اليوم: الجمعة 19 ابريل 2024 , الساعة: 3:36 م
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
اخر المشاهدات
- [ مؤسسات البحرين ] كافتيريا الرونق ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تجارة الكمبيوتر و التجارة قطر ] بن سالم للكمبيوتر والتكنولوجيا # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] العلاقات الألبانية التركية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ اثاث منزلى السعودية ] دار الجوهرة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ صحة نفسية ] ما هي السعادة الحقيقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] بئر تهوية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ ملابس السعودية ] معرض المميز للملابس الجاهزة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] قائمة أغلى الرسومات الفنية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] عشاق المخفي للمقاولات الميكانكية ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- عروة القزويني حياته # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل الشارقة الامارات ] صالون اللمسات السحرية للحلاقة ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ حكمــــــة ] \"رب إني وهن العظم مني\" كل لحظة ضعف تمر بك في جسدك في مالك في نفسيتك هي ساعة استجابة أنت أقوى ما يكون ضعيفا # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] الشركة العامة لصناعة الأدوية والمستلزمات الطبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] متحف التراثي لوك ورثا # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] ابداع للانتاج والتوزيع الفني ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] جسم مضاد # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] الألعاب الأولمبية الصيفية 1996 # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ابراهيم صالح بن حمد الدريبي ... البكيريه ... منطقة القصيم # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ندى محمد دشن القحطاني ... ابها ... منطقة عسير # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- محل المنيع لبيع الاجهزة الكهربائية وها طريق مكه, جدة # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ مؤسسات البحرين ] غزلان الخطاب للتسويق ذ.م.م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مشاري طلق قشعان العتيبي ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- فوائد البسباس للجنس # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ دليل دبي الامارات ] فاكيشن باى شقة شاطئ نخلة جميرا ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ بنوك وصرافة الامارات ] البدر للصرافة فرع 13 ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] نجلا احمد بن حمد العرجي ... الدمام ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ البحث العلمي ] الصدق والثبات في البحث العلمي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] صالون الفيصل للحلاقه ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل الشارقة الامارات ] العاصى للملابس والمنتجات الجلديه ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ حكمــــــة ] عَن سلمة بن نبيط عَن الضحاك بن مزاحم في قول الله تعالى لَوْلاَ يَنْهَاهُمُ الرَّبَّانِيُّونَ وَالأَحْبَارُ عَن قَوْلِهِمُ الإِثْمَ وَأَكْلِهِمُ السُّحْتَ قَالَ والله ما في القرآن آية أخوف عندي منها # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالرحمن سعود عبدالرحمن التميمي ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ خذها قاعدة ] السعادة ليست في الأشياء التي تملكها , بل في استمتاعك بها. - تشارلز سبورجن # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] الاتصالات السلكية واللاسلكية في سلوفاكيا # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- تفسير حلم رؤية الجحش في المنام لابن سيرين # اخر تحديث اليوم 2024-03-11
- [ خدمات قطر ] دليل شركات قطر | مؤسسة قطر للمولدات الكهربائية في قطر # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] مورسو، تحقيق مضاد (رواية) # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل دبي الامارات ] سوبر ماركت بيج باي ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] اقتصاد كوريا الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل دبي الامارات ] تشاتانوغا دولت ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ عيادات الامارات ] عيادة الدكتور ماجد صلاح الدين للامراض الجلدية والتناسلية والعقم # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ خذها قاعدة ] رندة تعتقد أن كل الناس شعراء , لا ليسوا شعراء تماماً , ولكن هناك شاعر في كل إنسان , لا يخرج إلا في اللحظة التي يلتقي فيها بنفسه تماما. - إبراهيم نصر الله # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] ذوق الحسناء للعبايات ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- متى اذان الفجر في جده # اخر تحديث اليوم 2024-03-10
- [ خذها قاعدة ] ملأني العالم بالجراح , لكن ، لم يخرج منها غير الأجنحة. - أدونيس # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- هواتف وارقام مستشفى الهدى الاسلامى ارقام وهواتف مستشفى الهدى الاسلامى ش الفيضى - اطلس حلوان, بالقاهرة # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مكتب فهد عبدالرحمن الفارس للعقارات ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] قصر الراحة للمساج ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سوسن بنت احمد بن عبدالقادر سيف الدين ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] مضاد تأكسد # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ بَاب حمد الصمت وذم الْمنطق قَالَ رَسُول الله صلى الله عَلَيْهِ وَسلمأدب المجالسة وَحمد اللِّسَان - ابن عبد البر ] قَالَ مَالك بن دِينَار : لَو كَانَت الصُّحُف من عندنَا لأقللنا الْكَلَام . # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] مهرجان القاهرة السينمائي الدولي التاسع والثلاثون # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] العلاقات السويسرية الفنزويلية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] نورثبورت (مين) # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ شركات تكنولوجيا المعلومات قطر ] ميريديان لتكنولوجيا المعلومات Meridian Solutions Inc ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] برادات المنصورى ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ حكمــــــة ] كان عمر بن عبد العزيز يسخن له الماء في مطبخه فقال لصاحب المطبخ أين يسخن هذا الماء قال في المطبخ قال انظر منذ كم تسخنه في المطبخ فأخبرني به قال منذ كذا وكذا قال انظر ما ثمن ذلك الحطب قال كذا وكذا فأخذه عمر فألقاه في بيت المال. # اخر تحديث ال
- [ تعرٌف على ] المشاركة العربية في الألعاب الأولمبية الصيفية 2020 # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ المركبات الامارات ] شركة الشامي لتجارة إطارات السيارات ذ.م.م. ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] احمد عبدالعزيز شتيوى الكسيبرى ... المدينه المنوره ... منطقة المدينة المنورة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مقاهي السعودية ] كوفي R2 # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل الشارقة الامارات ] الأنصاري للصرافة ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] اوزنور للبيع نظير رسم أو على أساس عقد شركة تضامن لصاحبتها نعيمة فؤاد و شريكتها ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ اغذية السعودية ] شركة الفارس العربى للتجارة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ رقم هاتف ] شركة للمياه .... لبنان # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل دبي الامارات ] كوديير رديال لتديل الاطارات ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] دورة تحريك حراري # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ خذها قاعدة ] مثل الموسيقى والفن .. حب الطبيعة هي لغة مشتركة يمكن أن تتجاوز الحدود السياسية أو الإجتماعية. - جيمي كارتر ( رئيس الولايات المتحدة التاسع والثلاثون ) # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ محلات أحذية الامارات ] Madeenat Al Manamah Shoes Trading # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ خدمات قطر ] دليل مدارس قطر| المدرسة اللبنانية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مقاهي السعودية ] كوفي موكا # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مقاهي السعودية ] محمصة و مقهى براون بيرد # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] جمهورية الجدول الهندي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] قائمة نهائيات دوري أبطال أوروبا # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عيد عايد بن عيد الحربي ... البكيريه ... منطقة القصيم # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ رقم تلفون ] مدرسة روضة راشد الابتدائية الاعدادية المستقله للبنات .. قطر # اخر تحديث اليوم 2024-03-24
