثيل المصفوفة، كما هو الحال مع المتجهات المستطيلة. في هذه الأشكال، المكون الأول للمتجه هو r (بدلاً من v1)، والمكون الثاني هو θ (بدلاً من v2). للتمييز بين المتجهات القطبية والمتجهات المستطيلة، يمكن أن تكون الزاوية مسبوقة برمز الزاوية، ∠
{\displaystyle \angle } . يمكن تمثيل المتجه القطبي ثنائي الأبعاد v على أنه أي مما يلي، باستخدام إما الزوج المرتب أو المصفوفة:
v =
(
r
,
∠
θ
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(r,\angle \theta )} v =
⟨
r
,
∠
θ
⟩
{\displaystyle \mathbf {v} =\langle r,\angle \theta \rangle } v =
[ r
∠
θ ]
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r&\angle \theta \end{bmatrix}}} v =
[ r
∠
θ ]
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r\\\angle \theta \end{bmatrix}}}
حيث r هو المقدار، وθ هي الزاوية، ورمز الزاوية ( ∠
{\displaystyle \angle } ) هو اختياري. التمثيل المباشر
يمكن أيضًا تحديد المتجهات القطبية باستخدام معادلات مستقلة مبسطة تحدد r وθ بشكل صريح. قد يكون هذا غير عملي، ولكنه مفيد لتجنب الالتباس مع المتجهات المستطيلة ثنائية الأبعاد التي تنشأ عن استخدام تمثيل الزوج المرتب أو المصفوفة. يمكن تحديد متجه ثنائي الأبعاد طوله 5 وحدات واتجاهه π/9 دائري (أي 20° درجة) باستخدام أي من الأشكال التالية: r
=
5
,
θ
=
π
9
{\displaystyle r=5,\ \theta ={\pi \over 9}}
r
=
5
,
θ
= 20 ∘
{\displaystyle r=5,\ \theta =20^{\circ }}
العمليات على المتجهات
في أي فضاء متجهي، يمكن تعريف عمليات الجمع المتجه والضرب القياسي. يحدد الفضاء المتجهي المعياري أيضًا عملية تُعرف باسم المعيار (أو تحديد المقدار). يُعرِّف فضاء الضرب الداخلي أيضًا عملية تُعرف باسم الضرب الداخلي. في R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} and R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}} ، يُعرف الضرب الداخلي باسم الضرب القياسي. في R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} و R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{7}} ، يتم أيضًا تعريف عملية إضافية تُعرف باسم الضرب الاتجاهي. جمع المتجهات
يجري تمثيل جمع المتجهات بعلامة الجمع المستخدمة كعامل بين متجهين. تمثيل مجموع المتجهين u وv يُكتب على النحو التالي:
u + v {\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} } ضرب متجه في قيمة عددية
يتم تمثيل الضرب العددي Scalar multiplicationبنفس طرق الضرب الجبري. يشير العدد القياسي الموجود بجانب المتجه (قد يكون أحدهما أو كلاهما بين قوسين). يمكن تمثيل حاصل ضرب العدد k مع المتجه v بأي من الأشكال التالية: k v {\displaystyle k\mathbf {v} }
k
⋅ v {\displaystyle k\cdot \mathbf {v} }
طرح المتجهات والقسمة على عدد
باستخدام الخصائص الجبرية للطرح والقسمة، جنبًا إلى جنب مع الضرب في عدد، من الممكن أيضًا تمثيل "طرح" متجهين و"قسمة" متجه على عدد. يُجرى طرح المتجهات عن طريق ضرب المتجه الثاني بالقيمة -1 ثم جمع الناتج إلى المتجه الأول. يمكن تمثيل ذلك باستخدام علامة الطرح كمعامل. يمكن تمثيل الفرق بين المتجهين u وv بأي من الأشكال التالية:
u +
− v {\displaystyle \mathbf {u} +-\mathbf {v} } u − v {\displaystyle \mathbf {u} -\mathbf {v} }
تُجرى القسمة على عدد بضرب المتجه في المعكوس الضربي للعدد. يمكن تمثيل ذلك باستخدام علامة الكسر أو علامات القسمة. يمكن تمثيل حاصل قسمة المتجه v على العدد c بأي من الأشكال التالية: 1
c v {\displaystyle {1 \over c}\mathbf {v} } v c
{\displaystyle {\mathbf {v} \over c}}
v ÷
c {\displaystyle {\mathbf {v} \div c}}
المعيار
يُرمز لمعيار المتجه بأشرطة مزدوجة على جانبي المتجه. فمعيار المتجه v يُكتب على النحو التالي: ‖ v ‖
