اليوم: الخميس 28 مارس 2024 , الساعة: 12:57 م
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
اخر المشاهدات
- [ تعرٌف على ] قائمة مدارس الطب البيطري # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ حكمــــــة ] قال الحسن بن عرفة: رأيت يزيد بن هارون بواسط وهو أحسن الناس عينين، ثم رأيته بعين واحدة، ثم رأيته وقد ذهبت عيناه فقلت: يا أبا خالد ما فعلت العينان الجميلتان? فقال: ذهب بهما بكاء الأسحار. # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ رقم هاتف ] مطعم الشعلة جدعلي # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- تعرف على الخيل العربى ألاصيل ؟ # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- قصة مسلسل اسطنبول الظالمة # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] واقعية سحرية # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- شركة الحيدر للتجارة والمقاولات العامة وعنوانها بالرياض # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- اشعار شهد الشمري # اخر تحديث اليوم 2024-02-14
- [ خذها قاعدة ] الإنسان إذا أحس بقيمة الكتاب سيوفر -بلا شك- من مأكله ومشربه ليشتريه. - راغب السرجاني # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] حفل خطوبة # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] وزارة مصطفى النحاس باشا الخامسة # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- مدرسة الإبتدائية المائتان وستة وسبعون 276 للبنات بالرياض # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ مواضيع تهمك ] إعفاء من باقي محكومية...خدمات حكومية سعودية # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] مدرسة إنهاء # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ حكمــــــة ] الصلاة وأهميتها: عن سعيد بن المُسيِّب رحمه الله قال: ما أذَّن المؤذن منذ ثلاثين سنة إلا وأنا في المسجد. [السير (تهذيبه) 1/482]. # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- دواء زيسروسين (zisrocin) دواعي الاستعمال والاثار الجانبية # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ خذها قاعدة ] هناك نظرة تختصر الحياة , وصوت يختصر المسافة , وشخص يختصر الجميع. - جبران خليل جبران # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] مصادر تلوث الهواء المتنقلة # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- بيوهازرد 4دي-إكسكيوتر القصة # اخر تحديث اليوم 2024-02-25
- [بحث جاهز للطباعة] مشروع تخرج محاسبة جاهزة doc , مشاريع تخرج محاسبة بكالوريوس - # اخر تحديث اليوم 2024-03-27
- يو شيمامورا أدوارها في الأنمي # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- جريمة إلقاء الحجارة رمي الحجارة على السيارات # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] تجميعة الجينات # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- تعرٌف على ... نورس وطفه | مشاهير # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- كنيسة القديس يوسف (الناصرة) # اخر تحديث اليوم 2024-02-17
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] مغسلة برستيج الدوحة .. الدوحة - قطر # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ رقم هاتف ] مركز صحي البقيع البلقاء .. بالاردن الهاشمية # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ رقم هاتف ] عيادة الدكتور بهيج الحلتة bahij halteh # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ خذها قاعدة ] يتم تنفيذ الأعمال الكبيرة ليس عن طريق القوة فحسب ، ولكن ايضا عن طريق المثابرة. - صمويل جونسون # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- يتروكير بروجيسترون 100مجم # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] شهادة الدراسات الجامعية العامة # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ كيف أهتم بصحة شعري ] فوائد بذرة الكتان للشعر # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- نيك رحال # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] حنان درقاوي # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] جان ماري كاليس # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] يهود سفارديون # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ خذها قاعدة ] عملية الهبوط على القمر كانت مفبركة , وكل عمليات الهبوط على القمر كانت مفبركة .. وأنا الشخص الذي قام بتصويرها. - ستانلي كوبريك # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- البير (ثادق) الموقع الجغرافي # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ متاجر السعودية ] المصممة مريم محمد ... حائل ... منطقة حائل # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ مؤسسات البحرين ] شركة تيريني للمقاولات تضامن لاصحابها فاطمة محمود محمد شريف و يعقوب علي محمد حمدي - شركة تضامن ... المحرق # اخر تحديث اليوم 2024-03-26
- [ شركات المدارس الخاصة والمستقلة قطر ] مدرسة الدوحة كوليدج Doha College ... الدوحة # اخر تحديث اليوم 2024-03-26
- [ مدارس السعودية ] مدرسة الابتدائيه التحفيظ السادسة # اخر تحديث اليوم 2024-03-26
- [ متاجر السعودية ] حناء البادية ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ رقم هاتف ] عيادة الدكتور شعبان سعد ابراهيم مسجل جراحة العمود الفقري بمستشفى الرازي للعظام بالكويت # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ شعر حزين ] شعر يعبر عن الحزن # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- شركة أبانا التأسيس # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- موكسن أقراص مضاد للالتهابات ومسكن للآلام Moxen Tablets # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ إتيكيت المشي والجلوس ] شرح النداء في اللغة العربية .. 3 معلومات حول أسلوب النداء # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] العلاقات الباكستانية الموريشيوسية # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] معامل الانزلاق # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- أحمد الجابر الصباح أحداث في عهده # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- قائمة الأحزاب السياسية في تونس الوضع الحالي # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- حجرف الذويبي # اخر تحديث اليوم 2024-03-18
- ارقام و هواتف محل على كيفك وعنوانه فى حي السويدي, الرياض, (sa) # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ فنانين وإعلاميين ] ماذا تعرف عن ليوناردو دافنشي؟ 5 معلومات عن أهم شخصيات عصر النهضة الأوروبية # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] التولفة بين الموجات الكهرومغناطيسية والجسيمات # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ مصطلحات إسلامية ] 5 نقاط تعرفك شروط العقيقة وحكمها وكيفية توزيعها # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ خذها قاعدة ] اللاّمبالاةُ شللٌ يصيبُ الرّوحَ، موتٌ قبلَ الأوانِ. - أنطون تشيخوف # اخر تحديث اليوم 2024-03-12
- رويفع بن ثابت # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- توزيع كوشي الخواص # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ مرض السكري ] كيف أعرف أنه عندي سكر حمل # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ خذها قاعدة ] صدقني نحن لا ننسى أبدا, ولكن نغمض أعيننا قليلا لكي نستطيع أن نعيش. - واسيني الأعرج # اخر تحديث اليوم 2024-03-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] فوزيه بخيت عبدالله المولد ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-03-26
- عتود نبذة # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [رقم هاتف] الطبيب بطارسة منير عيسى .. بالاردن # اخر تحديث اليوم 2024-03-11
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين # اخر تحديث اليوم 2024-02-11
- [ حكمــــــة ] بدأت ببيان طريق النصر النفسي وهو \"موافقة القال=الحال\"ثم الجمعي في إنشاء الكوادر القوية لينتج منها كيان وجيش قويوانتهت ..ب\"من أنصاري إلى الله؟!\"فهل من مشمر ..؟! # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- ويليام لابوف أعماله # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] كيسوكي هوندا # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] قائمة سلالات دجاج اللحم # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- وايت هاوس لبيع الشنط والبطانيات # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] المذابح خلال الحرب العثمانية الإيطالية # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] انقسام الخلية # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] اقتصاد التجربة # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ خذها قاعدة ] كُنا ننفصل إلى الأبد مرة كُل أسبوع. - تشارلز بوكوفسكي # اخر تحديث اليوم 2024-03-27
- [ حديث شريفتيسير العلام للشيخ البسام ] عَنْ عَائِشَةَ رَضيَ الله عَنْهَا قَالَتْ: \"كَانَ رَسُولُ الله صلى الله عليه وسلم يسْتَفْتِحُ الصلاةَ بِالتَّكْبِيرِ، وَالْقِرَاءةِ بـ \"الْحمْدُ لله رَب الْعَالَمِينَ \". وَكَانَ إذا رَكَعَ لَمْ يُشْخِصْ رأسه وَلَمْ
- [ مواضيع طبية متفرقة ] 7 معلومات أساسية عن أقراص بروفين # اخر تحديث اليوم 2024-03-26
- [ تعرٌف على ] مرهم شفاه # اخر تحديث اليوم 2024-03-27
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] سميره صنت رشدان العتيبي ... جدة ... منطقة مكة المكرمة # اخر تحديث اليوم 2024-03-12