- [ مؤسسات البحرين ] فاطمة عبدالكريم حسين الامر ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ المركبات الامارات ] محطة حافلات الصفا 1 ، شارع 19 ، كلية جميرا 1 ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ محامين السعودية ] مهند علي محمد السعدون ... البدائع # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] جلوي عبدالله عامر السلولي ... بيشه ... منطقة عسير # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] إي فوتبول برو إفولوشن سوكر 2020 # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] قصر لامركيز للحلويات والزهور ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] ويليام والاس # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ خدمات عامة الامارات ] النيابة العامة محكمة رأس الخيمة ... راس الخيمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ الفاكهة والخضراوات ] 6 من أهم فوائد البطيخ # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل أبوظبي الامارات ] مؤسسة النخيل للصيانة العامة ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل دبي الامارات ] القرية ، جي دبليو ماريوت دبي أكوموديشن ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ قطع غيار واكسسوارات سيارات الامارات ] لمسات لزينة السيارات والهواتف المتحركة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ الزراعة و النباتات والزهور قطر ] اوربي للنباتات و الزهور # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ خدمات عامة الامارات ] مسجد ضبابة عيسى المزروعي ... الظفرة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مكتب الموقع الذهبي العقاري ... صامطه ... منطقة جازان # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] مؤسسة التشكيلة للادوات الكهربائية ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] بوابة النجمة لمقاولات النقش والزخرفة ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- ملخص فصول رواية اللص والكلاب # اخر تحديث اليوم 2024-03-08
- [ تعرٌف على ] متحف شاختاي للمعرفة المحلية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وزارات وهيئات حكومية السعودية ] الهيئة الملكية بينبع # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ خذها قاعدة ] لا يمكنك الإعتماد على لون بشرتك وكيف تبدو حتى تشعر بالثبات والثقة بنفسك .. ما هو جميل في الأساس هو أن يكون لديك رحمة لنفسك ولمن حولك .. وهذا النوع من الجمال، ينير القلب ويسحر الروح. - لوبيتا بيونج # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- تفسير حلم لبس الاحرام في المنام لابن سيرين # اخر تحديث اليوم 2024-03-18
- [ رقم هاتف ] عيادة الدكتور صديق هارون استشاري انف واذن وحنجرة بمستشفى المواساة الجديد بالكويت # اخر تحديث اليوم 2024-02-15
- [ رقم هاتف ] مطعم وكافتيريا الراحة في القضيبية البحرين وعنوان مطعم وكافتيريا وجبات خفيفة في البحرين # اخر تحديث اليوم 2024-04-15
- جدول السعرات الحرارية ..لمعظم الاطعمة ومطاعم الوجبات السريعة - رجيم ورشاقة و تنحيف وانقاص الوزن # اخر تحديث اليوم 2024-03-11
الأكثر قراءة
- مريم الصايغ في سطور
- سؤال و جواب | ما هى أسباب نزول الدم الاحمر بعد البراز؟ وهل هناك أسباب مرضية؟ وما الحل ؟
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً
- هل للحبة السوداء"حبة البركة "فوائد ؟
- كيف أتخلص من الغازات الكريهة التى تخرج مني باستمرار؟
- هناك ألم عندى فى الجانب الأيسر للظهر فهل من الممكن أن يكون بسبب الكلى ؟
- هل هناك علاج للصداع الئى أانيه فى الجانب الأيسر من الدماغ مع العين اليسرى ؟
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام»
- [ رقم تلفون ] مستر مندوب ... مع اللوكيشن المملكه العربية السعودية
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان
- نزع شوك السمك في المنام
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة
- ارقام وهواتف مستشفى الهلال الاحمر 34 ش رمسيس وسط البلد بالقاهرة
- جريمة قتل آمنة الخالدي تفاصيل الجريمة
- رسائل حب ساخنة للمتزوجين +18
- خليفة بخيت الفلاسي حياته
- تعرٌف على ... عائشة العتيبي | مشاهير
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟
- رقم هاتف مكتب النائب العام وكيفية تقديم بلاغ للنائب العام
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] شركة متجر كل شششي - المملكه العربية السعودية
- تفسير رؤية شخص اسمه محمد في المنام لابن سيرين
- ارقام وهواتف مطعم الشبراوى 33 ش احمد عرابى المهندسين, بالجيزة
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة
- ارقام وهواتف عيادة د. ياسر المليجى - 139 ش التحرير الدقى بالجيزة
- ارقام وهواتف مستشفى النور المحمدى الخيرى التخصصى المطرية, بالقاهرة
- تفسير رؤية الحشرات في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية
- قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟
- أعشاب تفتح الرحم للإجهاض
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟!
- قناة تمازيغت برامج القناة
- ارقام وهواتف مكتب صحة - السادس من اكتوبر ميدان الحصرى السادس من اكتوبر, بالجيزة
- سور القران لكل شهر من شهور الحمل
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين
- زخرفة اسماء تصلح للفيس بوك
- مدرسة ب/ 141 حكومي للبنات بجدة
- إلغ (برمجية) التاريخ
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان
- أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام
- تفسير حلم الكلب لابن سيرين
- [ رقم هاتف ] عيادة د. حازم ابو النصر - 20 ش عبد العزيز جاويش عابدين بالقاهرة
- انا بنت عندي 13 سنة لسة مجتليش الدورة الشهرية ......كنت ببات عند خالتي وكل ما
- هل تمرير الإصبع بشكل أفقي على فتحة المهبل يؤدي إلى فض غشاء البكارة؟
- [رقم هاتف] شركة الحراسة و التوظيف و التنظيف.. المغرب
- قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي
- ذا إكس فاكتور آرابيا فكرة البرنامج
- السلام عليكم ، أنا مشكلتي بصراحة الجنس من الخلف مع زوجي الأن صار ويحب حيل
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟
- لالة لعروسة (برنامج) الفائزون
- أنا حامل في الشهر الرابع وينزل مني دم .. هل هذا طبيعي؟
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها
- هل إدخال إصبع الزوج في مهبل الزوجة له أضرار؟
- تفسير حلم اصلاح الطريق في المنام
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة
- إيمان ظاظا حياتها ومشوارها المهني
- أهمية وضرورة إزالة الخيط الأسود من ظهر الجمبري
- اسماء فيس بنات مزخرفة | القاب بنات مزخرفه
- لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة
- تفسير رؤية المشاهير في المنام لابن سيرين
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن حرب 6 اكتوبر 1973 بالصور pdf doc -
- فوائد عشبة الفلية و الكمية المناسبة يوميا
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] شركة الرفق بالحيوان و الطبيعة.. المغرب
- كلمات - انت روحي - حمود السمه
- أعاني من لحمة زائدة في الدبر ، فلدي قطعة لحمية صغيرة في فتحة الشرج من الخارج
- ما الفرق بين الغشاء السليم وغير السليم؟
- تفسير حلم رؤية الإصابة بالرصاص في الكتف بالمنام
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟
- عمر فروخ
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة?
- إدمان الزوج للمواقع الإباحية: المشكلة والأسباب والعلاج
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء.
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام
- تظهر عندي حبوب في البظر والشفرتين بين حين وآخر.. هل لها مضاعفات، وما علاجها؟
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- الكرة الحديدية قواعد اللعبة
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن اللغة العربية والكفايات اللغويه -
- تفسير حلم رؤية الكنز فى المنام لابن سيرين
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟
روابط تهمك
مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع [ تعرٌف على ] عدد أولي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 23/03/2024
[ تعرٌف على ] عدد أولي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
آخر تحديث منذ 27 يوم و 12 ساعة
4 مشاهدة
تم النشر اليوم 2024-04-19 | عدد أولي
دالة زيتا وفرضية ريمان
المقالة الرئيسة: فرضية ريمان
تبيان لدالة زيتا (ζ(s. عندما يساوي s واحدا، تؤول الدالة إلى ما لانهاية له.
دالة زيتا لريمان (ζ(s تعرف كمجموع غير منته:
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
,
\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},
حيث s هو عدد عقدي جزءه الحقيقي أكبر قطعا من 1. يمكن البرهان على أن هذا المجموع يساوي الجداء التالي:
∏
p
أولي
1
1
−
p
−
s
.
\prod _{p{\text{ أولي}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.
حيث p عدد أولي.
هذه الصيغة تعني ارتباط دالة زيتا الشديد بالأعداد الأولية.
حدسيات أخرى
الصفحة الرئيسة: تصنيف:حدسيات حول الأعداد الأولية
بالإضافة إلى فرضية ريمان، وضعت العديد من الحدسيات المتعلقة بالأعداد الأولية. عادة ما تكون صياغتها بسيطة وعادة ما تستعصي على البرهان لعقود. معضلات لاندو الأربع وضعت عام 1912 ولم تحلحل بعد. ومنها أيضا حدسية غولدباخ والتي تنص على أن كل عدد زوجي n أكبر قطعا من 2، يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين. حتى فبراير 2011، بقيت هاته الحدسية صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد الأصغر من 2.1017. نصوص أضعف من نص هاته الحدسية لم تقاوم البرهان. على سبيل المثال، تنص مبرهنة فينوغرادوف على أن أي عدد طبيعي فردي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يُكتب على شكل مجموع ثلاثة أعداد أولية. مبرهنة تشين تنص على أن أي عدد طبيعي زوجي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عدد أولي وعدد نصف أولي.
من الحدسيات غير المحلحلة بعد ما يلي:
حدسية التوأمين الأولية
أي عدد أولي أكبر من 3 يكتب على شكل 6k+1 أو 6k-1 حيث k عدد طبيعي.
كل عدد صحيح n> 1 له قاسم أولي.
إذا كان n عدداً مؤلفاً (غير أولي) فإن له قاسم أولي p أصغر أو يساوي الجذر التربيعي ل n.
