اليوم: الخميس 18 ابريل 2024 , الساعة: 8:37 م
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
اخر المشاهدات
- [ صيدليات السعودية ] صيدلية النهدي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ دليل دبي الامارات ] صيدلية سنودونيا طريق الوصل ، أم سقيم ، دبي ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ تعرٌف على ] وودستوك (مينيسوتا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مطاعم السعودية ] مطعم تثليث البخاري # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ حكمــــــة ] اعلم أن لكل فضيلة أسا ولكل أدب ينبوعا، وأس الفضائل وينبوع الاداب هو العقل الذي جعله الله تعالى للدين أصلا وللدنيا عمادا، فأوجب الدين بكماله وجعل الدنيا مدبرة بأحكامه، وألف به بين خلقه مع اختلاف هممهم ومآربهم، وتباين أغراضهم ومقاصدهم، وجعل م
- [ شركات مقاولات السعودية ] مؤسسة ايمان محمد سويكت الهاجري للمقاولات العامة ... صفوى ... الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] الجامعة الألمانية بالقاهرة # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تسوق وملابس الامارات ] جافاهير ش.م.ح. ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ رقم تليفون و لوكيشن ] البنك الأهلي الكويتي (أبك) - مستشفى صباح .. العاصمة - الكويت # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ صحة وطب الامارات ] صيدلية زمرد ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ دليل أبوظبي الامارات ] مصنع الاتحاد لتشكيل الحديد ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ بنوك وصرافة الامارات ] الأنصاري للصرافة ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ الكترونيات الامارات ] شركة ميكروسوفت كوربوريشن الخليج الحرة المحدودة ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] كلية دار العلوم (جامعة القاهرة) # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مطاعم السعودية ] إلم كافية Elm Cafe - قهوة مختصة # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] الطريق الدائري (القاهرة الكبرى) # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] نزاع هيئة تحرير الشام–جنود الشام # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد يحي ابن مفرح القحطاني ... سراة عبيدة ... منطقة عسير # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مؤسسات البحرين ] بلاي لوفت ذ.م.م ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مقاولات و مقاولات عامة قطر ] امام للتجارة # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] الصورة المنبوذة # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ دليل دبي الامارات ] هيتشكي دبي ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ الهالات والرؤوس السوداء ] إزالة الرؤوس السوداء من الأنف # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ حكمــــــة ] يا هذا الآخرة دار سكانها الأخلاق الجميلة فصادقوا اليوم سكانها لتنزلوا عليهم يوم القدوم فإن من قدم إلى بلد لا صديق له به نزل بالعراء يا هذا فنى العمر في خدمة البدن وحوائج القلب كلها واقفة إنهض إلى التلافي قبل التلف # اخر تحديث اليوم 2024-04-
- [ خذها قاعدة ] لا تلم كفى إذا السيف نبا .. صح مني العزم والدهر أبى. - حافظ إبراهيم # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- السلام عليكم ورحمة الله ..... ما هي اضرار استخدام تحاميل ديفال حيث أستخدام تحاميل ديفال لتهدئة # اخر تحديث اليوم 2024-03-21
- هل هناك فرق بين الأنافرانيل والبروزاك؟ وأيهما أفضل؟ # اخر تحديث اليوم 2024-02-22
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد عبدالله بن مناور الحربي ... عقله الصقور ... منطقة القصيم # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] خالد بن شليويح بن محمد الحربي ... حائل ... منطقة حائل # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مؤسسات البحرين ] خدمات بومى ذ.م.م ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] معالجة الصور الرقمية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ شركات تكنولوجيا المعلومات قطر ] شركة الفانت سولوشانز al fanet qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] علياء محمد علي الخميش ... البكيريه ... منطقة القصيم # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] نايف سعود محمد الصقري ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ سياحة وترفيه الامارات ] فيلا جميرا هوليداى النخلة ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مؤسسات البحرين ] حضارة دلمون لفك وتركيب العفش ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ شركات الازياء والموضة قطر ] السلطان للازياء Sultan\'s Royal Saree ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ خذها قاعدة ] صدقني لست بقادر على تحرير من هو مقتنع بأنه عبد. - فائز سلطان # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] حرير # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ بنوك وصرافة الامارات ] الأنصاري للصرافة ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مطاعم السعودية ] مطعم الدجاجة الشقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مؤسسات البحرين ] ملقا للحوم الطازجة ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] خسوف القمر أبريل 2014 # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مغاسل وتنظيف جاف الامارات ] اكوا للتنظيف # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مؤسسات البحرين ] المؤسسة المصرفية العالمية ش.م.ب.مقفلة ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ ملابس السعودية ] لاسينزا # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] إليزابيث (مينيسوتا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] المجلس الأعلى للقوات المسلحة (مصر) # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ماجد بن عبدالمنعم بن طريس الشيخ ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مؤسسات البحرين ] مقهى بوابة الفانوس ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مقاهي السعودية ] مودكا كوفي MODCA COFFEE # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مقاولات و مقاولات عامة قطر ] كيلوغ براون اند روت سيرفيسز # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ حكمــــــة ] كان يقال : أول المودة طلاقة الوجه والثانية التودد والثالثة قضاء حوائج الناس . # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] جاسر عبدالمحسن عبدالهادي المولد ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] حقوق الحيوان في ألمانيا النازية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ دليل أبوظبي الامارات ] مسجد مطر ثاني مطر الرميثي ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟ # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ محامين السعودية ] امجاد سعد عبدالله الخديدي ... الطائف # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] الزنك في علم الأحياء # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مؤسسات البحرين ] أبومازن لخياطة الجلسات العربية ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] نوريا لاجوستيرا فيفس # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مؤسسات البحرين ] بومباي بحرين للتجارة ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مؤسسات البحرين ] المنصوري لقطع غيار السيارات ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] عبد العزيز الغرير # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ خدمات عامة الامارات ] مسجد شما ضاحي الرميثي ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] دائرة بئر بوحوش # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ خدمات عامة الامارات ] نخلة جميرا ، بناية الشهلا ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مؤسسات البحرين ] المؤسسة العربيه المصرفيه ش.م.