اليوم: السبت 20 ابريل 2024 , الساعة: 5:34 ص
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
اخر المشاهدات
- [ دليل العين الامارات ] مسجد مسجد العقادية ... العين # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ دليل أبوظبي الامارات ] نادي تراث الامارات القرية التراثية بالسمحة ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] صهيب للاكياس الفارغة والزجاجات والادوات المستعملة ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] نادي جيلينا # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] بطولة الولايات المتحدة الوطنية لسباق الدراجات على الطريق # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مراحل الحمل ] سفر الحامل بالطائرة في الشهر السادس # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] حالة السمو (أغنية تايلور سويفت) # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات الإسبانية الدومينيكانية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ دليل أبوظبي الامارات ] التوت الوردي للخضروات والفواكة ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مبيعات وخدمات تأجير السعودية ] مكتب الوسيط للعقارات # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ البحث العلمي ] بحث حول مصادر المعلومات # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ ملابس السعودية ] محل قلايد للإكسسوارات النسائية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ شركات مقاولات السعودية ] شركة اتحاد البلاد للمقاولات ... الرياض ... الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] تصميم الرسوميات # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات الروسية السورية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مقاولون السعودية ] مؤسسة جودة الإنجاز للمقاولات # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ خذها قاعدة ] ما الذي تفعلُ الكلمات حين تهزمكَ الأخرياتُ. - عدنان الصائغ # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ متاجر السعودية ] مؤسسة الف راء عباية للعباءات النسائية ... الخبر ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ دليل الشارقة الامارات ] مخابز الربيع الشامي ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مقاولون السعودية ] مؤسسة اقتصاديات المباني # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ متاجر السعودية ] احرامي ... الهفوف ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] طرابلس لاجهزة امدادات الطاقة ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ النقل البري و النقل قطر ] ليفين للتجاره # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ دليل دبي الامارات ] فرانكفورت لتأجير السيارات ذ.م.م. ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ متاجر السعودية ] البراندات المميزة ... القطيف ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات البريطانية التركية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ صحة الحامل ] 12 سبب لإجهاض الحمل في الأسبوع الأول # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] الحائزون على نيشان الصداقة من الدرجة الثانية (كازاخستان) # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] حديد درع المملكة ذ.م.م ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] مارجريتا الأولى الدانماركية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات الكويتية الليسوتوية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] خوسيه مانويل مورينو # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] منير عبدالله دخيل الله المغيري ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ عبارات تهاني ] كلمات لعيد الفطر # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ ملابس السعودية ] والس للملابس النسائية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ بنوك وصرافة الامارات ] احمد الحوسنى لتدقيق الحسابات ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فؤاد علي بن ادم هوساوي ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-02-14
- [ تعرٌف على ] طول (جغرافيا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] ياسين النصير # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مجموعةالبلاد المتحده للتجارة والمقاولات ... صامطه ... منطقة جازان # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ متاجر السعودية ] أقطاب الأولى ... ينبع ... منطقة المدينة المنورة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات اليونانية الغينية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ قطع غيار واكسسوارات سيارات الامارات ] زيدون الدباغ لتجارة قطع غيار السيارات # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مهارات إدارية ] أهمية الوقت في حياة الإنسان # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] رامي ابراهيم بن عثمان المريسل ... مدينه الجبيل الصناعيه ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ دليل الفجيرة الامارات ] صيدلية دبا ... الفجيرة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ شركات طبية السعودية ] شركة الخدمات المبتكرة الطبية شركة شخص واحد # اخر تحديث اليوم 2024-02-14
- [ دليل أبوظبي الامارات ] ارامتك الشركة العربية الامريكية للتكنولوجيا ذ م م ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تأجير سيارات الامارات ] SINDBAD RENT A CAR 2 # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] الجمهورية الإسبانية الأولى # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ متاجر السعودية ] شبكات الاعمال ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] محمد عبدالله ماجد الدوسري ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] موراي (آيوا) # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] مركز الدكتورة لمياء التخصصى للأسنان ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تسوق وملابس الامارات ] بولو راف لورين ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] فولتا كاتالونيا 2008 # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ تعرٌف على ] إدواردسبورغ (ميشيغان) # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] تايلر هوكلن # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] بلاند تو بي للتسويق والفعاليات ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ سياحة وترفيه الامارات ] نجمة العائلة للنقل العام ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ طرق زيادة الوزن ] وصفة لتسمين الجسم # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] فؤاد دوارة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ خدمات السعودية ] حاسبة مكافأة نهاية الخدمة للعمالة المنزلية في السعودية 2023 # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ بنوك وصرافة الامارات ] ميرال عبد الحبيب لتدقيق الحسابات والاستشارات الإدارية ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ شركات الزراعة والإنتاج الحيواني قطر ] القطرية للتجارة (مواشي) widam food ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] كرييتف تيم لأنشطة المكاتب الرئيسة أو الإدارية تضامن لأصحابها عبدالنبي عبدالله الحيله وشريكته. ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] شركة لورينزو للتسويق والترويج ذ.م.م ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ خذها قاعدة ] من أسوأ الصفات التي تُدمرنا هي أن نقول أشياء ، ونفعل عكسها تماما. - إيفان بونين # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ فوائد الفواكه ] فوائد الكرز للحامل # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] مهابهاراتا # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات اليابانية الإندونيسية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ اثاث منزلى السعودية ] مؤسسة صالح محمد باوزير للمفروشات # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] وديع إدوارد سعيد # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ المركبات الامارات ] لمسات للشحن ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] مديح لنساء العائلة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] الانتخابات التمهيدية في الولايات المتحدة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] ثورة 1 بريريال في السنة الثالثة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات الإسبانية الإستونية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] عبدالله ابراهيم مصطفى الشامي ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ خذها قاعدة ] الانسان لا يشغل مكانين في وقت واحد , ولكن قولي لي كيف أنك هناك وأنت هنا في قلبي في الوقت نفسه ؟ - أنيس منصور # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ عبارات تهاني ] تهاني بالمولود الجديد # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ خذها قاعدة ] راحتي في تعبي، وسعادتي في دعوتي. - حسن البنا # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] شقران # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] فورست فريدريك إدوارد يو توماس # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ خذها قاعدة ] عش حياتك مسؤولاً ، إذا كنت مستعداً للتعلّم بدلاً من إلقاء اللوم على الآخرين فستصبح الحياة أكثر سهولة ويسر معاً - مارك فيكتور هانسن # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات اليابانية الكورية الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ رقم هاتف ] مركز صحي البتراوي .. الاردن # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [رقم هاتف] عيادة الطبيب معصراني رضوان محمد .. لبنان # اخر تحديث اليوم 2024-03-13
- فتح الرجلين بشكل كبير هل يؤثر على غشاء البكارة؟ # اخر تحديث اليوم 2024-02-14
- [ تعرٌف على ] فرط القعدات # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ شركات مقاولات السعودية ] مؤسسة الاسطوره المميزه للمقاولات العامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] الخليفي لاسماك الزينه ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ شركات النظافة قطر ] شركة إدارة نفايات الطاقة والنقل POWER WASTE MANAGEMENT & TRANSPORT CO WLL ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ عبارات تهاني ] كلمات جميلة عن العيد # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] المركز الفرنسي للستاير ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] شركة جلوريا للمجوهرات ذ م م ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات اليابانية اللاتفية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] سبارتا (كنتاكي) # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات اليابانية الموزمبيقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
الأكثر قراءة
- مريم الصايغ في سطور
- سؤال و جواب | ما هى أسباب نزول الدم الاحمر بعد البراز؟ وهل هناك أسباب مرضية؟ وما الحل ؟
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً
- هل للحبة السوداء"حبة البركة "فوائد ؟
- كيف أتخلص من الغازات الكريهة التى تخرج مني باستمرار؟
- هناك ألم عندى فى الجانب الأيسر للظهر فهل من الممكن أن يكون بسبب الكلى ؟
- هل هناك علاج للصداع الئى أانيه فى الجانب الأيسر من الدماغ مع العين اليسرى ؟
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام»
- [ رقم تلفون ] مستر مندوب ... مع اللوكيشن المملكه العربية السعودية
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان
- نزع شوك السمك في المنام
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة
- ارقام وهواتف مستشفى الهلال الاحمر 34 ش رمسيس وسط البلد بالقاهرة
- جريمة قتل آمنة الخالدي تفاصيل الجريمة
- رسائل حب ساخنة للمتزوجين +18
- خليفة بخيت الفلاسي حياته
- تعرٌف على ... عائشة العتيبي | مشاهير
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟
- رقم هاتف مكتب النائب العام وكيفية تقديم بلاغ للنائب العام
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] شركة متجر كل شششي - المملكه العربية السعودية
- تفسير رؤية شخص اسمه محمد في المنام لابن سيرين
- ارقام وهواتف مطعم الشبراوى 33 ش احمد عرابى المهندسين, بالجيزة
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة
- ارقام وهواتف عيادة د. ياسر المليجى - 139 ش التحرير الدقى بالجيزة
- ارقام وهواتف مستشفى النور المحمدى الخيرى التخصصى المطرية, بالقاهرة
- تفسير رؤية الحشرات في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية
- قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟
- أعشاب تفتح الرحم للإجهاض
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟!
- قناة تمازيغت برامج القناة
- ارقام وهواتف مكتب صحة - السادس من اكتوبر ميدان الحصرى السادس من اكتوبر, بالجيزة
- سور القران لكل شهر من شهور الحمل
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين
- زخرفة اسماء تصلح للفيس بوك
- مدرسة ب/ 141 حكومي للبنات بجدة
- إلغ (برمجية) التاريخ
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان
- أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام
- تفسير حلم الكلب لابن سيرين
- [ رقم هاتف ] عيادة د. حازم ابو النصر - 20 ش عبد العزيز جاويش عابدين بالقاهرة
- انا بنت عندي 13 سنة لسة مجتليش الدورة الشهرية ......كنت ببات عند خالتي وكل ما
- هل تمرير الإصبع بشكل أفقي على فتحة المهبل يؤدي إلى فض غشاء البكارة؟
- [رقم هاتف] شركة الحراسة و التوظيف و التنظيف.. المغرب
- قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي
- ذا إكس فاكتور آرابيا فكرة البرنامج
- السلام عليكم ، أنا مشكلتي بصراحة الجنس من الخلف مع زوجي الأن صار ويحب حيل
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟
- لالة لعروسة (برنامج) الفائزون
- أنا حامل في الشهر الرابع وينزل مني دم .. هل هذا طبيعي؟
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها
- هل إدخال إصبع الزوج في مهبل الزوجة له أضرار؟
- تفسير حلم اصلاح الطريق في المنام
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة
- إيمان ظاظا حياتها ومشوارها المهني
- أهمية وضرورة إزالة الخيط الأسود من ظهر الجمبري
- اسماء فيس بنات مزخرفة | القاب بنات مزخرفه
- لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة
- تفسير رؤية المشاهير في المنام لابن سيرين
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن حرب 6 اكتوبر 1973 بالصور pdf doc -
- فوائد عشبة الفلية و الكمية المناسبة يوميا
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] شركة الرفق بالحيوان و الطبيعة.. المغرب
- كلمات - انت روحي - حمود السمه
- أعاني من لحمة زائدة في الدبر ، فلدي قطعة لحمية صغيرة في فتحة الشرج من الخارج
- ما الفرق بين الغشاء السليم وغير السليم؟
- تفسير حلم رؤية الإصابة بالرصاص في الكتف بالمنام
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟
- عمر فروخ
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة?
- إدمان الزوج للمواقع الإباحية: المشكلة والأسباب والعلاج
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء.
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام
- تظهر عندي حبوب في البظر والشفرتين بين حين وآخر.. هل لها مضاعفات، وما علاجها؟
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- الكرة الحديدية قواعد اللعبة
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن اللغة العربية والكفايات اللغويه -
- تفسير حلم رؤية الكنز فى المنام لابن سيرين
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟
روابط تهمك
مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع [ تعرٌف على ] قطع مكافئ # اخر تحديث اليوم 2024-04-20 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 10/11/2023
[ تعرٌف على ] قطع مكافئ # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
آخر تحديث منذ 5 شهر و 11 يوم
1 مشاهدة
تم النشر اليوم 2024-04-20 | قطع مكافئ
إحداثيات ديكارتية
محور تماثل رأسي
(
x
−
h ) 2
=
4
p
(
y
−
k
) {\displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k)\,}
y
= (
x
−
h ) 2
4
p +
k {\displaystyle y={\frac {(x-h)^{2}}{4p}}+k\,}
y
=
a x 2
+
b
x
+
c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}
حيث a
=
1 4
p ;
b
= −
h
2
p ;
c
= h 2 4
p +
k
;
{\displaystyle a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-h}{2p}};\ \ c={\frac {h^{2}}{4p}}+k;\ \ }
h
= −
b
2
a ;
k
= 4
a
c
− b 2
4
a {\displaystyle h={\frac {-b}{2a}};\ \ k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}} .
الصورة البارمترية: x
(
t
)
=
2
p
t
+
h
;
y
(
t
)
=
p t 2
+
k {\displaystyle x(t)=2pt+h;\ \ y(t)=pt^{2}+k\,}
محور تماثل أفقي
(
y
−
k ) 2
=
4
p
(
x
−
h
) {\displaystyle (y-k)^{2}=4p(x-h)\,}
x
= (
y
−
k ) 2
4
p +
h
;
{\displaystyle x={\frac {(y-k)^{2}}{4p}}+h;\ \,}
x
=
a y 2
+
b
y
+
c {\displaystyle x=ay^{2}+by+c\,}
حيث a
=
1 4
p ;
b
= −
k
2
p ;
c
= k 2 4
p +
h
;
{\displaystyle a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-k}{2p}};\ \ c={\frac {k^{2}}{4p}}+h;\ \ }
h
= 4
a
c
− b 2
4
a ;
k
= −
b
2
a {\displaystyle h={\frac {4ac-b^{2}}{4a}};\ \ k={\frac {-b}{2a}}} .
الصورة البارمترية: x
(
t
)
=
p t 2
+
h
;
y
(
t
)
=
2
p
t
+
k {\displaystyle x(t)=pt^{2}+h;\ \ y(t)=2pt+k\,}
قطع مكافئ عام
الصورة العامة للقطع المكافئ هي (
A
x
+
B
y ) 2
+
C
x
+
D
y
+
E
=
0 {\displaystyle (Ax+By)^{2}+Cx+Dy+E=0\,}
هذه النتيجة مشتقة من المعادلة المخروطية العامة المذكور بأعلى: A x 2
+
B
x
y
+
C y 2
+
D
x
+
E
y
+
F
=
0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}
وبما أنه للقطع المكافئ يكون
B 2
=
4
A
C {\displaystyle B^{2}=4AC\,} .
معادلة القطع المكافئ العام الذي بؤرته (F(u, v ودليله على الصورة
n 1
x
+ n 2
y
+
c
=
0 {\displaystyle n_{1}x+n_{2}y+c=0\,}
هي
|
n 1
x
+ n 2
y
+
c | n 1
2
+ n 2
2 =
( x
−
u )
2
+
( y
−
v )
2 {\displaystyle {\frac {\left|n_{1}x+n_{2}y+c\right|}{\sqrt {{n_{1}}^{2}+{n_{2}}^{2}}}}={\sqrt {\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}}}\,}
الوتر البؤري العمودي والإحداثيات القطبية
في الإحداثيات القطبية، القطع المكافئ الذي بؤرته في نقطة الأصل ودليله موازٍ لمحور الصادات تكون معادلته r
(
1
+
cos
θ
)
=
l {\displaystyle r(1+\cos \theta )=l\,}
حيث l هو نصف الوتر البؤري العمودي semilatus rectum (المسافة من البؤرة إلى القطع المكافئ مقاسة عبر خط عمودي على محور تماثله). لاحظ أن هذا مساوٍ لضعف المسافة من البؤرة إلى رأس القطع المكافئ أو المسافة العمودية من رأس المنحنى إلى الوتر البؤري العمودي latus rectum. الوتر البؤري العمودي هو الوتر المار بالبؤرة وفي نفس الوقت يتعامد على المحور وطوله يساوي 2l.
منحنى مكافئي يوضح الدليل (L) والبؤرة (F)، ويتضح أن المسافة من أي نقطة Pn إلى البؤرة هي دائمًا نفس المسافة من Pn إلى أي نقطة Qn تقع على الدليل أسفلها مباشرة.
منحنى مكافئي يوضح خط اختياري (L), والبؤرة (F), ورأس القطع المكافئ (V). الخط L هو خط اختياري عمودي على محور التماثل من جهة البؤرة، ويبعد عن V أكثر مما يبعد عن F ، طول أي خط F - Pn - Qn متساو، هذا يعني أن القطع المكافئ هو قطع ناقص إحدى بؤرتيه تقع عند مالا نهاية.