- الدولة الغزنوية أصلهم # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ خذها قاعدة ] وقال لها مرة: نجعل مجلسنا الليلة في القمر؟ فقالت: ما أولعك بالجمع بين الضرائر. - مصطفى صادق الرافعي # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ وسطاء عقاريين السعودية ] خالد بن سعود بن عبدالله الدوسري ... الخرج ... منطقة الرياض # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- وظائف خالية لدى تاج الملوك ..وظائف مصر # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] كريستوفر كولومبوس # اخر تحديث اليوم 2024-03-27
- آرثر جايتون # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] كال ريبكين، الابن # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ مواضيع طبية متفرقة ] طرق تنظيف الجسم من السموم # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] الجسرة # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] أحمد الأخضر غزال # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ حكمــــــة ] الاقتصاد وعدم الإسراف : كان يقال: الاقتصاد في كل شيء حسن حتى في المشي والقعود. [موسوعة ابن أبي الدنيا 7/448] # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] بيروكسيد النحاس # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] تسرب البرقيات الدبلوماسية للولايات المتحدة # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ تعرٌف على ] مهرجان هافانا الدولي لسينما أمريكا اللاتينية الجديدة # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- ويلدر بنفيلد # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
- [ حكمــــــة ] قال معاوية بن أبي سفيان:من وليناه من أمورنا شيئاً فليجعل الرفق بين الأمانة والعدل. كان يقال: ليس شيءٌ أحسن عند الله من حلم إمام ورأفته. # اخر تحديث اليوم 2024-03-26
- [ تعرٌف على ] فولكس فاجن # اخر تحديث اليوم 2024-03-27
- [ تعرٌف على ] سامية أسعد # اخر تحديث اليوم 2024-03-27
- [ معالم سياحية ] أكبر غابة في المغرب # اخر تحديث اليوم 2024-03-27
- [ تعرٌف على ] ترينيداد وتوباغو # اخر تحديث اليوم 2024-03-27
الأكثر قراءة
- مريم الصايغ في سطور
- سؤال و جواب | ما هى أسباب نزول الدم الاحمر بعد البراز؟ وهل هناك أسباب مرضية؟ وما الحل ؟
- سؤال وجواب | هل يجوز للرجل حلق شعر المؤخرة؟ وهل هناك طريقة محددة لذلك ؟
- سؤال و جواب | حلق شعر المؤخرة بالكامل و الأرداف ماحكمه شرعاً
- هل للحبة السوداء"حبة البركة "فوائد ؟
- كيف أتخلص من الغازات الكريهة التى تخرج مني باستمرار؟
- هناك ألم عندى فى الجانب الأيسر للظهر فهل من الممكن أن يكون بسبب الكلى ؟
- هل هناك علاج للصداع الئى أانيه فى الجانب الأيسر من الدماغ مع العين اليسرى ؟
- تعرٌف على ... مريم فايق الصايغ | مشاهير
- تفسير حلم رؤية القضيب أو العضو الذكري في المنام لابن سيرين
- مبادرة لدعم ترشيح رجل السلام صاحب السمو الشيخ محمد بن زايد لجائزة «نوبل للسلام»
- [ رقم تلفون ] مستر مندوب ... مع اللوكيشن المملكه العربية السعودية
- أرقام طوارئ الكهرباء بالمملكة العربية السعودية
- الفضاء اللوني (ص ش ض) و (ص ش ق) الاستخدام
- ارقام وهواتف مستشفى الدمرداش عباسية,بالقاهرة
- طرق الاجهاض المنزلية و ماهى افضل ادوية للاجهاض السريع واسقاط الجنين فى الشهر الاول
- تفسير رؤية لبس البدلة في المنام لابن سيرين
- تفسير حلم رؤية النكاح والجماع في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة قرض الحسن .. لبنان
- نزع شوك السمك في المنام
- عبارات ترحيب قصيرة 40 من أجمل عبارات ترحيب للأحباب والأصدقاء 2021
- رؤية طفل بعيون خضراء في المنام
- ارقام وهواتف عيادة د. فاروق قورة - 3 أ ش يوسف الجندى باب اللوق بالقاهرة
- الحصول على رخصة بسطة في سوق الجمعة بدولة الكويت
- معلومات هامة عن سلالة دجاج الجميزة
- ارقام وهواتف مستشفى الهلال الاحمر 34 ش رمسيس وسط البلد بالقاهرة
- جريمة قتل آمنة الخالدي تفاصيل الجريمة
- رسائل حب ساخنة للمتزوجين +18
- خليفة بخيت الفلاسي حياته
- تعرٌف على ... عائشة العتيبي | مشاهير
- هل توجيه الشطاف للمنطقة الحساسة يعد عادة سرية؟ وهل يؤثر على البكارة؟
- رقم هاتف مكتب النائب العام وكيفية تقديم بلاغ للنائب العام
- [ رقم تلفون و لوكيشن ] شركة متجر كل شششي - المملكه العربية السعودية
- تفسير رؤية شخص اسمه محمد في المنام لابن سيرين
- ارقام وهواتف مطعم الشبراوى 33 ش احمد عرابى المهندسين, بالجيزة
- أسعار الولادة في مستشفيات الإسكندرية
- ارقام وهواتف عيادة د. هشام عبد الغنى - 10 ش مراد الجيزة بالجيزة
- ارقام وهواتف عيادة د. ياسر المليجى - 139 ش التحرير الدقى بالجيزة
- ارقام وهواتف مستشفى النور المحمدى الخيرى التخصصى المطرية, بالقاهرة
- تفسير رؤية الحشرات في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] مؤسسة مركز اصلاح وتأهيل بيرين .. بالاردن الهاشمية
- قسم رقم 8 (فلم) قصة الفلم
- تفسير حلم رؤية الميت يشكو من ضرسه في المنام
- هل أستطيع الاستحمام بعد فض غشاء البكارة ليلة الدخلة مباشرة؟
- أعشاب تفتح الرحم للإجهاض
- يخرج المني بلون بني قريب من لون الدم، فما نصيحتكم؟!