ب ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ تعرٌف على ] معهد الدراسات والبحوث الإحصائية (جامعة القاهرة) # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] استيلاء إسرائيل على الينابيع الفلسطينية في الضفة الغربية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ صيدليات السعودية ] صيدلية البكيرية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مدارس السعودية ] ابتدائية ابو عبيدة عامر # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ دليل دبي الامارات ] ابواب مردف للتجارة العامة ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ دليل أبوظبي الامارات ] مسجد بشر بن الحارث الأنصاري ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مؤسسات البحرين ] رهف للأيدي العاملة ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مؤسسات البحرين ] يو اف جي لأنشطة أخرى تتعلق بالتسويق والترويج تضامن لاصحابها نعيمه فوءاد وشريكتها ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ متاجر السعودية ] فوتك بكسل ... الدمام ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مغاسل وتنظيف جاف الامارات ] البحر الابيض لكي الملابس # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ رقم هاتف ] عيادة الدكتور محمد شاكر جعفر العمران في السقية البحرين وعنوان عيادة طبية في البحرين # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021 # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ متاجر السعودية ] بييوني ... البكيريه ... منطقة القصيم # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] علي بن عبد الرحمن الصوري # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ شركات المطاعم العربية والاجنبية قطر ] مطعم واجاماما Wagamama Qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] 27 ذو القعدة # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مؤسسات البحرين ] آبعاد للفنون التشكيلية ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] شركة ابناء عبدالله محمد الصقعبي ... صامطه ... منطقة جازان # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] اضطراب مزاجي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- تفسير حلم رؤية شجرة السدر فى المنام # اخر تحديث اليوم 2024-03-18
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سلطان جازي حسين الحربي ... البكيريه ... منطقة القصيم # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ خياطون الامارات ] محل خياطة الأنوار الساطعة # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مقاهي السعودية ] كوفي ادكتس # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ مؤسسات البحرين ] مؤسسة البوعينين للأدوات البحرية ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ تعرٌف على ] ثنائية الجنس # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] غصاب حبيب الله خيرالله المطيري ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ متاجر السعودية ] روزي براون ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ منوعات أسرة وتسلية ] كيف أشغل نفسي بشيء مفيد # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
- [ قضايا مجتمعية ] 4 أفكار مهمة حول أهمية الوحدة الوطنية # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
الأكثر قراءة
- مريم الصايغ في سطور
- سؤال و جواب | ما هى أسباب نزول الدم الاحمر بعد البراز؟ وهل هناك أسباب مرضية؟ وما الحل ؟
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً
- هل للحبة السوداء"حبة البركة "فوائد ؟
- كيف أتخلص من الغازات الكريهة التى تخرج مني باستمرار؟
- هناك ألم عندى فى الجانب الأيسر للظهر فهل من الممكن أن يكون بسبب الكلى ؟
- هل هناك علاج للصداع الئى أانيه فى الجانب الأيسر من الدماغ مع العين اليسرى ؟
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام»
- [ رقم تلفون ] مستر مندوب ... مع اللوكيشن المملكه العربية السعودية
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان
- نزع شوك السمك في المنام
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة
- ارقام وهواتف مستشفى الهلال الاحمر 34 ش رمسيس وسط البلد بالقاهرة
- جريمة قتل آمنة الخالدي تفاصيل الجريمة
- رسائل حب ساخنة للمتزوجين +18
- خليفة بخيت الفلاسي حياته
- تعرٌف على ... عائشة العتيبي | مشاهير
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟
- رقم هاتف مكتب النائب العام وكيفية تقديم بلاغ للنائب العام
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] شركة متجر كل شششي - المملكه العربية السعودية
- تفسير رؤية شخص اسمه محمد في المنام لابن سيرين
- ارقام وهواتف مطعم الشبراوى 33 ش احمد عرابى المهندسين, بالجيزة
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة
- ارقام وهواتف عيادة د. ياسر المليجى - 139 ش التحرير الدقى بالجيزة
- ارقام وهواتف مستشفى النور المحمدى الخيرى التخصصى المطرية, بالقاهرة
- تفسير رؤية الحشرات في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية
- قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟
- أعشاب تفتح الرحم للإجهاض
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟!
- قناة تمازيغت برامج القناة
- ارقام وهواتف مكتب صحة - السادس من اكتوبر ميدان الحصرى السادس من اكتوبر, بالجيزة
- سور القران لكل شهر من شهور الحمل
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين
- زخرفة اسماء تصلح للفيس بوك
- مدرسة ب/ 141 حكومي للبنات بجدة
- إلغ (برمجية) التاريخ
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان
- أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام
- تفسير حلم الكلب لابن سيرين
- [ رقم هاتف ] عيادة د. حازم ابو النصر - 20 ش عبد العزيز جاويش عابدين بالقاهرة
- انا بنت عندي 13 سنة لسة مجتليش الدورة الشهرية ......كنت ببات عند خالتي وكل ما
- هل تمرير الإصبع بشكل أفقي على فتحة المهبل يؤدي إلى فض غشاء البكارة؟
- [رقم هاتف] شركة الحراسة و التوظيف و التنظيف.. المغرب
- قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي
- ذا إكس فاكتور آرابيا فكرة البرنامج
- السلام عليكم ، أنا مشكلتي بصراحة الجنس من الخلف مع زوجي الأن صار ويحب حيل
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟
- لالة لعروسة (برنامج) الفائزون
- أنا حامل في الشهر الرابع وينزل مني دم .. هل هذا طبيعي؟
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها
- هل إدخال إصبع الزوج في مهبل الزوجة له أضرار؟
- تفسير حلم اصلاح الطريق في المنام
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة
- إيمان ظاظا حياتها ومشوارها المهني
- أهمية وضرورة إزالة الخيط الأسود من ظهر الجمبري
- اسماء فيس بنات مزخرفة | القاب بنات مزخرفه
- لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة
- تفسير رؤية المشاهير في المنام لابن سيرين
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن حرب 6 اكتوبر 1973 بالصور pdf doc -
- فوائد عشبة الفلية و الكمية المناسبة يوميا
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] شركة الرفق بالحيوان و الطبيعة.. المغرب
- كلمات - انت روحي - حمود السمه
- أعاني من لحمة زائدة في الدبر ، فلدي قطعة لحمية صغيرة في فتحة الشرج من الخارج
- ما الفرق بين الغشاء السليم وغير السليم؟
- تفسير حلم رؤية الإصابة بالرصاص في الكتف بالمنام
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟
- عمر فروخ
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة?
- إدمان الزوج للمواقع الإباحية: المشكلة والأسباب والعلاج
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء.
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام
- تظهر عندي حبوب في البظر والشفرتين بين حين وآخر.. هل لها مضاعفات، وما علاجها؟
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- الكرة الحديدية قواعد اللعبة
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن اللغة العربية والكفايات اللغويه -
- تفسير حلم رؤية الكنز فى المنام لابن سيرين
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟
روابط تهمك
مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع [ تعرٌف على ] عدد برنولي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 10/11/2023
[ تعرٌف على ] عدد برنولي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18
آخر تحديث منذ 5 شهر و 10 يوم
1 مشاهدة
تم النشر اليوم 2024-04-18 | عدد برنولي
أعداد أويلر هي متتالية من الأعداد الصحيحة مرتبطة ارتباطا شديدا بأعداد برنولي.
π
∼
2
(
2
2
n
−
4
2
n
)
B
2
n
E
2
n
.
{\displaystyle \pi \ \sim \ 2\left(2^{2n}-4^{2n}\right){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.}
المقالة الرئيسة: صيغة فاولهابر
تظهر أعداد برنولي بشكل بارز في الصورة المغلقة لمجاميع القوى ل n الأعداد الطبيعية الأولى مرفوعة إلى القوة m حيث m ثابت، كما يلي:
S
m
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
k
m
=
1
m
+
2
m
+
⋯
+
n
m
{\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}\,}
هذا المجموع يمثل متعددة حدود متغيرها n ودرجتها m+1. معاملات متعددات الحود هذه لها صلة بأعداد بيرنولي كما تُبين ذلك صيغة بيرنولي:
S
m
(
n
)
=
1
m
+
1
∑
k
=
0
m
(
m
+
1
k
)
B
k
n
m
+
1
−
k
,
{\displaystyle S_{m}(n)={1 \over {m+1}}\sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose {k}}B_{k}\;n^{m+1-k},}
العلاقة السابقة تتطلب الأخذ في الاعتبار الاصطلاحَ B1=+1/2. (
(
m
+
1
k
)
{\displaystyle {\tbinom {m+1}{k}}}
يعني المعامل الثنائي k عنصرا من بين m + 1 عنصرا)
لتكن n≥0. بجعل m مساوية ل 0 وB0=1 تعطي أعداد طبيعية 0,1,2,3,….