لتحديد إحداثيات النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط ذي محور تماثل موازٍ لمحور الصادات (محور تماثل رأسي)، ورأسه يقع عند نقطة الأصل (0,0)، ولتكن معادلته على الصورة: y
=
a x 2
{\displaystyle y=ax^{2}\,\!}
فإن أي نقطة على القطع المكافئ ستقع على مسافة من النقطة البؤرية (0,f) مساوية للمسافة بينها وبين الدليل L، الذي يتعامد على محور تماثل القطع المكافئ (في هذه الحالة يوزاي محور السينات)، ويمر بالنقطة (0,f-)، وبالتالي فإن أي نقطة (P=(x,y على القطع المكافئ ستكون على مسافة متساوية من كلتا النقطتين (0,f) و (x,-f). أي خط FP يصل بين البؤرة وأي نقطة على القطع المكافئ يتساوى في الطول مع أي خط QP مرسوم عموديًا من هذه النقطة الواقعة على القطع المكافئ إلى الدليل ويقطعه في النقطة Q. المثلث القائم الذي وتره FP، وطولا ضلعي قائمته هما: x و f-y (المسافة الرأسية بين F و P)، يكون طول وتره ‖
F
P
‖
= x 2
+
(
f
−
y ) 2
{\displaystyle \|FP\|={\sqrt {x^{2}+(f-y)^{2}}}\,\!}
(لاحظ أن ²(f-y) و²(y-f) يعطيان نفس الناتج لأنهما مربعان.) طول الخط QP يساوي المسافة الرأسية بين النقطة P ومحور السينات (أي المسافة y) بالإضافة إلى المسافة الرأسية من محور السينات إلى الدليل (أي المسافة f). ‖
Q
P
‖
=
f
+
y
{\displaystyle \|QP\|=f+y\,\!}
هاتان القطعتان المستقيمتان متساويتان في الطول، وكما ذكر سابقًا y=ax² وبالتالي ‖
F
P
‖
=
‖
Q
P
‖
{\displaystyle \|FP\|=\|QP\|\,\!} x 2
+
(
f
−
a x 2 ) 2
=
f
+
a x 2
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+(f-ax^{2})^{2}}}=f+ax^{2}\,\!}
بتربيع الطرفين
x 2
+
( f 2
−
2
a x 2
f
+ a 2 x 4
)
=
( f 2
+
2
a x 2
f
+ a 2 x 4
)
{\displaystyle x^{2}+(f^{2}-2ax^{2}f+a^{2}x^{4})=(f^{2}+2ax^{2}f+a^{2}x^{4})\,\!}
بطرح الحدود المتشابهة من الطرفين
x 2
−
2
a x 2
f
=
2
a x 2
f
{\displaystyle x^{2}-2ax^{2}f=2ax^{2}f\,\!} x 2
=
4
a x 2
f
{\displaystyle x^{2}=4ax^{2}f\,\!}
بقسمة x² من الطرفين (بفرض أن x لا تساوي الصفر) 1
=
4
a
f
{\displaystyle 1=4af\,\!}
f
=
1 4
a {\displaystyle f={1 \over 4a}\,\!}
وبالتالي للقطع المكافئ الذي على الصورة f(x)=x²، المعامل a يساوي 1، وبالتالي فإن النقطة البؤرية F هي (0,¼) كما ذكر أعلاه، هذا هو اشتقاق النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط، رأسه في نقطة الأصل ويتماثل حول محور الصادات، أما بالنسبة لأي قطع مكافئ معمم، معادلته على الصورة القياسية y
=
a x 2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,\!} ,
بؤرته تقع عند النقطة
(
−
b
2
a , − b 2
4
a +
c
+
1 4
a
) {\displaystyle \left({\frac {-b}{2a}},{\frac {-b^{2}}{4a}}+c+{\frac {1}{4a}}\right)\,\!}
والتي يمكن كتابتها على الصورة
(
−
b
2
a ,
c
−
b 2
−
1
4
a
) {\displaystyle \left({\frac {-b}{2a}},c-{\frac {b^{2}-1}{4a}}\right)\,\!}
والدليل يعطى بالعلاقة y
= − b 2
4
a +
c
−
1 4
a {\displaystyle y={\frac {-b^{2}}{4a}}+c-{\frac {1}{4a}}\,\!}
والتي يمكن أن تكتب على الصورة y
=
c
−
b 2
+
1
4
a {\displaystyle y=c-{\frac {b^{2}+1}{4a}}\,\!}
مرايا مرصد كيك
مرصد كيك يتكون من مرصدين
مرصد كيك الفلكي في هاواي ينكون من مرصدين، كل منهما مزود بمرآة مقعرة في شكل قطع زائد. معظم التلسكوبات الحديثة تعمل بمرايا في شكل القطع المكافيء، ويصل قطر بعضها نحو 8 متر.وهي تعمل على تجميع قدر كبير من الضوء وتصور أجراما كونية قريبة وبعيدة. تمكن الإنسان من اكتشاف أجراما صغيرة جدا، اجراما بعيدة جدا، وبفضل تلك الأجهزة الدقيقة تعرف الإنسان الحديث على أشياء كثيرة في الكون. كذلك يعمل تلسكوب هابل الفضائي بمرايا مقعرة بشكل القطع المكافيء. طبق استقبال التلفاز
كما تشكل أطباق استقبال التلفاز في شكل قطع مكافيء لاستقبال وتركيز أمواج التلفزة في بؤرة تضخم الإشارات. لا تصلح مرآة كرية (جزء من الكرة) كمرآة لتلسكوب حيث أنها تكون عدة بؤر خلف بعضها البعض، ولا تجمع الأشعة في بؤرة واحدة. تلك الظاهرة تسمى إزاغة كرية ونتيجتها تكوين صورة غير واضحة. معرض صور القطع المكافئ كموقع هندسي لأقطاب الخطوط المتماسة لمخروطية بالنسبة لمخروطية آخرى
نافورة المياه ترسم مسارات في شكل القطع المكافيء.
فرجار رسم القطع المكافئ من تصميم ليوناردو دافنشي.
أقدم من عمل على دراسة القطوع المخروطية، طبقًا لما هو معروف حاليا، هو منانخيموس في القرن الرابع ق.م. فقد أوجد طريقة لحل مسألة مضاعفة المكعب باستخدام القطوع المكافئة، وقد كان من الصعب حل مثل هذه المسألة بإنشاءات الفرجار والمسطرة. أما أبولونيوس فقد اكتشف العديد من خصائص القطوع المخروطية، كما يعود إليه الفضل في تسمية هذا النوع من القطوع بالقطع المكافئ. خاصية البؤرة-الدليل للقطع المكافئ، يعود الفضل فيها إلى بابوس السكندري. أوضح جاليليو أن المقذوفات تتخذ مسارًا على هيئة قطع مكافئ؛ ذلك نتيجة انتظام عجلة الجاذبية الأرضية. قبل اختراع التليسكوب العاكس كانت فكرة تكون صورة من خلال مرآة القطع المكافئ؛ معروفة. في النصف الأول من القرن السابع عشر اقترح مجموعة من علماء الرياضيات، أمثال رينيه ديكارت ومارين مارسين وجيمس جريجوري، تصميمات لمرايا القطع المكافئ. لكن إسحاق نيوتن تحاشى استخدام هذا النوع من المرايا عندما قام ببناء أول تلسكوب عاكس عام 1668م، وذلك لصعوبة تصنيعها مقارنة بالمرايا الكرية. في الوقت الراهن تستخدم عواكس القطع المكافئ في أغلب التلسكوبات العاكسة الحديثة، وفي التلسكوبات الفضائية، وأطباق الاستقبال التلفازي المعدنية، وأطباق اتصالات الساتل الصناعية، ومستقبلات الرادار.