إذا كان الفرق بين عددين أوليين مساويا ل 2، فهذان العددان يسميان توأما أوليا. 5 و 7 من جهة و 11 و 13 من جهة ثانية، هما توأمان أوليان. (حدسية العددين الأوليين التوأم)
غربال برون.
مبرهنة الباقي الصيني.
عدد كولن.
قائمة الأعداد الأولية.
أعداد ميرسين الأولية.
عاملي أعداد أولية
لمدة طويلة، اعتُبرت نظرية الأعداد بشكل عام ودراسة الأعداد الأولية بشكل خاص، جزءا من الرياضيات البحتة، بدون أية تطبيقات باستثناء الاهتمام الذي يوليه عالم الرياضيات إلى هذه الدراسة. على سبيل المثال، العاملون في نظرية الأعداد من أمثال عالم الرياضيات البريطاني غودفري هارولد هاردي، كانو يفتخرون بعملهم في مجال ليس لديه تطبيقات عسكرية. ولكن هاته النظرة تحطمت في سبعينات القرن العشرين، حين أُعلن للعموم أن الأعداد الأولية قد تستعمل قاعدة لبناء خوارزميات التشفير باستخدام المفتاح المعلن. يستعمل الأعدادَ الأولية أيضا مولدات الأعداد شبه العشوائية.
التشفير باستخدام المفتاح المعلن
المقالة الرئيسة: تشفير باستخدام المفتاح المعلن
تستعمل الأعداد الأولية في ميدان المعلوميات وخاصة في علم التعمية. ومن أشهر التطبيقات التي تستعمل الأعداد الأولية خوارزمية آر إس إيه وتبادل مفتاح ديفي-هيلمان. تعتمد خوارزمية آر إس إيه أساسا على افتراض أن حساب جداء عددين صحيحين معلومين x و y أسهل بكثير من حساب x و y إذا كان جداؤهما xy فقط معروفا (مع افتراض أنها أوليين فيما بينهما).
لمزيد من المعلومات راجع التشفير ومشكلة التفكيك إلى جداء عوامل أولية.
هناك العديد من الاختبارات لمعرفة هل عدد معين ما أولي أم لا. أبسطها هي القسمة المتكررة. ولكن هاته الطريقة قليلة النفع والاستعمال وذلك لكونها شديدة البطئ.
عن طريق القسمة المتكررة
الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة. تتمثل هذه الطريقة في قسمة العدد n على جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من الواحد والأصغر من الجذر التربيعي ل n. إذا لم تنتج إحدى هذه القسمات باقيا، فإن العدد n ليس بالأولي. وهو أولي في غير ذلك. بالفعل، إذا كان n = a * b عددا مؤلفا (أي أن العددين الطبيعيين a و b يختلفان عن الواحد)، فإن على الأقل واحد من هذين العددين يكون أصغر من أو يساوي الجذر التربيعي ل n. على سبيل المثال، إذا توفر n = 37، فإن القسمة المتكررة تخص الأعداد الطبيعية 2 و 3 و 4 و 5 و 6. لا يقسم عدد من هذه الأعداد العددَ 37. إذن، فإن 37 عدد أولي.
قد تُطور هذه العملية لكي تصير أكثر فعالية وسرعة. وذلك بالنظر إلى الأعداد الأصغر من الجذر التربيعي للعدد المراد تحديد أوليته، واللائي يكن في نفس الوقت أعدادا أولية. على سبيل المثال، بالنسبة للعدد 37، فإنه يكفي النظر إلى الأعداد 2 و 3 و 5. ولا ينبغي النظر إلى العددين 4 و 6 لأنهما عددان غير أوليين.
الغرابيل
خوارزمية بسيطة لعالم رياضيات اليونانية إراتوستينس لإيجاد جميع الأعداد الأولية حتى العدد 120. (انقر لرؤية الرسوم المتحركة).
المقالة الرئيسة: غربال إراتوستينس
كل خوارزمية تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما تسمى غربالا. أقدم مثال على ذلك غربال إراتوستينس لكنه لا يستعمل إلا في حالة الأعداد الصغيرة. غربال أتكين أحدث منه ولكنه أكثر منه تعقيدا ولهذا فهو أكثر منه سرعة. تستعمل نظرية الغرابيل طرقا مشابهة من أجل حلحلة معضلات أخرى.
اختبار أولية عدد ما مقابل البرهان على ذلك
الاختبارات العصرية لأولية عدد طبيعي ما يمكن أن تقسم إلى نوعين: الاختبارات الاحتمالية والاختبارات القطعية.
مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عددا أوليا وa عددا أوليا مع p، إذن:
a
p
−
1
≡
1
(
p
)
a^{p-1}\equiv 1\ \ (p)
عكس المبرهنة خاطئ، مثلا 561=3×11×17 ليس عددا أوليا ومع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561، لدينا
a
560
≡
1
(
561
)
a^{560}\equiv 1\ \ (561)
لكن يمكن مع ذلك كتابة:
إذا كان p غير أولي فإن
a
p
−
1
a^{p-1}
متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a
الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.
برمجة التشفير PGP، تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية.
إذا كان:
1
≡
2
x
−
1
≡
3
x
−
1
≡
5
x
−
1
≡
7
x
−
1
(
x
)
1\equiv 2^{x-1}\equiv 3^{x-1}\equiv 5^{x-1}\equiv 7^{x-1}\ \ (x)
، فهذا يعني أن x عدد أولي احتمالي.
إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1، في هذه الحالة x عدد غير أولي قطعيا.
الاختبار
طُور عام
النوع
الوقت الضروري للاختبار
ملاحظات
اختبار أ.ك.أس لأولية عدد ما
2002
قطعي
((O(log6+ε(n
برهان المنحنيات الإهليلجية على أولية عدد ما
1977
قطعي
O(log5+ε(n)) heuristically
اختبار Baillie-PSW لأولية عدد ما
1980
احتمالي
O(log3 n)
لا يعرف مثال مضاد
اختبار ميلر-رابن لأولية عدد ما
1980
احتمالي
O(k · log2+ε (n))
احتمال الخطأ 4−k
اختبار سولوفاي-شتراسن لأولية عدد ما
1977
احتمالي
O(k · log3 n)
احتمال الخطأ 2−k
اختبار فيرما لأولية عدد ما
احتمالي
O(k · log2+ε (n))
يفشل عند عدد كارميكائيل
خوارزميات ذت أهداف خاصة وأكبر عدد أولي معروف
المقالات الرئيسة: قائمة الأعداد الأولية وأكبر عدد أولي معروف
إنشاء خماسي منتظم للأضلع. 5 هو عدد أولي لفيرما.
بالإضافة إلى الاختبارات المشار إليها أعلاه، واللائي يمكن أن يُطبقن على أي عدد طبيعي، فإن هناك اختبارات أكثر قوة ودقة تطبق على أشكال خاصة من الأعداد. على سبيل المثال، اختبار لوكاس لأولية عدد ما يتطلب معرفة العوامل الأولية ل n - 1. بينما يتطلب اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما معرفة العوامل الأولية ل n + 1.
تعميل الأعداد الصحيحة
المقالة الرئيسة: تحليل عدد صحيح
ليكن n عددا مؤلفا ما (أي أنه عدد غير أولي). يسمى البحث عن أحد أو كل قواسم n الأولية تعميل n. التعميل باستعمال المنحنيات الإهليلجية هي خوارزمية تعتمد على حسابيات تقام على المنحنيات الإهليلجية.
عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد معين
المقالة الرئيسة: مبرهنة الأعداد الأولية
خارطة تصف (π(n (لون أزرق)، (n / ln (n (لون أخضر) و(Li (n، التكامل اللغواريتمي المزاح (لون أحمر)
تعرف الدالة المعدة للأعداد الأولية (π(n بأنها عدد الأعداد الأولية الأصغر من n. مثال ذلك π(11) = 5، وذلك لوجود خمسة أعداد أولية أصغر من أو تساوي العدد 11. توجد خوارزمات شهيرة لحساب القيم الدقيقة ل (π(n أسرع من طريقة حسابها بشكل منفرد حتى n. يمكن إحصاء قيم قد تصل إلى π(1020) بسرعة عالية ودقة بواسطة الحواسيب المعاصرة.