0
+
1
+
1
+
⋯
+
1
=
1
1
(
B
0
n
)
=
n
.
{\displaystyle 0+1+1+\cdots +1={\frac {1}{1}}\left(B_{0}n\right)=n.}
بجعل m مساوية ل 1 وB1 = 1/2, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد مثلثية 0,1,3,6, وهكذا.
0
+
1
+
2
+
⋯
+
n
=
1
2
(
B
0
n
2
+
2
B
1
n
1
)
=
1
2
(
n
2
+
n
)
.
{\displaystyle 0+1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}\left(B_{0}n^{2}+2B_{1}n^{1}\right)={\frac {1}{2}}\left(n^{2}+n\right).}
بجعل m مساوية ل 2 وB2=1/6, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد هرمية مربعة 0,1,5,14, وهكذا.
0
+
1
2
+
2
2
+
⋯
+
n
2
=
1
3
(
B
0
n
3
+
3
B
1
n
2
+
3
B
2
n
1
)
=
1
3
(
n
3
+
3
2
n
2
+
1
2
n
)
.
{\displaystyle 0+1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}\left(B_{0}n^{3}+3B_{1}n^{2}+3B_{2}n^{1}\right)={\frac {1}{3}}\left(n^{3}+{\frac {3}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n\right).}
مع أن صيغة بيرنولي تعكس صراحة ما كتبه بيرنولي إلا أن بعض المؤلفين يعاملون صيغة بيرنولي بطريقة أخرى لا أنها متوافقة مع تعبير بيرنولي ولا أن لها ميزة واضحة مقارنة بالتعبير. فهم يكتبون:
S
m
(
n
)
=
1
m
+
1
∑
k
=
0
m
(
−
1
)
k
(
m
+
1
k
)
B
k
n
m
+
1
−
k
{\displaystyle S_{m}(n)={1 \over {m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{m+1 \choose {k}}B_{k}n^{m+1-k}}
لتجنب التناقض مع الصيغة أعلاه، كان على هؤلاء المؤلفين أن يضعوا B1=−1/2. في القسم التالي سوف يتم التعليق على عواقب الفروق الناتجة سيما أن من المحتمل أن ينجم عنها بعض اللبس.
يطلق عادة على صيغة بيرنولي صيغة فاولابر تقديرا لجون فاولابر الذي أوجد أيضا طرقا جديرة بالاهتمام لحساب مجاميع القوى.
عمم صيغةَ فاولابر غو وجاي زيغ V. Guo & J. Zeng إلى q-analog (Guo & Zeng 2005).
انظر إلى فيليب فون لوديش سيدل.
Seidel's algorithm for Tn
مبرهنات كومر
ترتبط أعداد برنولي بمبرهنة فيرما الأخيرة من خلال مبرهنة كومر,(برهن عليها عام 1850) والتي تنص على ما يلي:
إذا كان p عددا أوليا فرديا، لا يقسم أيا من بسط أعداد برنولي B2,B4,...,Bp−3، إذا، فإن المعادلة xp+yp+zp=0 لا تقبل حلولا طبيعية تختلف عن الصفر.
الأعداد الأولية التي تملك هاته الخاصية تسمى أعدادا أولية نظامية.
لماذا تنعدم أعداد برنولي الفردية ؟
المجموع:
φ
k
(
n
)
=
∑
i
=
0
n
i
k
−
n
k
2
{\displaystyle \varphi _{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}i^{k}-{\frac {n^{k}}{2}}}
يمكن أن يحسب عند قيم سالبة ل n. بعمل ذلك، يتبين أن هذه الدالة فردية عندما يكون k زوجيا.
الدالة المولدة لأعداد برنولي هي كما يلي:
t
e
t
−
1
=
∑
m
=
0
∞
B
m
t
m
m
!
{\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}}
t
e
t
−
1
=
B
0
+
B
1
t
1
1
!
+
∑
m
=
2
∞
B
m
t
m
m
!
{\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}=B_{0}+B_{1}{\frac {t^{1}}{1!}}+\sum _{m=2}^{\infty }B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}}
t
e
t
−
1
=
1
−
t
2
+
∑
m
=
2
∞
B
m
t
m
m
!
{\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}=1-{\frac {t}{2}}+\sum _{m=2}^{\infty }B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}}
t
e
t
−
1
+
t
2
=
1
+
∑
m
=
2
∞
B
m
t
m
m
!
{\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}+{\frac {t}{2}}=1+\sum _{m=2}^{\infty }B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}}
بتوحيد المقامات في الجانب الأيسر:
t
(
e
t
+
1
)
2
(
e
t
−
1
)
=
1
+
∑
m
=
2
∞
B
m
t
m
m
!
{\displaystyle {\frac {t(e^{t}+1)}{2(e^{t}-1)}}=1+\sum _{m=2}^{\infty }B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}}
الدالة في الجانب الأيسر من الصيغة أعلاه هي دالة زوجية.
f
(
x
)
=
t
(
e
t
+
1
)
2
(
e
t
−
1
)
=
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {t(e^{t}+1)}{2(e^{t}-1)}}=f(-x)}
بتعويض x ب -x، نجد ما يلي:
B
m
t
m
m
!
=
B
m
(
−
t
)
m
m
!
{\displaystyle B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}=B_{m}{\frac {(-t)^{m}}{m!}}}
من خلال هذه الصيغة، تستنتج أن تنعدم
B
m
{\displaystyle B_{m}}
عندما يكون المؤشر
m
m
فرديا.
إعادة لصياغة نص فرضية ريمان
الارتباط بين أعداد برنولي ودالة زيتا لريمان قوي بما فيه الكفاية لإعطاء نص آخر لفرضية ريمان، مستعملا أعداد برنولي فقط. بالفعل، برهن مارسل ريز في عام 1916، على أن فرضية ريمان تكافئ ما يلي:
قيم أعداد بيرنولي الأولى
n
البسط
المقام
التقدير العشري
0
1
1
+1.00000000000
1
−1
2
−0.50000000000
2
1
6
+0.16666666667
4
−1
30
−0.03333333333
6
1
42
+0.02380952381
8
−1
30
−0.03333333333
10
5
66
+0.07575757576
12
−691
2730
−0.25311355311
14
7
6
+1.16666666667
16
−3617
510
−7.09215686275
18
43867
798
+54.9711779448
موسوعة المتتاليات الصحيحة على الإنترنت
قالب:OEIS link
قالب:OEIS link
تم إيجاد العديد من أوصاف أعداد بيرنولي في القرون الثلاثة الماضية، وكل منها أمكن استعماله لتقديم هذه الأعداد. فيما يلي أربعة من أهم هذه الأوصاف:
استدعاء ذاتي،
صيغة صريحة،
دالة توالدية
وصف خوارزمي.
لإثبات تكافؤ هذه الخواص الأربعة على القارئ العودة إلى التفسيرات الرياضية مثل(Ireland & Rosen 1990) أو (Conway & Guy 1996).