{\displaystyle \|\mathbf {v} \|} يُمثل المعيار أيضًا في بعض الأحيان بأشرطة مفردة، مثل
|
v
| {\displaystyle |\mathbf {v} |} ، ولكن يمكن الخلط بين هذا وبين القيمة المطلقة (وهو نوع من المعايير). الضرب القياسي Inner product
يُمثل الضرب القياسي scalar product لمتجهين (يُعرف أيضًا باسم الضرب الداخلي فضاء الجداء الداخلي، ويجب عدم الخلط بينه وبين الضرب في عدد) كزوج مرتب محاط بأقواس زاوية. سيتم تمثيل الضرب القياسي لمتجهين u وv على النحو التالي: ⟨ u , v ⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle } الضرب القياسي Dot product
في R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ، يُعرف الضرب القياسي باسم Dot product. يمكن تمثيل حاصل الضرب القياسي لمتجهين u وv على النحو التالي:
u ⋅ v {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} } الضرب الاتجاهي
حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين (في R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ) يمكن تمثيله باستخدام علامة الضرب x. فيكون حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين u وv على النحو التالي:
u × v {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} } وأحيانًا يُرمز له برمز الإسفين، على الصورة:
u ∧ v {\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} } وفي بعض الكتابات القديمة، يستخدم الرميز التالي لحاصل الضرب الاتجاهي بين u وv: [ u , v ]
{\displaystyle [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]}
التاريخ
في عام 1835 قدم جوستو بيلافيتيس فكرة القطعة المستقيمة الموجهة المكافئة Equipollence مثل A
B
≏
C
D
{\displaystyle AB\bumpeq CD} مما أدى إلى مفهوم المتجه كفئة تكافؤ لهذه القطعة المستقيمة الموجهة. صاغ وليم روان هاملتون مصطلح المتجه vector حوالي عام 1843، حيث كشف عن نظام رباعي الأبعاد، وهو نظام يستخدم المتجهات والقياسات لتمتد إلى فضاء رباعي الأبعاد. بالنسبة للربع q = a + b i + c j + d k، استخدم هاملتون إسقاطين: S q = a، للجزء القياسي من q، وV q = b i + c j + d k، للجزء المتجه منه. باستخدام المصطلحات الحديثة حاصل الضرب الاتجاهي (×) وحاصل الضرب القياسي (.)، يمكن كتابة حاصل الضرب الرباعي quaternion product لمتجهين p وq على الصورة pq = –p.q + p×q. في عام 1878، استخدم ويليام كليفورد الضربين الاتجاهي والقياسي لجعل العملية الرباعية مفيدة للطلاب في كتابه المدرسي Elements of Dynamic. قدم جوزيه جيبس محاضرة في جامعة ييل تمثيلًا للضرب القياسي والضرب الاتجاهي، والتي استُخدمت في تحليل المتجهات Vector Analysis. في عام 1891، ذكر أوليفر هيفيسايد في كلاريندون Clarendon (typeface) لتمييز المتجهات vector عن الكميات القياسية scalar. وانتقد استخدام الحروف اليونانية من قِبل تايت Tait والرسائل القوطية Gothic letters من قِبل ماكسويل. في عام 1912، ساهم جيه بي شو J.B. Shaw "تمثيل مقارن للتعبير عن المتجهات" في نشرة جمعية كواترنيون. بعد ذلك، وصف الكسندر ماكفارلين 15 معيارًا للتعبير الواضح باستخدام المتجهات في نفس المنشور. قدم هيرمان غراسمان Hermann Grassmann أفكار المتجهات في عام 1841، ومرة أخرى في عام 1862 باللغة الألمانية. لكن علماء الرياضيات الألمان لم يؤخذوا بالرباعيات بقدر ما كان علماء الرياضيات الناطقون بالإنجليزية. عندما كان فيليكس كلاين ينظم الموسوعة الرياضية الألمانية، كلف أرنولد سومرفيلد بتوحيد تمثيل المتجه. في عام 1950 ، عندما نشرت Academic Press ترجمة G. Kuerti للإصدار الثاني من المجلد الثاني لكتاب Lectures on Theoretical Physics من تأليف Sommerfeld، كان تمثيل المتجه موضوع حاشية سفلية: "في النص الألماني الأصلي، طُبعت المتجهات ومكوناتها بنفس اللغة القوطية. جرى اعتماد الطريقة الأكثر شيوعًا للتمييز المطبعي بين الاثنين لهذه الترجمة."
