[ تعرٌف على ] مبرهنة منصف الزاوية # اخر تحديث اليوم 2024-04-18

تم النشر اليوم 2024-04-18 | مبرهنة منصف الزاوية

تعميم المبرهنة

مبرهنة مُنصّف الزّاوية هي حالة خاصّة من القانون النّاص على أنه: في المثلث ABC، إذا كان AD يقطع BC في D ويقسم الزاوية A إلى α
\alpha و β
{\displaystyle \beta } فإن:
B
D
D
C = B
A
sin
⁡
β
A
C
sin
⁡
α {\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {BA\sin \beta }{AC\sin \alpha }}} وعندما β
=
α
{\displaystyle \beta =\alpha } تصبح مبرهنة منصف الزاوية.

البراهين

البرهان الأول
المثلث ABC
باستخدام قوانين مساحة المثلث: 1- مساحة المثلث ADC 1
2
A
E
.
D
C
=
1
2
A
D
.
A
C
sin
⁡
α
=
{\displaystyle {\frac {1}{2}}AE.DC={\frac {1}{2}}AD.AC\sin \alpha =} 2- مساحة المثلث ADB 1
2
A
E
.
B
D
=
1
2
A
D
.
B
A
sin
⁡
β
=
{\displaystyle {\frac {1}{2}}AE.BD={\frac {1}{2}}AD.BA\sin \beta =} بقسمة 2 على 1 نصل إلى:
B
D
D
C = B
A
sin
⁡
β
A
C
sin
⁡
α {\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {BA\sin \beta }{AC\sin \alpha }}}
و إذا كان AD منصف الزاوية A ستحقق المبرهنة و ذلك لأن β
=
α
{\displaystyle \beta =\alpha } . البرهان الثاني
AD منصف للزاوية A
باستخدام قانون الجيوب: في المثلث ADC:
A
C
sin
⁡ A
D
C
= D
C
sin
⁡
α {\displaystyle {\frac {AC}{\sin {ADC}}}={\frac {DC}{\sin \alpha }}}
sin
⁡ A
D
C = A
C
sin
⁡
α
D
C {\displaystyle \sin {ADC}={\frac {AC\sin \alpha }{DC}}} في المثلث ADB:
B
A
sin
⁡ A
D
B
= D
B
sin
⁡
β {\displaystyle {\frac {BA}{\sin {ADB}}}={\frac {DB}{\sin \beta }}}
sin
⁡ A
D
B = B
A
sin
⁡
β
D
B {\displaystyle \sin {ADB}={\frac {BA\sin \beta }{DB}}}
∠ A
D
C =
180
−
∠ A
D
B ∵
{\displaystyle \angle {ADC}=180-\angle {ADB}\because }
و (Sin x = Sin (180-x.
sin
⁡ A
D
B =
sin
⁡ A
D
C ⇐
{\displaystyle \sin {ADB}=\sin {ADC}\Leftarrow } B
A
sin
⁡
β
D
B = A
C
sin
⁡
α
D
C ⇐
{\displaystyle {\frac {BA\sin \beta }{DB}}={\frac {AC\sin \alpha }{DC}}\Leftarrow } B
D
D
C = B
A
sin
⁡
β
A
C
sin
⁡
α ⇐
{\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {BA\sin \beta }{AC\sin \alpha }}\Leftarrow }
و إذا كانت β
=
α
{\displaystyle \beta =\alpha } سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية. البرهان الثالث
المثلث ABC
برهان هندسي، باستخدام تشابه المثلثات: ِAD منصف الزاوية A، نسقط عمود من B على AD يقطعه في F، ونسقط عمود من C على امتداد AD يقطعه في E. المثلث AEC يشابه المثلث AFB ( لأن E و F قائمتان و β
=
α
{\displaystyle \beta =\alpha } لأن AD منصف A) ⇒ F
B
E
C = B
A
A
C {\displaystyle \Rightarrow {\frac {FB}{EC}}={\frac {BA}{AC}}} المثلث DEC يشابه المثلث DFB ( لأن E و F قائمتان و ∠ E
D
C =
∠ F
D
B {\displaystyle \angle {EDC}=\angle {FDB}} للتقابل بالرأس) ⇒ F
B
E
C = B
D
D
C {\displaystyle \Rightarrow {\frac {FB}{EC}}={\frac {BD}{DC}}}
⇒ B
A
A
C = B
D
D
C {\displaystyle \Rightarrow {\frac {BA}{AC}}={\frac {BD}{DC}}} وهو المطلوب إثباته .

شرح مبسط

في الهندسة الرياضية، مبرهنة أو نظرية منصف زاوية هي مبرهنة في المثلث تعطي العلاقة بين طول الضلع المقابل لأي زاوية إلى طول الضلعين الباقيين.[1] وتنص على أنه في المثلث ABC، إذا كان AD منصف للزاوية A وكانت D نقطة تقاطع AD مع BC فإن: