اليوم: الجمعة 19 ابريل 2024 , الساعة: 9:22 ص
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
اخر المشاهدات
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سلطانه سند هاجس الهاجري ... الظهران ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ الغطاء النباتي ] تقرير عن عالم البيئة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] الجامعة الإسلامية في لبنان # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] مكونات إلكترونية سلبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ شركات الازياء والموضة قطر ] الديار قروب ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مواقع التواصل الاجتماعي ] كيف أحذف الصور من الفيس بوك # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ شركات العقارات قطر ] براون للعقارات Brown Properties W.L.L. ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مقاولون الامارات ] شركة الهامور وعبد الحليم للمقاولات الكهربائية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ محامين السعودية ] على عبدالمنعم مبارك الحربي ... مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] سيروس (مينيسوتا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] براون بوتيك ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] نادر احمد عبدالمعطي البلادي ... المدينه المنوره ... منطقة المدينة المنورة # اخر تحديث اليوم 2024-02-15
- [ مؤسسات البحرين ] رهف للأيدي العاملة ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ خذها قاعدة ] الصورة دائما ما تكون غامضة , فهي ليست كما نراها عليه فعلا. - رولان بارت # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] الثورة الرومانية 1989 # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ عواصم ] ما هي عاصمة ألمانيا # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مستوصفات وعيادات السعودية ] مستوصف ليث الطبى # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] شركة النصر الرياضي البحريني ذ.م.م ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ محلات أحذية الامارات ] الحذاء الاحمر # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] جاسم محمد يوسف محمد الهرمسي الهاجري (149663) ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فلاح محمد مبارك القحطاني ... تثليث ... منطقة عسير # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ شركات المعدات قطر ] شركة الأدوات المهنية والتجارة ذ م م PROFESSIONAL TOOLS & TRADING CO WLL ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مقاهي السعودية ] الف غصن كافيه # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] حرير الراجشاهي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟ # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فتون شاكر بن محمدعلي المولد ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] جوائز فيلم فير # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تسوق وملابس الامارات ] المنصورى 2000 للازياء ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالرحمن علي عبدالله القرني ... بلقرن ... منطقة عسير # اخر تحديث اليوم 2024-02-16
- [ شركات طبية السعودية ] مؤسسة نضارة البشرة لمستحضرات التجميل ... الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ حكمــــــة ] التوازن بين التحصيل والتطبيق و التبليغ ..أحجية طالب العلم والداعية إلى الله ..! # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ منوعات اجتماعية ] 4 من أهم النصائح لطلاب الجامعة في فترة كورونا # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ ثروات طبيعية ] سلبيات وإيجابيات الطاقة غير المتجددة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل دبي الامارات ] دارالنصرللهواتف النقالة ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ جمال ورشاقة الامارات ] صالون البستكي للحلاقة ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- تنبيه على كيفية الانتقال من استخدام حبوب (سيرازيت) للرضاعة إلى حبوب (سيلست) لمنع الحمل # اخر تحديث اليوم 2024-02-15
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [رقم هاتف] عيادة الطبيب دندشلي فادي صلاح .. لبنان # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ جمال ورشاقة الامارات ] ماري فرنسا صالون تجميل جميرا ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ آية ] ﴿ ٱلَّذِينَ يَذْكُرُونَ ٱللَّهَ قِيَٰمًا وَقُعُودًا وَعَلَىٰ جُنُوبِهِمْ ﴾ [ سورة آل عمران آية:﴿١٩١﴾ ]أراد به المداومة على الذكر في عموم الأحوال. البغوي: 1/465. # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل دبي الامارات ] نخلة جميرا ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل دبي الامارات ] أمواج روتانا جميرا بيتش ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل أبوظبي الامارات ] الزخرف لتجهيز الاقمشة للخياطة شركة الشخص الواحد ذ م م ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] آبعاد للفنون التشكيلية ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] نوار نصيب مسعود الحارثي ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ آية ] لما سافر موسى للخضر وجد في طريقه مس الجوع و النصب فقال لفتاه: { آتِنَا غَدَاءَنَا لَقَدْ لَقِينَا مِن سَفَرِنَا هَذَا نَصَبًا } ولما واعده ربه 30 ليلة وأتمها بعشر، فلم يأكل فيها لم يجد مس الجوعِ والنصب فالأول سفر لمخلوق والثاني سفر للخالق وهكذا سف
- [ مطاعم الامارات ] تشكي تشيز ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] محمصة توحيد المصري ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] سوترسفيل (بنسيلفانيا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مجوهرات السعودية ] مجوهرات الصقر # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] عبدالله محمد بن خميس الصقر ... الاحساء ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سعيد فلاح بن سعيد الهاجرى ... الخبر ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] صحراء الوادى للمقاولات ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ حكمــــــة ] (أعرف قدر ما ضاع منك وأبك بكاء من يدري مقدار الفائت) . # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ خذها قاعدة ] إذا فاتك شيء فقد يذهب إلى غيرك ويحمل له السعادة فالتفرح لفرحه ولا تحزن على مافاتك فهل يعيد الحزن ما فقدت؟ - انيس منصور # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ دليل دبي الامارات ] تشكي تشيز ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ الاستثمار العقاري و الخدمات قطر ] الوكره للدجاج الطازج # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مقاهي السعودية ] توول كافيه | Tool Cafe # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] جراد # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] مقاولات الورد الأخضر ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] بومطير للمواد الغذائيه ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] بوك (مينيسوتا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ خدمات عامة الامارات ] مسجد عبد الله سلطان الرميثي رقم (326 ) ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] شركة اس اس ان خلفان ذ.م.م ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل دبي الامارات ] حضانات الجميرا العالمية ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل دبي الامارات ] تشيستر اند لوفت ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] الراحة لمواد البناء ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- زكريا عبد الرحمن صيام # اخر تحديث اليوم 2024-03-11