الإحداثي السيني لرأس القطع المكافئ هو x
=
−
b 2
a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} ، ويمكن الحصول عليه عن طريق اشتقاق المعادلة الأصلية للقطع y
=
a x 2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} ، وبوضع قيمة المشتقة d
y / d
x
=
2
a
x
+
b
{\displaystyle dy/dx=2ax+b} بصفر (لأن رأس القطع المكافئ هو نقطة حرجة؛ بمعنى أن ميل المماس عنده مساوٍ للصفر)، بحل المعادلة نحصل على الإحداثي السيني لرأس المنحنى، أما الإحداثي الصادي فيمكن الحصلول عليه بالتعويض بقيمة الإحداثي السيني في المعادلة الأصلية كالتالي: y
=
a
( −
b 2
a
)
2
+
b ( −
b 2
a
) +
c
{\displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c}
وبالتبسيط: = a b 2
4 a 2 − b 2 2
a +
c
{\displaystyle ={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c}
= b 2 4
a − 2
⋅ b 2
2
⋅
2
a +
c
⋅ 4
a
4
a {\displaystyle ={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {2\cdot b^{2}}{2\cdot 2a}}+c\cdot {\frac {4a}{4a}}}
= − b 2
+
4
a
c
4
a {\displaystyle ={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}}
=
−
b 2
−
4
a
c
4
a =
−
D 4
a {\displaystyle =-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}=-{\frac {D}{4a}}}
وبالتالي نقطة رأس القطع المكافئ هي
( −
b 2
a ,
−
D 4
a
) {\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {D}{4a}}\right)}
قطع مكافيء: خواص البؤرة F.
إذا افترضنا أن دليل القطع المكافئ هو الخط x = −p، وأن بؤرته هي النقطة (p,0). وإذا كانت (x,y) نقطة تنتمي للقطع المكافئ وأنها، من تعريف بابوس للقطع المكافئ، تبعد عن البؤرة مسافة مساوية لبعدها عن الدليل، هذا يعني أن: x
+
p
=
(
x
−
p ) 2
+ y 2
.
{\displaystyle x+p={\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}.}
بتربيع طرفي المعادلة وبعد التبسيط نحصل على
y 2
=
4
p
x {\displaystyle y^{2}=4px\,}
وهي معادلة القطع الكافئ في صورة من أبسط صوره، ويلاحظ أن محور هذا القطع أفقي. ولتعميم هذه المعادلة نتخيل أن القطع المكافئ أزيح بحيث يكون رأسه هو النقطة (h,k)، بالتالي تصير معادلته (
y
−
k ) 2
=
4
p
(
x
−
h
) {\displaystyle (y-k)^{2}=4p(x-h)\,}
بتبديل الإحداثيات x و y نحصل على المعادلة المقابلة للقطع المكافئ رأسي المحور (
x
−
h ) 2
=
4
p
(
y
−
k
)
. {\displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k).\,}
المعادلة الأخيرة يمكن كتابتها على الصورة y
=
a x 2
+
b
x
+
c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}
وبالتالي فإن أي دالة في x إذا كانت كثيرة حدود من الدرجة الثانية فهي قطع مكافئ ذو محور رأسي. وللتعميم أكثر نقول أن القطع المكافئ هو منحن في المستوى الديكارتي يُعرف بالمعادلة غير القابلة للاختزال والتي على الصورة: A x 2
+
B
x
y
+
C y 2
+
D
x
+
E
y
+
F
=
0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}
بحيث أن
B 2
=
4
A
C
, {\displaystyle B^{2}=4AC,\,}
حيث كل المعاملات حقيقية، وكل من A و B لا يساويان الصفر، ويوجد أكثر من حل وحيد، بحيت تكون مجموعة الحل أزاوج مرتبة على الصورة (x, y)، وهي جميع النقاط الواقعة على المنحنى. كما أن المعادلة غير قابلة للاختزال، بمعنى أنه لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب معادلتين لا يُشترط أن تكونا خطيتين.
القطوع المكافئة هي قطوع مخروطية.
القطع المكافئ يمكن تعريفه باعتباره قطع مخروطي اختلافه المركزي يساوي الواحد الصحيح؛ نتيجة لذلك تكون كل القطوع المكافئة متشابهة، بمعنى أن لها نفس الشكل مهما تغير حجمها. ويعتبر القطع المكافئ أيضا نهاية قطوع ناقصة متتابعة، إحدى بؤرتيهم ثابتة والأخرى حرة لتتحرك بعيدًا في اتجاه واحد، بهذا المنطق يمكن النظر إلى القطع المكافئ باعتباره قطع ناقص إحدى بؤرتيه تقع عند ما لا نهاية. القطع المكافئ هو أيضًا تحول عكسي للمنحنى القلبي. للقطع المكافئ محور تماثل عاكس وحيد، يمر ببؤرته ويتعامد على دليله، ونقطة تقاطع هذا المحور مع القطع المكافئ تدعى رأس القطع المكافئ. دوران القطع المكافئ حول محوره في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد يولد شكلًا يعرف بالسطح المكافئي الدوراني.
في الرياضيات، القطع المكافئ (ويقال عنه الشلجم والصواب الشلجمي أي ذو شكل الشلجم، أو العدسيّ)[1] (بالإنجليزية: Parabola) هو شكل ثنائي الأبعاد وهو قطع مخروطي، ينشأ من قَطْع سطح مخروطي دائري قائم بمستو موازٍ لراسم هذا السطح (أي الخط المولد له).[2][3][4]
معادلات
إحداثيات ديكارتية
محور تماثل رأسي
(
x
−
h ) 2
=
4
p
(
y
−
k
) {\displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k)\,}
y
= (
x
−
h ) 2
4
p +
k {\displaystyle y={\frac {(x-h)^{2}}{4p}}+k\,}
y
=
a x 2
+
b
x
+
c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}
حيث a
=
1 4
p ;
b
= −
h
2
p ;
c
= h 2 4
p +
k
;
{\displaystyle a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-h}{2p}};\ \ c={\frac {h^{2}}{4p}}+k;\ \ }
h
= −
b
2
a ;
k
= 4
a
c
− b 2
4
a {\displaystyle h={\frac {-b}{2a}};\ \ k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}} .