بالنسبة للقيم الكبيرة من n، والتي تتجاوز قدة الأجهزة الحديثة فإن مبرهنة الأعداد الأولية تعطينا تقديراً أولياً:(π(n تساوي تقريباً (n/ln(n. بعبارة أخرى، عندما تصبح n عدد كبيراً جداً فإن احتمالية أن يكون العدد الأولي أقل من n تتناسب عكسياً مع عدد الأرقام المكونة ل n.
المتتاليات الحسابية
المتتالية الحسابية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية التي تعطي نفس الباقي عندما تقسم على عدد معين q ما. على سبيل المثال،
3، 12، 21، 30، 39،...،
هي متتالية حسابية لأن باقي قسمة هؤلاء الأعداد على 9 يساوي دائما نفس العدد 3. جميع حدود هاته المتتالية، باستثناء 3، أعداد غير أولية بما أن
(1 + 9n + 3 = 3(3n
انظر مبرهنة غرين-تاون.
القيم الأولية لمتعددات الحدود من الدرجة الثانية
حلزونية أولام. النقط الحمراء تدل على الأعداد الأولية. بُينت الأعداد الأولية التي تكتب على الشكل 4n2−2n+41 باللون الأزرق.
لاحظ أويلر أن الدالة
n
2
+
n
+
41
n^{2}+n+41\,
تعطي أعدادا أولية بالنسبة ل n ≥ 0 و n <40. هذه الحقيقة أدت إلى نظرية جبرية للأعداد شديدة العمق، وبشكل خاص أعداد هيغنر.
غربال إراتوستينس خوارزمية بسيطة تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية حتى عدد طبيعي معين. ابتُكرت في القرن الثالث قبل الميلاد من طرف إراتوستينس، رياضياتي قديم يوناني. (انقر من أجل النظر إلى الصورة المتحركة.)
تشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى معرفة قدماء المصريين لمفهوم الأعداد الأولية: يأخذ التحليل إلى كسر مصري شكلا مختلفا عندما يُطَبق على أعداد أولية عن الشكل الذي يأخذه عندما يُطَبق على أعداد غير أولية.
مع ذلك يظل اليونانيون القدامى أول من أجرى دراسات جدية بشأنها. قام عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس بدراسة الأعداد الأولية، رغم أن أيٍ من مخطوطاته لم توجد، فقد أشار إليها علماء آخرون.
بعد الإغريق، لم يحدث الكثير فيما يتعلق بدراسة الأعداد الأولية حتى القرن السابع عشر. في عام 1640، نص بيير دي فيرما مبرهنة فيرما الصغرى بدون تقديم أي برهان عليها (بُرهن عليها فيما بعد من طرف لايبنتز وأويلر). حالة خاصة من مبرهنة فيرما قد تكون قد عرفت من طرف الصينيين من قبل.
حدس فيرما أن جميع الأعداد الطبيعية على الشكل 22n+1 (تسمى هذه الأعداد بأعداد فيرما) هي أعداد أولية وقد تحقق من ذلك إلى حدود n = 4 (أي 216+1). ولكن عدد فيرما التالي (أي 232+1) هو عدد مؤلف (واحد من قواسمه الأولية 641) كما اكتشف ذلك أويلر فيما بعد. بالإضافة إلى ذلك، حاليا لا يعرف عدد أولي ما يكتب على شكل أعداد فيرما.
درس رجل الكنيسة الفرنسي مارين ميرسين الأعداد الأولية على الشكل 2p−1 حين يكون العدد p أوليا أيضا. سميت هذه الأعداد بأعداد ميرسن الأولية تكريما له.
احتوى عمل أويلر في نظرية الأعداد على مجموعة من النتائج تتعلق بالأعداد الأولية. برهن على أن المتسلسلة غير المنتهية 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + … هي متسلسلة متباعدة. في عام 1747، برهن على أن الأعداد المثالية الزوجية هي بالتحديد الأعداد الطبيعية اللائي يكتبن على الشكل (2p−1(2p−1 حيث الحد الثاني من هذا الجداء هو عدد أولي لميرسن..
منذ عام 1951، كل الأعداد الأولية الكبيرة اللائي وُجدن، وُجدن بفضل الحاسوب. انظر إلى البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت.
العدد 12 غير أولي، لأنه يمكن ترتيب اثني عشر عنصرا على شكل ثلاث أعمدة متساوية يحتوي كل واحد منها على أربع عناصر (شكل واحد من بين أشكال أخرى). لا يمكن لأحد عشر عنصرا أن ترتب على شكل أعمدة متساوية يكون طول الواحد منها أكبر قطعا من 1، في جميع الحالات يبقى عدد إضافي (مثل باللون البرتقالي). هذا العدد يسمى الباقي. لهذا السبب فإن 11 عدد أولي.
يكون عدد طبيعي ما أوليا إذا كان أكبر قطعا من 1 وكان له قاسمان اثنان، 1 والعدد نفسه. الأعداد الطبيعية الأكبر قطعا من 1 والغير أولية قد تسمى أعداداً مركبةً أو مؤلفةً (لا ينبغي الخلط مع الأعداد المركبة والتي تسمى أيضا الأعداد العقدية).
من بين الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 و 6، الأعداد 2 و 3 و 5 أولية، بينما الأعداد 1 و 4 و 6 أعداد غير أولية. أُقصى الواحد من لائحة الأعداد الأولية. 2 عدد أولي لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، 2 نفسه. 3 عدد أولي أيضا لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، 3 نفسه. قسمة 3 على 2 تعطي باقيا مساويا ل 1. إذن، 3 أولي. 4 عدد غير أولي لأنه بالإضافة إلى 1 و 4 اللذان يقسمانه، 2 أيضا يقسمه:
4 = 2 · 2.
5 عدد أولي لأن 2 و 3 و 4 لا يقسمونه. 6 عدد غير أولي لأنه قابل للقسمة على 2 و 3.
6 = 3 · 2.
جميع الأعداد الأولية - عدا 2 و 5 - تنتهي ب 1 أو 3 أو 7 أو 9 لأن جميع الأعداد التي تنتهي ب 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8 هي من مضاعفات العدد 2 (تسمى أعدادا زوجية) فليست بالتأكيد أولية، والأعداد التي تنتهي ب 5 هي من مضاعفات العدد 5 فليست أولية أيضاً.
الأعداد الأولية المائة والثمانية والستون الأولى والأصغر من 1000 هي:
2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97، 101، 103، 107، 109، 113، 127، 131، 137، 139، 149، 151، 157، 163، 167، 173، 179، 181، 191، 193، 197، 199، 211، 223 227، 229، 233، 239، 241، 251، 257، 263، 269، 271، 277، 281، 283، 293، 307، 311، 313، 317، 331، 337، 347، 349، 353، 359، 367، 373، 379، 383، 389، 397، 401، 409، 419، 421، 431، 433، 439، 443، 449، 457، 461، 463، 467، 479، 487، 491، 499، 503، 509، 521، 523، 541، 547، 557، 563، 569، 571، 577، 587، 593، 599، 601، 607، 613، 617، 619، 631، 641، 643، 647، 653، 659، 661، 673، 677، 683، 691، 701، 709، 719، 727، 733، 739، 743، 751، 757، 761، 769، 773، 787، 797، 809، 811، 821، 823، 827، 829، 839، 853، 857، 859، 863، 877، 881، 883، 887، 907، 911، 919، 929، 937، 941، 947، 953، 967، 971، 977، 983، 991، 997.
عادة ما يرمز لمجموعة الأعداد الأولية بالرمز P.
يمكن برمجة تطبيقات (دوال برمجية) تقوم بتحديد الأعداد الأولية عن طريق استخدام خورزمية القسمة المتكررة (المثال بلغة بايثون):
def isPrime(num):
if num>1:
for count in range(2,int(num**(1/2))):
if not(num%count):
return False
break
return True
else:
return False
for count in range(0,100):
if isPrime(count):
print(count,end=",")
#in the screen: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
المقالة الرئيسة: المبرهنة الأساسية في الحسابيات
تنبثق أهمية الأعداد الأولية في نظرية الأعداد وفي الرياضيات عموما من المبرهنة الأساسية في الحسابيات، والتي تنص على أن كل عدد صحيح موجب أكبر من 1، يمكن أن يكتب على شكل جداء أي (ضرب) لعدد أولي واحد أو مجموعة من الأعداد الأولية. هذه المجموعة وحيدة إذا غُض النظر إلى ترتيب الأعداد الأولية التي تُكونها. ونتيجة لذلك، هو أنه يمكن اعتبار الأعداد الأولية الأساس التي بنيت عليه الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال،
23244
= 2 · 2 · 3 · 13 · 149
= 22 · 3 · 13 · 149. حيث 22 يعني مربع 2 أو القوة الثانية ل 2.
أ,
3*7=21
كما في المثال السابق، قد يتكرر نفس العامل الأولي أكثر من مرة. تسمى عملية تحليل عدد n ما إلى جداء عومل أولية:n = p1 · p2 · ... · pt تحليل عدد صحيح إلى عوامل. يمكن إذن صياغة المبرهنة الأساسية في الحسابيات كما يلي:
تحليل عدد صحيح إلى عوامل وحيد إذا غُض النظر إلى ترتيب الأعداد الأولية في هذا التحليل. قد تختلف الخوارزميات لإيجاد هذا التحليل، ولكن النتيجة وحيدة ولا تتعلق بالخوارزمية المستعملة.
إذا كان p عددا أوليا وكان يقسم جداء a × b لعددين طبيعيين a و b، فإنه يقسم أحد حدي هذا الجداء، أي أنه يقسم a أو يقسم b. تسمى هاته الخاصية بموضوعة أقليدس. تستعمل في بعض البراهين على وحدة تحليل عدد صحيح إلى جداء أعداد أولية.
هل العدد 1 عدد أولي ؟
لم يعتبر معظم الإغريق العدد 1 على أنه عدد. ولهذا، لم يعتبروه أوليا. بينما في القرن التاسع عشر، اعتبره عدد من علماء الرياضيات أوليا. على سبيل المثال، اللائحة التي كونها ديريك نورمان ليهمر من الأعداد الأولية الأصغر من 10,006,721، والتي طبعت لآخر مرة في عام 1956، ابتدأت بالعدد 1. حتى القرن التاسع عشر، كان علماء الرياضيات يعتبرون 1 عددا أوليا، بما أن تعريف الأعداد الأولية كان آنذاك هو كل عدد لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. ويقال أن عالم الرياضيات هنري ليون لوبيغ هو آخر عالم رياضيات اعتبر 1 أوليا. رغم أن الجزء الكبير من الأعمال في الرياضيات يبقى صحيحا إذا اعتُبر 1 عددا أوليا، ولكن المبرهنة الأساسية في الحسابيات لا تبقى صحيحة. على سبيل المثال، العدد 15 يمكن أن يُعمّل إلى 3×5 أو إلى 1×3×5. إذا كان 1 أوليا، هذان الشكلان الاثنان مختلفان عن بعضما البعض مما يجعل نص المبرهنة خاطئا. بالإضافة إلى ذلك، للأعداد الأولية مجموعة من الخصائص لا يملكها العدد 1. من بينها العلاقة التي تربط عددا ما بقيمة دالة مؤشر أويلر أو بدالة مجموع القواسم.
المقالة الرئيسة: مبرهنة إقليدس
يوجد عدد غير منته من الأعداد الأولية تتوزع بشكل غير منتظم. وبتعبير آخر، المتسلسلة
2، 3، 5، 7، 11، 13،...
لا تنتهي أو لا تتوقف. تُدعى هذهِ المبرهنة مبرهنة أقليدس تكريما لعالم الرياضيات الإغريقي أقليدس بما أن أول برهان معروف لها يعود إليه. تُعرف حاليا براهين أخرى للا نهائية الأعداد الأولية منها برهان تحليلي من طرف أويلر، وبرهان غولدباخ المعتمد على أعداد فيرما، وبرهان فورشتنبرغ باستعمال الطوبولوجيا العامة وبرهان كومر الأنيق.
برهان أقليدس
برهان أقليدس يعتبر مجموعة منتهية ما S، من الأعداد الأولية. إن الفكرة الأساسية هي النظر إلى جداء جميع هذه الأعداد، أضيف إليه 1.
N
=
1
+
∏
p
∈
S
p
.
N=1+\prod _{p\in S}p.
عادة ما يعتقد خطأ أن برهان اقليدس يعتمد على طريقة البرهان بالخلف.
برهان أويلر التحليلي
يستعمل برهان أويلر مجموع مقلوبات الأعداد الأولية كما يلي:
S
(
p
)
=
1
2
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
⋯
+
1
p
.
S(p)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.
هذه المتسلسلة تصير أكبر من أي عدد حقيقي معين عندما يصير p كبيرا بما فيه الكفاية. هذا يدل على أن هناك عددا غير منتهي من الأعداد الأولية. نمو (S(p، تعطيه مبرهنة ميرتنز الثانية. على سبيل المقارنة، المتسلسلة
1
1
2
+
1
2
2
+
1
3
2
+
⋯
+
1
n
2
=
∑
i
=
1
n
1
i
2
{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{2}}}
لا تتباعد إلى ما لا نهاية له. هذا يدل على أن الأعداد الأولية أكثر كثافة من مربعات الأعداد الطبيعية. تنص مبرهنة برون على أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية التوأم.
(
1
3
+
1
5
)
+
(
1
5
+
1
7
)
+
(
1
11
+
1
13
)
+
⋯
=
∑
p
prime,
p
+
2
prime
(
1
p
+
1
p
+
2
)
,
\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots =\sum \limits _{\begin{smallmatrix}p{\text{ prime, }}\\p+2{\text{ prime}}\end{smallmatrix}}{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)},
هو عدد منته.
مفهوم العدد الأولي مهم جدا. ولهذا عمم بأشكال مختلفة في عدة مجالات من الرياضيات. بشكل عام، مفهوم أولي يعني كل ما هو غير قابل للتفكيك إلى أجزاء أخرى. على سبيل المثال، حقل أولي هو أصغر حقل ضمن حقل F ما، يحتوي على 0 وعلى 1.
الحسابيات بتردد عدد أولي والحقول المنتهية
المقالة الرئيسة: حسابيات نمطية
تغير الحسابيات بتردد عدد n ما، الحسابيات بشكل عام باستعمالها للأعداد التالية فقط
{
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
}
,
\{0,1,2,\dots ,n-1\},\,
حيث n عدد طبيعي ثابت. يتم حساب المجاميع والفرق والجداءات بالشكل المعتاد، ولكنه كلما كانت النتيجة سلبية أو مساوية لعدد أكبر من، أو يساوي n، عوضت بباقي قسمتها على العدد n.
الأعداد التقاربية بتردد p
المقالة الرئيسة: عدد تقاربي بتردد p
العناصر الأولية في الحلقات
المقالة الرئيسة: عنصر أولي
نظرية الزمر
في نظرية الزمر المنتهية، تنص مبرهنة سيلاو على أنه إذا قسمت
p
n
{\displaystyle p^{n}}
قوةٌ ما لعدد أولي ما، رتبةَ زمرة، فإن في هذه الزمرة زمرة جزئية رتبتها
p
n
{\displaystyle p^{n}}
. تنص مبرهنة لاغرانج على أن كل زمرة رتبتها عدد أولي هي زمرة دائرية. وتنص مبرهنة بورنصايد على أن كل زمرة رتبتها قابلة للقسمة على عددين أوليين اثنين فقط (أي أنها عدد نصف أولي)، هي زمرة قابلة للحلحلة.
تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات
مسائل لم تحل بعد
دالة زيتا وفرضية ريمان
المقالة الرئيسة: فرضية ريمان
تبيان لدالة زيتا (ζ(s. عندما يساوي s واحدا، تؤول الدالة إلى ما لانهاية له.
دالة زيتا لريمان (ζ(s تعرف كمجموع غير منته:
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
,
\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},
حيث s هو عدد عقدي جزءه الحقيقي أكبر قطعا من 1. يمكن البرهان على أن هذا المجموع يساوي الجداء التالي:
∏
p
أولي
1
1
−
p
−
s
.
\prod _{p{\text{ أولي}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.
حيث p عدد أولي.
هذه الصيغة تعني ارتباط دالة زيتا الشديد بالأعداد الأولية.
حدسيات أخرى
الصفحة الرئيسة: تصنيف:حدسيات حول الأعداد الأولية
بالإضافة إلى فرضية ريمان، وضعت العديد من الحدسيات المتعلقة بالأعداد الأولية. عادة ما تكون صياغتها بسيطة وعادة ما تستعصي على البرهان لعقود. معضلات لاندو الأربع وضعت عام 1912 ولم تحلحل بعد. ومنها أيضا حدسية غولدباخ والتي تنص على أن كل عدد زوجي n أكبر قطعا من 2، يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين. حتى فبراير 2011، بقيت هاته الحدسية صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد الأصغر من 2.1017. نصوص أضعف من نص هاته الحدسية لم تقاوم البرهان. على سبيل المثال، تنص مبرهنة فينوغرادوف على أن أي عدد طبيعي فردي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يُكتب على شكل مجموع ثلاثة أعداد أولية. مبرهنة تشين تنص على أن أي عدد طبيعي زوجي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عدد أولي وعدد نصف أولي.