- [ متاجر السعودية ] الربط التركي ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل دبي الامارات ] هوليدايابارتمنت النخلة ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مطاعم الامارات ] مطعم التوكل ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ شركات الاستقدام قطر ] دالسكو Dulsco ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] صالح منصور صالح الخضير ... البكيريه ... منطقة القصيم # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] سول ألينسكي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل أبوظبي الامارات ] عارف وبن طوق للاستشارات الهندسية والتعليمية ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] الحملة الألمانية لعام 1813 # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مطاعم الامارات ] ابتاون بار - فندق جميرا بيتش # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] السلام لخدمات الأيدي العاملة ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] مركز رونق للتجميل ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ خذها قاعدة ] يا بني ارمِ الحجارة على الكلب الذي ترك صاحبه وتبعك. - أحيقار الحكيم # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] حركة شباب 6 أبريل # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل دبي الامارات ] العبرة للدعاية والإعلان والإنتاج ذ م م ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ التاريخ اﻹسلامي ] من الذي بنى الكعبة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ الكترونيات الامارات ] عاصفة أجهزة الكمبيوتر ذ م م ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] شركة أبراج الصحراء للمقاولات شركة تضامن لمالكها هاشم نمر لافي شحاده وشريكه ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] النوراء لتصليح ابواب الالمنيوم ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مطاعم الامارات ] نالاس اباكاداي مطعم الخاصية النباتي وغير النباتي ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ محلات أحذية الامارات ] Leather Palace # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] أبريل 2009 # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل دبي الامارات ] القنصلية العامة لجمهورية إندونيسيا ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ تعرٌف على ] عمدة # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مطاعم الامارات ] كافتيريا نيو سوفت برجر ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ دليل أبوظبي الامارات ] مركز حكيم لتحضير و تخزين النباتات و الأعشاب فرع ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ مؤسسات البحرين ] شركة ماجك سكوير للمقاولات تضامن لاصحابها نجلاء سلطان وشريكها ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ صفات اﻷبراج ] ما هي صفات برج العقرب؟ 9 صفات إيجابية وسلبية لمواليد هذا البرج # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ناصر عبدالله فريح الحويفي ... البكيريه ... منطقة القصيم # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
الأكثر قراءة
- مريم الصايغ في سطور
- سؤال و جواب | ما هى أسباب نزول الدم الاحمر بعد البراز؟ وهل هناك أسباب مرضية؟ وما الحل ؟
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً
- هل للحبة السوداء"حبة البركة "فوائد ؟
- كيف أتخلص من الغازات الكريهة التى تخرج مني باستمرار؟
- هناك ألم عندى فى الجانب الأيسر للظهر فهل من الممكن أن يكون بسبب الكلى ؟
- هل هناك علاج للصداع الئى أانيه فى الجانب الأيسر من الدماغ مع العين اليسرى ؟
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام»
- [ رقم تلفون ] مستر مندوب ... مع اللوكيشن المملكه العربية السعودية
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان
- نزع شوك السمك في المنام
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة
- ارقام وهواتف مستشفى الهلال الاحمر 34 ش رمسيس وسط البلد بالقاهرة
- جريمة قتل آمنة الخالدي تفاصيل الجريمة
- رسائل حب ساخنة للمتزوجين +18
- خليفة بخيت الفلاسي حياته
- تعرٌف على ... عائشة العتيبي | مشاهير
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟
- رقم هاتف مكتب النائب العام وكيفية تقديم بلاغ للنائب العام
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] شركة متجر كل شششي - المملكه العربية السعودية
- تفسير رؤية شخص اسمه محمد في المنام لابن سيرين
- ارقام وهواتف مطعم الشبراوى 33 ش احمد عرابى المهندسين, بالجيزة
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة
- ارقام وهواتف عيادة د. ياسر المليجى - 139 ش التحرير الدقى بالجيزة
- ارقام وهواتف مستشفى النور المحمدى الخيرى التخصصى المطرية, بالقاهرة
- تفسير رؤية الحشرات في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية
- قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟
- أعشاب تفتح الرحم للإجهاض
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟!
- قناة تمازيغت برامج القناة
- ارقام وهواتف مكتب صحة - السادس من اكتوبر ميدان الحصرى السادس من اكتوبر, بالجيزة
- سور القران لكل شهر من شهور الحمل
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين
- زخرفة اسماء تصلح للفيس بوك
- مدرسة ب/ 141 حكومي للبنات بجدة
- إلغ (برمجية) التاريخ
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان
- أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام
- تفسير حلم الكلب لابن سيرين
- [ رقم هاتف ] عيادة د. حازم ابو النصر - 20 ش عبد العزيز جاويش عابدين بالقاهرة
- انا بنت عندي 13 سنة لسة مجتليش الدورة الشهرية ......كنت ببات عند خالتي وكل ما
- هل تمرير الإصبع بشكل أفقي على فتحة المهبل يؤدي إلى فض غشاء البكارة؟
- [رقم هاتف] شركة الحراسة و التوظيف و التنظيف.. المغرب
- قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي
- ذا إكس فاكتور آرابيا فكرة البرنامج
- السلام عليكم ، أنا مشكلتي بصراحة الجنس من الخلف مع زوجي الأن صار ويحب حيل
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟
- لالة لعروسة (برنامج) الفائزون
- أنا حامل في الشهر الرابع وينزل مني دم .. هل هذا طبيعي؟
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها
- هل إدخال إصبع الزوج في مهبل الزوجة له أضرار؟
- تفسير حلم اصلاح الطريق في المنام
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة
- إيمان ظاظا حياتها ومشوارها المهني
- أهمية وضرورة إزالة الخيط الأسود من ظهر الجمبري
- اسماء فيس بنات مزخرفة | القاب بنات مزخرفه
- لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة
- تفسير رؤية المشاهير في المنام لابن سيرين
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن حرب 6 اكتوبر 1973 بالصور pdf doc -
- فوائد عشبة الفلية و الكمية المناسبة يوميا
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] شركة الرفق بالحيوان و الطبيعة.. المغرب
- كلمات - انت روحي - حمود السمه
- أعاني من لحمة زائدة في الدبر ، فلدي قطعة لحمية صغيرة في فتحة الشرج من الخارج
- ما الفرق بين الغشاء السليم وغير السليم؟
- تفسير حلم رؤية الإصابة بالرصاص في الكتف بالمنام
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟
- عمر فروخ
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة?
- إدمان الزوج للمواقع الإباحية: المشكلة والأسباب والعلاج
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء.
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام
- تظهر عندي حبوب في البظر والشفرتين بين حين وآخر.. هل لها مضاعفات، وما علاجها؟
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- الكرة الحديدية قواعد اللعبة
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن اللغة العربية والكفايات اللغويه -
- تفسير حلم رؤية الكنز فى المنام لابن سيرين
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟
روابط تهمك
مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع [ تعرٌف على ] جبر ابتدائي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 14/11/2023
[ تعرٌف على ] جبر ابتدائي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19
آخر تحديث منذ 5 شهر و 7 يوم
1 مشاهدة
تم النشر اليوم 2024-04-19 | جبر ابتدائي
في المثال السابق تمكننا من إيجاد حل يحقق المعادلات الموصفة للنظام. ولكن توجد أنظمة أخرى ليس لها حلول إما لأنها غير قابلة للحل أو غير محددة. أنظمة غير قابلة للحل
يعمد المثال التالي على أبسط الأمثلة للأنظمة غير قابلة للحل { x
+
y
=
1
0
x
+
0
y
=
2 {\displaystyle {\begin{cases}x+y=1\\0x+0y=2\end{cases}}\,}
وذلك بسبب أن المعادلة الثانية ليس لها حل. هناك أنظمة أخرى مثل { 4
x
+
2
y
=
12
−
2
x
−
y
=
−
6 {\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{cases}}\,}
عند إيجاد حل لهذا النظام نجد y
=
−
2
x
+
6 {\displaystyle y=-2x+6\,}
وبالتعويض 4
x
+
2
(
−
2
x
+
6
)
=
12 {\displaystyle 4x+2(-2x+6)=12\,}
4
x
−
4
x
+
12
=
12 {\displaystyle 4x-4x+12=12\,}
12
=
12 {\displaystyle 12=12\,}
تلاشت كل المتغيرات والمتساوية الأخيرة غير صحيحة. إذا نتج عن هذا التعويض متساوية صحيحة يكون هذا النظام غير محدد. أنظمة غير محددة
في المثال التالي { 4
x
+
2
y
=
12
−
2
x
−
y
=
−
6 {\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{cases}}\,}
بعزل y {\displaystyle y\,} يكون y
=
−
2
x
+
6 {\displaystyle y=-2x+6\,}
و بالتعويض 4
x
+
2
(
−
2
x
+
6
)
=
12 {\displaystyle 4x+2(-2x+6)=12\,}
4
x
−
4
x
+
12
=
12 {\displaystyle 4x-4x+12=12\,}
12
=
12 {\displaystyle 12=12\,}
تلاشت كل المتغيرات والمتساوية الأخيرة صحيحة. السبب الرئيسى في عدم وجود حلول محددة لهذا النظام هو أن أحد المعادلتين يساوى الأخرى مضروبة في ثابت. وتدعى هذه المعادلات متوازية.
تعد المعادلة الخطية في مجهول واحد أبسط المعادلات على الإطلاق فهي تتكون من متغير واحد وبعض الثوابت العددية. 2
x
+
4
=
12 {\displaystyle 2x+4=12\,}
الطريقة الأساسية لحل هذه المعادلة هي تطبيق العمليات الأساسية من جمع وطرح وضرب وقسمة على طرفي المعادلة لنحصل على المتغير في جانب والثوابت في الجانب الآخر. فمثلا 2
x
+
4
−
4
=
12
−
4 {\displaystyle 2x+4-4=12-4\,}
لتتبسط إلى 2
x
=
8 {\displaystyle 2x=8\,}
والآن نقسم الطرفين على 2 {\displaystyle 2\,}
2
x 2
=
8 2
{\displaystyle {2x \over 2}={8 \over 2\,}}
ويتم تبسيطها إلى x
=
4 {\displaystyle x=4\,}
وعند تعويض x
=
4 {\displaystyle x=4\,} في 2
x
+
4
=
12 {\displaystyle 2x+4=12\,} نجد أن: 2
(
4
)
+
4
=
12
{\displaystyle 2(4)+4=12}
12
=
12
{\displaystyle 12=12}
الحالة العامة للمعادلات الخطية من الدرجة الأولى في متغير واحد هي كالتالى a
x
+
b
=
c {\displaystyle ax+b=c\,}
حيث x {\displaystyle x\,} هو المتغير و a
,
b
,
c {\displaystyle a,b,c\,} هم ثوابت عددية. والحل العام لهذه المعادلة يكون x
= c
−
b a {\displaystyle x={{c-b} \over a}\,}
و يشترط لاستعمال هذه الطريقة ان يكون العدد (a) لا يساوي الصفر.
تسمى مجموعة من معادلات الخطية بالنظام. فمثلا معادلتين في متغيرين x {\displaystyle x\,} و y {\displaystyle y\,} { 4
x
+
2
y
=
14
2
x
−
y
=
1 {\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1\end{cases}}\,}
يدعى نظام معادلات خطى في متغيرين. توجد طرق حل كثيرة لإيجاد قيم x {\displaystyle x\,} و y {\displaystyle y\,} التي تحقق المعادلتين المعرفتين للنظام منها الجبرى والهندسي. إيجاد الحل بالحذف
بضرب طرفى المعادلة الثانية في 2. 4
x
+
2
y
=
14 {\displaystyle 4x+2y=14\,}
4
x
−
2
y
=
2 {\displaystyle 4x-2y=2\,}
بجمع المعادلتين نجد 8
x
=
16 {\displaystyle 8x=16\,}
والآن نقسم الطرفين على 8
8
x 8
=
16 8
{\displaystyle {8x \over 8}={16 \over 8\,}}
ويتم تبسيطها إلى x
=
2 {\displaystyle x=2\,}
ولإيجاد قيمة y
{\displaystyle y} في معادلتي النظام يتم تعويض قيمة x
=
2 {\displaystyle x=2\,} في أي من معادلتي النظام. ولتكون المعادلة الأولى وهي 4
x
+
2
y
=
14
{\displaystyle 4x+2y=14} بتعويض x
=
2
{\displaystyle x=2} 4
(
2
)
+
2
y
=
14
{\displaystyle 4(2)+2y=14}
8
+
2
y
=
14
{\displaystyle 8+2y=14}
نضع المتغير في جانب والثوابت في الجانب الآخر مع تغيير الإشارة 2
y
=
14
−
8
{\displaystyle 2y=14-8}
2
y
=
6
{\displaystyle 2y=6}
والآن نقسم الطرفين على 2
2
y 2
=
6
2
{\displaystyle {2y \over 2}={6 \over 2}}
ويتم تبسيطها إلى y
=
3
{\displaystyle y=3}
وكذلك نجد y
=
3
{\displaystyle y=3} في المعادلة الثانية وهي 2
x
−
y
=
1
{\displaystyle 2x-y=1} نجد قيمة المتغيرين x
=
2
{\displaystyle x=2} و y
=
3
{\displaystyle y=3} وبتعويض قيمتهما في { 4
x
+
2
y
=
14
2
x
−
y
=
1 {\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1\end{cases}}\,} نجد أن: { 4
(
2
)
+
2
(
3
)
=
14
2
(
2
)
−
3
=
1 {\displaystyle {\begin{cases}4(2)+2(3)=14\\2(2)-3=1\end{cases}}\,}
=
{ 14
=
14
1
=
1 {\displaystyle ={\begin{cases}14=14\\1=1\end{cases}}\,}
إيجاد الحل بالتعويض
يعتمد هذا الحل على التعويض بالمعادلة المعبرة عن y {\displaystyle y\,} لاستنتاج قيمة x {\displaystyle x\,} ومن ثم التعويض بقيمة x {\displaystyle x\,} المستنتجة لإيجاد قيمة y {\displaystyle y\,} . بطرح 2
x {\displaystyle 2x\,} من طرفى المعادلة الثانية نجصل على 2
x
−
y
−
2
x
=
1
−
2
x {\displaystyle 2x-y-2x=1-2x\,}
ويتم تبسيطها إلى −
y
=
1
−
2
x {\displaystyle -y=1-2x\,}
وبضرب طرفى الأخيرة في −
1 {\displaystyle -1\,} نحصل على y
=
2
x
−
1 {\displaystyle y=2x-1\,}
وبالتعويض بما يساوى y {\displaystyle y\,} في المعادلة الأولى في النظام 4
x
+
2
(
2
x
−
1
)
=
14 {\displaystyle 4x+2(2x-1)=14\,}
4
x
+
4
x
−
2
=
14 {\displaystyle 4x+4x-2=14\,}
8
x
−
2
=
14 {\displaystyle 8x-2=14\,}
وبجمع 2 {\displaystyle 2\,} لطرفى هذه المعادلة نحصل على 8
x
=
16 {\displaystyle 8x=16\,} ومنها بالقسمة على 8 {\displaystyle 8\,} تكون
x
=
2 {\displaystyle x=2\,}
وبالتعويض بقيمة x {\displaystyle x\,} في أي من معادلتى النظام تكون y
=
3 {\displaystyle y=3\,}
يعتمد الجبر الابتدائى على عمليتين أساسيتين هما الجمع والضرب. لكل من هاتين العمليتين عملية معاكسة. العملية المعاكسة للجمع هي الطرح. والعملية المعاكسة للضرب هي القسمة. يعتمد الجبر الابتدائى أيضا على رقمين بالغى الأهمية هما الصفر والواحد. يدعى الصفر بالمحايد الجمعى والواحد بالمحايد الضربى. يعتبر الواحد أيضا المولد الأساسي للجبر الابتدائي. عملية الجمع
يتم تعريف عملية الجمع بتكرار جمع الرقم واحد والذي يغير النتيجة إلى الرقم التالي. فمثلا أي رقم مجموع عليه واحد يساوى الرقم الذي يليه 1
+
1
=
2 {\displaystyle 1+1=2\,} 2
+
1
=
3 {\displaystyle 2+1=3\,} أي رقم مجموع مع أي رقم آخر يتم تحليل أحدهما لمجموع الآحاد كما يلى 2
+
2
=
1
+
1
+
1
+
1
=
3
+
1
=
4 {\displaystyle 2+2=1+1+1+1=3+1=4\,} 2
+
3
=
2
+
1
+
1
+
1
=
3
+
1
+
1
=
4
+
1
=
5 {\displaystyle 2+3=2+1+1+1=3+1+1=4+1=5\,} وهكذا. خواص عملية الجمع
الجمع عملية تبديلية. وهذا يعنى أن ترتيب المعاملات حول عملية الجمع يساوى نفس النتيجة.
a
+
b
=
b
+
a {\displaystyle a+b=b+a\,}
[الجمع] عملية تجميعية. وهذا يعنى أن ترتيب إجراء عملية الجمع لا يؤثر على النتيجة.
a
+
(
b
+
c
)
=
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
b
+
c {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c\,}
المحايد الجمعى (الصفر) هو الرقم الذي لا يؤثر على عملية الجمع.