- قناة تمازيغت برامج القناة
- ارقام وهواتف مكتب صحة - السادس من اكتوبر ميدان الحصرى السادس من اكتوبر, بالجيزة
- سور القران لكل شهر من شهور الحمل
- تفسير رؤية براز الكلاب في المنام لابن سيرين
- زخرفة اسماء تصلح للفيس بوك
- مدرسة ب/ 141 حكومي للبنات بجدة
- إلغ (برمجية) التاريخ
- [ رقم هاتف ] جمعية قرض الحسن، .... لبنان
- أشيقر سكان وقبائل بلدة أشيقر
- تفسير حلم رؤية قلب الخروف في المنام
- تفسير حلم الكلب لابن سيرين
- [ رقم هاتف ] عيادة د. حازم ابو النصر - 20 ش عبد العزيز جاويش عابدين بالقاهرة
- انا بنت عندي 13 سنة لسة مجتليش الدورة الشهرية ......كنت ببات عند خالتي وكل ما
- هل تمرير الإصبع بشكل أفقي على فتحة المهبل يؤدي إلى فض غشاء البكارة؟
- [رقم هاتف] شركة الحراسة و التوظيف و التنظيف.. المغرب
- قبيلة الهزازي أقسام قبيلة الهزازي
- ذا إكس فاكتور آرابيا فكرة البرنامج
- السلام عليكم ، أنا مشكلتي بصراحة الجنس من الخلف مع زوجي الأن صار ويحب حيل
- فتحة المهبل لدي واسعة وليست كما تبدو في الصور.. فهل هو أمر طبيعي؟
- لالة لعروسة (برنامج) الفائزون
- أنا حامل في الشهر الرابع وينزل مني دم .. هل هذا طبيعي؟
- [ رقم هاتف ] عيادة د. عادل الريس .. وعنوانها
- هل إدخال إصبع الزوج في مهبل الزوجة له أضرار؟
- تفسير حلم اصلاح الطريق في المنام
- هل الشهوة الجنسية الكثيرة تؤثر على غشاء البكارة؟ أفيدوني
- تفسير حلم تنظيف البيت في المنام للعزباء والمتزوجة والحامل والمطلقة
- إيمان ظاظا حياتها ومشوارها المهني
- أهمية وضرورة إزالة الخيط الأسود من ظهر الجمبري
- اسماء فيس بنات مزخرفة | القاب بنات مزخرفه
- لهجة شمالية (سعودية) بعض كلمات ومفردات اللهجة
- تفسير رؤية المشاهير في المنام لابن سيرين
- هل شد الشفرات والمباعدة الشديدة للساقين يمكن أن تفض غشاء البكارة؟
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن حرب 6 اكتوبر 1973 بالصور pdf doc -
- فوائد عشبة الفلية و الكمية المناسبة يوميا
- تفسير رؤية المخدة في المنام لابن سيرين
- [رقم هاتف] شركة الرفق بالحيوان و الطبيعة.. المغرب
- كلمات - انت روحي - حمود السمه
- أعاني من لحمة زائدة في الدبر ، فلدي قطعة لحمية صغيرة في فتحة الشرج من الخارج
- ما الفرق بين الغشاء السليم وغير السليم؟
- تفسير حلم رؤية الإصابة بالرصاص في الكتف بالمنام
- [ رقم هاتف ] مركز المصطفى للاشعة
- أدخلت إصبعي في المهبل وأخرجته وعليه دم، هل فقدت بكارتي؟
- عمر فروخ
- هل الضغط بالفخذين على الفرج يؤذي غشاء البكارة?
- إدمان الزوج للمواقع الإباحية: المشكلة والأسباب والعلاج
- بسبب حكة قويط للمنطقة الحساسة ونزول الدم، أعيش وسواس فض الغشاء.
- ما تفسير رؤية كلمة كهيعص في المنام
- تظهر عندي حبوب في البظر والشفرتين بين حين وآخر.. هل لها مضاعفات، وما علاجها؟
- طريقة إرجاع حساب الفيس بوك المعطل
- الكرة الحديدية قواعد اللعبة
- تفسير رؤية مدرس الرياضيات في المنام لابن سيرين
- [بحث جاهز للطباعة] بحث عن اللغة العربية والكفايات اللغويه -
- تفسير حلم رؤية الكنز فى المنام لابن سيرين
- كيف أصل إلى النشوة مع زوجي أثناء الإيلاج وليس بيده بعد الجماع؟
مرحبا بكم في شبكة بحوث وتقارير ومعلومات
عزيزي زائر شبكة بحوث وتقارير ومعلومات.. تم إعداد وإختيار هذا الموضوع [ تعرٌف على ] عدد متسام # اخر تحديث اليوم 2024-03-28 فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم , وهنا نبذه عنها وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 10/11/2023
[ تعرٌف على ] عدد متسام # اخر تحديث اليوم 2024-03-28
آخر تحديث منذ 4 شهر و 18 يوم
1 مشاهدة
تم النشر اليوم 2024-03-28 | عدد متسام
من بين الأعداد التي لا نعرف ما إذا كانت متسامية أم لا: (
π
+
e
) {\displaystyle (\pi ~+~e)\,} , (
π
−
e
) {\displaystyle (\pi ~-~e)\,} , (
π
e
) {\displaystyle (\pi e)\,} ,
(
e
π
)
{\displaystyle \left({\frac {e}{\pi }}\right)\,} , ( π π
) {\displaystyle (\pi ^{\pi })\,} , ( e e
) {\displaystyle (e^{e})\,} , ( π e
) {\displaystyle (\pi ^{e})\,}
ثابتة أويلر-ماسكروني γ {\displaystyle \gamma \,} والتي لا نعرف ما إذا كانت لاجذرية.