من الحدسيات غير المحلحلة بعد ما يلي:
حدسية التوأمين الأولية
خصائص الأعداد الأولية
أي عدد أولي أكبر من 3 يكتب على شكل 6k+1 أو 6k-1 حيث k عدد طبيعي.
كل عدد صحيح n> 1 له قاسم أولي.
إذا كان n عدداً مؤلفاً (غير أولي) فإن له قاسم أولي p أصغر أو يساوي الجذر التربيعي ل n.
إذا كان الفرق بين عددين أوليين مساويا ل 2، فهذان العددان يسميان توأما أوليا. 5 و 7 من جهة و 11 و 13 من جهة ثانية، هما توأمان أوليان. (حدسية العددين الأوليين التوأم)
انظر أيضًا
غربال برون.
مبرهنة الباقي الصيني.
عدد كولن.
قائمة الأعداد الأولية.
أعداد ميرسين الأولية.
عاملي أعداد أولية
تطبيقات
لمدة طويلة، اعتُبرت نظرية الأعداد بشكل عام ودراسة الأعداد الأولية بشكل خاص، جزءا من الرياضيات البحتة، بدون أية تطبيقات باستثناء الاهتمام الذي يوليه عالم الرياضيات إلى هذه الدراسة. على سبيل المثال، العاملون في نظرية الأعداد من أمثال عالم الرياضيات البريطاني غودفري هارولد هاردي، كانو يفتخرون بعملهم في مجال ليس لديه تطبيقات عسكرية. ولكن هاته النظرة تحطمت في سبعينات القرن العشرين، حين أُعلن للعموم أن الأعداد الأولية قد تستعمل قاعدة لبناء خوارزميات التشفير باستخدام المفتاح المعلن. يستعمل الأعدادَ الأولية أيضا مولدات الأعداد شبه العشوائية.
التشفير باستخدام المفتاح المعلن
المقالة الرئيسة: تشفير باستخدام المفتاح المعلن
تستعمل الأعداد الأولية في ميدان المعلوميات وخاصة في علم التعمية. ومن أشهر التطبيقات التي تستعمل الأعداد الأولية خوارزمية آر إس إيه وتبادل مفتاح ديفي-هيلمان. تعتمد خوارزمية آر إس إيه أساسا على افتراض أن حساب جداء عددين صحيحين معلومين x و y أسهل بكثير من حساب x و y إذا كان جداؤهما xy فقط معروفا (مع افتراض أنها أوليين فيما بينهما).
لمزيد من المعلومات راجع التشفير ومشكلة التفكيك إلى جداء عوامل أولية.
اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية
هناك العديد من الاختبارات لمعرفة هل عدد معين ما أولي أم لا. أبسطها هي القسمة المتكررة. ولكن هاته الطريقة قليلة النفع والاستعمال وذلك لكونها شديدة البطئ.
عن طريق القسمة المتكررة
الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة. تتمثل هذه الطريقة في قسمة العدد n على جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من الواحد والأصغر من الجذر التربيعي ل n. إذا لم تنتج إحدى هذه القسمات باقيا، فإن العدد n ليس بالأولي. وهو أولي في غير ذلك. بالفعل، إذا كان n = a * b عددا مؤلفا (أي أن العددين الطبيعيين a و b يختلفان عن الواحد)، فإن على الأقل واحد من هذين العددين يكون أصغر من أو يساوي الجذر التربيعي ل n. على سبيل المثال، إذا توفر n = 37، فإن القسمة المتكررة تخص الأعداد الطبيعية 2 و 3 و 4 و 5 و 6. لا يقسم عدد من هذه الأعداد العددَ 37. إذن، فإن 37 عدد أولي.
قد تُطور هذه العملية لكي تصير أكثر فعالية وسرعة. وذلك بالنظر إلى الأعداد الأصغر من الجذر التربيعي للعدد المراد تحديد أوليته، واللائي يكن في نفس الوقت أعدادا أولية. على سبيل المثال، بالنسبة للعدد 37، فإنه يكفي النظر إلى الأعداد 2 و 3 و 5. ولا ينبغي النظر إلى العددين 4 و 6 لأنهما عددان غير أوليين.
الغرابيل
خوارزمية بسيطة لعالم رياضيات اليونانية إراتوستينس لإيجاد جميع الأعداد الأولية حتى العدد 120. (انقر لرؤية الرسوم المتحركة).
المقالة الرئيسة: غربال إراتوستينس
كل خوارزمية تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما تسمى غربالا. أقدم مثال على ذلك غربال إراتوستينس لكنه لا يستعمل إلا في حالة الأعداد الصغيرة. غربال أتكين أحدث منه ولكنه أكثر منه تعقيدا ولهذا فهو أكثر منه سرعة. تستعمل نظرية الغرابيل طرقا مشابهة من أجل حلحلة معضلات أخرى.
اختبار أولية عدد ما مقابل البرهان على ذلك
الاختبارات العصرية لأولية عدد طبيعي ما يمكن أن تقسم إلى نوعين: الاختبارات الاحتمالية والاختبارات القطعية.
مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عددا أوليا وa عددا أوليا مع p، إذن:
a
p
−
1
≡
1
(
p
)
a^{p-1}\equiv 1\ \ (p)
عكس المبرهنة خاطئ، مثلا 561=3×11×17 ليس عددا أوليا ومع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561، لدينا
a
560
≡
1
(
561
)
a^{560}\equiv 1\ \ (561)
لكن يمكن مع ذلك كتابة:
إذا كان p غير أولي فإن
a
p
−
1
a^{p-1}
متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a
الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.
برمجة التشفير PGP، تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية.
إذا كان:
1
≡
2
x
−
1
≡
3
x
−
1
≡
5
x
−
1
≡
7
x
−
1
(
x
)
1\equiv 2^{x-1}\equiv 3^{x-1}\equiv 5^{x-1}\equiv 7^{x-1}\ \ (x)
، فهذا يعني أن x عدد أولي احتمالي.
إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1، في هذه الحالة x عدد غير أولي قطعيا.
الاختبار
طُور عام
النوع
الوقت الضروري للاختبار
ملاحظات
اختبار أ.ك.أس لأولية عدد ما
2002
قطعي
((O(log6+ε(n
برهان المنحنيات الإهليلجية على أولية عدد ما
1977
قطعي
O(log5+ε(n)) heuristically
اختبار Baillie-PSW لأولية عدد ما
1980
احتمالي
O(log3 n)
لا يعرف مثال مضاد
اختبار ميلر-رابن لأولية عدد ما
1980
احتمالي
O(k · log2+ε (n))
احتمال الخطأ 4−k
اختبار سولوفاي-شتراسن لأولية عدد ما
1977
احتمالي
O(k · log3 n)
احتمال الخطأ 2−k
اختبار فيرما لأولية عدد ما
احتمالي
O(k · log2+ε (n))
يفشل عند عدد كارميكائيل
خوارزميات ذت أهداف خاصة وأكبر عدد أولي معروف
المقالات الرئيسة: قائمة الأعداد الأولية وأكبر عدد أولي معروف
إنشاء خماسي منتظم للأضلع. 5 هو عدد أولي لفيرما.
بالإضافة إلى الاختبارات المشار إليها أعلاه، واللائي يمكن أن يُطبقن على أي عدد طبيعي، فإن هناك اختبارات أكثر قوة ودقة تطبق على أشكال خاصة من الأعداد. على سبيل المثال، اختبار لوكاس لأولية عدد ما يتطلب معرفة العوامل الأولية ل n - 1. بينما يتطلب اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما معرفة العوامل الأولية ل n + 1.
تعميل الأعداد الصحيحة
المقالة الرئيسة: تحليل عدد صحيح
ليكن n عددا مؤلفا ما (أي أنه عدد غير أولي). يسمى البحث عن أحد أو كل قواسم n الأولية تعميل n. التعميل باستعمال المنحنيات الإهليلجية هي خوارزمية تعتمد على حسابيات تقام على المنحنيات الإهليلجية.
