اليوم: السبت 20 ابريل 2024 , الساعة: 4:43 ص
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
اخر المشاهدات
- [ تعرٌف على ] العلاج بالحرمان من الأندروجين # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات الفلبينية اليابانية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] حزمة كوديكس كيه-لايت # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] Commercial Name (English) ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ دليل دبي الامارات ] اللمسات الخضراء خدمات التنظيف ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مهارات التواصل ] 3 من أهم فوائد التواصل مع الآخرين # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ دليل دبي الامارات ] فيريكو لتدقيق الحسابات ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] رامي راشد موسى زهراني ... الباحة ... منطقة الباحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] إيان سومرهالدر # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مراكز تدريب الامارات ] المركز الدولى للتدريب والدراسات # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] شركة عين الطاقات التجارية ذ.م.م ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ متاجر السعودية ] الالمعي للارقام المميزة ... خميس مشيط ... منطقة عسير # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ دليل دبي الامارات ] نادي النخيل ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ دليل دبي الامارات ] مكتب موقع مشروع بوابة مركز دبي المالي العالمي ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] ام حبيب للخضروات والفواكه ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ المركبات الامارات ] توت فان يخت ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات الروسية الرومانية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] مشتملات النوع ب # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] مجرة سومبريرو # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] نمنمة الشتاء # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] فشت الملوك للسندويشات ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] إدجار كود # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] البلازما الجرثومية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] رامي منور بن جبل الهذلي ... الطائف ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مقاهي السعودية ] سلف ميد كوفي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مراكز تدريب الامارات ] معهد المنار العلمي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [رقم هاتف] عيادة الطبيب شلهوب سيمون سليم .. لبنان # اخر تحديث اليوم 2024-03-19
- تفسير رؤية مكان مظلم في المنام # اخر تحديث اليوم 2024-04-16
- [ مواد البناء و التجارة قطر ] نقاهة للرعاية المنزلية والصحية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] جارالله عبدالهادي ابن جارالله المري ... النعيريه ... المنطقة الشرقية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات المكسيكية الليتوانية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] حق الاحتفاظ بالأسلحة وحملها في الولايات المتحدة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] وكالة الأفلام الحكومية الأوكرانية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] اللغة اليابانية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] متلازمة كاساباك ميريت # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مقاولون السعودية ] مؤسسة المشاريع الهندسية الكندية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] ماجد عبدالله ماجد الدوسري ... الرياض ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تسوق وملابس الامارات ] مكتب غنتوت ... الظفرة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ رقم هاتف ] صالون غواني لتجميل السيدات و العنوان بالفجيرة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ دليل دبي الامارات ] لمسات للحلاقة ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] ليونز باي (كولومبيا البريطانية) # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات النرويجية الروسية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] فولتا كولومبيا 2021 # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ دليل أبوظبي الامارات ] صالون التهاني للحلاقة ... أبوظبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] قرار مجلس الأمن التابع للأمم المتحدة رقم 1889 # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟! # اخر تحديث اليوم 2024-02-10
- [ تعرٌف على ] اليونانية الأخينية الدورية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] زاهي نايف بن العفين البلادي ... الجموم ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات الكويتية القيرغيزستانية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ خدمات عامة الامارات ] كافتيريا كمون و ليمون ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام # اخر تحديث اليوم 2024-02-07
- [ مؤسسات البحرين ] عيادة الدكتور خالد مراد للأسنان ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] هدى منير مهدي السلمي ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] 15 ذو القعدة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] زهرة شعبان فيحان فرحان ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] آيسكريم التوت الحلو ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] إنقاذ اليهود خلال الهولوكوست # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ عبارات تهاني ] عبارات قدوم مولود جديد.. 29 عبارة تهنئة بالمولود السعيد # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ شركات تكنولوجيا المعلومات قطر ] شركة الخليج لتكنولوجيا الطاقه والمشاريع ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ خذها قاعدة ] نصف شربة لن تروي ظمأك .. نصف وجبة لن تشبع جوعك .. نصف طريق لن يوصلك لأي مكان .. نصف فكرة لن تعطي لك نتيجة .. النصف هو لحظة عجزك ،، وأنت لست بعاجز ! - جبران خليل جبران # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ وزارات وهيئات حكومية السعودية ] رعاية الشباب # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] مؤسسة رمز الحلول للخدمات العقارية ... صامطه ... منطقة جازان # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] جغرافيا ناورو # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ توصيل و خدمات الغاز المنزلي قطر ] مركز دخان التجاري # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ خذها قاعدة ] إنّ انعدام الإحساس في حدّ ذاته آفّة تماماً كانعدام الشرف. - علي شريعتي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مقاولون السعودية ] شركة الحرمين للمقاولات # اخر تحديث اليوم 2024-02-13
- [ فائدةمن كتاب لا تحزن ] سعدُ بنُ الربيع في (( أُحدٍ)) مضرَّج بدمائِهِ ، وهو يسألُ في آخرِ رَمَقٍ عن الرسولِ ، إنها ثباتةُ الجأشِ وعمارُ القلبِ ! # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ شركات طبية السعودية ] مؤسسة النجم المميز الطبية ... المدينة المنورة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ متاجر السعودية ] ايه ام بوتيك ... ينبع ... منطقة المدينة المنورة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] التدخل الروسي في انتخابات الولايات المتحدة 2016 # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مطاعم السعودية ] بروستد كوفي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ دليل أم القيوين الامارات ] مؤسسة البدري لاعمال المطابخ ... ام القيوين # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] بولتافا # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] دراغان أوبرينوفيتش # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ شركات صيانة الكهرباء قطر ] شركة هور ليا Hoare Lea Qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ متاجر السعودية ] متجر ذوووق ... ينبع ... منطقة المدينة المنورة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ خذها قاعدة ] الأبطال لا يخلقون في الأندية , الأبطال يتشكلون من شيء عميق داخل أنفسهم : الرغبة , الحلم والرؤيا. - محمد علي كلاي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] موقع الطعام ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] بوابة الهمله للخضروات والفواكه ... المنطقة الشمالية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] العلاقات الأوغندية الميانمارية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ دليل الشارقة الامارات ] سوبرماركت المزارع الشامية ... الشارقة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مطاعم الامارات ] مطعم ريف الشامي ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] السرو الحزين # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ دليل دبي الامارات ] إنفوسيد كومبوترز ذ م م ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] منيره ناصر عبدالله الطليان ... الخرج ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ خذها قاعدة ] تنضج روح الشاب من القوة إلى الجمال في الوقت الذي ينضج فيه جسده من الجمال إلى القوة. - جان بول ريختر # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ خذها قاعدة ] حافظ على الجزء الغير عاقِل من شخصيتك الجزء اللامنطقيْ الجُزء المزعج الضحّوك الفوضوي الجزء الذي يعيد روحك طفل مهما بلغ عمرك. - فيل كولنز # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] شعبان نت ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] المجال للخضروات والفواكه ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] غاز المملكة ... المنطقة الجنوبية # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ شركات المجوهرات والذهب قطر ] زمين للساعات و المجوهرات ZEMIN STORE Qatar ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] كوبا ساباتيني 2020 # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ البهارات ] مكونات بهارات الجرام ماسالا # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ جمال ورشاقة الامارات ] صالون استراحة الشباب للرجال ... دبي # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ ماذونين السعودية ] بشير بن عبدالهادي بن جارالله العنزي ... ينبع # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ تعرٌف على ] جغرافيا المكسيك # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ البحث العلمي ] بحث عن فوائد وأضرار الاحتكاك # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ المنيوم و تجارة قطر ] الشهابي للتجاره # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
- [ مؤسسات البحرين ] مؤسسة الربع الخالي للتجارة ... منامة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
الأكثر قراءة
- مريم الصايغ في سطور
- سؤال و جواب | ما هى أسباب نزول الدم الاحمر بعد البراز؟ وهل هناك أسباب مرضية؟ وما الحل ؟
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً
- هل للحبة السوداء"حبة البركة "فوائد ؟
- كيف أتخلص من الغازات الكريهة التى تخرج مني باستمرار؟
- هناك ألم عندى فى الجانب الأيسر للظهر فهل من الممكن أن يكون بسبب الكلى ؟
- هل هناك علاج للصداع الئى أانيه فى الجانب الأيسر من الدماغ مع العين اليسرى ؟
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام»
- [ رقم تلفون ] مستر مندوب ... مع اللوكيشن المملكه العربية السعودية
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان
- نزع شوك السمك في المنام
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة
- ارقام وهواتف مستشفى الهلال الاحمر 34 ش رمسيس وسط البلد بالقاهرة
- جريمة قتل آمنة الخالدي تفاصيل الجريمة
- رسائل حب ساخنة للمتزوجين +18
- خليفة بخيت الفلاسي حياته
- تعرٌف على ... عائشة العتيبي | مشاهير
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟
- رقم هاتف مكتب النائب العام وكيفية تقديم بلاغ للنائب العام
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] شركة متجر كل شششي - المملكه العربية السعودية
- تفسير رؤية شخص اسمه محمد في المنام لابن سيرين
- ارقام وهواتف مطعم الشبراوى 33 ش احمد عرابى المهندسين, بالجيزة
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة
- ارقام وهواتف عيادة د. ياسر المليجى - 139 ش التحرير الدقى بالجيزة
- ارقام وهواتف مستشفى النور المحمدى الخيرى التخصصى المطرية, بالقاهرة
- تفسير رؤية الحشرات في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية
- قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟
- أعشاب تفتح الرحم للإجهاض
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟!
- قناة تمازيغت برامج القناة
- ارقام وهواتف مكتب صحة - السادس من اكتوبر ميدان الحصرى السادس من اكتوبر, بالجيزة
- سور القران لكل شهر من شهور الحمل
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين
- زخرفة اسماء تصلح للفيس بوك
- مدرسة ب/ 141 حكومي للبنات بجدة
- إلغ (برمجية) التاريخ
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان
- أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام
- تفسير حلم الكلب لابن سيرين
- [ رقم هاتف ] عيادة د. حازم ابو النصر - 20 ش عبد العزيز جاويش عابدين بالقاهرة
- انا بنت عندي 13 سنة لسة مجتليش الدورة الشهرية ......كنت ببات عند خالتي وكل ما
- هل تمرير الإصبع بشكل أفقي على فتحة المهبل يؤدي إلى فض غشاء البكارة؟
- [رقم هاتف] شركة الحراسة و التوظيف و التنظيف.. المغرب
- قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي
- ذا إكس فاكتور آرابيا فكرة البرنامج
- السلام عليكم ، أنا مشكلتي بصراحة الجنس من الخلف مع زوجي الأن صار ويحب حيل
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟
- لالة لعروسة (برنامج) الفائزون
- أنا حامل في الشهر الرابع وينزل مني دم .. هل هذا طبيعي؟
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها
- هل إدخال إصبع الزوج في مهبل الزوجة له أضرار؟
- تفسير حلم اصلاح الطريق في المنام
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة
- إيمان ظاظا حياتها ومشوارها المهني
- أهمية وضرورة إزالة الخيط الأسود من ظهر الجمبري
- اسماء فيس بنات مزخرفة | القاب بنات مزخرفه
- لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة
- تفسير رؤية المشاهير في المنام لابن سيرين
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن حرب 6 اكتوبر 1973 بالصور pdf doc -
- فوائد عشبة الفلية و الكمية المناسبة يوميا
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] شركة الرفق بالحيوان و الطبيعة.. المغرب
- كلمات - انت روحي - حمود السمه
- أعاني من لحمة زائدة في الدبر ، فلدي قطعة لحمية صغيرة في فتحة الشرج من الخارج
- ما الفرق بين الغشاء السليم وغير السليم؟
- تفسير حلم رؤية الإصابة بالرصاص في الكتف بالمنام
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟
- عمر فروخ
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة?
- إدمان الزوج للمواقع الإباحية: المشكلة والأسباب والعلاج
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء.