ثابتة كاتالان والتي لا نعرف ما إذا كانت لاجذرية.
ثابتة أبيري ζ
(
3
) {\displaystyle \zeta (3)\,} والتي نعرف بأنها لاجذرية.
جميع أعداد ليوفيل هي أعداد متسامية، ولكن ليست جميع الأعداد المتسامية هي أعداد ليوفيل. يجب على حدود كل عدد لليوفيل، عند تفكيكه إلى كسور مستمرة، ألا تكون قابلة للحصر. إذن باستعمال برهان التعداد، يمكن أن نبين وجود أعداد متسامية أخرى غير أعداد ليوفيل. باستعمال التفكيك إلى كسور مستمرة للعدد e سنجد أنه ليس عددا لليوفيل. برهن كرت مالر سنة 1953 أن العدد e ليس عددا لليوفيل. وتظنن كذلك أن جميع الكسور المستمرة والتي حدودها محصورة وليست دورية ابتداء من رتبة معينة، هي أعداد متسامية.
العدد π {\displaystyle \pi \,} (أنظر المقال العدد باي).
العدد e أساس اللوغاريتم الطبيعي. e π {\displaystyle e^{\pi }\,} ثابتة غيلفوند. 2
2
{\displaystyle 2^{\sqrt {2}}\,} ثابتة غيلفوند-شنايدر. أو بشكل عام:
a b {\displaystyle a^{b}\,} حيث
a
≠
0
a\neq 0\, و a
≠
1 {\displaystyle a\neq 1\,} عدد جبري، و b جبري وليس جذريا. الحالة العامة لمسألة هيلبرت السابعة، أي تحديد هل العدد
a b {\displaystyle a^{b}\,} متسام أم لا عندما يكون
a
≠
0
a\neq 0\, و a
≠
1 {\displaystyle a\neq 1\,} عددا جبريا و b لاجذريا، لم تحل إلى الآن.
(
−
1 ) −
i {\displaystyle (-1)^{-i}\,} وهو العدد
e π
{\displaystyle e^{\pi }} للسبب المذكور أعلاه. i i {\displaystyle i^{i}\,} وهو العدد
e −
π / 2
{\displaystyle e^{-\pi /2}} .
قيمة الدالة المثلثية sin
(
1
) {\displaystyle \sin(1)\,} .
ln
(
a
) {\displaystyle \ln(a)\,} إذا كان a عددا كسريا موجبا قطعا ويخالف 1.
Γ (
1
3
)
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\,} ، Γ (
1
4
)
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)\,} و Γ (
1
6
)
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\,} (راجع دالة غاما لأويلر). C 10
=
0.12345678910111213141516
…
{\displaystyle C_{10}=0.12345678910111213141516 \dots } ثابتة تشامبرنون [الإنجليزية] (مبرهنة مالر، سنة 1961). ∑ k
=
0
+
∞ 10 −
⌊ β k
⌋
; β
>
1 ,
{\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }10^{-\lfloor \beta ^{k}\rfloor };\qquad \beta >1\;,}
حيث
⌊
x
⌋
{\displaystyle \ \lfloor x\rfloor } هو الجزء الصحيح للعدد
x
∈ R {\displaystyle \ x\in \mathbb {R} } . مثلا: من أجل β
=
2 {\displaystyle \beta =2\,} يساوي هذا العدد: Ω {\displaystyle \Omega \,} ثابتة تشيتين [الإنجليزية]. وبشكل عام: كل عدد لا يمكن حسابه هو عدد متسام.
كل دالة جبرية غير ثابتة لمتغير عددي تعطي قيما متسامية إذا طبقنا عليها عددا متساميا. مثلا: بمعرفة أن العدد π {\displaystyle \pi \,} متسام، نستنتج مباشرة أن 5
π {\displaystyle 5\pi \,} ،
π
−
3
2
{\displaystyle {\frac {\pi -3}{\sqrt {2}}}\,} ، (
π
−
3 ) 8 {\displaystyle ({\sqrt {\pi }}-{\sqrt {3}})^{8}\,} و ( π 5
+
7 )
1
7
{\displaystyle (\pi ^{5}+7)^{\frac {1}{7}}\,} هي أعداد متسامية كذلك. في المقابل، يمكن لدالة جبرية لعدة متغيرات أن تعطي قيمة جبرية إذا طبقنا عليها أعدادا متسامية، عندما لا تكون تلك الأعداد مستقلة جبريا.