متجهات أسطوانية
نظام إحداثيات أسطواني، نقطة الأصل O والمحور القطبي A والمحور الطولي L. النقطة هي النقطة ذات المسافة الشعاعية ρ=4، والزاوية φ=130° درجة والارتفاع z=4.
المتجه الأسطواني هو توسيع لمفهوم المتجهات القطبية إلى ثلاثة أبعاد. إنه أقرب إلى سهم في نظام الإحداثيات الأسطواني. يُحدد المتجه الأسطواني من خلال المسافة في المستوى xy، والزاوية، والمسافة إلى المستوى xy (الارتفاع). المسافة الأولى، عادةً ما ييُرمز لها بـ r أو ρ (الحرف اليوناني rho)، وهي مقدار إسقاط المتجه على المستوى xy. تُقاس الزاوية، التي يُرمز لها بالرمز θ أو φ (الحرف اليوناني phi)، على أنها الزاوية مع الخط الموازي للاتجاه الموجب من محور x؛ عادة ما يجري تقليل الزاوية لتقع داخل النطاق 0
≤
θ
<
2
π
{\displaystyle 0\leq \theta <2\pi } . المسافة الثانية، عادةً ما يرمز لها بـ h أو z، هي المسافة العمودية من المستوى xy إلى نقطة نهاية المتجه. التمثيل بمجموعة مرتبة أو بالمصفوفة
تُمثل المتجهات الأسطوانية مثل المتجهات القطبية، حيث يُضاف مكون المسافة الثاني كمكون ثالث لتشكيل مجموعة مرتبة من ثلاث عناصر. يمكن أن تكون الزاوية مسبوقة برمز الزاوية ( ∠
{\displaystyle \angle } ) ؛ يميز تركيبة "مسافة - زاوية - مسافة" المتجهات الأسطوانية في هذا التمثيل عن المتجهات الكروية في تمثيل مماثل. يمكن تمثيل المتجه الأسطواني ثلاثي الأبعاد v على أنه أي مما يلي، باستخدام إما تمثيل ثلاثي مرتب أو مصفوفة:
v =
(
r
,
∠
θ
,
h
)
{\displaystyle \mathbf {v} =(r,\angle \theta ,h)} v =
⟨
r
,
∠
θ
,
h
⟩
{\displaystyle \mathbf {v} =\langle r,\angle \theta ,h\rangle } v =
[ r
∠
θ
h ]
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r&\angle \theta &h\end{bmatrix}}} v =
[ r
∠
θ
h ]
{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}r\\\angle \theta \\h\end{bmatrix}}}
حيث r هو مقدار إسقاط v على المستوى xy، و θ هي الزاوية بين الجزء الموجب من محور x وv، وh هي الارتفاع من المستوى xy إلى نقطة نهاية v. مرة أخرى، رمز الزاوية ( ∠
{\displaystyle \angle } ) هو اختياري. التمثيل المباشر
يمكن أيضًا تمثيل متجه أسطواني بشكل مباشر، باستخدام معادلات مستقلة مبسطة تحدد r (أو ρ) وθ (أو φ) وh (أو z). يجب استخدام الاتساق عند اختيار الأسماء المراد استخدامها للمتغيرات ؛ ρ لا يخلط مع θ وهكذا. المتجه ثلاثي الأبعاد، مقدار إسقاطه على المستوى xy هو 5 وحدات، وزاويته من المحور x الموجب هي π/9 دائري (أي 20° درجة)، وارتفاعه من المستوى xy هو 3 وحدات. يمكن تمثيله بأي من الأشكال التالية: r
=
5
,
θ
=
π
9
,
h
=
3
{\displaystyle r=5,\ \theta ={\pi \over 9},\ h=3}
r
=
5
,
θ
= 20 ∘
,
h
=
3
{\displaystyle r=5,\ \theta =20^{\circ },\ h=3}
ρ
=
5
,
ϕ
=
π
9
,
z
=
3
{\displaystyle \rho =5,\ \phi ={\pi \over 9},\ z=3}
ρ
=
5
,
ϕ
= 20 ∘
,
z
=
3
{\displaystyle \rho =5,\ \phi =20^{\circ },\ z=3}
شرح مبسط
في الرياضيات والفيزياء، تمثيل المتجهات vector notation هو تدوين رياضي شائع الاستخدام لتمثيل المتجهات، [1][2] والتي قد تكون متجهات إقليدية، أو بشكل عام، عناصر في فضاء متجهي.
شاركنا رأيك
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع [ تعرٌف على ] تمثيل المتجهات # اخر تحديث اليوم 2024-04-27 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 10/11/2023
اعلانات العرب الآن