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام
- تظهر عندي حبوب في البظر والشفرتين بين حين وآخر.. هل لها مضاعفات، وما علاجها؟
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- الكرة الحديدية قواعد اللعبة
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن اللغة العربية والكفايات اللغويه -
- تفسير حلم رؤية الكنز فى المنام لابن سيرين
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟
روابط تهمك
مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع [ تعرٌف على ] تكامل متعدد # اخر تحديث اليوم 2024-04-20 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 10/11/2023
[ تعرٌف على ] تكامل متعدد # اخر تحديث اليوم 2024-04-20
آخر تحديث منذ 5 شهر و 11 يوم
1 مشاهدة
تم النشر اليوم 2024-04-20 | تكامل متعدد
التكامل الثنائي
لنفترض أننا نرغب في مكاملة دالة في عدة متغيرات f خلال منطقة A: A
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
11
≤
x
≤
14
;
7
≤
y
≤
10
}
{\displaystyle A=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\}} و f
(
x
,
y
)
= x 2
+
4
y
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+4y\,\!}
لهذه الحالة نكون التكامل الثنائي::
∫ 7
10 ∫ 11
14
( x 2
+
4
y
)
d
x d
y
{\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}\ (x^{2}+4y)\ dx\,dy} يتوجه النظر إلى التكامل الداخلي أولاً والذي نكامله باعتبار x، يجب إجراء هذا التكامل قبل مكاملة الدالة بالنسبة لy. لاحظ أننا في البدء نعتبر y ثابتاً حيث أنها ليست متغير التكامل.
∫ 11
14
( x 2
+
4
y
)
d
x = ( 1
3 x 3
+
4
y
x )
| x
=
11
x
=
14
=
1
3
(
14 ) 3
+
4
y
(
14
)
−
1
3
(
11 ) 3
−
4
y
(
11
)
=
471
+
12
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\ (x^{2}\ +\ 4y)\ dx&=\left({\frac {1}{3}}x^{3}\ +\ 4yx\right){\Big |}_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}\ +\ 4y(14)\ -\ {\frac {1}{3}}(11)^{3}\ -\ 4y(11)\\&=471\ +\ 12y\\\end{aligned}}}
بعد ذلك نكامل بالنسبة ل y
∫ 7
10
(
471
+
12
y
)
d
y =
(
471
y
+
6 y 2
) | y
=
7
y
=
10
=
471
(
10
)
+
6
(
10 ) 2
−
471
(
7
)
−
6
(
7 ) 2
=
1719
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}\ (471\ +\ 12y)\ dy&=(471y\ +\ 6y^{2}){\big |}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)\ +\ 6(10)^{2}\ -\ 471(7)\ -\ 6(7)^{2}\\&=1719\\\end{aligned}}}
الحجوم
حجم متوازي المستطيلات ذو الأضلاع 4×6×5 نتحصل عليه بطريقتين: التكامل الثنائي::
∬ D
5
d
x d
y
{\displaystyle \iint _{D}5\ dx\,dy}
للدالة 5=(f(x,y محسوبة في المنطقة D من مستوى xy الذي يمثل قاعدة متوازي المستطيلات::
∭
p
a
r
a
l
l
e
l
e
p
i
p
e
d 1 d
x d
y d
z
{\displaystyle \iiint _{\mathrm {parallelepiped} }1\,dx\,dy\,dz}
التكامل الثلاثي::
∭
p
a
r
a
l
l
e
l
e
p
i
p
e
d 1 d
x d
y d
z
{\displaystyle \iiint _{\mathrm {parallelepiped} }1\,dx\,dy\,dz}
للدالة الثابتة 1 محسوبةً على متوازي المستطيلات نفسه.
حساب الحجوم
بفضل الطرق المفصلة أعلاه يمكن تبيين قيمة الحجم لبعض الأجسام: الأسطوانة: اعتبر أن المجال هو القاعدة الدائرية ذات نصف قطر R، والدالة ثابتة بالارتفاع h. يمكن كتابة ذلك في إحداثيات قطبية كالآتي: V
o
l
u
m
e = ∫ 0
2
π
d
ϕ ∫ 0
R
h
ρ
d
ρ
=
h
2
π
[ ρ 2
2
]
0
R
=
π R 2
h
{\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}h\rho \ d\rho =h2\pi \left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}
التحقق: الحجم = مساحة القاعدة* الارتفاع= π R 2
⋅
h
{\displaystyle \pi R^{2}\cdot h}
الكرة: وهو توضيح جاهز لتطبيق التمرير في احداثيات كروية للدالة الثابتة المُكامَلة 1 في الكرة ذات نفس نصف القطر R: V
o
l
u
m
e = ∫ 0
2
π d
ϕ ∫ 0
π
sin
θ d
θ ∫ 0
R ρ 2 d
ρ
=
2
π ∫ 0
π
sin
θ R 3
3 d
θ
=
2
3
π R 3
[
−
cos
θ ] 0
π
=
4
3
π R 3
.
{\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }\,d\phi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta {\frac {R^{3}}{3}}\,d\theta ={\frac {2}{3}}\pi R^{3}[-\cos \theta ]_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.}
رباعي السطوح(هرم مثلثي ذو 4 وجوه): حجم رباعي سطوح ذو رأس عند نقطة الأصل يمكن حسابهعن طريق صيغ الاختزال آخذين بالاعتبار، كمثال، ال normality على المستوى xy ولمحور x ومثل الدالة الثابتة 1. V
o
l
u
m
e = ∫ 0
ℓ
d
x ∫ 0
ℓ
−
x d
y ∫ 0
ℓ
−
x
−
y d
z
= ∫ 0
ℓ
d
x ∫ 0
ℓ
−
x
(
ℓ
−
x
−
y
) d
y
{\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy}
= ∫ 0
ℓ
( ℓ 2
−
2
ℓ
x
+ x 2
− (
ℓ
−
x ) 2 2
) d
x
= ℓ 3
−
ℓ ℓ 2
+ ℓ 3
3
−
[
ℓ 2
2
−
ℓ
x
+ x 2
2 ]
0
ℓ
=
{\displaystyle =\int _{0}^{\ell }(\ell ^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}})\,dx=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}}{2}}-\ell x+{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{\ell }=}
= ℓ 3
3
− ℓ 3
6
= ℓ 3
6
{\displaystyle ={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}}
التحقق: الحجم = مساحة القاعدة * الارتفاع /3 =
ℓ 2
2
⋅
ℓ / 3
= ℓ 3
6
.
{\displaystyle {\frac {\ell ^{2}}{2}}\cdot \ell /3={\frac {\ell ^{3}}{6}}.}
مثال لمجال معتل.
حسب مبرهنة فوبيني Fubini's theorm:
∫ A
×
B | f
(
x
,
y
) |
d
(
x
,
y
)
<
∞
,
{\displaystyle \int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty ,}
هذا يعني أنه إذا كان التكامل محدد مطلقاً فان نفس النتيجة التي نحصل عليها بالتكامل المتعدد يمكن الحصول عليها بالتكامل المتتابع،:
∫ A
×
B
f
(
x
,
y
) d
(
x
,
y
)
= ∫ A (
∫ B
f
(
x
,
y
) d
y )
d
x
= ∫ B (
∫ A
f
(
x
,
y
) d
x )
d
y
.
{\displaystyle \int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.} يحدث ذلك تحديدا عندما تكون |(f(x,y| دالة محددة، وA وB مجموعتان محددتان.
إذا لم يكن التكامل متقارب مطلقاً يجب العناية وعدم خلط مبادئ التكامل المتعدد والتكامل المتتابع، خاصة أن كلاهما يكتب بنفس الرموز. الرمز:
∫ 0
1 ∫ 0
1
f
(
x
,
y
) d
y d
x
{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx}
يعني في بعض الحالات تكاملاً متتابعاً وليس تكاملاً ثنائياً حقيقياً. التكامل الخارجي في التكامل المتتابع:
∫ 0
1
⋯ d
x
{\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,dx} هو تكامل باعتبار x لدالة x التالية: g
(
x
)
= ∫ 0
1
f
(
x
,
y
) d
y
.
{\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy.} من ناحية أخرى، التكامل الثنائي يعرف باعتبار المساحة في المستوى xy. إذا وُجد تكامل ثنائي فانه يكون مساوياً لكل من التكاملين المتتابعين على حدا (إما "dydx" أو"dxdy") ويتم حسابه عادة بحساب أحد التكاملين المتتابعين. ولكن أحياناً يوجد التكاملين المتتابعين إذا وفقط إذا لم يكن هناك تكامل ثنائي، ويكونان في هذه الجالة ذوي قيم متغايرة عن بعضهما كما في المثال:
∫ 0
1 ∫ 0
1
f
(
x
,
y
) d
y d
x
≠ ∫ 0
1 ∫ 0
1
f
(
x
,
y
) d
x d
y
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.}
وهو إعادة ترتيب افتراضي للتكامل المتقارب شرطياً. نكتب:
∫ [
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
f
(
x
,
y
) d
x d
y
{\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy} الذي يمكن استعماله للتأكد من أننا حسبنا التكامل المتعدد وليس المتتابع
افترض ان n
n عدد صحيح أكبر من 1. افترض مستطيلا نصف مفتوح في n
n بعداً (من الآن فصاعداً سنسميه ببساطة مستطيلا). بالنسبة للمستوى: n
=
2
{\displaystyle n=2} , والتكامل المتعدد هو مجرد تكامل ثنائي.
T
=
( a 1
, b 1
)
×
( a 2
, b 2
)
×
⋯
×
( a n
, b n
)
⊂
R
n
{\displaystyle T=(a_{1},b_{1})\times (a_{2},b_{2})\times \cdots \times (a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R} ^{n}} قم بتقسيم كل فترة ( a i
; b i
)
{\displaystyle (a_{i};b_{i})} إلى عدد من الفترات الجزئية غير المتداخلة بحيث تكون كل منها مغلقة عند النهاية اليسرى ومفتوحة عند النهاية اليمنى. بالكتابة، يرمز لكل فترة جزيئة بالرمز
l i
{\displaystyle l_{i}} .عائلة المستطيلات الجرئية الناتجة ذات الصيغة:
C
= I 1
× I 2
×
⋯
× I n
{\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}} هي جزئية من T
{\displaystyle T} بمعنى أن المستطيلات الجزئية C
{\displaystyle C} هي مستطيلات غير متداخلة واتحادها يعطينا T
{\displaystyle T} .
بعد أي من المستطيلات الجزئية C
{\displaystyle C} هو-من التعريف- الطول الأكبر من الفترات التي حعلتنا نتحصل على C
{\displaystyle C} ، وكذلك فإن بعد أي مجموعة معطاة جزئية من T
{\displaystyle T} معرف كأكبر بعد من أبعاد المستطيلات الجزئية في تلك المجموعة الجزئية. افترض أن f
:
T
→
R
{\displaystyle f:T\rightarrow R} هي دالة معرفة على المستطيل T
{\displaystyle T} . اعتبر التجزيئ التالي T
= C 1
∪ C 2
∪
⋯
∪ C m
{\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}} من T
{\displaystyle T} المعرفة آنفاً. حيث m
m هي عدد صحيح موجب. مجموع ريمان هنا هو المجموع بالصورة:
∑ k
=
1
m
f
( P k
)
m
( C k
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})m(C_{k})} حيث، لكل k
k فان النقطة
P k
{\displaystyle P_{k}} تقع في النفطة m
( C k
; C k
)
{\displaystyle m(C_{k};C_{k})} هو ناتج الأطوال من الفترات التي جداءها الديكارتي هو
C k
{\displaystyle C_{k}} في هذه الحالة تسمى دالة f
f متكاملة ريمان إذا كانت النهاية S
= lim δ
→
0 ∑ k
=
1
m
f
( P k
)
m
( C k
)
{\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})m(C_{k})} معرفة أو موجودة. حيث ان النهاية تحسب لكل جزئيات T
{\displaystyle T} ذات البعد δ
\delta . إذا امكن تكامل f
f بريمان فان S
{\displaystyle S} تسمى تكامل ريمان ل f
f على T
{\displaystyle T} ويكتب:
∫ T f
(
x
) d
x
.