الصورة البارمترية: x
(
t
)
=
2
p
t
+
h
;
y
(
t
)
=
p t 2
+
k {\displaystyle x(t)=2pt+h;\ \ y(t)=pt^{2}+k\,}
محور تماثل أفقي
(
y
−
k ) 2
=
4
p
(
x
−
h
) {\displaystyle (y-k)^{2}=4p(x-h)\,}
x
= (
y
−
k ) 2
4
p +
h
;
{\displaystyle x={\frac {(y-k)^{2}}{4p}}+h;\ \,}
x
=
a y 2
+
b
y
+
c {\displaystyle x=ay^{2}+by+c\,}
حيث a
=
1 4
p ;
b
= −
k
2
p ;
c
= k 2 4
p +
h
;
{\displaystyle a={\frac {1}{4p}};\ \ b={\frac {-k}{2p}};\ \ c={\frac {k^{2}}{4p}}+h;\ \ }
h
= 4
a
c
− b 2
4
a ;
k
= −
b
2
a {\displaystyle h={\frac {4ac-b^{2}}{4a}};\ \ k={\frac {-b}{2a}}} .
الصورة البارمترية: x
(
t
)
=
p t 2
+
h
;
y
(
t
)
=
2
p
t
+
k {\displaystyle x(t)=pt^{2}+h;\ \ y(t)=2pt+k\,}
قطع مكافئ عام
الصورة العامة للقطع المكافئ هي (
A
x
+
B
y ) 2
+
C
x
+
D
y
+
E
=
0 {\displaystyle (Ax+By)^{2}+Cx+Dy+E=0\,}
هذه النتيجة مشتقة من المعادلة المخروطية العامة المذكور بأعلى: A x 2
+
B
x
y
+
C y 2
+
D
x
+
E
y
+
F
=
0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}
وبما أنه للقطع المكافئ يكون
B 2
=
4
A
C {\displaystyle B^{2}=4AC\,} .
معادلة القطع المكافئ العام الذي بؤرته (F(u, v ودليله على الصورة
n 1
x
+ n 2
y
+
c
=
0 {\displaystyle n_{1}x+n_{2}y+c=0\,}
هي
|
n 1
x
+ n 2
y
+
c | n 1
2
+ n 2
2 =
( x
−
u )
2
+
( y
−
v )
2 {\displaystyle {\frac {\left|n_{1}x+n_{2}y+c\right|}{\sqrt {{n_{1}}^{2}+{n_{2}}^{2}}}}={\sqrt {\left(x-u\right)^{2}+\left(y-v\right)^{2}}}\,}
الوتر البؤري العمودي والإحداثيات القطبية
في الإحداثيات القطبية، القطع المكافئ الذي بؤرته في نقطة الأصل ودليله موازٍ لمحور الصادات تكون معادلته r
(
1
+
cos
θ
)
=
l {\displaystyle r(1+\cos \theta )=l\,}
حيث l هو نصف الوتر البؤري العمودي semilatus rectum (المسافة من البؤرة إلى القطع المكافئ مقاسة عبر خط عمودي على محور تماثله). لاحظ أن هذا مساوٍ لضعف المسافة من البؤرة إلى رأس القطع المكافئ أو المسافة العمودية من رأس المنحنى إلى الوتر البؤري العمودي latus rectum. الوتر البؤري العمودي هو الوتر المار بالبؤرة وفي نفس الوقت يتعامد على المحور وطوله يساوي 2l.
اشتقاق إحداثيات البؤرة ومعادلة الدليل
منحنى مكافئي يوضح الدليل (L) والبؤرة (F)، ويتضح أن المسافة من أي نقطة Pn إلى البؤرة هي دائمًا نفس المسافة من Pn إلى أي نقطة Qn تقع على الدليل أسفلها مباشرة.
منحنى مكافئي يوضح خط اختياري (L), والبؤرة (F), ورأس القطع المكافئ (V). الخط L هو خط اختياري عمودي على محور التماثل من جهة البؤرة، ويبعد عن V أكثر مما يبعد عن F ، طول أي خط F - Pn - Qn متساو، هذا يعني أن القطع المكافئ هو قطع ناقص إحدى بؤرتيه تقع عند مالا نهاية.