a
+
0
=
0
+
a
=
a {\displaystyle a+0=0+a=a\,}
الطرح عملية معاكسة للجمع.أي أن طرح أي رقم من رقم آخر يساوى الفرق بينهما الذي لو أضيف للرقم الثاني يساوى الرقم الأول.
a
−
b
=
c {\displaystyle a-b=c\,}
a
=
c
+
b {\displaystyle a=c+b\,}
وهذا يعنى أن طرح الرقم من نفسه لابد أن يساوي المحايد الجمعى (الصفر).
a
−
a
=
0 {\displaystyle a-a=0\,}
لأن a
+
0
=
a {\displaystyle a+0=a\,}
لذلك يتم تعريف المعاكس الجمعى لكل عنصر في الأرقام المتعامل معها جبريا. المعاكس الجمعى لرقم a
a هو الرقم (
−
a
)
{\displaystyle (-a)} الذي يساوى مجموعهما الصفر.
a
+
(
−
a
)
=
0 {\displaystyle a+(-a)=0\,}
وهكذا تتحول عملية الطرح إلى عملية جمع باستبدال العدد المطروح بمعاكسه الجمعى أو العدد سالب
a
+
(
−
b
)
=
a
−
b {\displaystyle a+(-b)=a-b\,}
عملية الضرب
يتم تعريف عملية الضرب بتكرار الجمع. فمثلا 5
×
2
=
5
+
5
=
2
+
2
+
2
+
2
+
2
=
10 {\displaystyle 5\times 2=5+5=2+2+2+2+2=10\,}
وهكذا. خواص عملية الضرب
الضرب عملية تبديلية. وهذا يعنى أن ترتيب المعاملات حول عملية الضرب يساوى نفس النتيجة.
a
×
b
=
b
×
a {\displaystyle a\times b=b\times a\,}
الضرب عملية تجميعية. وهذا يعنى أن ترتيب إجراء عملية الضرب لا يؤثر على النتيجة.
a
×
(
b
×
c
)
=
(
a
×
b
)
×
c
=
a
×
b
×
c {\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c=a\times b\times c\,}
الضرب عملية توزيعية على الجمع. وهذا يعنى أن إجراء عملية ضرب على مجموع رقمين يساوى مجموع حاصل ضرب العدد مع كل من هذين العددين.
a
×
(
b
+
c
)
=
a
×
b
+
a
×
c {\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c\,}
المحايد الضربى (الواحد) هو الرقم الذي لا يؤثر على عملية الضرب.
a
×
1
=
1
×
a
=
a {\displaystyle a\times 1=1\times a=a\,}
القسمة عملية معاكسة للضرب.أي أن قسمة أي رقم على رقم آخر يساوى الفرق في تكرار الجمع بينهما الذي لو أضيف للرقم الثاني يساوى الرقم الأول.
a
b
=
c {\displaystyle {a \over b}=c\,}
a
=
c
×
b {\displaystyle a=c\times b\,}
وهذا يعنى أن قسمة الرقم على نفسه لابد أن يساوى المحايد الضربى (الواحد).
a
a
=
1 {\displaystyle {a \over a}=1\,}
لأن a
×
1
=
a {\displaystyle a\times 1=a\,}
لذلك يتم تعريف المعاكس الضربى لكل عنصر في الأرقام المتعامل معها جبريا. المعاكس الضربى لرقم a
a هو الرقم ( a −
1
)
{\displaystyle (a^{-1})} الذي يساوى حاصل ضربهما الواحد.
a
×
( a −
1
)
=
1 {\displaystyle a\times (a^{-1})=1\,}
وهكذا تتحول عملية القسمة إلى عملية ضرب باستبدال العدد المقسوم عليه بمعاكسه الضربى أو ما يسمى بمقلوب العدد
a
×
( b −
1
)
=
a
b {\displaystyle a\times (b^{-1})={a \over b}\,}
قوانين المتساويات
إذا كان a
=
b {\displaystyle a=b\,} و b
=
c {\displaystyle b=c\,} إذن a
=
c {\displaystyle a=c\,}
إذا كان a
=
b {\displaystyle a=b\,} إذن b
=
a {\displaystyle b=a\,}
قوانين أخرى
إذا كان a
=
b {\displaystyle a=b\,} و c
=
d {\displaystyle c=d\,} إذن a
+
c
=
b
+
d {\displaystyle a+c=b+d\,}
إذا كان a
=
b {\displaystyle a=b\,} إذن a
+
c
=
b
+
c {\displaystyle a+c=b+c\,} لأى رقم
c
c\,
إذا كان a
=
b {\displaystyle a=b\,} و c
=
d {\displaystyle c=d\,} إذن a
×
c
=
b
×
d {\displaystyle a\times c=b\times d\,}
إذا كان a
=
b {\displaystyle a=b\,} إذن a
×
c
=
b
×
c {\displaystyle a\times c=b\times c\,} لأى رقم
c
c\,
إذا وجد متغيرين متساويين يمكن استبدال أحدهما بما يساويه الآخر.