التوزيع
عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد معين
المقالة الرئيسة: مبرهنة الأعداد الأولية
خارطة تصف (π(n (لون أزرق)، (n / ln (n (لون أخضر) و(Li (n، التكامل اللغواريتمي المزاح (لون أحمر)
تعرف الدالة المعدة للأعداد الأولية (π(n بأنها عدد الأعداد الأولية الأصغر من n. مثال ذلك π(11) = 5، وذلك لوجود خمسة أعداد أولية أصغر من أو تساوي العدد 11. توجد خوارزمات شهيرة لحساب القيم الدقيقة ل (π(n أسرع من طريقة حسابها بشكل منفرد حتى n. يمكن إحصاء قيم قد تصل إلى π(1020) بسرعة عالية ودقة بواسطة الحواسيب المعاصرة.
بالنسبة للقيم الكبيرة من n، والتي تتجاوز قدة الأجهزة الحديثة فإن مبرهنة الأعداد الأولية تعطينا تقديراً أولياً:(π(n تساوي تقريباً (n/ln(n. بعبارة أخرى، عندما تصبح n عدد كبيراً جداً فإن احتمالية أن يكون العدد الأولي أقل من n تتناسب عكسياً مع عدد الأرقام المكونة ل n.
المتتاليات الحسابية
المتتالية الحسابية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية التي تعطي نفس الباقي عندما تقسم على عدد معين q ما. على سبيل المثال،
3، 12، 21، 30، 39،...،
هي متتالية حسابية لأن باقي قسمة هؤلاء الأعداد على 9 يساوي دائما نفس العدد 3. جميع حدود هاته المتتالية، باستثناء 3، أعداد غير أولية بما أن
(1 + 9n + 3 = 3(3n
انظر مبرهنة غرين-تاون.
القيم الأولية لمتعددات الحدود من الدرجة الثانية
حلزونية أولام. النقط الحمراء تدل على الأعداد الأولية. بُينت الأعداد الأولية التي تكتب على الشكل 4n2−2n+41 باللون الأزرق.
لاحظ أويلر أن الدالة
n
2
+
n
+
41
n^{2}+n+41\,
تعطي أعدادا أولية بالنسبة ل n ≥ 0 و n <40. هذه الحقيقة أدت إلى نظرية جبرية للأعداد شديدة العمق، وبشكل خاص أعداد هيغنر.
التاريخ
غربال إراتوستينس خوارزمية بسيطة تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية حتى عدد طبيعي معين. ابتُكرت في القرن الثالث قبل الميلاد من طرف إراتوستينس، رياضياتي قديم يوناني. (انقر من أجل النظر إلى الصورة المتحركة.)
تشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى معرفة قدماء المصريين لمفهوم الأعداد الأولية: يأخذ التحليل إلى كسر مصري شكلا مختلفا عندما يُطَبق على أعداد أولية عن الشكل الذي يأخذه عندما يُطَبق على أعداد غير أولية.
مع ذلك يظل اليونانيون القدامى أول من أجرى دراسات جدية بشأنها. قام عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس بدراسة الأعداد الأولية، رغم أن أيٍ من مخطوطاته لم توجد، فقد أشار إليها علماء آخرون.
بعد الإغريق، لم يحدث الكثير فيما يتعلق بدراسة الأعداد الأولية حتى القرن السابع عشر. في عام 1640، نص بيير دي فيرما مبرهنة فيرما الصغرى بدون تقديم أي برهان عليها (بُرهن عليها فيما بعد من طرف لايبنتز وأويلر). حالة خاصة من مبرهنة فيرما قد تكون قد عرفت من طرف الصينيين من قبل.
حدس فيرما أن جميع الأعداد الطبيعية على الشكل 22n+1 (تسمى هذه الأعداد بأعداد فيرما) هي أعداد أولية وقد تحقق من ذلك إلى حدود n = 4 (أي 216+1). ولكن عدد فيرما التالي (أي 232+1) هو عدد مؤلف (واحد من قواسمه الأولية 641) كما اكتشف ذلك أويلر فيما بعد. بالإضافة إلى ذلك، حاليا لا يعرف عدد أولي ما يكتب على شكل أعداد فيرما.
درس رجل الكنيسة الفرنسي مارين ميرسين الأعداد الأولية على الشكل 2p−1 حين يكون العدد p أوليا أيضا. سميت هذه الأعداد بأعداد ميرسن الأولية تكريما له.
احتوى عمل أويلر في نظرية الأعداد على مجموعة من النتائج تتعلق بالأعداد الأولية. برهن على أن المتسلسلة غير المنتهية 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + … هي متسلسلة متباعدة. في عام 1747، برهن على أن الأعداد المثالية الزوجية هي بالتحديد الأعداد الطبيعية اللائي يكتبن على الشكل (2p−1(2p−1 حيث الحد الثاني من هذا الجداء هو عدد أولي لميرسن..
منذ عام 1951، كل الأعداد الأولية الكبيرة اللائي وُجدن، وُجدن بفضل الحاسوب. انظر إلى البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت.
تعريف وأمثلة
العدد 12 غير أولي، لأنه يمكن ترتيب اثني عشر عنصرا على شكل ثلاث أعمدة متساوية يحتوي كل واحد منها على أربع عناصر (شكل واحد من بين أشكال أخرى). لا يمكن لأحد عشر عنصرا أن ترتب على شكل أعمدة متساوية يكون طول الواحد منها أكبر قطعا من 1، في جميع الحالات يبقى عدد إضافي (مثل باللون البرتقالي). هذا العدد يسمى الباقي. لهذا السبب فإن 11 عدد أولي.
يكون عدد طبيعي ما أوليا إذا كان أكبر قطعا من 1 وكان له قاسمان اثنان، 1 والعدد نفسه. الأعداد الطبيعية الأكبر قطعا من 1 والغير أولية قد تسمى أعداداً مركبةً أو مؤلفةً (لا ينبغي الخلط مع الأعداد المركبة والتي تسمى أيضا الأعداد العقدية).
من بين الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 و 6، الأعداد 2 و 3 و 5 أولية، بينما الأعداد 1 و 4 و 6 أعداد غير أولية. أُقصى الواحد من لائحة الأعداد الأولية. 2 عدد أولي لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، 2 نفسه. 3 عدد أولي أيضا لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، 3 نفسه. قسمة 3 على 2 تعطي باقيا مساويا ل 1. إذن، 3 أولي. 4 عدد غير أولي لأنه بالإضافة إلى 1 و 4 اللذان يقسمانه، 2 أيضا يقسمه:
4 = 2 · 2.
5 عدد أولي لأن 2 و 3 و 4 لا يقسمونه. 6 عدد غير أولي لأنه قابل للقسمة على 2 و 3.
6 = 3 · 2.
جميع الأعداد الأولية - عدا 2 و 5 - تنتهي ب 1 أو 3 أو 7 أو 9 لأن جميع الأعداد التي تنتهي ب 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8 هي من مضاعفات العدد 2 (تسمى أعدادا زوجية) فليست بالتأكيد أولية، والأعداد التي تنتهي ب 5 هي من مضاعفات العدد 5 فليست أولية أيضاً.
الأعداد الأولية المائة والثمانية والستون الأولى والأصغر من 1000 هي:
2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97، 101، 103، 107، 109، 113، 127، 131، 137، 139، 149، 151، 157، 163، 167، 173، 179، 181، 191، 193، 197، 199، 211، 223 227، 229، 233، 239، 241، 251، 257، 263، 269، 271، 277، 281، 283، 293، 307، 311، 313، 317، 331، 337، 347، 349، 353، 359، 367، 373، 379، 383، 389، 397، 401، 409، 419، 421، 431، 433، 439، 443، 449، 457، 461، 463، 467، 479، 487، 491، 499، 503، 509، 521، 523، 541، 547، 557، 563، 569، 571، 577، 587، 593، 599، 601، 607، 613، 617، 619، 631، 641، 643، 647، 653، 659، 661، 673، 677، 683، 691، 701، 709، 719، 727، 733، 739، 743، 751، 757، 761، 769، 773، 787، 797، 809، 811، 821، 823، 827، 829، 839، 853، 857، 859، 863، 877، 881، 883، 887، 907، 911، 919، 929، 937، 941، 947، 953، 967، 971، 977، 983، 991، 997.
عادة ما يرمز لمجموعة الأعداد الأولية بالرمز P.