لتحديد إحداثيات النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط ذي محور تماثل موازٍ لمحور الصادات (محور تماثل رأسي)، ورأسه يقع عند نقطة الأصل (0,0)، ولتكن معادلته على الصورة: y
=
a x 2
{\displaystyle y=ax^{2}\,\!}
فإن أي نقطة على القطع المكافئ ستقع على مسافة من النقطة البؤرية (0,f) مساوية للمسافة بينها وبين الدليل L، الذي يتعامد على محور تماثل القطع المكافئ (في هذه الحالة يوزاي محور السينات)، ويمر بالنقطة (0,f-)، وبالتالي فإن أي نقطة (P=(x,y على القطع المكافئ ستكون على مسافة متساوية من كلتا النقطتين (0,f) و (x,-f). أي خط FP يصل بين البؤرة وأي نقطة على القطع المكافئ يتساوى في الطول مع أي خط QP مرسوم عموديًا من هذه النقطة الواقعة على القطع المكافئ إلى الدليل ويقطعه في النقطة Q. المثلث القائم الذي وتره FP، وطولا ضلعي قائمته هما: x و f-y (المسافة الرأسية بين F و P)، يكون طول وتره ‖
F
P
‖
= x 2
+
(
f
−
y ) 2
{\displaystyle \|FP\|={\sqrt {x^{2}+(f-y)^{2}}}\,\!}
(لاحظ أن ²(f-y) و²(y-f) يعطيان نفس الناتج لأنهما مربعان.) طول الخط QP يساوي المسافة الرأسية بين النقطة P ومحور السينات (أي المسافة y) بالإضافة إلى المسافة الرأسية من محور السينات إلى الدليل (أي المسافة f). ‖
Q
P
‖
=
f
+
y
{\displaystyle \|QP\|=f+y\,\!}
هاتان القطعتان المستقيمتان متساويتان في الطول، وكما ذكر سابقًا y=ax² وبالتالي ‖
F
P
‖
=
‖
Q
P
‖
{\displaystyle \|FP\|=\|QP\|\,\!} x 2
+
(
f
−
a x 2 ) 2
=
f
+
a x 2
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+(f-ax^{2})^{2}}}=f+ax^{2}\,\!}
بتربيع الطرفين
x 2
+
( f 2
−
2
a x 2
f
+ a 2 x 4
)
=
( f 2
+
2
a x 2
f
+ a 2 x 4
)
{\displaystyle x^{2}+(f^{2}-2ax^{2}f+a^{2}x^{4})=(f^{2}+2ax^{2}f+a^{2}x^{4})\,\!}
بطرح الحدود المتشابهة من الطرفين
x 2
−
2
a x 2
f
=
2
a x 2
f
{\displaystyle x^{2}-2ax^{2}f=2ax^{2}f\,\!} x 2
=
4
a x 2
f
{\displaystyle x^{2}=4ax^{2}f\,\!}
بقسمة x² من الطرفين (بفرض أن x لا تساوي الصفر) 1
=
4
a
f
{\displaystyle 1=4af\,\!}
f
=
1 4
a {\displaystyle f={1 \over 4a}\,\!}
وبالتالي للقطع المكافئ الذي على الصورة f(x)=x²، المعامل a يساوي 1، وبالتالي فإن النقطة البؤرية F هي (0,¼) كما ذكر أعلاه، هذا هو اشتقاق النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط، رأسه في نقطة الأصل ويتماثل حول محور الصادات، أما بالنسبة لأي قطع مكافئ معمم، معادلته على الصورة القياسية y
=
a x 2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,\!} ,
بؤرته تقع عند النقطة
(
−
b
2
a , − b 2
4
a +
c
+
1 4
a
) {\displaystyle \left({\frac {-b}{2a}},{\frac {-b^{2}}{4a}}+c+{\frac {1}{4a}}\right)\,\!}
والتي يمكن كتابتها على الصورة
(
−
b
2
a ,
c
−
b 2
−
1
4
a
) {\displaystyle \left({\frac {-b}{2a}},c-{\frac {b^{2}-1}{4a}}\right)\,\!}
والدليل يعطى بالعلاقة y
= − b 2
4
a +
c
−
1 4
a {\displaystyle y={\frac {-b^{2}}{4a}}+c-{\frac {1}{4a}}\,\!}
والتي يمكن أن تكتب على الصورة y
=
c
−
b 2
+
1
4
a {\displaystyle y=c-{\frac {b^{2}+1}{4a}}\,\!}
في الطبيعة والصناعة والتكنولوجيا
مرايا مرصد كيك
مرصد كيك يتكون من مرصدين
مرصد كيك الفلكي في هاواي ينكون من مرصدين، كل منهما مزود بمرآة مقعرة في شكل قطع زائد. معظم التلسكوبات الحديثة تعمل بمرايا في شكل القطع المكافيء، ويصل قطر بعضها نحو 8 متر.وهي تعمل على تجميع قدر كبير من الضوء وتصور أجراما كونية قريبة وبعيدة. تمكن الإنسان من اكتشاف أجراما صغيرة جدا، اجراما بعيدة جدا، وبفضل تلك الأجهزة الدقيقة تعرف الإنسان الحديث على أشياء كثيرة في الكون. كذلك يعمل تلسكوب هابل الفضائي بمرايا مقعرة بشكل القطع المكافيء. طبق استقبال التلفاز
كما تشكل أطباق استقبال التلفاز في شكل قطع مكافيء لاستقبال وتركيز أمواج التلفزة في بؤرة تضخم الإشارات. لا تصلح مرآة كرية (جزء من الكرة) كمرآة لتلسكوب حيث أنها تكون عدة بؤر خلف بعضها البعض، ولا تجمع الأشعة في بؤرة واحدة. تلك الظاهرة تسمى إزاغة كرية ونتيجتها تكوين صورة غير واضحة. معرض صور القطع المكافئ كموقع هندسي لأقطاب الخطوط المتماسة لمخروطية بالنسبة لمخروطية آخرى
تاريخ
نافورة المياه ترسم مسارات في شكل القطع المكافيء.
فرجار رسم القطع المكافئ من تصميم ليوناردو دافنشي.
أقدم من عمل على دراسة القطوع المخروطية، طبقًا لما هو معروف حاليا، هو منانخيموس في القرن الرابع ق.م. فقد أوجد طريقة لحل مسألة مضاعفة المكعب باستخدام القطوع المكافئة، وقد كان من الصعب حل مثل هذه المسألة بإنشاءات الفرجار والمسطرة. أما أبولونيوس فقد اكتشف العديد من خصائص القطوع المخروطية، كما يعود إليه الفضل في تسمية هذا النوع من القطوع بالقطع المكافئ. خاصية البؤرة-الدليل للقطع المكافئ، يعود الفضل فيها إلى بابوس السكندري. أوضح جاليليو أن المقذوفات تتخذ مسارًا على هيئة قطع مكافئ؛ ذلك نتيجة انتظام عجلة الجاذبية الأرضية. قبل اختراع التليسكوب العاكس كانت فكرة تكون صورة من خلال مرآة القطع المكافئ؛ معروفة. في النصف الأول من القرن السابع عشر اقترح مجموعة من علماء الرياضيات، أمثال رينيه ديكارت ومارين مارسين وجيمس جريجوري، تصميمات لمرايا القطع المكافئ. لكن إسحاق نيوتن تحاشى استخدام هذا النوع من المرايا عندما قام ببناء أول تلسكوب عاكس عام 1668م، وذلك لصعوبة تصنيعها مقارنة بالمرايا الكرية. في الوقت الراهن تستخدم عواكس القطع المكافئ في أغلب التلسكوبات العاكسة الحديثة، وفي التلسكوبات الفضائية، وأطباق الاستقبال التلفازي المعدنية، وأطباق اتصالات الساتل الصناعية، ومستقبلات الرادار.