إذا كان a
>
b {\displaystyle a>b\,} و b
>
c {\displaystyle b>c\,} إذن a
>
c {\displaystyle a>c\,} (علاقة التعدي)
إذا كان a
>
b {\displaystyle a>b\,} إذن a
+
c
>
b
+
c
,
{\displaystyle a+c>b+c,} لأى رقم
c
c\,
إذا كان a
>
b {\displaystyle a>b\,} و c
>
0 {\displaystyle c>0\,} اذن a
×
c
>
b
×
c {\displaystyle a\times c>b\times c\,}
إذا كان a
>
b {\displaystyle a>b\,} و c
<
0 {\displaystyle c<0\,} إذن a
×
c
<
b
×
c {\displaystyle a\times c
الجبر الابتدائي هو أبسط أنواع الجبر الذي يتم تدريسه لطلاب الرياضيات المفترض محدودية معرفتهم برياضيات ما بعد الأرقام.[1][2] يشكل هذا الفرع من الجبر الذي يتعامل مع كثيرات الحدود والمعادلات وطرق إيجاد جذور المعادلات وطرق حلها. في هذا المقال نتعرض للجبر الابتدائي بداية ببديهياته مرورا بخواص العمليات الجبرية وانتهاء بأنظمة المعادلات الخطية.[3]
حالات خاصة من أنظمة المعادلات الخطية
في المثال السابق تمكننا من إيجاد حل يحقق المعادلات الموصفة للنظام. ولكن توجد أنظمة أخرى ليس لها حلول إما لأنها غير قابلة للحل أو غير محددة. أنظمة غير قابلة للحل
يعمد المثال التالي على أبسط الأمثلة للأنظمة غير قابلة للحل { x
+
y
=
1
0
x
+
0
y
=
2 {\displaystyle {\begin{cases}x+y=1\\0x+0y=2\end{cases}}\,}
وذلك بسبب أن المعادلة الثانية ليس لها حل. هناك أنظمة أخرى مثل { 4
x
+
2
y
=
12
−
2
x
−
y
=
−
6 {\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{cases}}\,}
عند إيجاد حل لهذا النظام نجد y
=
−
2
x
+
6 {\displaystyle y=-2x+6\,}
وبالتعويض 4
x
+
2
(
−
2
x
+
6
)
=
12 {\displaystyle 4x+2(-2x+6)=12\,}
4
x
−
4
x
+
12
=
12 {\displaystyle 4x-4x+12=12\,}
12
=
12 {\displaystyle 12=12\,}
تلاشت كل المتغيرات والمتساوية الأخيرة غير صحيحة. إذا نتج عن هذا التعويض متساوية صحيحة يكون هذا النظام غير محدد. أنظمة غير محددة
في المثال التالي { 4
x
+
2
y
=
12
−
2
x
−
y
=
−
6 {\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{cases}}\,}
بعزل y {\displaystyle y\,} يكون y
=
−
2
x
+
6 {\displaystyle y=-2x+6\,}
و بالتعويض 4
x
+
2
(
−
2
x
+
6
)
=
12 {\displaystyle 4x+2(-2x+6)=12\,}
4
x
−
4
x
+
12
=
12 {\displaystyle 4x-4x+12=12\,}
12
=
12 {\displaystyle 12=12\,}
تلاشت كل المتغيرات والمتساوية الأخيرة صحيحة. السبب الرئيسى في عدم وجود حلول محددة لهذا النظام هو أن أحد المعادلتين يساوى الأخرى مضروبة في ثابت. وتدعى هذه المعادلات متوازية.
المعادلات الخطية في متغير واحد
تعد المعادلة الخطية في مجهول واحد أبسط المعادلات على الإطلاق فهي تتكون من متغير واحد وبعض الثوابت العددية. 2
x
+
4
=
12 {\displaystyle 2x+4=12\,}
الطريقة الأساسية لحل هذه المعادلة هي تطبيق العمليات الأساسية من جمع وطرح وضرب وقسمة على طرفي المعادلة لنحصل على المتغير في جانب والثوابت في الجانب الآخر. فمثلا 2
x
+
4
−
4
=
12
−
4 {\displaystyle 2x+4-4=12-4\,}
لتتبسط إلى 2
x
=
8 {\displaystyle 2x=8\,}
والآن نقسم الطرفين على 2 {\displaystyle 2\,}
2
x 2
=
8 2
{\displaystyle {2x \over 2}={8 \over 2\,}}
ويتم تبسيطها إلى x
=
4 {\displaystyle x=4\,}
وعند تعويض x
=
4 {\displaystyle x=4\,} في 2
x
+
4
=
12 {\displaystyle 2x+4=12\,} نجد أن: 2
(
4
)
+
4
=
12
{\displaystyle 2(4)+4=12}
12
=
12
{\displaystyle 12=12}
الحالة العامة للمعادلات الخطية من الدرجة الأولى في متغير واحد هي كالتالى a
x
+
b
=
c {\displaystyle ax+b=c\,}
حيث x {\displaystyle x\,} هو المتغير و a
,
b
,
c {\displaystyle a,b,c\,} هم ثوابت عددية. والحل العام لهذه المعادلة يكون x
= c
−
b a {\displaystyle x={{c-b} \over a}\,}
و يشترط لاستعمال هذه الطريقة ان يكون العدد (a) لا يساوي الصفر.