مثلا، العددان π {\displaystyle \pi \,} و 1
−
π {\displaystyle 1-\pi \,} متساميان، ولكن π
+
(
1
−
π
)
=
1 {\displaystyle \pi ~+~(1-\pi )~=~1\,} ليس متساميا. لا نعرف طبيعة π
+
e {\displaystyle \pi ~+~e\,} ، ولكن نحن متأكدون من أن أحد العددين π
+
e {\displaystyle \pi ~+~e\,} و π
e {\displaystyle \pi e\,} متسام بالضرورة. بشكل عام: من أجل عددين متسامين a و b، فسيكون على الأقل أحد العددين ab و a+b متساميا. للتأكد من ذلك، نعتبر الحدودية (
x
−
a
)
(
x
−
b
)
= x 2
−
(
a
+
b
)
x
+
a
b {\displaystyle (x~-~a)(x~-~b)=x^{2}-(a+b)x+ab\,} . إذا كان ab و a+b جبريين معا، فستكون هذه الحدودية بمعاملات جبرية، وبما أن الأعداد الجبرية تكون جسما جبريا مغلقا، فهذا يستلزم أن a و b حلي المعادلة عددان جبريان، وهذا تناقض. وبالتالي أحد العددين ab و a+b على الأقل متسام.
ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لشارل آرميت. الفكرة هي كالتالي: نفترض أن العدد e هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة
c 0
, c 1
,
…
, c n {\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\,} التي تحقق المعادلة:
c 0
+ c 1
e
+ c 2 e 2
+
⋯
+ c n e n
=
0 {\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0\,}
بحيث يكون كلا العددان
c 0
{\displaystyle c_{0}} و
c n
{\displaystyle c_{n}} مخالفين للصفر. نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n. نضرب طرفي المعادلة بـ
∫ 0
∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\,} ، في حين سنستعمل الترميز التالي
∫ a
b {\displaystyle \int _{a}^{b}\,} كاختصار للتكامل:
∫ a
b
= ∫ a
b x k
[
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
) ] k
+
1 e −
x d
x {\displaystyle \int _{a}^{b}=\int _{a}^{b}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx\,} .
سنصل إلى المعادلة:
c 0 ∫ 0
∞
+ c 1
e ∫ 0
∞
+
⋯
+ c n e n ∫ 0
∞
=
0 {\displaystyle c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{0}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{\infty }=0\,}
والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:
P 1
+ P 2
=
0 {\displaystyle P_{1}+P_{2}=0\,}
حيث
P 1
= c 0 ∫ 0
∞
+ c 1
e ∫ 1
∞
+ c 2 e 2 ∫ 2
∞
+
⋯
+ c n e n ∫ n
∞ {\displaystyle P_{1}=c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{1}^{\infty }+c_{2}e^{2}\int _{2}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{n}^{\infty }\,} P 2
= c 1
e ∫ 0
1
+ c 2 e 2 ∫ 0
2
+
⋯
+ c n e n ∫ 0
n {\displaystyle P_{2}=c_{1}e\int _{0}^{1}+c_{2}e^{2}\int _{0}^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{n}\,}
الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن:
P 1 k
!
{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,} هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد
P 2 k
!
{\displaystyle {\frac {P_{2}}{k!}}\,} ليس كذلك. والسبب في أن
P 1 k
!
{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,} عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:
∫ 0
∞ x j e −
x d
x
=
j
! {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,}
وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء. ولكي نبرهن على أن:
| P 2 k
! | <
1 {\displaystyle \left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|<1\,} من أجل k كبير بما يكفي
نشير أولا إلى أن
x k
[
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
) ] k
+
1 e −
x {\displaystyle x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,} هو جداء الدوال [
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
) ] k {\displaystyle [x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k}\,} و (
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
) e −
x {\displaystyle (x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}\,} . وباستعمال المحد العلوي لـ
| x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
) |
{\displaystyle |x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|\,} و
| (
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
) e −
x |
{\displaystyle |(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}|\,} على المجال [
n
,
0
]
{\displaystyle [n,0]} وبما أن:
lim k
→
∞ G k k
! =
0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0\,} لكل عدد حقيقي G.
وهذا كاف لإكمال البرهان. يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.
من المرجح أن يكون لايبنتز أول شخص خمن وجود أعداد لا تحقق معادلات حدودية بمعاملات جذرية. وأتت التسمية متسام في البحث الذي نشره سنة 1682 والذي برهن فيه على أن sin
(
x
)
,
{\displaystyle \sin(x),} ليست دالة جبرية ل x {\displaystyle x\,} . أما أول برهان على وجود أعداد متسامية فقد كتبه جوزيف ليوفيل سنة 1844، والذي تضمن بعض الأمثلة، مثل عدد ليوفيل: حيث يكون العدد النوني بعد الفاصلة 1 إذا كان n عامليا (أحد الأعداد 1، 2، 6، 24، 120، 720،...) ويكون 0 في الحالات الأخرى. ويمكن تقريب هذا العدد بشكل خاص بأعداد جذرية. برهن ليوفيل على أن الأعداد التي تحقق هذه الخاصية (والتي تعرف باسم أعداد ليوفيل) هي أعداد متسامية. تظنن يوهان هنريك لامبرت، في مقاله الذي برهن فيه أن العدد π {\displaystyle \pi \,} ليس جذريا، أن العددين e {\displaystyle e\,} و π {\displaystyle \pi \,} هما عددان متساميان. وقد برهن تشارلز هيرمت، سنة 1873، على أن العدد e {\displaystyle e\,} هو عدد غير متسام. ليكون بذلك أول عدد برهن على أنه متسام دون أن ينشئ كذلك. وفي سنة 1874، وضع جورج كانتور البرهان المذكور أعلاه والذي يقود إلى أن مجموعة الأعداد المتسامية غير قابلة للعد. في سنة 1882، نشر فيردينوند فون ليندمان برهانا على أن العدد π {\displaystyle \pi \,} هو عدد متسام. برهن في البداية على أن العدد e
e مرفوع إلى أي عدد جبري هو عدد متسام، وبما أن
e i
π
=
−
1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1\,} جبري، فإن i
π {\displaystyle i\pi \,} ليس عدد جبري وبالتالي π {\displaystyle \pi \,} عدد متسام. عمم كارل ويرستراس هذه المقاربة في مبرهنة ليندمان-وايرستراس. وبمعرفة أن العدد π {\displaystyle \pi \,} متسام، أمكن البرهان على استحالة عدة إنشاءات هندسية بالبركار والمسطرة، وهذا يشمل الإنشاء الأكثر شهرة، وهو تربيع الدائرة. في سنة 1900، طرح ديفيد هيلبرت سؤالا مهما بخصوص الأعداد المتسامية، يعرف باسم مسألة هيلبرت السابعة: «إذا كان a عددا جبريا غير منعدم ويخالف 1، وكان b عددا جبريا لاجذريا، فهل سيكون العدد
a b {\displaystyle a^{b}\,} متساميا بالضرورة؟». وكان الجواب نعم، سنة 1934 بمبرهنة جيلفوند شنايدر. يستطاع بسهولة الحصول على أعداد متسامية بفضل تلك المبرهنة، مثلا:
2
2
{\displaystyle 2^{\sqrt {2}}\,} ، و
e π {\displaystyle e^{\pi }\,} . توسع آلان بيكر في هذا المجال في الستينيات.
في الرياضيات، عدد متسام (بالإنجليزية: Transcendental number) هو كل عدد حقيقي أو عقدي لا يكون حلا لأية معادلة متعددة الحدود:
مسائل مفتوحة
من بين الأعداد التي لا نعرف ما إذا كانت متسامية أم لا: (
π
+
e
) {\displaystyle (\pi ~+~e)\,} , (
π
−
e
) {\displaystyle (\pi ~-~e)\,} , (
π
e
) {\displaystyle (\pi e)\,} ,
(
e
π
)
{\displaystyle \left({\frac {e}{\pi }}\right)\,} , ( π π
) {\displaystyle (\pi ^{\pi })\,} , ( e e
) {\displaystyle (e^{e})\,} , ( π e
) {\displaystyle (\pi ^{e})\,}
ثابتة أويلر-ماسكروني γ {\displaystyle \gamma \,} والتي لا نعرف ما إذا كانت لاجذرية.
ثابتة كاتالان والتي لا نعرف ما إذا كانت لاجذرية.
ثابتة أبيري ζ
(
3
) {\displaystyle \zeta (3)\,} والتي نعرف بأنها لاجذرية.
جميع أعداد ليوفيل هي أعداد متسامية، ولكن ليست جميع الأعداد المتسامية هي أعداد ليوفيل. يجب على حدود كل عدد لليوفيل، عند تفكيكه إلى كسور مستمرة، ألا تكون قابلة للحصر. إذن باستعمال برهان التعداد، يمكن أن نبين وجود أعداد متسامية أخرى غير أعداد ليوفيل. باستعمال التفكيك إلى كسور مستمرة للعدد e سنجد أنه ليس عددا لليوفيل. برهن كرت مالر سنة 1953 أن العدد e ليس عددا لليوفيل. وتظنن كذلك أن جميع الكسور المستمرة والتي حدودها محصورة وليست دورية ابتداء من رتبة معينة، هي أعداد متسامية.
أعداد متسامية معروفة
العدد π {\displaystyle \pi \,} (أنظر المقال العدد باي).