لسؤ الحظ يعطى التعريف في الأدب على وجهين مختلفين: بالرغم من الحقيقة أن بيرنولي قد عرف B1=1/2, some يضع المؤلفون B1=−1/2 (كثيرا منها في اصطلاحات مختلفة بالأسفل).لتجنب الخطر والالتباس سيتم شرح كلا الاختلافين هنا، خطوة بخطوة.
تعريف باستعمال الاستدعاء الذاتي
تعطى معادلة الاستدعاء الذاتي بشكلها الأفضل في صورة أكثر تعميما نوعا ما:
B
m
(
n
)
=
n
m
−
∑
k
=
0
m
−
1
(
m
k
)
B
k
(
n
)
m
−
k
+
1
B
0
(
n
)
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}(n)&=n^{m}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}(n)}{m-k+1}}\\B_{0}(n)&=1\end{aligned}}}
تعرف هذه المعادلة الأعداد النسبية Bm(n) لجميع الأعداد الصحيحة n≥0, m ≥ 0. 00 التي يجب تفسيرها على أنها 1. يكون للتكرار أساسه في B0(n) = 1 لكل n. يأتي الاختلافان الآن بوضع n=0 على الترتيب n=1. إضافة لذلك يتم تبسيط الترميز بحذف المرجع للمتغير n.
n = 0
n = 1
B
m
=
δ
m
,
0
−
∑
k
=
0
m
−
1
(
m
k
)
B
k
m
−
k
+
1
{\displaystyle B_{m}=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}}{m-k+1}}}
B
m
=
1
−
∑
k
=
0
m
−
1
(
m
k
)
B
k
m
−
k
+
1
{\displaystyle B_{m}=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}}{m-k+1}}}
التعبير هنا
δ
m
,
0
{\displaystyle \delta _{m,0}}
يحمل القيمة 1 إذا كان m=0 و0 عدا ذلك. يُعرف هذا الرمز باسم دلتا كرونكر.
عند حدوث لبس بين التعريفين يمكن تجنبه بالإشارة للتعريف الأعم وبتقديم المتغير المحذوف: بكتابة Bm(0) في الحالة الأولى وBm(1) في الثانية سوف يشير للقيمة السابقة دول التباس.
التعريف الصريح
في عام 1893، نشر لويس سالشوتز ما مجموعه ثمانية وثلاثون صيغة تضم أعداد برنولي، مشيرا عادة إلى مراجع قديمة. من بين هذه الصيغ ما يلي ((Saalschütz 1893)):
B
m
−
=
∑
k
=
0
m
∑
v
=
0
k
(
−
1
)
v
(
k
v
)
v
m
k
+
1
B
m
+
=
∑
k
=
0
m
∑
v
=
0
k
(
−
1
)
v
(
k
v
)
(
v
+
1
)
m
k
+
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\sum _{k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}}{\frac {v^{m}}{k+1}}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}}{\frac {(v+1)^{m}}{k+1}}.\end{aligned}}}
دالة التوليد
تعرف الدالة المولدة لمتسلسلة برنولي كما يلي:
تقود الخيارات n=0 وn=1 إلى.
n = 0
n = 1
t
e
t
−
1
=
∑
m
=
0
∞
B
m
t
m
m
!
{\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}}
t
1
−
e
−
t
=
∑
m
=
0
∞
B
m
t
m
m
!
{\displaystyle {\frac {t}{1-e^{-t}}}=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}}
وصف الخوارزمية
بالرغم من إمكانية استعمال الصيغة التكرارية السابقة للحساب فإنها تستعمل بشكل رئيس لتأسيس اتصال مع مجاميع القوى نظراً لأنها مكلفة حسابياً. مع ذلك، إن كل من الخوارزميات البسيطة والعالية النهاية متوفرة لحساب أعداد بيرنولي. الطريقة البسيطة تعطى في الخوارزم العام التالي في مربع النص 'خوارزم أكياما تانيغاوا' والمؤشرات لخوارزميات النهاية العليا معطاة في القسم التالي.
من المفيد في بعض التطبيقات القدرة على حساب أعداد بيرنوليB0 حتى Bp−3 متبقيا p, حيث p هو عدد أولي; فمثلاً لفحص ما إذا كان تخمين فانديفير صحيحاً، أو حتى للتحقق من أن p عدد أولي شاذ. ليس مناسباً أن نقوم بحساب كهذا باستعمال الصيغة التكرارية السابقة، لأنه على الأقل (ثابت من مضاعفات) p2 سيتطلب عمليات حسابية. لحسن الحظ فقد طورت طرق أسرع (Buhler et al. 2001) والتي تتطلب O(p(logp)2) عملية فقط (انظر علامة أو الكبرى).
يصف ديفيد هاري (Harvey 2008) خوارزمية لحساب أعداد بيرنولي عن طريق حساب Bn متبقياً p لأعداد أولية صغيرة عديدة p، ومن ثم يعيد إنشاء Bn عن طريق نظرية المتبقي الصينية. كتب هارفي بأن المقارب معقدة زمنياً لهذا الخوارزم هي O(n2 log(n) 2+eps) ويصرح بأن هذه الرؤية أسرع بشكل ملحوظ من الرؤى المعتمدة على الطرق الأخرى. طريقة هاري هي مضمنة في سايج منذ الإصدار 3.1. باستخدام هذه الرؤية قام هارفي بحساب Bn لقيم n=108 وهي رقم قياسي جديد (أكتوبر 2008). قبل بيرنارد كيلنر (Kellner 2002) حسب Bn لأعلى دقة لقيم n=106 في ديسمبر 2002 وOleksandr Pavlyk (Pavlyk 2008) لقيم n=107 بواسطة 'ماثماتيكا' في أبريل 2008.
الحاسب
السنة
n
المراتب*
ياكوب بيرنولي
~1689
10
1
ليونهارد أويلر
1748
30
8
J.C. Adams
1878
62
36
D.E. Knuth, T.J. Buckholtz
1967
360
478
G. Fee, S. Plouffe
1996
10000
27677
G. Fee, S. Plouffe
1996
100000
376755
B.C. Kellner
2002
1000000
4767529
O. Pavlyk
2008
10000000
57675260
D. Harvey
2008
100000000
676752569
تاريخ حساب أعداد بيرنولي
المراتب ينبغي فهمها على أنها قوى 10 عندما تكتب B(n) كعدد حقيقي في العلامة العلمية الموحدة.
يمكن النظر إلى أعداد بيرنولي من وجهات أربعة مختلفة:
كائنات رياضياتية قائمة بذاتها،
كائنات توافقياتية
قيما لمتعددات حدود متعاقبة،
قيما من دالة ريمان-زيتا.
تقود كل وجهة نظر مما سبق إلى مجموعة أخرى من الاصطلاحات.
أعداد بيرنولي كائنات قائمة بذاتها.
تعاقب مصاحب: 1/6, −1/30, 1/42, −1/30,...
هذه هي وجهة نظر جاكوب بيرنولي. انظر مقتطفات من كتابه أرس كونجكتاندي، الطبعة الأولى، 1713. تفهم أعداد بيرنولي على أنها أعداد تكرارية بطبيعتها، ابتُكرت لحل مشكلة رياضياتية معينة ألا وهي مجموع القوى، أو التطبيق البارادياغماتي - paradigmatic application لأعداد بيرنولي. هناك لبس في القول بأن وجهة النظر هذه 'archaic'. يستخدم هذه العبارة مثلاً جان-بيير سير في كتابه دورة في الحساب وهو كتاب معتمد في العديد من الجامعات اليوم.