{\displaystyle \int _{T}\!f(x)\,dx.} تكامل ريمان لدالة معرفة حول مجموعة ذات n
n بعدا يمكن تعريفها بتوسيع تلك الدالة إلى دالة معرفة على مستطيل نصف مفتوح قيمه تساوي الصفر خارج مجال الدالة الأصلية. إذن فان تكامل الدالة الأصلية على المجال الأصلي هي تكامل الدالة الموسعة على مجالها المستطيل، إذا وُجد. ما يلي تكامل ريمان في n
n بعداً سوف يسمى تكاملا متعددا الخصائص
التكامل المتعدد له العديد من الخصائص المشابة لخصائص تكامل الدوال في متغير واحد (الخطية، التبديلية، الرتابة، الخ). بالإضافة لذلك، وكما في المتغير الواحد، يمكن استخدام التكامل المتعدد لايجاد متوسط الدالة على مجموعة معطاة. أي انه لأي مجموعة معطاة D
⊆ R n
{\displaystyle D\subseteq R^{n}} ودالة قابلة للتكامل f
f على D
{\displaystyle D} ، القيمة المتوسطة لـ f
f على مجالها يعطى بـ: f
¯ =
1 m
(
D
)
∫ D
f
(
x
) d
x
,
{\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,} حيث m
(
D
)
{\displaystyle m(D)} هو مقياس D
{\displaystyle D} حالات خاصة
في حالة T
⊆ R 2
{\displaystyle T\subseteq R^{2}} ، فإن تكامل:
ℓ
= ∬ T
f
(
x
,
y
) d
x d
y
{\displaystyle \ell =\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy} هو تكامل ثنائي ل f
f على T
{\displaystyle T} . وإذا كانت T
⊆ R 3
{\displaystyle T\subseteq R^{3}} فان تكامل: ℓ
= ∭ T
f
(
x
,
y
,
z
) d
x d
y d
z
{\displaystyle \ell =\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}
يكون تكامل ثلاثي ل f
f على T
{\displaystyle T} .
لاحظ انه بالتحويل يكون هناك إشارتي تكامل للتكامل الثنائي وثلاث إشارات للتكامل الثلاثي، وهذا يعتبر مجرد تسهيل كتابي يكون عملي عندما نحسب التكامل المتعدد كتكامل متتابع iterated integral (كما سنبين لاحقاً في هذا المقال)
تستخدم هذه التكاملات في العديد من التطبيقات الفيزيائية في الميكانيكا، يحسب عزم القصور الذاتي كتكامل حجم (تكامل ثلاثي) للكثافة الموزونة مع مربع المسافة من المحور:
I z
= ∭ V
ρ r 2 d
V
.
{\displaystyle I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV.}
في الكهرومغناطيسية، يمكن كتابة معادلات ماكسويل في صورة تكامل ثلاثي لحساب المجالات الكهربية والمغناطيسية الكلية فس المثال التالي حصلنا على المجال الكهربي بتوزيع للشحنات تم الحصول عليه عن طريق تكامل ثلاثي لدالة متجهة:
E
→ =
1 4
π ϵ 0 ∭
r
→ −
r
→ ′
‖
r
→ −
r
→ ′
‖
3
ρ
(
r
→ ′ )
d 3
r
′ .
{\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,\operatorname {d} ^{3}r'.}
في حالة المجالات غير المحدودة أو الدوال غير المحدودة بالقرب من حدود المجال، نقوم باستعمال التكامل المعتل الثنائي أو التكامل المعتل الثلاثي.
كما هو الحال في التكامل المحدد لدالة موجبة في متغير واحد الذي يمثل مساحة المنطقة الواقعة بين منحنى الدالة والمحور السيني، كذلك فإن التكامل الثنائي لدالة موجبة في متغيرين يمثل حجم المنطقة الفاصلة بين السطح المعرف بالدالة (في النظام الديكارتي ثلاثي الأبعاد حيث f
=
(
x
,
y
) {\displaystyle f=(x,y)\,} والمستوى المحتوي لمجاله. (لاحظ أن نفس الحجم يمكن التوصل إليه باستخدام التكامل الثلاثي - تكامل دالة في ثلاث متغيرات- للدالة الثابتة f
(
x
,
y
,
z
)
=
1 {\displaystyle f(x,y,z)=1\,} فوق المنطقة المذكورة سابقا بين السطح والمستوى). إذا كان هناك عدد أكبر من المتغيرات فان التكامل المتعدد سيؤدي إلى احجام ضخمة من الدوال المتعددة الأبعاد. التكامل المتعدد لدالة f
f المعرفة في n
n متغير: f
( x 1
, x 2
,
…
, x n
) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,} على مجال D
{\displaystyle D} يتم في الغالب تمثيله بتداخل عدة إشارات تكامل بالترتيب متعاكس في الحساب (الإشارة إلى أقصى اليسار تحسب آخراً التي تسبقها لليمين تحسب قبلها وهكذا) يتم إجراءها على الدالة وتعريفات المكاملات بترتيب مناسب (التعريف في أقصى اليمين يحسب آخراً وهكذا). مجال هذا التكامل يتم تمثيله إما رمزيا لكل مكامل على إشارة تكامل، أو غالبا يتم اختصاره بمتغير في أقصى يمين الإشارة التكاملية: ∫
⋯ ∫
D
f
( x 1
, x 2
,
…
, x n
) d x 1 ⋯
d x n
{\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}
وبما أنه من المستحيل حساب المشتق العكسي لدالة في أكثر من متغير، فإن التكامل المتعدد الغير محدد لا وجود له. لذلك فإن كل التكاملات المتعددة هي تكاملات محددة.
حل المشكلات باستخدام التكامل المتعدد غالباً ما يتم عن طريق إيجاد طريقة لاختزال التكامل المتعدد ليصبح في هيئة سلسلة من التكاملات في متغير واحد تحل كل منها بصورة مباشرة. فيما يلي بعض طرق التكامل البسيطة: الحل المباشر
أحياناً يمكن الحصول على نتيجة التكامل بدون حاجة للتعديل الدوال الثابتة
في حالة الدالة الثابتة فإن النتيجة مباشرة، ببساطة نقوم بضرب المقياس بالدالة الثابتة c
c . إذا كانت c
=
1
{\displaystyle c=1} وكانت متداخلة مع منطقة جزئية من R2 فإن الناتج هو مساحة المنطقة، في حين يكون الناتج هو حجم المنطقة في حالة R3 مثلاً:
D
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
2
≤
x
≤
4
;
3
≤
y
≤
6
}
{\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\}} and f
(
x
,
y
)
=
2
{\displaystyle f(x,y)=2\,\!}
لنكامل f
f على D بالنسبة ل x أولا:
∫ 3
6 ∫ 2
4
2
d
x d
y
=
area
(
D
)
⋅
2
=
(
2
⋅
3
)
⋅
2
=
12.
{\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy={\mbox{area}}(D)\cdot 2=(2\cdot 3)\cdot 2=12.}
الحل باستخدام التماثل
إذا وُجد في المجال تماثلٌ حول واحد من المحاور على الأقل، وكانت الدالة لها زوجية parity واحدة على الأقل بالنسبة لمتغير معين. في هذه الحالة تكون قيمة التكامل صفرا (مجموع القيم المتساوية والمتضادة صفر). من الكافي –في الدوال على Rn – ان يكون المتغير التابع فردي مع محور التماثل. مثال (1):
خذ f(x,y) = 2sin x−3y3+5
وT = x2+y2≤1 مساحة التكامل (قرص ذو نصف قطر1 يتركز عند نقطة أصل المحور شاملاً المحيط). مستخدما خاصية الخطية يمكن تفكيك التكامل إلى ثلاثة أجزاء:
∬ T
(
2
sin
x
−
3 y 3
+
5
) d
x d
y
= ∬ T
2
sin
x d
x d
y
− ∬ T
3 y 3 d
x d
y
+ ∬ T
5 d
x d
y
{\displaystyle \iint _{T}(2\sin x-3y^{3}+5)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy}
2 sin x' و 3y3 كلاهما دالتين فرديتين ومن الواضح كذلك ان قرص T متماثل حول محور x وكذلك محور y؛ لذلك فان القيمة الوحيدة التي سنحصل عليها في الإجابة النهائية لتكامل الدوال الثلاث هي حل الدالة الثابتة 5 لأن الدالتين الأخرتين تساوي صفرا.
مثال (2):
خد الدالة (f(x,y,z) = xexp(y2+z2
ومنطقة التكامل هي كرة ذات نصف قطر 2 متركزة في نقطة أصل المحور T = x2+y2+z2≤4.
الكرة متماثلة حول جميع المحاور الثلاثة، لكن يكفي ان نكاملها باعتبار محور x فقط لنجد أن التكامل يساوي صفرا؛ ذلك لأن الدالة فردية بالنسبة لذلك المتغير x. صيغ الاختزال
صيغ الاختزال تعتمد على مبدأ المجال البسيط للتمكين من تفكيك التكامل المتعدد إلى عدة تكاملات في متغير واحد (وهي نفس عملية حسبان الاشتقاق الجزئي). المجالات البسيطة على R2
محور x
إذا كان D مجال مقيس عمودي على محور x و f
:
D
⟶ R {\displaystyle f:D\longrightarrow \mathbb {R} } هي دالة مستمرة؛ فإن (α(x و (β(x (بالتعريف في الفترة [a,b]) هما دالتين اللتين تحددان D. إذن:
∬ T
f
(
x
,
y
)
d
x d
y
= ∫ a
b
d
x ∫ α
(
x
)
β
(
x
)
f
(
x
,
y
) d
y
.
{\displaystyle \iint _{T}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy.}
محور y
إذا كان D مجال مقيس عمودي على محور y و f
:
D
⟶ R {\displaystyle f:D\longrightarrow \mathbb {R} } هي دالة مستمرة؛ فإن (α(y و (β(y (بالتعريف في الفترة [a,b]) هما دالتين اللتين تحددان D. إذن:
∬ T
f
(
x
,
y
)
d
x d
y
= ∫ a
b
d
y ∫ α
(
y
)
β
(
y
)
f
(
x
,
y
) d
x
.
{\displaystyle \iint _{T}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx.}
مثال
مثال: D هي منطقة التكامل بصيغ الاختزال
اعتبر أن المنطقة D
=
{
(
x
,
y
)
:
x
≥
0
,
y
≤
1
,
y
≥ x 2
}
{\displaystyle D=\{(x,y)\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}} (انظر الشكل المقابل). احسب: ∬ D
(
x
+
y
) d
x d
y
.
{\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.} هذا المجال عمودي على كلا المحورين xو y. لتطبيق صيغ الاختزال عليك ان تجد الدوال التي تحدد المجال وفترة تعريفه.
في هذه الحالدة الدالتين هما:
α
(
x
)
= x 2 and β
(
x
)
=
1
{\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1\,\!}
بينما الفترة معطاة من تقاطع الدوال مع x=0، عليه فان الفترة هي [a,b] = [0,1](جعلنا الوضع الأساسي باعتبار محور x لسهولة فهمها من الشكل المقابل). من الممكن الآن تطبيق الصيغة: ∬ D
(
x
+
y
) d
x d
y
= ∫ 0
1
d
x ∫
x 2
1
(
x
+
y
) d
y
= ∫ 0
1
d
x
[ x
y
+
y 2
2
] x 2
1
{\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right]_{x^{2}}^{1}}
(في البداية التكامل الثاني تم حسابه باعتبار ان x ثابت). كل ما يتبقى هو تطبيق عمليات تكاملية بسيطة::
∫ 0
1
[ x
y
+
y 2
2
] x 2
1 d
x
= ∫ 0
1 ( x
+
1
2
− x 3
− x 4
2 ) d
x
=
⋯
=
13
20
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.}
إذا أردنا جعل الوضع الأساسي باعتبار لمحور yنقوم بالآتي: ∫ 0
1
d
y ∫ 0 y (
x
+
y
) d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.}
وسنحصل على نفس النتيجة
مثال لمجال بسيط في R3 (مستوى-xy
المجالات البسيطة على R3
امتداد هذه الصيغ إلى التكاملات الثلاثية مشابه نوعاً ما:
T هو مجال عمودي على المستوى xy باعتبار الدوال (α (x,y و (β(x,y، إذن:
∭ T
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x d
y d
z
= ∬ D
d
x d
y ∫ α
(
x
,
y
)
β
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
,
z
) d
z
{\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\ dx\,dy\,dz=\iint _{D}dx\,dy\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz}
تغيير المتغيرات
حدود التكامل غير سهلة التغيير عادة، (بدون normality أو مع صيغ معقدة للمكاملة)، نقوم بـ«تغيير المتغيرات» لنعيد صياغة التكامل في منطقة أسهل في التعامل، والتي يمكن وصفها بصيغ مماثلة. لعمل ذلك يجب جعل الدالة تتماشى مع الإحداثيات الجديدة. مثال (1-أ)
الدالة هي f
(
x
,
y
)
=
(
x
−
1 ) 2
+
y
{\displaystyle f(x,y)=(x-1)^{2}+{\sqrt {y}}} ;
إذا تبنينا هذا البديل
x
′ =
x
−
1
,
y
′ =
y
{\displaystyle x'=x-1,\ y'=y\,\!} لذلك x
= x
′ +
1
,
y
= y
′ {\displaystyle x=x'+1,\ y=y'\,\!}
نحصل على الدالة الجديدة
f 2
(
x
,
y
)
=
( x
′
) 2
+
y
{\displaystyle f_{2}(x,y)=(x')^{2}+{\sqrt {y}}} .