رأس القطع المكافئ
الإحداثي السيني لرأس القطع المكافئ هو x
=
−
b 2
a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} ، ويمكن الحصول عليه عن طريق اشتقاق المعادلة الأصلية للقطع y
=
a x 2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} ، وبوضع قيمة المشتقة d
y / d
x
=
2
a
x
+
b
{\displaystyle dy/dx=2ax+b} بصفر (لأن رأس القطع المكافئ هو نقطة حرجة؛ بمعنى أن ميل المماس عنده مساوٍ للصفر)، بحل المعادلة نحصل على الإحداثي السيني لرأس المنحنى، أما الإحداثي الصادي فيمكن الحصلول عليه بالتعويض بقيمة الإحداثي السيني في المعادلة الأصلية كالتالي: y
=
a
( −
b 2
a
)
2
+
b ( −
b 2
a
) +
c
{\displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c}
وبالتبسيط: = a b 2
4 a 2 − b 2 2
a +
c
{\displaystyle ={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c}
= b 2 4
a − 2
⋅ b 2
2
⋅
2
a +
c
⋅ 4
a
4
a {\displaystyle ={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {2\cdot b^{2}}{2\cdot 2a}}+c\cdot {\frac {4a}{4a}}}
= − b 2
+
4
a
c
4
a {\displaystyle ={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}}
=
−
b 2
−
4
a
c
4
a =
−
D 4
a {\displaystyle =-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}=-{\frac {D}{4a}}}
وبالتالي نقطة رأس القطع المكافئ هي
( −
b 2
a ,
−
D 4
a
) {\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {D}{4a}}\right)}
المعادلة في الإحداثيات الديكارتية
قطع مكافيء: خواص البؤرة F.
إذا افترضنا أن دليل القطع المكافئ هو الخط x = −p، وأن بؤرته هي النقطة (p,0). وإذا كانت (x,y) نقطة تنتمي للقطع المكافئ وأنها، من تعريف بابوس للقطع المكافئ، تبعد عن البؤرة مسافة مساوية لبعدها عن الدليل، هذا يعني أن: x
+
p
=
(
x
−
p ) 2
+ y 2
.
{\displaystyle x+p={\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}.}
بتربيع طرفي المعادلة وبعد التبسيط نحصل على
y 2
=
4
p
x {\displaystyle y^{2}=4px\,}
وهي معادلة القطع الكافئ في صورة من أبسط صوره، ويلاحظ أن محور هذا القطع أفقي. ولتعميم هذه المعادلة نتخيل أن القطع المكافئ أزيح بحيث يكون رأسه هو النقطة (h,k)، بالتالي تصير معادلته (
y
−
k ) 2
=
4
p
(
x
−
h
) {\displaystyle (y-k)^{2}=4p(x-h)\,}
بتبديل الإحداثيات x و y نحصل على المعادلة المقابلة للقطع المكافئ رأسي المحور (
x
−
h ) 2
=
4
p
(
y
−
k
)
. {\displaystyle (x-h)^{2}=4p(y-k).\,}
المعادلة الأخيرة يمكن كتابتها على الصورة y
=
a x 2
+
b
x
+
c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}
وبالتالي فإن أي دالة في x إذا كانت كثيرة حدود من الدرجة الثانية فهي قطع مكافئ ذو محور رأسي. وللتعميم أكثر نقول أن القطع المكافئ هو منحن في المستوى الديكارتي يُعرف بالمعادلة غير القابلة للاختزال والتي على الصورة: A x 2
+
B
x
y
+
C y 2
+
D
x
+
E
y
+
F
=
0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}
بحيث أن
B 2
=
4
A
C
, {\displaystyle B^{2}=4AC,\,}
حيث كل المعاملات حقيقية، وكل من A و B لا يساويان الصفر، ويوجد أكثر من حل وحيد، بحيت تكون مجموعة الحل أزاوج مرتبة على الصورة (x, y)، وهي جميع النقاط الواقعة على المنحنى. كما أن المعادلة غير قابلة للاختزال، بمعنى أنه لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب معادلتين لا يُشترط أن تكونا خطيتين.
تعريفات هندسية أخرى
القطوع المكافئة هي قطوع مخروطية.
القطع المكافئ يمكن تعريفه باعتباره قطع مخروطي اختلافه المركزي يساوي الواحد الصحيح؛ نتيجة لذلك تكون كل القطوع المكافئة متشابهة، بمعنى أن لها نفس الشكل مهما تغير حجمها. ويعتبر القطع المكافئ أيضا نهاية قطوع ناقصة متتابعة، إحدى بؤرتيهم ثابتة والأخرى حرة لتتحرك بعيدًا في اتجاه واحد، بهذا المنطق يمكن النظر إلى القطع المكافئ باعتباره قطع ناقص إحدى بؤرتيه تقع عند ما لا نهاية. القطع المكافئ هو أيضًا تحول عكسي للمنحنى القلبي. للقطع المكافئ محور تماثل عاكس وحيد، يمر ببؤرته ويتعامد على دليله، ونقطة تقاطع هذا المحور مع القطع المكافئ تدعى رأس القطع المكافئ. دوران القطع المكافئ حول محوره في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد يولد شكلًا يعرف بالسطح المكافئي الدوراني.
شرح مبسط
في الرياضيات، القطع المكافئ (ويقال عنه الشلجم والصواب الشلجمي أي ذو شكل الشلجم، أو العدسيّ)[1] (بالإنجليزية: Parabola) هو شكل ثنائي الأبعاد وهو قطع مخروطي، ينشأ من قَطْع سطح مخروطي دائري قائم بمستو موازٍ لراسم هذا السطح (أي الخط المولد له).[2][3][4]
شاركنا رأيك
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع [ تعرٌف على ] قطع مكافئ # اخر تحديث اليوم 2024-04-20 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 10/11/2023
اعلانات العرب الآن