أعداد بيرنولي كائنات توافقياتية.
تعاقب مصاحب: 1,+1/2,1/6,0,....
تركز هذه النظرة على العلاقة بين أعداد ستيرلنغ وأعداد برنولي وتظهر بطبيعة الحال في التفاضل والتكامل للفوارق المحدودة.
(
z
e
z
e
z
−
1
)
x
=
x
∑
n
≥
0
σ
n
(
x
)
z
n
{\displaystyle \left({\frac {ze^{z}}{e^{z}-1}}\right)^{x}=x\sum _{n\geq 0}\sigma _{n}(x)z^{n}}
وبشكل متعاقب Bn=n! σn(1) for n≥0.
أعداد برنولي قيما لمتعددات حدود متعاقبة.
المقصود هنا هو كثيرات حدود برنولي والتي سبق الحديث عنها.
يمكن تعريف أعداد برنولي بطريقتين مختلفتين:
Bn=Bn(0). تعاقب مصاحب: 1, −1/2, 1/6, 0,....
Bn=Bn(1). تعاقب مصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....
يختلف التعريفان فقط في إشارة B1. الخيار Bn=Bn(0) هو الاصطلاح الذي تم اعتماده في كتاب الدوال الرياضيايتية - Handbook of Mathematical Functions.
أعداد بيرنولي قيما لدالة زيتا لريمان
التعاقب المصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....
أعداد برنولي كما تصفها دالة زيتا لريمان.
يتوافق هذا الاصطلاح مع الاصطلاح Bn=Bn(1) (مثلاً J. Neukirch وM. Kaneko). الإشارة '+' for B1 متلائمة مع تمثيلات أعداد بيرنولي من دالة ريمان زيتا.
B
n
=
n
!
σ
n
(
1
)
=
B
n
(
1
)
=
−
n
ζ
(
1
−
n
)
(
n
≥
0
)
{\displaystyle \ B_{n}=n!\sigma _{n}(1)=B_{n}(1)=-n\zeta (1-n)\quad (n\geq 0)\ }
تعود جذور أعداد برنولي إلى تاريخ الحساب المبكر لمجموع القوى الصحيحة، والتي أصبحت محل اهتمام الرياضيين منذ القديم.
أحد صفحات Katsuyo Sampo (1712) لسيكي كاوا, مجدولة معاملات ذات الحدين وأعداد بيرنولي
عُرفت طرق حساب مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى n, ومجموع التربيعات والتكعيبات للأعداد الصحيحة الموجبة n الأولى، ولكن لم تكن هنالك «صيغ» حقيقية وكانت تُوصف نثْرا فقط.
من بين عباقرة الرياضيات المميزين الذين انتبهوا لهذه المسألة فيثاغورث(حوالي 572–497 قبل الميلاد، يوناني)، وأرخميدس (287–212 ق.م، إيطاليا) واريابهاتا (476 ق.م., الهند) والكرخي (1019 م، البصرة) والحسن بن الهيثم (965 م، في البصرة -. 1039, م في القاهرة).
لم يحرز الرياضيون تقدما ملحوظا إلا في أواخر القرن السادس عشر وأوائل السابع عشر. في الغرب لعب كل من توماس هاريوت (1560–1621) من انكلترا، ويوهان فاولهابر (1580–1635) من ألمانيا وبيير دي فيرما (1601–1665) وزميله الرياضي الفرنسي بليز باسكال (1623–1662) دورا هاما في هذا التطور.
بدا أن توماس هاريوت كان أول من اشتق وكتب صيغ مجموع القوى باستخدام العلامة الرمزية، ولكنه أيضا وصل إلى مجموع القوى الرابعة. أعطى جوهان فاولابر صيغا لمجموع القوى حتى القوة السابعة عشر في كتابه Academia Algebrae, عام 1631, أعلى بكثير من ذي قبل، ولكنه لم يعط صيغة عامة.
كان الرياضي السويسري جاكوب بيرنولي (1654–1705)أول من لاحظ وجود تسلسل مفرد من الثوابت B0, B1, B2,... والتي تعطي صيغة منتظمة لجميع مجاميع القوى (Knuth 1993). قبلها بعام كانت قد اكتشفت طريقة مماثلة لحساب مجاميع القوى من طرف سيكي كاوا في اليابان. بالرغم منذلك، لم يقدم سيكي كاوا طريقته صيغةً عامة مبنية على تسلسل من الثوابت.
المتعة التي أحس بها جاكوب بيرنولي حينما أزال الغطاء على النموذج الذي مكنه من حساب معاملات صيغته بسرعة وسهولة لمجموع القوى حتى c لأي عدد صحيح موجب c يمكن ملاحطتها في تعليقه حيث كتب:
بفضل هذا الجدول، استغرقت من الوقت أقل من نصف ربع الساعة لأجد أن مجموع القوى العاشرة لألف عدد الأولى يساوي:
91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500.
تعد صيغة بيرنولي لمجاميع القوى أعظم صيغة إفادة يمكن تعميمها حتى اليوم. تسمى معاملات بيرنولي اليوم أعداد بيرنولي، بناء على اقتراح أبراهام دي موافر.
نسبة إلى (Knuth 1993)، نُشر أول برهان متماسك لصيغة فاولهابر لأول مرة في عام 1834، نشره عالم الرياضيات كارل غوستاف ياكوب ياكوبي.
العلاقة بعدد فوربتزكي
العلاقة بمجموعة أعداد سترلنغ
العلاقة بعدد دورة سترلنغ
العلاقة بالأعداد الأويلرية
انظر إلى عدد أويلري.
تحليل المقارب
متسلسلة تايلور لدالتي tan و tanh
tan
x
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
,
|
x
|
<
π
2
tanh
x
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},\,\,\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\tanh x&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},\,\,\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}
الاستخدام في الطوبولوجيا
.
^ مذكور في: ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics. القسم: 2-11.5. الناشر: المنظمة الدولية للمعايير. تاريخ النشر: أغسطس 2019.
^ أ ب Selin, H. (1997), p. 891
^ Smith, D. E. (1914), p. 108
^ Note G in the Menabrea reference
تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات
علاقته بأعداد أويلر وπ
أعداد أويلر هي متتالية من الأعداد الصحيحة مرتبطة ارتباطا شديدا بأعداد برنولي.
π
∼
2
(
2
2
n
−
4
2
n
)
B
2
n
E
2
n
.