وبصورة مشابة للمجال لأنه لم يعد محدودا بالمتغيرات الاصلية التي تم تحويلها (x ,y في المثال).
التفاضلات (d(xو (d(y يتم تحويلها عبر محددة المصفوفة الجاكوبية
المحتوية على الاشتقاقات الجزئية من التحويل والمتعلقة بالمتغير الجديد (على سبيل المثال التحويل التفاضلي في الإحداثيات القطبية). توجد ثلاثة أنواع من تغيير المتغيرات (واحد في R2 واثنان في R3)؛ لكن البديل المناسب يمكن إيجاده باستخدام نفس المبدأ بصورة أكثر عمومية. الإحداثيات القطبية
التحويل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية
في R2 إذا كان المجال له تماثل دائري وتوفرت في الدالة مواصفات «معينة» يمكننا حينها التحويل إلى احداثيات قطبية (انظر للمثال المقابل) مما يعني أن النقاط المبدئية (P(x,y في النظام الديكارتي تتحول إلى النقاط التي تمثلها في النظام القطبي مما يسمح بتغيير صورة المجال وتبسيط العملية. العلاقة الأساسية لعمل التحويل هي التالية:
f
(
x
,
y
)
→
f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
)
.
{\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ).}
مثال (2-أ):
الدالة هي f
(
x
,
y
)
=
x
+
y
{\displaystyle f(x,y)=x+y\,\!}
وبتطبيق التحويل نحصل على:
f
(
ρ
,
ϕ
)
=
ρ
cos
ϕ
+
ρ
sin
ϕ
=
ρ
(
cos
ϕ
+
sin
ϕ
)
.
{\displaystyle f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi +\rho \sin \phi =\rho \ (\cos \phi +\sin \phi ).}
مثال (2-ب):
الدالة هي f
(
x
,
y
)
= x 2
+ y 2
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,\!}
في هذه الحالة لدينا:
f
(
ρ
,
ϕ
)
= ρ 2
( cos 2
ϕ
+ sin 2
ϕ
)
= ρ 2
{\displaystyle f(\rho ,\phi )=\rho ^{2}(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )=\rho ^{2}\,\!}
باستخدام مبرهنة فيثاغورث يتم تحويل المجال بايجاد طول نصف القطر ومدى الزاوية المركزية لتعريف فترات ρو φ ابتداءً من x وy
مثال لتحويل مجال من ديكارتي إلى قطبي.
مثال (2-ج):
المجال هو D
= x 2
+ y 2
≤
4
{\displaystyle D=x^{2}+y^{2}\leq 4\,\!} وهو محيط ذو نصف قطر 2؛ من الواضح أن الزاوية المغطاة هي زاوية دائرة، إذن φ تتراوح بين 0 و 2π, بينما يتراوح نصف القطر من 0 إلى 2
مثال (2-د):
المجال هو D
=
{ x 2
+ y 2
≤
9
,
x 2
+ y 2
≥
4
,
y
≥
0
}
{\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ y\geq 0\}} وهو القوس الدائري الواقع في الجزء الموجب من محور y (أنظر الشكل)، لاحظ ان φ تصف زاوية مستوى، بينما ρ تتراوح بين 2 و3. لذلك التحويل الناتج يكون المستطيل التالي:
T
=
{
2
≤
ρ
≤
3
,
0
≤
ϕ
≤
π
}
. {\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi \}.\,}
المحددة الجاكوبية لهذا التحويل هي:
∂
(
x
,
y
)
∂
(
ρ
,
ϕ
) =
| cos
ϕ
−
ρ
sin
ϕ
sin
ϕ
ρ
cos
ϕ |
=
ρ
{\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \phi &-\rho \sin \phi \\\sin \phi &\rho \cos \phi \end{vmatrix}}=\rho }
والتي تم التحصل عليها بادخال المشتقات الجزئية ل (x == ρ cos(φ و (y == ρ sin(φ في العمود الأول باعتبار ρ، وفي العمود الثاني باعتبار φ، لذا فإن التفاضلات dxdy في هذا التحويل تصبح ρ dρ dφ. ما ان تحول الدالة وتقيم المجال يصبح من الممكن أن تعرف الصيغة لتغيير المتغيرات في الإحداثيات القطبية:
∬ D
f
(
x
,
y
)
d
x d
y
= ∬ T
f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
)
ρ d
ρ d
ϕ
.
{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi )\rho \,d\rho \,d\phi .} لاحظ أن φ صالحة في الفترة [0, 2π] بينما ρ والتي تمثل مقياس الطول لابد أن تكون موجبة القيمة. مثال (2-هـ):
الدالة هي ƒ(x,y) = x والمجال هو نفس مجال المثال (2-د). من التحليل السابق ل D نعلم فترة ρ (بين 2 و 3) وفترة φ (بين 0 و 2π).إذن لنقم بتغيير الدالة:
f
(
x
,
y
)
=
x
⟶
f
(
ρ
,
ϕ
)
=
ρ
cos
ϕ
. {\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\phi )=\rho \ \cos \phi .\,}
أخيراً، لنطبق صيغ التكامل: ∬ D
x d
x d
y
= ∬ T
ρ
cos
ϕ
ρ d
ρ d
ϕ
.
{\displaystyle \iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \phi \ \rho \,d\rho \,d\phi .}
بتعريف الفترة يصبح لدينا: ∫ 0
π ∫ 2
3 ρ 2
cos
ϕ
d
ρ
d
ϕ
= ∫ 0
π
cos
ϕ
d
ϕ
[ ρ 3
3
]
2
3
=
[ sin
ϕ ]
0
π
( 9
−
8
3 ) =
0.
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \phi \ d\rho \ d\phi =\int _{0}^{\pi }\cos \phi \ d\phi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}=\left[\sin \phi \right]_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.}
الإحداثيات الأسطوانية
الإحداثيات الأسطوانية.
في R3 التكامل على مجالات ذات قواعد دائرية يمكن ان يتم عن طريق التمرير في الإحداثيات الأسطوانية؛ تحويل الدالة يتم من خلال العلاقة التالية: f
(
x
,
y
,
z
)
→
f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ,z)}
يمكن تحويل المجال بيانياً لأن الاختلاف الوحيد يكون في شكل القاعدة، بينما الارتفاع يتبع شكل منطقة البداية. مثال (3-أ): المنطقة هي D
=
{ x 2
+ y 2
≤
9
,
x 2
+ y 2
≥
4
,
0
≤
z
≤
5
}
{\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ 0\leq z\leq 5\}} (وهي الأنبوب الذي قاعدته هي الدائرة في مثال (2-د) والتي ارتفاعها 5)؛ إذا طُبق التحويل نتحصل على المنطقة: T
=
{
2
≤
ρ
≤
3
,
0
≤
ϕ
≤
π
,
0
≤
z
≤
5
}
{\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq z\leq 5\}} (وهو متوازي المستطيلات الذي قاعدته المستطيل في مثال (2-د) ذو الارتفاع 5).
ولأن العنصر z لا يتغير خلال التحويل فإن المشتقات dx dy dz تتفاوت كما في التمرير في الإحداثيات القطبية؛ لذلك يصبحون ρ dρ dφ dz. أخيراً من الممكن تطبيق الصيغة النهائية للإحداثيات الأسطوانية:
∭ D
f
(
x
,
y
,
z
) d
x d
y d
z
= ∭ T
f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
,
z
)
ρ d
ρ d
ϕ d
z
.
{\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)\rho \,d\rho \,d\phi \,dz.}
هذه الطريقة سهلة ومناسبة للمجالات الأسطوانية والمخروطية أو في المناطق التي يسهل فيها افراد فترة z، وحتى تحوبل القاعدة الدائرية والدالة. مثال (3-ب): الدالة هي f
(
x
,
y
,
z
)
= x 2
+ y 2
+
z
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z\,\!} ، ومجال التكامل هو هذه الأسطوانة: D
=
{ x 2
+ y 2
≤
9
,
−
5
≤
z
≤
5
}
{\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ -5\leq z\leq 5\}}
تحويل D في إحداثيات أسطوانية هو الآتي:
T
=
{
0
≤
ρ
≤
3
,
0
≤
ϕ
≤
2
π
,
−
5
≤
z
≤
5
}
.
{\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}.}
بينما تصبح الدالة:: f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
,
z
)
= ρ 2
+
z
{\displaystyle f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ,z)=\rho ^{2}+z\,\!}
أخيراً، نطبق صيغة التكامل::
∭ D
( x 2
+ y 2
+
z
) d
x d
y d
z
= ∭ T
( ρ 2
+
z
)
ρ d
ρ d
ϕ d
z
;
{\displaystyle \iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}(\rho ^{2}+z)\rho \,d\rho \,d\phi \,dz;}
بتعديل الصيغة نحصل على::
∫ −
5
5
d
z ∫ 0
2
π
d
ϕ ∫ 0
3
( ρ 3
+
ρ
z
) d
ρ
=
2
π ∫ −
5
5
[
ρ 4
4
+
ρ 2
z 2 ]
0
3 d
z
{\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3}(\rho ^{3}+\rho z)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz}
=
2
π ∫ −
5
5 ( 81
4
+
9
2
z )
d
z
=
⋯
=
405
π
.
{\displaystyle =2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi .}
الإحداثيات الكروية
الإحداثيات الكروية.
بعض المجالات في R3 لها تماثل دائري، لذلك فمن الممكن تحديد احداثيات كل نقاط منطقة التكامل بزاويتين ومسافة واحدة لذلك نستخدم التمرير في إحداثيات كروية ، ويتم تحويل الدالة بالعلاقة: f
(
x
,
y
,
z
)
⟶
f
(
ρ
cos
θ
sin
ϕ
,
ρ
sin
θ
sin
ϕ
,
ρ
cos
ϕ
)
{\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \phi )\,\!}
لاحظ أن النقاط الموجودة على محور x لا تمتلك مواصفات دقيقة في الإحداثيات الكروية، لذلك فقد تتراوح ϕ
{\displaystyle \phi } بين 0 وπ. من الواضح ان أفضل مجال تكاملي لهذا التمرير هو الكرة. مثال (4-أ):
خذ المجال D
= x 2
+ y 2
+ z 2
≤
16
{\displaystyle D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16} (دائرة نصف قطرها 4 ومركزها نقطة الأصل)؛ بتطبيق التحويل نحصل على المنطقة: T
=
{
0
≤
ρ
≤
4
,
0
≤
ϕ
≤
π
,
0
≤
θ
≤
2
π
}
.
{\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.} محددة الجاكوبي لهذا التحويل هي التالية:
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
ρ
,
θ
,
ϕ
) =
| cos
θ
sin
ϕ
−
ρ
sin
θ
sin
ϕ
ρ
cos
θ
cos
ϕ
sin
θ
sin
ϕ
ρ
cos
θ
sin
ϕ
ρ
sin
θ
cos
ϕ
cos
ϕ
0
−
ρ
sin
ϕ |
= ρ 2
sin
ϕ
{\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \phi }
المشتقات dx dy dz تتحول إلى ρ2 sin(φ) dρ dθ dφ.
أخيراً، نتحصل على صيغة التكامل النهائية: ∭ D
f
(
x
,
y
,
z
) d
x d
y d
z
= ∭ T
f
(
ρ
sin
ϕ
cos
θ
,
ρ
sin
ϕ
sin
θ
,
ρ
cos
ϕ
) ρ 2
sin
ϕ d
ρ d
θ d
ϕ
.
{\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi )\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi .}
يُفضل استعمال هذه الطريقة في حالة المجالات الدائرية و كذلك في حالة الدوال التي يمكن تبسيطها بسهولة -باستخدام العلاقة المثلثية الأساسية الأولى - موسع في R3 (الرجاء انظر مثال (4-ب))؛ يفضل في بعض الحالات الأخرى استخدام الإحداثيات الإسطوانية (انظر مثال 4-جـ).
مثال (4-ب): D هي نفس المنطقة في مثال (4-أ) و f
(
x
,
y
,
z
)
= x 2
+ y 2
+ z 2
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,\!} هي الدالة التي نرغب في مكاملتها.
