[ تعرٌف على ] مجموعة كثيفة # اخر تحديث اليوم 2024-04-20

تم النشر اليوم 2024-04-20 | مجموعة كثيفة

تعريف

تعريف عام - طوبولوجي
باعتبار {\displaystyle X} فضاء طوبولوجيا و A
⊂
{\displaystyle A\subset X} جزءا منه، يكون A
A كثيفا داخل {\displaystyle X} ويقال أيضا A
A كثيف في كل مكان، إذا تحققت إحدى الخصائص المتكافئة التالية: كل مجموعة مفتوحة غير فارغة في {\displaystyle X} تضم عناصر من A
A .
{\displaystyle X} هي غالق A
A .
كل نقطة في {\displaystyle X} هي ملاصقة ل A
A
مكملة A
A داخلها فارغ
تعريف تحليلي
باعتبار E
E فضاء متجهيا معياريا و D
⊂
E
{\displaystyle D\subset E} جزءا منه، يكون D
{\displaystyle D} كثيفا داخل E
E إذا تحققت إحدى الخصائص المتكافئة التالية: لكل نقطة x
∈
E
{\displaystyle x\in E} توجد متتالية ( y n
)
{\displaystyle (y_{n})} معرفة في D
{\displaystyle D} تؤول في مالانهاية إلى x
x
لكل نقطة x
∈
E
{\displaystyle x\in E} و كل ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0} يوجد y
∈
D
{\displaystyle y\in D} يحقق ‖
y
−
x
‖
≤
ϵ
{\displaystyle \|y-x\|\leq \epsilon }
غالق D
{\displaystyle D} ( D
¯
{\displaystyle {\overline {D}}} ) يساوي E
E
يمكن تعميم التعريف للفضاءات القياسية بتعويض المعيار بالمسافة.

أمثلة

مجموعة الأعداد الجذرية
Q {\displaystyle \mathbb {Q} } كثيفة داخل مجموعة الأعداد الحقيقية
R {\displaystyle \mathbb {R} } .
الزمرة العامة الخطية، مجموعة المصفوفات القابلة للعكس، G L n
( R )
{\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )} كثيفة داخل مجموعة المصفوفات
M n
( R )
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )} . وأيضا G L n
( C )
{\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )} داخل
M n
( C )
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {C} )} .

خاصيات

المقالة الرئيسة: مبرهنة ستون فايرستراس
حسب مبرهنة ستون-فايرستراس، فإن فضاء الحدانيات كثيف داخل فضاء الدوال المتصلة المعرفة في المجال [
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]} والتي مستقرها في
C {\displaystyle \mathbb {C} } .

شرح مبسط

المجموعة الكثيفة (بالإنجليزية: Dense set)‏، هي خاصية طوبولوجية تكون فيها مجموعة

A
A

كثيفة داخل مجموعة



X


{\displaystyle X}

إذا كانت

A
A

ضمن



X


{\displaystyle X}

وإذا كان كل عنصر من

A
A

إما منتميا ل



X


{\displaystyle X}

أو يمثل نقطة حد (Limit point) ل

A
A

. بمعنى أن

A
A

تمكن من حصر (بالمعنى الجبري الطوبولوجي) جميع عناصر



X


{\displaystyle X}

.[1][2]