{\displaystyle \pi \ \sim \ 2\left(2^{2n}-4^{2n}\right){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.}
تمثيل التكامل والاستمرارية
مجموع القوى
المقالة الرئيسة: صيغة فاولهابر
تظهر أعداد برنولي بشكل بارز في الصورة المغلقة لمجاميع القوى ل n الأعداد الطبيعية الأولى مرفوعة إلى القوة m حيث m ثابت، كما يلي:
S
m
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
k
m
=
1
m
+
2
m
+
⋯
+
n
m
{\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}\,}
هذا المجموع يمثل متعددة حدود متغيرها n ودرجتها m+1. معاملات متعددات الحود هذه لها صلة بأعداد بيرنولي كما تُبين ذلك صيغة بيرنولي:
S
m
(
n
)
=
1
m
+
1
∑
k
=
0
m
(
m
+
1
k
)
B
k
n
m
+
1
−
k
,
{\displaystyle S_{m}(n)={1 \over {m+1}}\sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose {k}}B_{k}\;n^{m+1-k},}
العلاقة السابقة تتطلب الأخذ في الاعتبار الاصطلاحَ B1=+1/2. (
(
m
+
1
k
)
{\displaystyle {\tbinom {m+1}{k}}}
يعني المعامل الثنائي k عنصرا من بين m + 1 عنصرا)
لتكن n≥0. بجعل m مساوية ل 0 وB0=1 تعطي أعداد طبيعية 0,1,2,3,….
0
+
1
+
1
+
⋯
+
1
=
1
1
(
B
0
n
)
=
n
.
{\displaystyle 0+1+1+\cdots +1={\frac {1}{1}}\left(B_{0}n\right)=n.}
بجعل m مساوية ل 1 وB1 = 1/2, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد مثلثية 0,1,3,6, وهكذا.
0
+
1
+
2
+
⋯
+
n
=
1
2
(
B
0
n
2
+
2
B
1
n
1
)
=
1
2
(
n
2
+
n
)
.
{\displaystyle 0+1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}\left(B_{0}n^{2}+2B_{1}n^{1}\right)={\frac {1}{2}}\left(n^{2}+n\right).}
بجعل m مساوية ل 2 وB2=1/6, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد هرمية مربعة 0,1,5,14, وهكذا.
0
+
1
2
+
2
2
+
⋯
+
n
2
=
1
3
(
B
0
n
3
+
3
B
1
n
2
+
3
B
2
n
1
)
=
1
3
(
n
3
+
3
2
n
2
+
1
2
n
)
.
{\displaystyle 0+1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}\left(B_{0}n^{3}+3B_{1}n^{2}+3B_{2}n^{1}\right)={\frac {1}{3}}\left(n^{3}+{\frac {3}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n\right).}
مع أن صيغة بيرنولي تعكس صراحة ما كتبه بيرنولي إلا أن بعض المؤلفين يعاملون صيغة بيرنولي بطريقة أخرى لا أنها متوافقة مع تعبير بيرنولي ولا أن لها ميزة واضحة مقارنة بالتعبير. فهم يكتبون:
S
m
(
n
)
=
1
m
+
1
∑
k
=
0
m
(
−
1
)
k
(
m
+
1
k
)
B
k
n
m
+
1
−
k
{\displaystyle S_{m}(n)={1 \over {m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{m+1 \choose {k}}B_{k}n^{m+1-k}}
لتجنب التناقض مع الصيغة أعلاه، كان على هؤلاء المؤلفين أن يضعوا B1=−1/2. في القسم التالي سوف يتم التعليق على عواقب الفروق الناتجة سيما أن من المحتمل أن ينجم عنها بعض اللبس.
يطلق عادة على صيغة بيرنولي صيغة فاولابر تقديرا لجون فاولابر الذي أوجد أيضا طرقا جديرة بالاهتمام لحساب مجاميع القوى.
عمم صيغةَ فاولابر غو وجاي زيغ V. Guo & J. Zeng إلى q-analog (Guo & Zeng 2005).
تقريب المقارب
نظرة خواريزمية: مثلث سيدل
انظر إلى فيليب فون لوديش سيدل.
Seidel's algorithm for Tn
الخصائص الحسابية لأعداد برنولي
مبرهنات كومر
ترتبط أعداد برنولي بمبرهنة فيرما الأخيرة من خلال مبرهنة كومر,(برهن عليها عام 1850) والتي تنص على ما يلي:
إذا كان p عددا أوليا فرديا، لا يقسم أيا من بسط أعداد برنولي B2,B4,...,Bp−3، إذا، فإن المعادلة xp+yp+zp=0 لا تقبل حلولا طبيعية تختلف عن الصفر.
الأعداد الأولية التي تملك هاته الخاصية تسمى أعدادا أولية نظامية.
لماذا تنعدم أعداد برنولي الفردية ؟
المجموع:
φ
k
(
n
)
=
∑
i
=
0
n
i
k
−
n
k
2
{\displaystyle \varphi _{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}i^{k}-{\frac {n^{k}}{2}}}
يمكن أن يحسب عند قيم سالبة ل n. بعمل ذلك، يتبين أن هذه الدالة فردية عندما يكون k زوجيا.
الدالة المولدة لأعداد برنولي هي كما يلي:
t
e
t
−
1
=
∑
m
=
0
∞
B
m
t
m
m
!
{\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}}
t
e
t
−
1
=
B
0
+
B
1
t
1
1
!
+
∑
m
=
2
∞
B
m
t
m
m
!
{\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}=B_{0}+B_{1}{\frac {t^{1}}{1!}}+\sum _{m=2}^{\infty }B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}}
t
e
t
−
1
=
1
−
t
2
+
∑
m
=
2
∞
B
m
t
m
m
!
{\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}=1-{\frac {t}{2}}+\sum _{m=2}^{\infty }B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}}
t
e
t
−
1
+
t
2
=
1
+
∑
m
=
2
∞
B
m
t
m
m
!
{\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}+{\frac {t}{2}}=1+\sum _{m=2}^{\infty }B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}}
بتوحيد المقامات في الجانب الأيسر:
t
(
e
t
+
1
)
2
(
e
t
−
1
)
=
1
+
∑
m
=
2
∞
B
m
t
m
m
!
{\displaystyle {\frac {t(e^{t}+1)}{2(e^{t}-1)}}=1+\sum _{m=2}^{\infty }B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}}
الدالة في الجانب الأيسر من الصيغة أعلاه هي دالة زوجية.
f
(
x
)
=
t
(
e
t
+
1
)
2
(
e
t
−
1
)
=
f
(
−
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {t(e^{t}+1)}{2(e^{t}-1)}}=f(-x)}
بتعويض x ب -x، نجد ما يلي:
B
m
t
m
m
!
=
B
m
(
−
t
)
m
m
!
{\displaystyle B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}=B_{m}{\frac {(-t)^{m}}{m!}}}
من خلال هذه الصيغة، تستنتج أن تنعدم
B
m
{\displaystyle B_{m}}
عندما يكون المؤشر
m
m
فرديا.
إعادة لصياغة نص فرضية ريمان
الارتباط بين أعداد برنولي ودالة زيتا لريمان قوي بما فيه الكفاية لإعطاء نص آخر لفرضية ريمان، مستعملا أعداد برنولي فقط. بالفعل، برهن مارسل ريز في عام 1916، على أن فرضية ريمان تكافئ ما يلي:
ملحق
قيم أعداد بيرنولي الأولى
n
البسط
المقام
التقدير العشري
0
1
1
+
1
−1
2
−
2
1
6
+
4
−1
30
−
6
1
42
+
8
−1
30
−
10
5
66
+
12
−691
2730
−
14
7
6
+
16
−3617
510
−
18
43867
798
+
موسوعة المتتاليات الصحيحة على الإنترنت
قالب:OEIS link
قالب:OEIS link
تعاريف
تم إيجاد العديد من أوصاف أعداد بيرنولي في القرون الثلاثة الماضية، وكل منها أمكن استعماله لتقديم هذه الأعداد. فيما يلي أربعة من أهم هذه الأوصاف:
استدعاء ذاتي،
صيغة صريحة،
دالة توالدية
وصف خوارزمي.
لإثبات تكافؤ هذه الخواص الأربعة على القارئ العودة إلى التفسيرات الرياضية مثل(Ireland & Rosen 1990) أو (Conway & Guy 1996).
لسؤ الحظ يعطى التعريف في الأدب على وجهين مختلفين: بالرغم من الحقيقة أن بيرنولي قد عرف B1=1/2, some يضع المؤلفون B1=−1/2 (كثيرا منها في اصطلاحات مختلفة بالأسفل).لتجنب الخطر والالتباس سيتم شرح كلا الاختلافين هنا، خطوة بخطوة.
تعريف باستعمال الاستدعاء الذاتي
تعطى معادلة الاستدعاء الذاتي بشكلها الأفضل في صورة أكثر تعميما نوعا ما:
B
m
(
n
)
=
n
m
−
∑
k
=
0
m
−
1
(
m
k
)
B
k
(
n
)
m
−
k
+
1
B
0
(
n
)
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}(n)&=n^{m}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}(n)}{m-k+1}}\\B_{0}(n)&=1\end{aligned}}}
تعرف هذه المعادلة الأعداد النسبية Bm(n) لجميع الأعداد الصحيحة n≥0, m ≥ 0. 00 التي يجب تفسيرها على أنها 1. يكون للتكرار أساسه في B0(n) = 1 لكل n. يأتي الاختلافان الآن بوضع n=0 على الترتيب n=1. إضافة لذلك يتم تبسيط الترميز بحذف المرجع للمتغير n.
n = 0
n = 1
B
m
=
δ
m
,
0
−
∑
k
=
0
m
−
1
(
m
k
)
B
k
m
−
k
+
1
{\displaystyle B_{m}=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}}{m-k+1}}}
B
m
=
1
−
∑
k
=
0
m
−
1
(
m
k
)
B
k
m
−
k
+
1
{\displaystyle B_{m}=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}}{m-k+1}}}
التعبير هنا
δ
m
,
0
{\displaystyle \delta _{m,0}}
يحمل القيمة 1 إذا كان m=0 و0 عدا ذلك. يُعرف هذا الرمز باسم دلتا كرونكر.
عند حدوث لبس بين التعريفين يمكن تجنبه بالإشارة للتعريف الأعم وبتقديم المتغير المحذوف: بكتابة Bm(0) في الحالة الأولى وBm(1) في الثانية سوف يشير للقيمة السابقة دول التباس.
التعريف الصريح
في عام 1893، نشر لويس سالشوتز ما مجموعه ثمانية وثلاثون صيغة تضم أعداد برنولي، مشيرا عادة إلى مراجع قديمة. من بين هذه الصيغ ما يلي ((Saalschütz 1893)):
B
m
−
=
∑
k
=
0
m
∑
v
=
0
k
(
−
1
)
v
(
k
v
)
v
m
k
+
1
B
m
+
=
∑
k
=
0
m
∑
v
=
0
k
(
−
1
)
v
(
k
v
)
(
v
+
1
)
m
k
+
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\sum _{k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}}{\frac {v^{m}}{k+1}}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}}{\frac {(v+1)^{m}}{k+1}}.\end{aligned}}}
دالة التوليد
تعرف الدالة المولدة لمتسلسلة برنولي كما يلي:
تقود الخيارات n=0 وn=1 إلى.
n = 0
n = 1
t
e
t
−
1
=
∑
m
=
0
∞
B
m
t
m
m
!
{\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}}
t
1
−
e
−
t
=
∑
m
=
0
∞
B
m
t
m
m
!
{\displaystyle {\frac {t}{1-e^{-t}}}=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}{\frac {t^{m}}{m!}}}
وصف الخوارزمية
بالرغم من إمكانية استعمال الصيغة التكرارية السابقة للحساب فإنها تستعمل بشكل رئيس لتأسيس اتصال مع مجاميع القوى نظراً لأنها مكلفة حسابياً. مع ذلك، إن كل من الخوارزميات البسيطة والعالية النهاية متوفرة لحساب أعداد بيرنولي. الطريقة البسيطة تعطى في الخوارزم العام التالي في مربع النص 'خوارزم أكياما تانيغاوا' والمؤشرات لخوارزميات النهاية العليا معطاة في القسم التالي.
حساب أعداد برنولي بكفاءة
من المفيد في بعض التطبيقات القدرة على حساب أعداد بيرنوليB0 حتى Bp−3 متبقيا p, حيث p هو عدد أولي; فمثلاً لفحص ما إذا كان تخمين فانديفير صحيحاً، أو حتى للتحقق من أن p عدد أولي شاذ. ليس مناسباً أن نقوم بحساب كهذا باستعمال الصيغة التكرارية السابقة، لأنه على الأقل (ثابت من مضاعفات) p2 سيتطلب عمليات حسابية. لحسن الحظ فقد طورت طرق أسرع (Buhler et al. 2001) والتي تتطلب O(p(logp)2) عملية فقط (انظر علامة أو الكبرى).
يصف ديفيد هاري (Harvey 2008) خوارزمية لحساب أعداد بيرنولي عن طريق حساب Bn متبقياً p لأعداد أولية صغيرة عديدة p، ومن ثم يعيد إنشاء Bn عن طريق نظرية المتبقي الصينية. كتب هارفي بأن المقارب معقدة زمنياً لهذا الخوارزم هي O(n2 log(n) 2+eps) ويصرح بأن هذه الرؤية أسرع بشكل ملحوظ من الرؤى المعتمدة على الطرق الأخرى. طريقة هاري هي مضمنة في سايج منذ الإصدار 3.1. باستخدام هذه الرؤية قام هارفي بحساب Bn لقيم n=108 وهي رقم قياسي جديد (أكتوبر 2008). قبل بيرنارد كيلنر (Kellner 2002) حسب Bn لأعلى دقة لقيم n=106 في ديسمبر 2002 وOleksandr Pavlyk (Pavlyk 2008) لقيم n=107 بواسطة 'ماثماتيكا' في أبريل 2008.
الحاسب
السنة
n
المراتب*
ياكوب بيرنولي
~1689
10
1
ليونهارد أويلر
1748
30
8
J.C. Adams
1878
62
36
D.E. Knuth, T.J. Buckholtz
1967
360
478
G. Fee, S. Plouffe
1996
10000
27677
G. Fee, S. Plouffe
1996
100000
376755
B.C. Kellner
2002
O. Pavlyk
2008
D. Harvey
2008
تاريخ حساب أعداد بيرنولي
المراتب ينبغي فهمها على أنها قوى 10 عندما تكتب B(n) كعدد حقيقي في العلامة العلمية الموحدة.
وجهات نظر واصطلاحات مختلفة
يمكن النظر إلى أعداد بيرنولي من وجهات أربعة مختلفة:
كائنات رياضياتية قائمة بذاتها،
كائنات توافقياتية
قيما لمتعددات حدود متعاقبة،
قيما من دالة ريمان-زيتا.
تقود كل وجهة نظر مما سبق إلى مجموعة أخرى من الاصطلاحات.