تحويلها سهل جدا:
f
(
ρ
sin
ϕ
cos
θ
,
ρ
sin
ϕ
sin
θ
,
ρ
cos
ϕ
)
= ρ 2
, {\displaystyle f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi )=\rho ^{2},\,}
بينمانعرف فترة المنطقة T الناتجة عن تحويل D:
(
0
≤
ρ
≤
4
,
0
≤
ϕ
≤
π
,
0
≤
θ
≤
2
π
)
. {\displaystyle (0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi ).\,}
نبدأ إذن بتطبيق صيغة التكامل: ∭ D
( x 2
+ y 2
+ z 2
) d
x d
y d
z
= ∭ T ρ 2
ρ 2
sin
θ d
ρ d
θ d
ϕ
,
{\displaystyle \iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\ \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi ,}
وبالتبسيط نحصل على: ∭ T ρ 4
sin
θ d
ρ d
θ d
ϕ
= ∫ 0
π
sin
ϕ d
ϕ ∫ 0
4 ρ 4
d
ρ ∫ 0
2
π
d
θ
=
2
π ∫ 0
π
sin
ϕ
[ ρ 5
5
]
0
4 d
ϕ
{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi =\int _{0}^{\pi }\sin \phi \,d\phi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \phi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\phi }
=
2
π
[ ρ 5
5
]
0
4
[ −
cos
ϕ ]
0
π
=
4
π
⋅
1024
5
= 4096
π 5
.
{\displaystyle =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\left[-\cos \phi \right]_{0}^{\pi }=4\pi \cdot {\frac {1024}{5}}={\frac {4096\pi }{5}}.}
مثال (4-جـ): المجال هو الكرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 3a ( D
= x 2
+ y 2
+ z 2
≤
9 a 2
{\displaystyle D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\,\!} ) و f
(
x
,
y
,
z
)
= x 2
+ y 2
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\,\!} هي دالة المراد مكاملتها.
بالنظر للمجال يبدو أنه من المناسب القيام بالتمرير إلى إحداثيات كروية، في الحقيقة، من الواضح أن فترات المتغيرات التي تحدد المنطقة الجديدة T هي:
0
≤
ρ
≤
3
a
,
0
≤
ϕ
≤
2
π
,
0
≤
θ
≤
π
. {\displaystyle 0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi .\,}
ولكن، بتطبيق التحويل نحصل على:
f
(
x
,
y
,
z
)
= x 2
+ y 2
⟶ ρ 2 sin 2
θ cos 2
ϕ
+ ρ 2 sin 2
θ sin 2
ϕ
= ρ 2 sin 2
θ
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\phi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta } .
بتطبيق صيغة التكامل نحصل على: ∭ T ρ 2 sin 2
θ ρ 2
sin
θ d
ρ d
θ d
ϕ
= ∭ T ρ 4 sin 3
θ d
ρ d
θ d
ϕ
{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi }
والذي يصعب حله، هذه المسألة يتم حلها بالتمرير إلى احداثيات أسطوانية، وتصبح فترات T الجديدة هي:
0
≤
ρ
≤
3
a
,
0
≤
ϕ
≤
2
π
,
−
9 a 2
− ρ 2
≤
z
≤
9 a 2
− ρ 2
;
{\displaystyle 0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}};}
تم التحصل على الفترة z بشق الكرة إلى نصفين ببساطة عن طريق حل المتباينة في صيغة D (وبعدها مباشرة تحويل x2 + y2 إلى ρ2). الدالة الجديدة تصبح أذن ρ2. بتطبيق صيغة التكامل: ∭ T ρ 2
ρ
d
ρ
d
ϕ
d
z
{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\rho \ d\rho d\phi dz} .
نحصل بعدها على: ∫ 0
2
π
d
ϕ ∫ 0
3
a ρ 3
d
ρ ∫ −
9 a 2
− ρ 2 9 a 2
− ρ 2
d
z
=
2
π ∫ 0
3
a
2 ρ 3
9 a 2
− ρ 2 d
ρ
.
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho .}
الآن نطبق التحويل:
9 a 2
− ρ 2
=
t
⟶
d
t
=
−
2
ρ d
ρ
⟶
d
ρ
= d
t
−
2
ρ {\displaystyle 9a^{2}-\rho ^{2}=t\,\!\longrightarrow dt=-2\rho \,d\rho \longrightarrow d\rho ={\frac {dt}{-2\rho }}\,\!}
(الفترات الجديدة تصبح 0
,
3
a
⟶
9 a 2
,
0
{\displaystyle 0,3a\longrightarrow 9a^{2},0} ). نحصل على:
−
2
π ∫ 9 a 2
0 ρ 2
t d
t
{\displaystyle -2\pi \int _{9a^{2}}^{0}\rho ^{2}{\sqrt {t}}\,dt}
ولأن
ρ 2
=
9 a 2
−
t
{\displaystyle \rho ^{2}=9a^{2}-t\,\!} ، نحصل على:
−
2
π ∫ 9 a 2
0
(
9 a 2
−
t
)
t d
t
,
{\displaystyle -2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt,}
بعد قلب حدود التكامل وضرب الأطراف داخل القوسين، يمكن تفكيك التكامل إلى جزئين يُحلان مباشرة.
2
π [ ∫ 0 9 a 2
9 a 2
t d
t
−
∫ 0 9 a 2
t
t d
t ] =
2
π
[ 9 a 2
2
3 t
3
2 −
2
5 t
5
2
]
0
9 a 2
{\displaystyle 2\pi \left[\int 0^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int 0^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right]=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}}
=
2
⋅
27
π a 5
(
6
−
2
5
)
=
54
π
28
5 a 5
= 1512
π 5 a 5
.
{\displaystyle =2\cdot 27\pi a^{5}(6-{\frac {2}{5}})=54\pi {\frac {28}{5}}a^{5}={\frac {1512\pi }{5}}a^{5}.}
الفضل في إمكانية اختزال التكامل الثلاثي لآخر أسهل في متغير واحد يعود لطريقة التمرير إلى إحداثيات أسطوانية
التكامل المتعدد هو أحد أنواع التكامل المحدد الموسع ليشمل الدوال المعرفة في أكثر من متغير مثل
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)\,}
أو
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)\,}
. تسمى تكاملات دالة لمتغيرين على منطقة في R2 تكاملات ثنائية،[1] وتسمى تكاملات دالة ذات ثلاثة متغيرات على منطقة R3 تكاملات ثلاثية.[1]
أمثلة
التكامل الثنائي
لنفترض أننا نرغب في مكاملة دالة في عدة متغيرات f خلال منطقة A: A
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
11
≤
x
≤
14
;
7
≤
y
≤
10
}
{\displaystyle A=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\}} و f
(
x
,
y
)
= x 2
+
4
y
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+4y\,\!}
لهذه الحالة نكون التكامل الثنائي::
∫ 7
10 ∫ 11
14
( x 2
+
4
y
)
d
x d
y
{\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}\ (x^{2}+4y)\ dx\,dy} يتوجه النظر إلى التكامل الداخلي أولاً والذي نكامله باعتبار x، يجب إجراء هذا التكامل قبل مكاملة الدالة بالنسبة لy. لاحظ أننا في البدء نعتبر y ثابتاً حيث أنها ليست متغير التكامل.
∫ 11
14
( x 2
+
4
y
)
d
x = ( 1
3 x 3
+
4
y
x )
| x
=
11
x
=
14
=
1
3
(
14 ) 3
+
4
y
(
14
)
−
1
3
(
11 ) 3
−
4
y
(
11
)
=
471
+
12
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\ (x^{2}\ +\ 4y)\ dx&=\left({\frac {1}{3}}x^{3}\ +\ 4yx\right){\Big |}_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}\ +\ 4y(14)\ -\ {\frac {1}{3}}(11)^{3}\ -\ 4y(11)\\&=471\ +\ 12y\\\end{aligned}}}
بعد ذلك نكامل بالنسبة ل y
∫ 7
10
(
471
+
12
y
)
d
y =
(
471
y
+
6 y 2
) | y
=
7
y
=
10
=
471
(
10
)
+
6
(
10 ) 2
−
471
(
7
)
−
6
(
7 ) 2
=
1719
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}\ (471\ +\ 12y)\ dy&=(471y\ +\ 6y^{2}){\big |}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)\ +\ 6(10)^{2}\ -\ 471(7)\ -\ 6(7)^{2}\\&=1719\\\end{aligned}}}
الحجوم
حجم متوازي المستطيلات ذو الأضلاع 4×6×5 نتحصل عليه بطريقتين: التكامل الثنائي::
∬ D
5
d
x d
y
{\displaystyle \iint _{D}5\ dx\,dy}
للدالة 5=(f(x,y محسوبة في المنطقة D من مستوى xy الذي يمثل قاعدة متوازي المستطيلات::
∭
p
a
r
a
l
l
e
l
e
p
i
p
e
d 1 d
x d
y d
z
{\displaystyle \iiint _{\mathrm {parallelepiped} }1\,dx\,dy\,dz}
التكامل الثلاثي::
∭
p
a
r
a
l
l
e
l
e
p
i
p
e
d 1 d
x d
y d
z
{\displaystyle \iiint _{\mathrm {parallelepiped} }1\,dx\,dy\,dz}
للدالة الثابتة 1 محسوبةً على متوازي المستطيلات نفسه.
حساب الحجوم
بفضل الطرق المفصلة أعلاه يمكن تبيين قيمة الحجم لبعض الأجسام: الأسطوانة: اعتبر أن المجال هو القاعدة الدائرية ذات نصف قطر R، والدالة ثابتة بالارتفاع h. يمكن كتابة ذلك في إحداثيات قطبية كالآتي: V
o
l
u
m
e = ∫ 0
2
π
d
ϕ ∫ 0
R
h
ρ
d
ρ
=
h
2
π
[ ρ 2
2
]
0
R
=
π R 2
h
{\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}h\rho \ d\rho =h2\pi \left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}
التحقق: الحجم = مساحة القاعدة* الارتفاع= π R 2
⋅
h
{\displaystyle \pi R^{2}\cdot h}
الكرة: وهو توضيح جاهز لتطبيق التمرير في احداثيات كروية للدالة الثابتة المُكامَلة 1 في الكرة ذات نفس نصف القطر R: V
o
l
u
m
e = ∫ 0
2
π d
ϕ ∫ 0
π
sin
θ d
θ ∫ 0
R ρ 2 d
ρ
=
2
π ∫ 0
π
sin
θ R 3
3 d
θ
=
2
3
π R 3
[
−
cos
θ ] 0
π
=
4
3
π R 3
.
{\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }\,d\phi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta {\frac {R^{3}}{3}}\,d\theta ={\frac {2}{3}}\pi R^{3}[-\cos \theta ]_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.}
رباعي السطوح(هرم مثلثي ذو 4 وجوه): حجم رباعي سطوح ذو رأس عند نقطة الأصل يمكن حسابهعن طريق صيغ الاختزال آخذين بالاعتبار، كمثال، ال normality على المستوى xy ولمحور x ومثل الدالة الثابتة 1. V
o
l
u
m
e = ∫ 0
ℓ
d
x ∫ 0
ℓ
−
x d
y ∫ 0
ℓ
−
x
−
y d
z
= ∫ 0
ℓ
d
x ∫ 0
ℓ
−
x
(
ℓ
−
x
−
y
) d
y
{\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy}
= ∫ 0
ℓ
( ℓ 2
−
2
ℓ
x
+ x 2
− (
ℓ
−
x ) 2 2
) d
x
= ℓ 3
−
ℓ ℓ 2
+ ℓ 3
3
−
[
ℓ 2
2
−
ℓ
x
+ x 2
2 ]
0
ℓ
=
{\displaystyle =\int _{0}^{\ell }(\ell ^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}})\,dx=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}}{2}}-\ell x+{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{\ell }=}
= ℓ 3
3
− ℓ 3
6
= ℓ 3
6
{\displaystyle ={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}}
التحقق: الحجم = مساحة القاعدة * الارتفاع /3 =
ℓ 2
2
⋅
ℓ / 3
= ℓ 3
6
.
{\displaystyle {\frac {\ell ^{2}}{2}}\cdot \ell /3={\frac {\ell ^{3}}{6}}.}
مثال لمجال معتل.
التكامل المعتل المتعدد والتكامل المتتابع
حسب مبرهنة فوبيني Fubini's theorm:
∫ A
×
B | f
(
x
,
y
) |
d
(
x
,
y
)
<
∞
,
{\displaystyle \int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty ,}
هذا يعني أنه إذا كان التكامل محدد مطلقاً فان نفس النتيجة التي نحصل عليها بالتكامل المتعدد يمكن الحصول عليها بالتكامل المتتابع،:
∫ A
×
B
f
(
x
,
y
) d
(
x
,
y
)
= ∫ A (
∫ B
f
(
x
,
y
) d
y )
d
x
= ∫ B (
∫ A
f
(
x
,
y
) d
x )
d
y
.
{\displaystyle \int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.} يحدث ذلك تحديدا عندما تكون |(f(x,y| دالة محددة، وA وB مجموعتان محددتان.
إذا لم يكن التكامل متقارب مطلقاً يجب العناية وعدم خلط مبادئ التكامل المتعدد والتكامل المتتابع، خاصة أن كلاهما يكتب بنفس الرموز. الرمز:
∫ 0
1 ∫ 0
1
f
(
x
,
y
) d
y d
x
{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx}
يعني في بعض الحالات تكاملاً متتابعاً وليس تكاملاً ثنائياً حقيقياً. التكامل الخارجي في التكامل المتتابع:
∫ 0
1
⋯ d
x
{\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,dx} هو تكامل باعتبار x لدالة x التالية: g
(
x
)
= ∫ 0
1
f
(
x
,
y
) d
y
.
{\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy.} من ناحية أخرى، التكامل الثنائي يعرف باعتبار المساحة في المستوى xy. إذا وُجد تكامل ثنائي فانه يكون مساوياً لكل من التكاملين المتتابعين على حدا (إما "dydx" أو"dxdy") ويتم حسابه عادة بحساب أحد التكاملين المتتابعين. ولكن أحياناً يوجد التكاملين المتتابعين إذا وفقط إذا لم يكن هناك تكامل ثنائي، ويكونان في هذه الجالة ذوي قيم متغايرة عن بعضهما كما في المثال:
∫ 0
1 ∫ 0
1
f
(
x
,
y
) d
y d
x
≠ ∫ 0
1 ∫ 0
1
f
(
x
,
y
) d
x d
y
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.}
وهو إعادة ترتيب افتراضي للتكامل المتقارب شرطياً. نكتب:
∫ [
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
f
(
x
,
y
) d
x d
y
{\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy} الذي يمكن استعماله للتأكد من أننا حسبنا التكامل المتعدد وليس المتتابع
التعريف الرياضي
افترض ان n
n عدد صحيح أكبر من 1. افترض مستطيلا نصف مفتوح في n
n بعداً (من الآن فصاعداً سنسميه ببساطة مستطيلا). بالنسبة للمستوى: n
=
2
{\displaystyle n=2} , والتكامل المتعدد هو مجرد تكامل ثنائي.
T
=
( a 1
, b 1
)
×
( a 2
, b 2
)
×
⋯
×
( a n
, b n
)
⊂
R
n
{\displaystyle T=(a_{1},b_{1})\times (a_{2},b_{2})\times \cdots \times (a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R} ^{n}} قم بتقسيم كل فترة ( a i
; b i
)
{\displaystyle (a_{i};b_{i})} إلى عدد من الفترات الجزئية غير المتداخلة بحيث تكون كل منها مغلقة عند النهاية اليسرى ومفتوحة عند النهاية اليمنى. بالكتابة، يرمز لكل فترة جزيئة بالرمز
l i
{\displaystyle l_{i}} .عائلة المستطيلات الجرئية الناتجة ذات الصيغة:
C
= I 1
× I 2
×
⋯
× I n
{\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}} هي جزئية من T
{\displaystyle T} بمعنى أن المستطيلات الجزئية C
{\displaystyle C} هي مستطيلات غير متداخلة واتحادها يعطينا T
{\displaystyle T} .
بعد أي من المستطيلات الجزئية C
{\displaystyle C} هو-من التعريف- الطول الأكبر من الفترات التي حعلتنا نتحصل على C
{\displaystyle C} ، وكذلك فإن بعد أي مجموعة معطاة جزئية من T
{\displaystyle T} معرف كأكبر بعد من أبعاد المستطيلات الجزئية في تلك المجموعة الجزئية. افترض أن f
:
T
→
R
{\displaystyle f:T\rightarrow R} هي دالة معرفة على المستطيل T
{\displaystyle T} . اعتبر التجزيئ التالي T
= C 1
∪ C 2
∪
⋯
∪ C m
{\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}} من T
{\displaystyle T} المعرفة آنفاً. حيث m
m هي عدد صحيح موجب. مجموع ريمان هنا هو المجموع بالصورة:
∑ k
=
1
m
f
( P k
)
m
( C k
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})m(C_{k})} حيث، لكل k
k فان النقطة
P k
{\displaystyle P_{k}} تقع في النفطة m
( C k
; C k
)
{\displaystyle m(C_{k};C_{k})} هو ناتج الأطوال من الفترات التي جداءها الديكارتي هو
C k
{\displaystyle C_{k}} في هذه الحالة تسمى دالة f
f متكاملة ريمان إذا كانت النهاية S
= lim δ
→
0 ∑ k
=
1
m
f
( P k
)
m
( C k
)
{\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})m(C_{k})} معرفة أو موجودة. حيث ان النهاية تحسب لكل جزئيات T
{\displaystyle T} ذات البعد δ
\delta . إذا امكن تكامل f
f بريمان فان S
{\displaystyle S} تسمى تكامل ريمان ل f
f على T
{\displaystyle T} ويكتب:
∫ T f
(
x
) d
x
.
{\displaystyle \int _{T}\!f(x)\,dx.} تكامل ريمان لدالة معرفة حول مجموعة ذات n
n بعدا يمكن تعريفها بتوسيع تلك الدالة إلى دالة معرفة على مستطيل نصف مفتوح قيمه تساوي الصفر خارج مجال الدالة الأصلية. إذن فان تكامل الدالة الأصلية على المجال الأصلي هي تكامل الدالة الموسعة على مجالها المستطيل، إذا وُجد. ما يلي تكامل ريمان في n
n بعداً سوف يسمى تكاملا متعددا الخصائص
التكامل المتعدد له العديد من الخصائص المشابة لخصائص تكامل الدوال في متغير واحد (الخطية، التبديلية، الرتابة، الخ). بالإضافة لذلك، وكما في المتغير الواحد، يمكن استخدام التكامل المتعدد لايجاد متوسط الدالة على مجموعة معطاة. أي انه لأي مجموعة معطاة D
⊆ R n
{\displaystyle D\subseteq R^{n}} ودالة قابلة للتكامل f
f على D
{\displaystyle D} ، القيمة المتوسطة لـ f
f على مجالها يعطى بـ: f
¯ =
1 m
(
D
)
∫ D
f
(
x
) d
x
,
{\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,} حيث m
(
D
)
{\displaystyle m(D)} هو مقياس D
{\displaystyle D} حالات خاصة
في حالة T
⊆ R 2
{\displaystyle T\subseteq R^{2}} ، فإن تكامل:
ℓ
= ∬ T
f
(
x
,
y
) d
x d
y
{\displaystyle \ell =\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy} هو تكامل ثنائي ل f
f على T
{\displaystyle T} . وإذا كانت T
⊆ R 3
{\displaystyle T\subseteq R^{3}} فان تكامل: ℓ
= ∭ T
f
(
x
,
y
,
z
) d
x d
y d
z
{\displaystyle \ell =\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}
يكون تكامل ثلاثي ل f
f على T
{\displaystyle T} .
لاحظ انه بالتحويل يكون هناك إشارتي تكامل للتكامل الثنائي وثلاث إشارات للتكامل الثلاثي، وهذا يعتبر مجرد تسهيل كتابي يكون عملي عندما نحسب التكامل المتعدد كتكامل متتابع iterated integral (كما سنبين لاحقاً في هذا المقال)
بعض التطبيقات العملية
تستخدم هذه التكاملات في العديد من التطبيقات الفيزيائية في الميكانيكا، يحسب عزم القصور الذاتي كتكامل حجم (تكامل ثلاثي) للكثافة الموزونة مع مربع المسافة من المحور:
I z
= ∭ V
ρ r 2 d
V
.
{\displaystyle I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV.}
في الكهرومغناطيسية، يمكن كتابة معادلات ماكسويل في صورة تكامل ثلاثي لحساب المجالات الكهربية والمغناطيسية الكلية فس المثال التالي حصلنا على المجال الكهربي بتوزيع للشحنات تم الحصول عليه عن طريق تكامل ثلاثي لدالة متجهة:
E
→ =
1 4
π ϵ 0 ∭
r
→ −
r
→ ′
‖
r
→ −
r
→ ′
‖
3
ρ
(
r
→ ′ )
d 3
r
′ .
{\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,\operatorname {d} ^{3}r'.}
التكامل المعتل المتعدد
في حالة المجالات غير المحدودة أو الدوال غير المحدودة بالقرب من حدود المجال، نقوم باستعمال التكامل المعتل الثنائي أو التكامل المعتل الثلاثي.
مقدمة
كما هو الحال في التكامل المحدد لدالة موجبة في متغير واحد الذي يمثل مساحة المنطقة الواقعة بين منحنى الدالة والمحور السيني، كذلك فإن التكامل الثنائي لدالة موجبة في متغيرين يمثل حجم المنطقة الفاصلة بين السطح المعرف بالدالة (في النظام الديكارتي ثلاثي الأبعاد حيث f
=
(
x
,
y
) {\displaystyle f=(x,y)\,} والمستوى المحتوي لمجاله. (لاحظ أن نفس الحجم يمكن التوصل إليه باستخدام التكامل الثلاثي - تكامل دالة في ثلاث متغيرات- للدالة الثابتة f
(
x
,
y
,
z
)
=
1 {\displaystyle f(x,y,z)=1\,} فوق المنطقة المذكورة سابقا بين السطح والمستوى). إذا كان هناك عدد أكبر من المتغيرات فان التكامل المتعدد سيؤدي إلى احجام ضخمة من الدوال المتعددة الأبعاد. التكامل المتعدد لدالة f
f المعرفة في n
n متغير: f
( x 1
, x 2
,
…
, x n
) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,} على مجال D
{\displaystyle D} يتم في الغالب تمثيله بتداخل عدة إشارات تكامل بالترتيب متعاكس في الحساب (الإشارة إلى أقصى اليسار تحسب آخراً التي تسبقها لليمين تحسب قبلها وهكذا) يتم إجراءها على الدالة وتعريفات المكاملات بترتيب مناسب (التعريف في أقصى اليمين يحسب آخراً وهكذا). مجال هذا التكامل يتم تمثيله إما رمزيا لكل مكامل على إشارة تكامل، أو غالبا يتم اختصاره بمتغير في أقصى يمين الإشارة التكاملية: ∫
⋯ ∫
D
f
( x 1
, x 2
,
…
, x n
) d x 1 ⋯
d x n
{\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}
وبما أنه من المستحيل حساب المشتق العكسي لدالة في أكثر من متغير، فإن التكامل المتعدد الغير محدد لا وجود له. لذلك فإن كل التكاملات المتعددة هي تكاملات محددة.
طرق للتكامل
حل المشكلات باستخدام التكامل المتعدد غالباً ما يتم عن طريق إيجاد طريقة لاختزال التكامل المتعدد ليصبح في هيئة سلسلة من التكاملات في متغير واحد تحل كل منها بصورة مباشرة. فيما يلي بعض طرق التكامل البسيطة: الحل المباشر
أحياناً يمكن الحصول على نتيجة التكامل بدون حاجة للتعديل الدوال الثابتة
في حالة الدالة الثابتة فإن النتيجة مباشرة، ببساطة نقوم بضرب المقياس بالدالة الثابتة c
c . إذا كانت c
=
1
{\displaystyle c=1} وكانت متداخلة مع منطقة جزئية من R2 فإن الناتج هو مساحة المنطقة، في حين يكون الناتج هو حجم المنطقة في حالة R3 مثلاً:
D
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
2
≤
x
≤
4
;
3
≤
y
≤
6
}
{\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\}} and f
(
x
,
y
)
=
2
{\displaystyle f(x,y)=2\,\!}
لنكامل f
f على D بالنسبة ل x أولا:
∫ 3
6 ∫ 2
4
2
d
x d
y
=
area
(
D
)
⋅
2
=
(
2
⋅
3
)
⋅
2
=
12.
{\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy={\mbox{area}}(D)\cdot 2=(2\cdot 3)\cdot 2=12.}
الحل باستخدام التماثل
إذا وُجد في المجال تماثلٌ حول واحد من المحاور على الأقل، وكانت الدالة لها زوجية parity واحدة على الأقل بالنسبة لمتغير معين. في هذه الحالة تكون قيمة التكامل صفرا (مجموع القيم المتساوية والمتضادة صفر). من الكافي –في الدوال على Rn – ان يكون المتغير التابع فردي مع محور التماثل. مثال (1):
خذ f(x,y) = 2sin x−3y3+5
وT = x2+y2≤1 مساحة التكامل (قرص ذو نصف قطر1 يتركز عند نقطة أصل المحور شاملاً المحيط). مستخدما خاصية الخطية يمكن تفكيك التكامل إلى ثلاثة أجزاء:
∬ T
(
2
sin
x
−
3 y 3
+
5
) d
x d
y
= ∬ T
2
sin
x d
x d
y
− ∬ T
3 y 3 d
x d
y
+ ∬ T
5 d
x d
y
{\displaystyle \iint _{T}(2\sin x-3y^{3}+5)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy}
2 sin x' و 3y3 كلاهما دالتين فرديتين ومن الواضح كذلك ان قرص T متماثل حول محور x وكذلك محور y؛ لذلك فان القيمة الوحيدة التي سنحصل عليها في الإجابة النهائية لتكامل الدوال الثلاث هي حل الدالة الثابتة 5 لأن الدالتين الأخرتين تساوي صفرا.
مثال (2):
خد الدالة (f(x,y,z) = xexp(y2+z2
ومنطقة التكامل هي كرة ذات نصف قطر 2 متركزة في نقطة أصل المحور T = x2+y2+z2≤4.
الكرة متماثلة حول جميع المحاور الثلاثة، لكن يكفي ان نكاملها باعتبار محور x فقط لنجد أن التكامل يساوي صفرا؛ ذلك لأن الدالة فردية بالنسبة لذلك المتغير x. صيغ الاختزال
صيغ الاختزال تعتمد على مبدأ المجال البسيط للتمكين من تفكيك التكامل المتعدد إلى عدة تكاملات في متغير واحد (وهي نفس عملية حسبان الاشتقاق الجزئي). المجالات البسيطة على R2
محور x
إذا كان D مجال مقيس عمودي على محور x و f
:
D
⟶ R {\displaystyle f:D\longrightarrow \mathbb {R} } هي دالة مستمرة؛ فإن (α(x و (β(x (بالتعريف في الفترة [a,b]) هما دالتين اللتين تحددان D. إذن:
∬ T
f
(
x
,
y
)
d
x d
y
= ∫ a
b
d
x ∫ α
(
x
)
β
(
x
)
f
(
x
,
y
) d
y
.
{\displaystyle \iint _{T}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy.}
محور y
إذا كان D مجال مقيس عمودي على محور y و f
:
D
⟶ R {\displaystyle f:D\longrightarrow \mathbb {R} } هي دالة مستمرة؛ فإن (α(y و (β(y (بالتعريف في الفترة [a,b]) هما دالتين اللتين تحددان D. إذن:
∬ T
f
(
x
,
y
)
d
x d
y
= ∫ a
b
d
y ∫ α
(
y
)
β
(
y
)
f
(
x
,
y
) d
x
.
{\displaystyle \iint _{T}f(x,y)\ dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx.}
مثال
مثال: D هي منطقة التكامل بصيغ الاختزال
اعتبر أن المنطقة D
=
{
(
x
,
y
)
:
x
≥
0
,
y
≤
1
,
y
≥ x 2
}
{\displaystyle D=\{(x,y)\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}} (انظر الشكل المقابل). احسب: ∬ D
(
x
+
y
) d
x d
y
.
{\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.} هذا المجال عمودي على كلا المحورين xو y. لتطبيق صيغ الاختزال عليك ان تجد الدوال التي تحدد المجال وفترة تعريفه.
في هذه الحالدة الدالتين هما:
α
(
x
)
= x 2 and β
(
x
)
=
1
{\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1\,\!}
بينما الفترة معطاة من تقاطع الدوال مع x=0، عليه فان الفترة هي [a,b] = [0,1](جعلنا الوضع الأساسي باعتبار محور x لسهولة فهمها من الشكل المقابل). من الممكن الآن تطبيق الصيغة: ∬ D
(
x
+
y
) d
x d
y
= ∫ 0
1
d
x ∫
x 2
1
(
x
+
y
) d
y
= ∫ 0
1
d
x
[ x
y
+
y 2
2
] x 2
1
{\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right]_{x^{2}}^{1}}
(في البداية التكامل الثاني تم حسابه باعتبار ان x ثابت). كل ما يتبقى هو تطبيق عمليات تكاملية بسيطة::
∫ 0
1
[ x
y
+
y 2
2
] x 2
1 d
x
= ∫ 0
1 ( x
+
1
2
− x 3
− x 4
2 ) d
x
=
⋯
=
13
20
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy\ +\ {\frac {y^{2}}{2}}\ \right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.}
إذا أردنا جعل الوضع الأساسي باعتبار لمحور yنقوم بالآتي: ∫ 0
1
d
y ∫ 0 y (
x
+
y
) d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.}
وسنحصل على نفس النتيجة
مثال لمجال بسيط في R3 (مستوى-xy
المجالات البسيطة على R3
امتداد هذه الصيغ إلى التكاملات الثلاثية مشابه نوعاً ما:
T هو مجال عمودي على المستوى xy باعتبار الدوال (α (x,y و (β(x,y، إذن:
∭ T
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x d
y d
z
= ∬ D
d
x d
y ∫ α
(
x
,
y
)
β
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
,
z
) d
z
{\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\ dx\,dy\,dz=\iint _{D}dx\,dy\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz}
تغيير المتغيرات
حدود التكامل غير سهلة التغيير عادة، (بدون normality أو مع صيغ معقدة للمكاملة)، نقوم بـ«تغيير المتغيرات» لنعيد صياغة التكامل في منطقة أسهل في التعامل، والتي يمكن وصفها بصيغ مماثلة. لعمل ذلك يجب جعل الدالة تتماشى مع الإحداثيات الجديدة. مثال (1-أ)
الدالة هي f
(
x
,
y
)
=
(
x
−
1 ) 2
+
y
{\displaystyle f(x,y)=(x-1)^{2}+{\sqrt {y}}} ;
إذا تبنينا هذا البديل
x
′ =
x
−
1
,
y
′ =
y
{\displaystyle x'=x-1,\ y'=y\,\!} لذلك x
= x
′ +
1
,
y
= y
′ {\displaystyle x=x'+1,\ y=y'\,\!}
نحصل على الدالة الجديدة
f 2
(
x
,
y
)
=
( x
′
) 2
+
y
{\displaystyle f_{2}(x,y)=(x')^{2}+{\sqrt {y}}} .
وبصورة مشابة للمجال لأنه لم يعد محدودا بالمتغيرات الاصلية التي تم تحويلها (x ,y في المثال).
التفاضلات (d(xو (d(y يتم تحويلها عبر محددة المصفوفة الجاكوبية
المحتوية على الاشتقاقات الجزئية من التحويل والمتعلقة بالمتغير الجديد (على سبيل المثال التحويل التفاضلي في الإحداثيات القطبية). توجد ثلاثة أنواع من تغيير المتغيرات (واحد في R2 واثنان في R3)؛ لكن البديل المناسب يمكن إيجاده باستخدام نفس المبدأ بصورة أكثر عمومية. الإحداثيات القطبية
التحويل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية
في R2 إذا كان المجال له تماثل دائري وتوفرت في الدالة مواصفات «معينة» يمكننا حينها التحويل إلى احداثيات قطبية (انظر للمثال المقابل) مما يعني أن النقاط المبدئية (P(x,y في النظام الديكارتي تتحول إلى النقاط التي تمثلها في النظام القطبي مما يسمح بتغيير صورة المجال وتبسيط العملية. العلاقة الأساسية لعمل التحويل هي التالية:
f
(
x
,
y
)
→
f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
)
.
{\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ).}
مثال (2-أ):
الدالة هي f
(
x
,
y
)
=
x
+
y
{\displaystyle f(x,y)=x+y\,\!}
وبتطبيق التحويل نحصل على:
f
(
ρ
,
ϕ
)
=
ρ
cos
ϕ
+
ρ
sin
ϕ
=
ρ
(
cos
ϕ
+
sin
ϕ
)
.
{\displaystyle f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi +\rho \sin \phi =\rho \ (\cos \phi +\sin \phi ).}
مثال (2-ب):
الدالة هي f
(
x
,
y
)
= x 2
+ y 2
{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,\!}
في هذه الحالة لدينا:
f
(
ρ
,
ϕ
)
= ρ 2
( cos 2
ϕ
+ sin 2
ϕ
)
= ρ 2
{\displaystyle f(\rho ,\phi )=\rho ^{2}(\cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi )=\rho ^{2}\,\!}
باستخدام مبرهنة فيثاغورث يتم تحويل المجال بايجاد طول نصف القطر ومدى الزاوية المركزية لتعريف فترات ρو φ ابتداءً من x وy
مثال لتحويل مجال من ديكارتي إلى قطبي.
مثال (2-ج):
المجال هو D
= x 2
+ y 2
≤
4
{\displaystyle D=x^{2}+y^{2}\leq 4\,\!} وهو محيط ذو نصف قطر 2؛ من الواضح أن الزاوية المغطاة هي زاوية دائرة، إذن φ تتراوح بين 0 و 2π, بينما يتراوح نصف القطر من 0 إلى 2
مثال (2-د):
المجال هو D
=
{ x 2
+ y 2
≤
9
,
x 2
+ y 2
≥
4
,
y
≥
0
}
{\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ y\geq 0\}} وهو القوس الدائري الواقع في الجزء الموجب من محور y (أنظر الشكل)، لاحظ ان φ تصف زاوية مستوى، بينما ρ تتراوح بين 2 و3. لذلك التحويل الناتج يكون المستطيل التالي:
T
=
{
2
≤
ρ
≤
3
,
0
≤
ϕ
≤
π
}
. {\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi \}.\,}
المحددة الجاكوبية لهذا التحويل هي:
∂
(
x
,
y
)
∂
(
ρ
,
ϕ
) =
| cos
ϕ
−
ρ
sin
ϕ
sin
ϕ
ρ
cos
ϕ |
=
ρ
{\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \phi &-\rho \sin \phi \\\sin \phi &\rho \cos \phi \end{vmatrix}}=\rho }
والتي تم التحصل عليها بادخال المشتقات الجزئية ل (x == ρ cos(φ و (y == ρ sin(φ في العمود الأول باعتبار ρ، وفي العمود الثاني باعتبار φ، لذا فإن التفاضلات dxdy في هذا التحويل تصبح ρ dρ dφ. ما ان تحول الدالة وتقيم المجال يصبح من الممكن أن تعرف الصيغة لتغيير المتغيرات في الإحداثيات القطبية:
∬ D
f
(
x
,
y
)
d
x d
y
= ∬ T
f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
)
ρ d
ρ d
ϕ
.
{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi )\rho \,d\rho \,d\phi .} لاحظ أن φ صالحة في الفترة [0, 2π] بينما ρ والتي تمثل مقياس الطول لابد أن تكون موجبة القيمة. مثال (2-هـ):
الدالة هي ƒ(x,y) = x والمجال هو نفس مجال المثال (2-د). من التحليل السابق ل D نعلم فترة ρ (بين 2 و 3) وفترة φ (بين 0 و 2π).إذن لنقم بتغيير الدالة:
f
(
x
,
y
)
=
x
⟶
f
(
ρ
,
ϕ
)
=
ρ
cos
ϕ
. {\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\phi )=\rho \ \cos \phi .\,}
أخيراً، لنطبق صيغ التكامل: ∬ D
x d
x d
y
= ∬ T
ρ
cos
ϕ
ρ d
ρ d
ϕ
.
{\displaystyle \iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \phi \ \rho \,d\rho \,d\phi .}
بتعريف الفترة يصبح لدينا: ∫ 0
π ∫ 2
3 ρ 2
cos
ϕ
d
ρ
d
ϕ
= ∫ 0
π
cos
ϕ
d
ϕ
[ ρ 3
3
]
2
3
=
[ sin
ϕ ]
0
π
( 9
−
8
3 ) =
0.
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \phi \ d\rho \ d\phi =\int _{0}^{\pi }\cos \phi \ d\phi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}=\left[\sin \phi \right]_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.}
الإحداثيات الأسطوانية
الإحداثيات الأسطوانية.
في R3 التكامل على مجالات ذات قواعد دائرية يمكن ان يتم عن طريق التمرير في الإحداثيات الأسطوانية؛ تحويل الدالة يتم من خلال العلاقة التالية: f
(
x
,
y
,
z
)
→
f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ,z)}
يمكن تحويل المجال بيانياً لأن الاختلاف الوحيد يكون في شكل القاعدة، بينما الارتفاع يتبع شكل منطقة البداية. مثال (3-أ): المنطقة هي D
=
{ x 2
+ y 2
≤
9
,
x 2
+ y 2
≥
4
,
0
≤
z
≤
5
}
{\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ 0\leq z\leq 5\}} (وهي الأنبوب الذي قاعدته هي الدائرة في مثال (2-د) والتي ارتفاعها 5)؛ إذا طُبق التحويل نتحصل على المنطقة: T
=
{
2
≤
ρ
≤
3
,
0
≤
ϕ
≤
π
,
0
≤
z
≤
5
}
{\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq z\leq 5\}} (وهو متوازي المستطيلات الذي قاعدته المستطيل في مثال (2-د) ذو الارتفاع 5).