أنظمة المعادلات الخطية
تسمى مجموعة من معادلات الخطية بالنظام. فمثلا معادلتين في متغيرين x {\displaystyle x\,} و y {\displaystyle y\,} { 4
x
+
2
y
=
14
2
x
−
y
=
1 {\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1\end{cases}}\,}
يدعى نظام معادلات خطى في متغيرين. توجد طرق حل كثيرة لإيجاد قيم x {\displaystyle x\,} و y {\displaystyle y\,} التي تحقق المعادلتين المعرفتين للنظام منها الجبرى والهندسي. إيجاد الحل بالحذف
بضرب طرفى المعادلة الثانية في 2. 4
x
+
2
y
=
14 {\displaystyle 4x+2y=14\,}
4
x
−
2
y
=
2 {\displaystyle 4x-2y=2\,}
بجمع المعادلتين نجد 8
x
=
16 {\displaystyle 8x=16\,}
والآن نقسم الطرفين على 8
8
x 8
=
16 8
{\displaystyle {8x \over 8}={16 \over 8\,}}
ويتم تبسيطها إلى x
=
2 {\displaystyle x=2\,}
ولإيجاد قيمة y
{\displaystyle y} في معادلتي النظام يتم تعويض قيمة x
=
2 {\displaystyle x=2\,} في أي من معادلتي النظام. ولتكون المعادلة الأولى وهي 4
x
+
2
y
=
14
{\displaystyle 4x+2y=14} بتعويض x
=
2
{\displaystyle x=2} 4
(
2
)
+
2
y
=
14
{\displaystyle 4(2)+2y=14}
8
+
2
y
=
14
{\displaystyle 8+2y=14}
نضع المتغير في جانب والثوابت في الجانب الآخر مع تغيير الإشارة 2
y
=
14
−
8
{\displaystyle 2y=14-8}
2
y
=
6
{\displaystyle 2y=6}
والآن نقسم الطرفين على 2
2
y 2
=
6
2
{\displaystyle {2y \over 2}={6 \over 2}}
ويتم تبسيطها إلى y
=
3
{\displaystyle y=3}
وكذلك نجد y
=
3
{\displaystyle y=3} في المعادلة الثانية وهي 2
x
−
y
=
1
{\displaystyle 2x-y=1} نجد قيمة المتغيرين x
=
2
{\displaystyle x=2} و y
=
3
{\displaystyle y=3} وبتعويض قيمتهما في { 4
x
+
2
y
=
14
2
x
−
y
=
1 {\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1\end{cases}}\,} نجد أن: { 4
(
2
)
+
2
(
3
)
=
14
2
(
2
)
−
3
=
1 {\displaystyle {\begin{cases}4(2)+2(3)=14\\2(2)-3=1\end{cases}}\,}
=
{ 14
=
14
1
=
1 {\displaystyle ={\begin{cases}14=14\\1=1\end{cases}}\,}
إيجاد الحل بالتعويض
يعتمد هذا الحل على التعويض بالمعادلة المعبرة عن y {\displaystyle y\,} لاستنتاج قيمة x {\displaystyle x\,} ومن ثم التعويض بقيمة x {\displaystyle x\,} المستنتجة لإيجاد قيمة y {\displaystyle y\,} . بطرح 2
x {\displaystyle 2x\,} من طرفى المعادلة الثانية نجصل على 2
x
−
y
−
2
x
=
1
−
2
x {\displaystyle 2x-y-2x=1-2x\,}
ويتم تبسيطها إلى −
y
=
1
−
2
x {\displaystyle -y=1-2x\,}
وبضرب طرفى الأخيرة في −
1 {\displaystyle -1\,} نحصل على y
=
2
x
−
1 {\displaystyle y=2x-1\,}
وبالتعويض بما يساوى y {\displaystyle y\,} في المعادلة الأولى في النظام 4
x
+
2
(
2
x
−
1
)
=
14 {\displaystyle 4x+2(2x-1)=14\,}
4
x
+
4
x
−
2
=
14 {\displaystyle 4x+4x-2=14\,}
8
x
−
2
=
14 {\displaystyle 8x-2=14\,}
وبجمع 2 {\displaystyle 2\,} لطرفى هذه المعادلة نحصل على 8
x
=
16 {\displaystyle 8x=16\,} ومنها بالقسمة على 8 {\displaystyle 8\,} تكون
x
=
2 {\displaystyle x=2\,}
وبالتعويض بقيمة x {\displaystyle x\,} في أي من معادلتى النظام تكون y
=
3 {\displaystyle y=3\,}
قوانين الجبر الابتدائي
يعتمد الجبر الابتدائى على عمليتين أساسيتين هما الجمع والضرب. لكل من هاتين العمليتين عملية معاكسة. العملية المعاكسة للجمع هي الطرح. والعملية المعاكسة للضرب هي القسمة. يعتمد الجبر الابتدائى أيضا على رقمين بالغى الأهمية هما الصفر والواحد. يدعى الصفر بالمحايد الجمعى والواحد بالمحايد الضربى. يعتبر الواحد أيضا المولد الأساسي للجبر الابتدائي. عملية الجمع
يتم تعريف عملية الجمع بتكرار جمع الرقم واحد والذي يغير النتيجة إلى الرقم التالي. فمثلا أي رقم مجموع عليه واحد يساوى الرقم الذي يليه 1
+
1
=
2 {\displaystyle 1+1=2\,} 2
+
1
=
3 {\displaystyle 2+1=3\,} أي رقم مجموع مع أي رقم آخر يتم تحليل أحدهما لمجموع الآحاد كما يلى 2
+
2
=
1
+
1
+
1
+
1
=
3
+
1
=
4 {\displaystyle 2+2=1+1+1+1=3+1=4\,} 2
+
3
=
2
+
1
+
1
+
1
=
3
+
1
+
1
=
4
+
1
=
5 {\displaystyle 2+3=2+1+1+1=3+1+1=4+1=5\,} وهكذا. خواص عملية الجمع
الجمع عملية تبديلية. وهذا يعنى أن ترتيب المعاملات حول عملية الجمع يساوى نفس النتيجة.
a
+
b
=
b
+
a {\displaystyle a+b=b+a\,}
[الجمع] عملية تجميعية. وهذا يعنى أن ترتيب إجراء عملية الجمع لا يؤثر على النتيجة.
a
+
(
b
+
c
)
=
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
b
+
c {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c\,}
المحايد الجمعى (الصفر) هو الرقم الذي لا يؤثر على عملية الجمع.
a
+
0
=
0
+
a
=
a {\displaystyle a+0=0+a=a\,}
الطرح عملية معاكسة للجمع.أي أن طرح أي رقم من رقم آخر يساوى الفرق بينهما الذي لو أضيف للرقم الثاني يساوى الرقم الأول.
a
−
b
=
c {\displaystyle a-b=c\,}
a
=
c
+
b {\displaystyle a=c+b\,}
وهذا يعنى أن طرح الرقم من نفسه لابد أن يساوي المحايد الجمعى (الصفر).