برمجة الأعداد الأولية
يمكن برمجة تطبيقات (دوال برمجية) تقوم بتحديد الأعداد الأولية عن طريق استخدام خورزمية القسمة المتكررة (المثال بلغة بايثون):
def isPrime(num):
if num>1:
for count in range(2,int(num**(1/2))):
if not(num%count):
return False
break
return True
else:
return False
for count in range(0,100):
if isPrime(count):
print(count,end=",")
#in the screen: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
المبرهنة الأساسية في الحسابيات
المقالة الرئيسة: المبرهنة الأساسية في الحسابيات
تنبثق أهمية الأعداد الأولية في نظرية الأعداد وفي الرياضيات عموما من المبرهنة الأساسية في الحسابيات، والتي تنص على أن كل عدد صحيح موجب أكبر من 1، يمكن أن يكتب على شكل جداء أي (ضرب) لعدد أولي واحد أو مجموعة من الأعداد الأولية. هذه المجموعة وحيدة إذا غُض النظر إلى ترتيب الأعداد الأولية التي تُكونها. ونتيجة لذلك، هو أنه يمكن اعتبار الأعداد الأولية الأساس التي بنيت عليه الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال،
23244
= 2 · 2 · 3 · 13 · 149
= 22 · 3 · 13 · 149. حيث 22 يعني مربع 2 أو القوة الثانية ل 2.
أ,
3*7=21
كما في المثال السابق، قد يتكرر نفس العامل الأولي أكثر من مرة. تسمى عملية تحليل عدد n ما إلى جداء عومل أولية:n = p1 · p2 · ... · pt تحليل عدد صحيح إلى عوامل. يمكن إذن صياغة المبرهنة الأساسية في الحسابيات كما يلي:
تحليل عدد صحيح إلى عوامل وحيد إذا غُض النظر إلى ترتيب الأعداد الأولية في هذا التحليل. قد تختلف الخوارزميات لإيجاد هذا التحليل، ولكن النتيجة وحيدة ولا تتعلق بالخوارزمية المستعملة.
إذا كان p عددا أوليا وكان يقسم جداء a × b لعددين طبيعيين a و b، فإنه يقسم أحد حدي هذا الجداء، أي أنه يقسم a أو يقسم b. تسمى هاته الخاصية بموضوعة أقليدس. تستعمل في بعض البراهين على وحدة تحليل عدد صحيح إلى جداء أعداد أولية.
هل العدد 1 عدد أولي ؟
لم يعتبر معظم الإغريق العدد 1 على أنه عدد. ولهذا، لم يعتبروه أوليا. بينما في القرن التاسع عشر، اعتبره عدد من علماء الرياضيات أوليا. على سبيل المثال، اللائحة التي كونها ديريك نورمان ليهمر من الأعداد الأولية الأصغر من 10,006,721، والتي طبعت لآخر مرة في عام 1956، ابتدأت بالعدد 1. حتى القرن التاسع عشر، كان علماء الرياضيات يعتبرون 1 عددا أوليا، بما أن تعريف الأعداد الأولية كان آنذاك هو كل عدد لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. ويقال أن عالم الرياضيات هنري ليون لوبيغ هو آخر عالم رياضيات اعتبر 1 أوليا. رغم أن الجزء الكبير من الأعمال في الرياضيات يبقى صحيحا إذا اعتُبر 1 عددا أوليا، ولكن المبرهنة الأساسية في الحسابيات لا تبقى صحيحة. على سبيل المثال، العدد 15 يمكن أن يُعمّل إلى 3×5 أو إلى 1×3×5. إذا كان 1 أوليا، هذان الشكلان الاثنان مختلفان عن بعضما البعض مما يجعل نص المبرهنة خاطئا. بالإضافة إلى ذلك، للأعداد الأولية مجموعة من الخصائص لا يملكها العدد 1. من بينها العلاقة التي تربط عددا ما بقيمة دالة مؤشر أويلر أو بدالة مجموع القواسم.
عدد الأعداد الأولية
المقالة الرئيسة: مبرهنة إقليدس
يوجد عدد غير منته من الأعداد الأولية تتوزع بشكل غير منتظم. وبتعبير آخر، المتسلسلة
2، 3، 5، 7، 11، 13،...
لا تنتهي أو لا تتوقف. تُدعى هذهِ المبرهنة مبرهنة أقليدس تكريما لعالم الرياضيات الإغريقي أقليدس بما أن أول برهان معروف لها يعود إليه. تُعرف حاليا براهين أخرى للا نهائية الأعداد الأولية منها برهان تحليلي من طرف أويلر، وبرهان غولدباخ المعتمد على أعداد فيرما، وبرهان فورشتنبرغ باستعمال الطوبولوجيا العامة وبرهان كومر الأنيق.
برهان أقليدس
برهان أقليدس يعتبر مجموعة منتهية ما S، من الأعداد الأولية. إن الفكرة الأساسية هي النظر إلى جداء جميع هذه الأعداد، أضيف إليه 1.
N
=
1
+
∏
p
∈
S
p
.
N=1+\prod _{p\in S}p.
عادة ما يعتقد خطأ أن برهان اقليدس يعتمد على طريقة البرهان بالخلف.
برهان أويلر التحليلي
يستعمل برهان أويلر مجموع مقلوبات الأعداد الأولية كما يلي:
S
(
p
)
=
1
2
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
⋯
+
1
p
.
S(p)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.
هذه المتسلسلة تصير أكبر من أي عدد حقيقي معين عندما يصير p كبيرا بما فيه الكفاية. هذا يدل على أن هناك عددا غير منتهي من الأعداد الأولية. نمو (S(p، تعطيه مبرهنة ميرتنز الثانية. على سبيل المقارنة، المتسلسلة
1
1
2
+
1
2
2
+
1
3
2
+
⋯
+
1
n
2
=
∑
i
=
1
n
1
i
2
{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{2}}}
لا تتباعد إلى ما لا نهاية له. هذا يدل على أن الأعداد الأولية أكثر كثافة من مربعات الأعداد الطبيعية. تنص مبرهنة برون على أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية التوأم.
(
1
3
+
1
5
)
+
(
1
5
+
1
7
)
+
(
1
11
+
1
13
)
+
⋯
=
∑
p
prime,
p
+
2
prime
(
1
p
+
1
p
+
2
)
,
\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots =\sum \limits _{\begin{smallmatrix}p{\text{ prime, }}\\p+2{\text{ prime}}\end{smallmatrix}}{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)},
هو عدد منته.
في الجبر التجريدي
مفهوم العدد الأولي مهم جدا. ولهذا عمم بأشكال مختلفة في عدة مجالات من الرياضيات. بشكل عام، مفهوم أولي يعني كل ما هو غير قابل للتفكيك إلى أجزاء أخرى. على سبيل المثال، حقل أولي هو أصغر حقل ضمن حقل F ما، يحتوي على 0 وعلى 1.
الحسابيات بتردد عدد أولي والحقول المنتهية
المقالة الرئيسة: حسابيات نمطية
تغير الحسابيات بتردد عدد n ما، الحسابيات بشكل عام باستعمالها للأعداد التالية فقط
{
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
}
,
\{0,1,2,\dots ,n-1\},\,
حيث n عدد طبيعي ثابت. يتم حساب المجاميع والفرق والجداءات بالشكل المعتاد، ولكنه كلما كانت النتيجة سلبية أو مساوية لعدد أكبر من، أو يساوي n، عوضت بباقي قسمتها على العدد n.
الأعداد التقاربية بتردد p
المقالة الرئيسة: عدد تقاربي بتردد p
العناصر الأولية في الحلقات
المقالة الرئيسة: عنصر أولي
نظرية الزمر
في نظرية الزمر المنتهية، تنص مبرهنة سيلاو على أنه إذا قسمت
p
n
{\displaystyle p^{n}}
قوةٌ ما لعدد أولي ما، رتبةَ زمرة، فإن في هذه الزمرة زمرة جزئية رتبتها
p
n
{\displaystyle p^{n}}
. تنص مبرهنة لاغرانج على أن كل زمرة رتبتها عدد أولي هي زمرة دائرية. وتنص مبرهنة بورنصايد على أن كل زمرة رتبتها قابلة للقسمة على عددين أوليين اثنين فقط (أي أنها عدد نصف أولي)، هي زمرة قابلة للحلحلة.
شرح مبسط
تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات
شاركنا رأيك
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع [ تعرٌف على ] عدد أولي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 23/03/2024
اعلانات العرب الآن