ولأن العنصر z لا يتغير خلال التحويل فإن المشتقات dx dy dz تتفاوت كما في التمرير في الإحداثيات القطبية؛ لذلك يصبحون ρ dρ dφ dz. أخيراً من الممكن تطبيق الصيغة النهائية للإحداثيات الأسطوانية:
∭ D
f
(
x
,
y
,
z
) d
x d
y d
z
= ∭ T
f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
,
z
)
ρ d
ρ d
ϕ d
z
.
{\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \phi ,\rho \sin \phi ,z)\rho \,d\rho \,d\phi \,dz.}
هذه الطريقة سهلة ومناسبة للمجالات الأسطوانية والمخروطية أو في المناطق التي يسهل فيها افراد فترة z، وحتى تحوبل القاعدة الدائرية والدالة. مثال (3-ب): الدالة هي f
(
x
,
y
,
z
)
= x 2
+ y 2
+
z
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z\,\!} ، ومجال التكامل هو هذه الأسطوانة: D
=
{ x 2
+ y 2
≤
9
,
−
5
≤
z
≤
5
}
{\displaystyle D=\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ -5\leq z\leq 5\}}
تحويل D في إحداثيات أسطوانية هو الآتي:
T
=
{
0
≤
ρ
≤
3
,
0
≤
ϕ
≤
2
π
,
−
5
≤
z
≤
5
}
.
{\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}.}
بينما تصبح الدالة:: f
(
ρ
cos
ϕ
,
ρ
sin
ϕ
,
z
)
= ρ 2
+
z
{\displaystyle f(\rho \ \cos \phi ,\rho \ \sin \phi ,z)=\rho ^{2}+z\,\!}
أخيراً، نطبق صيغة التكامل::
∭ D
( x 2
+ y 2
+
z
) d
x d
y d
z
= ∭ T
( ρ 2
+
z
)
ρ d
ρ d
ϕ d
z
;
{\displaystyle \iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}(\rho ^{2}+z)\rho \,d\rho \,d\phi \,dz;}
بتعديل الصيغة نحصل على::
∫ −
5
5
d
z ∫ 0
2
π
d
ϕ ∫ 0
3
( ρ 3
+
ρ
z
) d
ρ
=
2
π ∫ −
5
5
[
ρ 4
4
+
ρ 2
z 2 ]
0
3 d
z
{\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3}(\rho ^{3}+\rho z)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz}
=
2
π ∫ −
5
5 ( 81
4
+
9
2
z )
d
z
=
⋯
=
405
π
.
{\displaystyle =2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi .}
الإحداثيات الكروية
الإحداثيات الكروية.
بعض المجالات في R3 لها تماثل دائري، لذلك فمن الممكن تحديد احداثيات كل نقاط منطقة التكامل بزاويتين ومسافة واحدة لذلك نستخدم التمرير في إحداثيات كروية ، ويتم تحويل الدالة بالعلاقة: f
(
x
,
y
,
z
)
⟶
f
(
ρ
cos
θ
sin
ϕ
,
ρ
sin
θ
sin
ϕ
,
ρ
cos
ϕ
)
{\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \phi )\,\!}
لاحظ أن النقاط الموجودة على محور x لا تمتلك مواصفات دقيقة في الإحداثيات الكروية، لذلك فقد تتراوح ϕ
{\displaystyle \phi } بين 0 وπ. من الواضح ان أفضل مجال تكاملي لهذا التمرير هو الكرة. مثال (4-أ):
خذ المجال D
= x 2
+ y 2
+ z 2
≤
16
{\displaystyle D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16} (دائرة نصف قطرها 4 ومركزها نقطة الأصل)؛ بتطبيق التحويل نحصل على المنطقة: T
=
{
0
≤
ρ
≤
4
,
0
≤
ϕ
≤
π
,
0
≤
θ
≤
2
π
}
.
{\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.} محددة الجاكوبي لهذا التحويل هي التالية:
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
ρ
,
θ
,
ϕ
) =
| cos
θ
sin
ϕ
−
ρ
sin
θ
sin
ϕ
ρ
cos
θ
cos
ϕ
sin
θ
sin
ϕ
ρ
cos
θ
sin
ϕ
ρ
sin
θ
cos
ϕ
cos
ϕ
0
−
ρ
sin
ϕ |
= ρ 2
sin
ϕ
{\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \phi }
المشتقات dx dy dz تتحول إلى ρ2 sin(φ) dρ dθ dφ.
أخيراً، نتحصل على صيغة التكامل النهائية: ∭ D
f
(
x
,
y
,
z
) d
x d
y d
z
= ∭ T
f
(
ρ
sin
ϕ
cos
θ
,
ρ
sin
ϕ
sin
θ
,
ρ
cos
ϕ
) ρ 2
sin
ϕ d
ρ d
θ d
ϕ
.
{\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi )\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi .}
يُفضل استعمال هذه الطريقة في حالة المجالات الدائرية و كذلك في حالة الدوال التي يمكن تبسيطها بسهولة -باستخدام العلاقة المثلثية الأساسية الأولى - موسع في R3 (الرجاء انظر مثال (4-ب))؛ يفضل في بعض الحالات الأخرى استخدام الإحداثيات الإسطوانية (انظر مثال 4-جـ).
مثال (4-ب): D هي نفس المنطقة في مثال (4-أ) و f
(
x
,
y
,
z
)
= x 2
+ y 2
+ z 2
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,\!} هي الدالة التي نرغب في مكاملتها.
تحويلها سهل جدا:
f
(
ρ
sin
ϕ
cos
θ
,
ρ
sin
ϕ
sin
θ
,
ρ
cos
ϕ
)
= ρ 2
, {\displaystyle f(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi )=\rho ^{2},\,}
بينمانعرف فترة المنطقة T الناتجة عن تحويل D:
(
0
≤
ρ
≤
4
,
0
≤
ϕ
≤
π
,
0
≤
θ
≤
2
π
)
. {\displaystyle (0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \phi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi ).\,}
نبدأ إذن بتطبيق صيغة التكامل: ∭ D
( x 2
+ y 2
+ z 2
) d
x d
y d
z
= ∭ T ρ 2
ρ 2
sin
θ d
ρ d
θ d
ϕ
,
{\displaystyle \iiint _{D}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\ \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi ,}
وبالتبسيط نحصل على: ∭ T ρ 4
sin
θ d
ρ d
θ d
ϕ
= ∫ 0
π
sin
ϕ d
ϕ ∫ 0
4 ρ 4
d
ρ ∫ 0
2
π
d
θ
=
2
π ∫ 0
π
sin
ϕ
[ ρ 5
5
]
0
4 d
ϕ
{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi =\int _{0}^{\pi }\sin \phi \,d\phi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \phi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\phi }
=
2
π
[ ρ 5
5
]
0
4
[ −
cos
ϕ ]
0
π
=
4
π
⋅
1024
5
= 4096
π 5
.
{\displaystyle =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\left[-\cos \phi \right]_{0}^{\pi }=4\pi \cdot {\frac {1024}{5}}={\frac {4096\pi }{5}}.}
مثال (4-جـ): المجال هو الكرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 3a ( D
= x 2
+ y 2
+ z 2
≤
9 a 2
{\displaystyle D=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\,\!} ) و f
(
x
,
y
,
z
)
= x 2
+ y 2
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\,\!} هي دالة المراد مكاملتها.
بالنظر للمجال يبدو أنه من المناسب القيام بالتمرير إلى إحداثيات كروية، في الحقيقة، من الواضح أن فترات المتغيرات التي تحدد المنطقة الجديدة T هي:
0
≤
ρ
≤
3
a
,
0
≤
ϕ
≤
2
π
,
0
≤
θ
≤
π
. {\displaystyle 0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi .\,}
ولكن، بتطبيق التحويل نحصل على:
f
(
x
,
y
,
z
)
= x 2
+ y 2
⟶ ρ 2 sin 2
θ cos 2
ϕ
+ ρ 2 sin 2
θ sin 2
ϕ
= ρ 2 sin 2
θ
{\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\phi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta } .
بتطبيق صيغة التكامل نحصل على: ∭ T ρ 2 sin 2
θ ρ 2
sin
θ d
ρ d
θ d
ϕ
= ∭ T ρ 4 sin 3
θ d
ρ d
θ d
ϕ
{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\phi }
والذي يصعب حله، هذه المسألة يتم حلها بالتمرير إلى احداثيات أسطوانية، وتصبح فترات T الجديدة هي:
0
≤
ρ
≤
3
a
,
0
≤
ϕ
≤
2
π
,
−
9 a 2
− ρ 2
≤
z
≤
9 a 2
− ρ 2
;
{\displaystyle 0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \phi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}};}
تم التحصل على الفترة z بشق الكرة إلى نصفين ببساطة عن طريق حل المتباينة في صيغة D (وبعدها مباشرة تحويل x2 + y2 إلى ρ2). الدالة الجديدة تصبح أذن ρ2. بتطبيق صيغة التكامل: ∭ T ρ 2
ρ
d
ρ
d
ϕ
d
z
{\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\rho \ d\rho d\phi dz} .
نحصل بعدها على: ∫ 0
2
π
d
ϕ ∫ 0
3
a ρ 3
d
ρ ∫ −
9 a 2
− ρ 2 9 a 2
− ρ 2
d
z
=
2
π ∫ 0
3
a
2 ρ 3
9 a 2
− ρ 2 d
ρ
.
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho .}
الآن نطبق التحويل:
9 a 2
− ρ 2
=
t
⟶
d
t
=
−
2
ρ d
ρ
⟶
d
ρ
= d
t
−
2
ρ {\displaystyle 9a^{2}-\rho ^{2}=t\,\!\longrightarrow dt=-2\rho \,d\rho \longrightarrow d\rho ={\frac {dt}{-2\rho }}\,\!}
(الفترات الجديدة تصبح 0
,
3
a
⟶
9 a 2
,
0
{\displaystyle 0,3a\longrightarrow 9a^{2},0} ). نحصل على:
−
2
π ∫ 9 a 2
0 ρ 2
t d
t
{\displaystyle -2\pi \int _{9a^{2}}^{0}\rho ^{2}{\sqrt {t}}\,dt}
ولأن
ρ 2
=
9 a 2
−
t
{\displaystyle \rho ^{2}=9a^{2}-t\,\!} ، نحصل على:
−
2
π ∫ 9 a 2
0
(
9 a 2
−
t
)
t d
t
,
{\displaystyle -2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt,}
بعد قلب حدود التكامل وضرب الأطراف داخل القوسين، يمكن تفكيك التكامل إلى جزئين يُحلان مباشرة.
2
π [ ∫ 0 9 a 2
9 a 2
t d
t
−
∫ 0 9 a 2
t
t d
t ] =
2
π
[ 9 a 2
2
3 t
3
2 −
2
5 t
5
2
]
0
9 a 2
{\displaystyle 2\pi \left[\int 0^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int 0^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right]=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}}
=
2
⋅
27
π a 5
(
6
−
2
5
)
=
54
π
28
5 a 5
= 1512
π 5 a 5
.
{\displaystyle =2\cdot 27\pi a^{5}(6-{\frac {2}{5}})=54\pi {\frac {28}{5}}a^{5}={\frac {1512\pi }{5}}a^{5}.}
الفضل في إمكانية اختزال التكامل الثلاثي لآخر أسهل في متغير واحد يعود لطريقة التمرير إلى إحداثيات أسطوانية
شرح مبسط
التكامل المتعدد هو أحد أنواع التكامل المحدد الموسع ليشمل الدوال المعرفة في أكثر من متغير مثل
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)\,}
أو
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)\,}
. تسمى تكاملات دالة لمتغيرين على منطقة في R2 تكاملات ثنائية،[1] وتسمى تكاملات دالة ذات ثلاثة متغيرات على منطقة R3 تكاملات ثلاثية.[1]
شاركنا رأيك
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع [ تعرٌف على ] تكامل متعدد # اخر تحديث اليوم 2024-04-20 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 10/11/2023
اعلانات العرب الآن