a
−
a
=
0 {\displaystyle a-a=0\,}
لأن a
+
0
=
a {\displaystyle a+0=a\,}
لذلك يتم تعريف المعاكس الجمعى لكل عنصر في الأرقام المتعامل معها جبريا. المعاكس الجمعى لرقم a
a هو الرقم (
−
a
)
{\displaystyle (-a)} الذي يساوى مجموعهما الصفر.
a
+
(
−
a
)
=
0 {\displaystyle a+(-a)=0\,}
وهكذا تتحول عملية الطرح إلى عملية جمع باستبدال العدد المطروح بمعاكسه الجمعى أو العدد سالب
a
+
(
−
b
)
=
a
−
b {\displaystyle a+(-b)=a-b\,}
عملية الضرب
يتم تعريف عملية الضرب بتكرار الجمع. فمثلا 5
×
2
=
5
+
5
=
2
+
2
+
2
+
2
+
2
=
10 {\displaystyle 5\times 2=5+5=2+2+2+2+2=10\,}
وهكذا. خواص عملية الضرب
الضرب عملية تبديلية. وهذا يعنى أن ترتيب المعاملات حول عملية الضرب يساوى نفس النتيجة.
a
×
b
=
b
×
a {\displaystyle a\times b=b\times a\,}
الضرب عملية تجميعية. وهذا يعنى أن ترتيب إجراء عملية الضرب لا يؤثر على النتيجة.
a
×
(
b
×
c
)
=
(
a
×
b
)
×
c
=
a
×
b
×
c {\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c=a\times b\times c\,}
الضرب عملية توزيعية على الجمع. وهذا يعنى أن إجراء عملية ضرب على مجموع رقمين يساوى مجموع حاصل ضرب العدد مع كل من هذين العددين.
a
×
(
b
+
c
)
=
a
×
b
+
a
×
c {\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c\,}
المحايد الضربى (الواحد) هو الرقم الذي لا يؤثر على عملية الضرب.
a
×
1
=
1
×
a
=
a {\displaystyle a\times 1=1\times a=a\,}
القسمة عملية معاكسة للضرب.أي أن قسمة أي رقم على رقم آخر يساوى الفرق في تكرار الجمع بينهما الذي لو أضيف للرقم الثاني يساوى الرقم الأول.
a
b
=
c {\displaystyle {a \over b}=c\,}
a
=
c
×
b {\displaystyle a=c\times b\,}
وهذا يعنى أن قسمة الرقم على نفسه لابد أن يساوى المحايد الضربى (الواحد).
a
a
=
1 {\displaystyle {a \over a}=1\,}
لأن a
×
1
=
a {\displaystyle a\times 1=a\,}
لذلك يتم تعريف المعاكس الضربى لكل عنصر في الأرقام المتعامل معها جبريا. المعاكس الضربى لرقم a
a هو الرقم ( a −
1
)
{\displaystyle (a^{-1})} الذي يساوى حاصل ضربهما الواحد.
a
×
( a −
1
)
=
1 {\displaystyle a\times (a^{-1})=1\,}
وهكذا تتحول عملية القسمة إلى عملية ضرب باستبدال العدد المقسوم عليه بمعاكسه الضربى أو ما يسمى بمقلوب العدد
a
×
( b −
1
)
=
a
b {\displaystyle a\times (b^{-1})={a \over b}\,}
قوانين المتساويات
إذا كان a
=
b {\displaystyle a=b\,} و b
=
c {\displaystyle b=c\,} إذن a
=
c {\displaystyle a=c\,}
إذا كان a
=
b {\displaystyle a=b\,} إذن b
=
a {\displaystyle b=a\,}
قوانين أخرى
إذا كان a
=
b {\displaystyle a=b\,} و c
=
d {\displaystyle c=d\,} إذن a
+
c
=
b
+
d {\displaystyle a+c=b+d\,}
إذا كان a
=
b {\displaystyle a=b\,} إذن a
+
c
=
b
+
c {\displaystyle a+c=b+c\,} لأى رقم
c
c\,
إذا كان a
=
b {\displaystyle a=b\,} و c
=
d {\displaystyle c=d\,} إذن a
×
c
=
b
×
d {\displaystyle a\times c=b\times d\,}
إذا كان a
=
b {\displaystyle a=b\,} إذن a
×
c
=
b
×
c {\displaystyle a\times c=b\times c\,} لأى رقم
c
c\,
إذا وجد متغيرين متساويين يمكن استبدال أحدهما بما يساويه الآخر.
إذا كان a
>
b {\displaystyle a>b\,} و b
>
c {\displaystyle b>c\,} إذن a
>
c {\displaystyle a>c\,} (علاقة التعدي)
إذا كان a
>
b {\displaystyle a>b\,} إذن a
+
c
>
b
+
c
,
{\displaystyle a+c>b+c,} لأى رقم
c
c\,
إذا كان a
>
b {\displaystyle a>b\,} و c
>
0 {\displaystyle c>0\,} اذن a
×
c
>
b
×
c {\displaystyle a\times c>b\times c\,}
إذا كان a
>
b {\displaystyle a>b\,} و c
<
0 {\displaystyle c<0\,} إذن a
×
c
<
b
×
c {\displaystyle a\times c
شرح مبسط
الجبر الابتدائي هو أبسط أنواع الجبر الذي يتم تدريسه لطلاب الرياضيات المفترض محدودية معرفتهم برياضيات ما بعد الأرقام.[1][2] يشكل هذا الفرع من الجبر الذي يتعامل مع كثيرات الحدود والمعادلات وطرق إيجاد جذور المعادلات وطرق حلها. في هذا المقال نتعرض للجبر الابتدائي بداية ببديهياته مرورا بخواص العمليات الجبرية وانتهاء بأنظمة المعادلات الخطية.[3]
شاركنا رأيك
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع [ تعرٌف على ] جبر ابتدائي # اخر تحديث اليوم 2024-04-19 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 14/11/2023
اعلانات العرب الآن