أعداد بيرنولي كائنات قائمة بذاتها.
تعاقب مصاحب: 1/6, −1/30, 1/42, −1/30,...
هذه هي وجهة نظر جاكوب بيرنولي. انظر مقتطفات من كتابه أرس كونجكتاندي، الطبعة الأولى، 1713. تفهم أعداد بيرنولي على أنها أعداد تكرارية بطبيعتها، ابتُكرت لحل مشكلة رياضياتية معينة ألا وهي مجموع القوى، أو التطبيق البارادياغماتي - paradigmatic application لأعداد بيرنولي. هناك لبس في القول بأن وجهة النظر هذه 'archaic'. يستخدم هذه العبارة مثلاً جان-بيير سير في كتابه دورة في الحساب وهو كتاب معتمد في العديد من الجامعات اليوم.
أعداد بيرنولي كائنات توافقياتية.
تعاقب مصاحب: 1,+1/2,1/6,0,....
تركز هذه النظرة على العلاقة بين أعداد ستيرلنغ وأعداد برنولي وتظهر بطبيعة الحال في التفاضل والتكامل للفوارق المحدودة.
(
z
e
z
e
z
−
1
)
x
=
x
∑
n
≥
0
σ
n
(
x
)
z
n
{\displaystyle \left({\frac {ze^{z}}{e^{z}-1}}\right)^{x}=x\sum _{n\geq 0}\sigma _{n}(x)z^{n}}
وبشكل متعاقب Bn=n! σn(1) for n≥0.
أعداد برنولي قيما لمتعددات حدود متعاقبة.
المقصود هنا هو كثيرات حدود برنولي والتي سبق الحديث عنها.
يمكن تعريف أعداد برنولي بطريقتين مختلفتين:
Bn=Bn(0). تعاقب مصاحب: 1, −1/2, 1/6, 0,....
Bn=Bn(1). تعاقب مصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....
يختلف التعريفان فقط في إشارة B1. الخيار Bn=Bn(0) هو الاصطلاح الذي تم اعتماده في كتاب الدوال الرياضيايتية - Handbook of Mathematical Functions.
أعداد بيرنولي قيما لدالة زيتا لريمان
التعاقب المصاحب: 1, +1/2, 1/6, 0,....
أعداد برنولي كما تصفها دالة زيتا لريمان.
يتوافق هذا الاصطلاح مع الاصطلاح Bn=Bn(1) (مثلاً J. Neukirch وM. Kaneko). الإشارة '+' for B1 متلائمة مع تمثيلات أعداد بيرنولي من دالة ريمان زيتا.
B
n
=
n
!
σ
n
(
1
)
=
B
n
(
1
)
=
−
n
ζ
(
1
−
n
)
(
n
≥
0
)
{\displaystyle \ B_{n}=n!\sigma _{n}(1)=B_{n}(1)=-n\zeta (1-n)\quad (n\geq 0)\ }
التاريخ
تعود جذور أعداد برنولي إلى تاريخ الحساب المبكر لمجموع القوى الصحيحة، والتي أصبحت محل اهتمام الرياضيين منذ القديم.
أحد صفحات Katsuyo Sampo (1712) لسيكي كاوا, مجدولة معاملات ذات الحدين وأعداد بيرنولي
عُرفت طرق حساب مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى n, ومجموع التربيعات والتكعيبات للأعداد الصحيحة الموجبة n الأولى، ولكن لم تكن هنالك «صيغ» حقيقية وكانت تُوصف نثْرا فقط.
من بين عباقرة الرياضيات المميزين الذين انتبهوا لهذه المسألة فيثاغورث(حوالي 572–497 قبل الميلاد، يوناني)، وأرخميدس (287–212 ق.م، إيطاليا) واريابهاتا (476 ق.م., الهند) والكرخي (1019 م، البصرة) والحسن بن الهيثم (965 م، في البصرة -. 1039, م في القاهرة).
لم يحرز الرياضيون تقدما ملحوظا إلا في أواخر القرن السادس عشر وأوائل السابع عشر. في الغرب لعب كل من توماس هاريوت (1560–1621) من انكلترا، ويوهان فاولهابر (1580–1635) من ألمانيا وبيير دي فيرما (1601–1665) وزميله الرياضي الفرنسي بليز باسكال (1623–1662) دورا هاما في هذا التطور.
بدا أن توماس هاريوت كان أول من اشتق وكتب صيغ مجموع القوى باستخدام العلامة الرمزية، ولكنه أيضا وصل إلى مجموع القوى الرابعة. أعطى جوهان فاولابر صيغا لمجموع القوى حتى القوة السابعة عشر في كتابه Academia Algebrae, عام 1631, أعلى بكثير من ذي قبل، ولكنه لم يعط صيغة عامة.
كان الرياضي السويسري جاكوب بيرنولي (1654–1705)أول من لاحظ وجود تسلسل مفرد من الثوابت B0, B1, B2,... والتي تعطي صيغة منتظمة لجميع مجاميع القوى (Knuth 1993). قبلها بعام كانت قد اكتشفت طريقة مماثلة لحساب مجاميع القوى من طرف سيكي كاوا في اليابان. بالرغم منذلك، لم يقدم سيكي كاوا طريقته صيغةً عامة مبنية على تسلسل من الثوابت.
المتعة التي أحس بها جاكوب بيرنولي حينما أزال الغطاء على النموذج الذي مكنه من حساب معاملات صيغته بسرعة وسهولة لمجموع القوى حتى c لأي عدد صحيح موجب c يمكن ملاحطتها في تعليقه حيث كتب:
بفضل هذا الجدول، استغرقت من الوقت أقل من نصف ربع الساعة لأجد أن مجموع القوى العاشرة لألف عدد الأولى يساوي:
91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500.
تعد صيغة بيرنولي لمجاميع القوى أعظم صيغة إفادة يمكن تعميمها حتى اليوم. تسمى معاملات بيرنولي اليوم أعداد بيرنولي، بناء على اقتراح أبراهام دي موافر.
نسبة إلى (Knuth 1993)، نُشر أول برهان متماسك لصيغة فاولهابر لأول مرة في عام 1834، نشره عالم الرياضيات كارل غوستاف ياكوب ياكوبي.
التعريفات التوافقية
العلاقة بعدد فوربتزكي
العلاقة بمجموعة أعداد سترلنغ
العلاقة بعدد دورة سترلنغ
العلاقة بالأعداد الأويلرية
انظر إلى عدد أويلري.
تمثيل الشجرة الثنائي
تطبيقات عدد بيرنولي
تحليل المقارب
متسلسلة تايلور لدالتي tan و tanh
tan
x
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
,
|
x
|
<
π
2
tanh
x
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},\,\,\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\tanh x&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},\,\,\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}
الاستخدام في الطوبولوجيا
الملاحظات
.
^ مذكور في: ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics. القسم: 2-11.5. الناشر: المنظمة الدولية للمعايير. تاريخ النشر: أغسطس 2019.
^ أ ب Selin, H. (1997), p. 891
^ Smith, D. E. (1914), p. 108
^ Note G in the Menabrea reference
شرح مبسط
تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات
شاركنا رأيك
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع [ تعرٌف على ] عدد برنولي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 10/11/2023
اعلانات العرب الآن