العدد e أساس اللوغاريتم الطبيعي. e π {\displaystyle e^{\pi }\,} ثابتة غيلفوند. 2
2
{\displaystyle 2^{\sqrt {2}}\,} ثابتة غيلفوند-شنايدر. أو بشكل عام:
a b {\displaystyle a^{b}\,} حيث
a
≠
0
a\neq 0\, و a
≠
1 {\displaystyle a\neq 1\,} عدد جبري، و b جبري وليس جذريا. الحالة العامة لمسألة هيلبرت السابعة، أي تحديد هل العدد
a b {\displaystyle a^{b}\,} متسام أم لا عندما يكون
a
≠
0
a\neq 0\, و a
≠
1 {\displaystyle a\neq 1\,} عددا جبريا و b لاجذريا، لم تحل إلى الآن.
(
−
1 ) −
i {\displaystyle (-1)^{-i}\,} وهو العدد
e π
{\displaystyle e^{\pi }} للسبب المذكور أعلاه. i i {\displaystyle i^{i}\,} وهو العدد
e −
π / 2
{\displaystyle e^{-\pi /2}} .
قيمة الدالة المثلثية sin
(
1
) {\displaystyle \sin(1)\,} .
ln
(
a
) {\displaystyle \ln(a)\,} إذا كان a عددا كسريا موجبا قطعا ويخالف 1.
Γ (
1
3
)
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\,} ، Γ (
1
4
)
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)\,} و Γ (
1
6
)
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\,} (راجع دالة غاما لأويلر). C 10
=
…
{\displaystyle C_{10}=
=
0
+
∞ 10 −
⌊ β k
⌋
; β
>
1 ,
{\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }10^{-\lfloor \beta ^{k}\rfloor };\qquad \beta >1\;,}
حيث
⌊
x
⌋
{\displaystyle \ \lfloor x\rfloor } هو الجزء الصحيح للعدد
x
∈ R {\displaystyle \ x\in \mathbb {R} } . مثلا: من أجل β
=
2 {\displaystyle \beta =2\,} يساوي هذا العدد: Ω {\displaystyle \Omega \,} ثابتة تشيتين [الإنجليزية]. وبشكل عام: كل عدد لا يمكن حسابه هو عدد متسام.
كل دالة جبرية غير ثابتة لمتغير عددي تعطي قيما متسامية إذا طبقنا عليها عددا متساميا. مثلا: بمعرفة أن العدد π {\displaystyle \pi \,} متسام، نستنتج مباشرة أن 5
π {\displaystyle 5\pi \,} ،
π
−
3
2
{\displaystyle {\frac {\pi -3}{\sqrt {2}}}\,} ، (
π
−
3 ) 8 {\displaystyle ({\sqrt {\pi }}-{\sqrt {3}})^{8}\,} و ( π 5
+
7 )
1
7
{\displaystyle (\pi ^{5}+7)^{\frac {1}{7}}\,} هي أعداد متسامية كذلك. في المقابل، يمكن لدالة جبرية لعدة متغيرات أن تعطي قيمة جبرية إذا طبقنا عليها أعدادا متسامية، عندما لا تكون تلك الأعداد مستقلة جبريا.
مثلا، العددان π {\displaystyle \pi \,} و 1
−
π {\displaystyle 1-\pi \,} متساميان، ولكن π
+
(
1
−
π
)
=
1 {\displaystyle \pi ~+~(1-\pi )~=~1\,} ليس متساميا. لا نعرف طبيعة π
+
e {\displaystyle \pi ~+~e\,} ، ولكن نحن متأكدون من أن أحد العددين π
+
e {\displaystyle \pi ~+~e\,} و π
e {\displaystyle \pi e\,} متسام بالضرورة. بشكل عام: من أجل عددين متسامين a و b، فسيكون على الأقل أحد العددين ab و a+b متساميا. للتأكد من ذلك، نعتبر الحدودية (
x
−
a
)
(
x
−
b
)
= x 2
−
(
a
+
b
)
x
+
a
b {\displaystyle (x~-~a)(x~-~b)=x^{2}-(a+b)x+ab\,} . إذا كان ab و a+b جبريين معا، فستكون هذه الحدودية بمعاملات جبرية، وبما أن الأعداد الجبرية تكون جسما جبريا مغلقا، فهذا يستلزم أن a و b حلي المعادلة عددان جبريان، وهذا تناقض. وبالتالي أحد العددين ab و a+b على الأقل متسام.
جزء من برهان على تسامي العدد e
ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لشارل آرميت. الفكرة هي كالتالي: نفترض أن العدد e هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة
c 0
, c 1
,
…
, c n {\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\,} التي تحقق المعادلة:
c 0
+ c 1
e
+ c 2 e 2
+
⋯
+ c n e n
=
0 {\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0\,}
بحيث يكون كلا العددان
c 0
{\displaystyle c_{0}} و
c n
{\displaystyle c_{n}} مخالفين للصفر. نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n. نضرب طرفي المعادلة بـ
∫ 0
∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\,} ، في حين سنستعمل الترميز التالي
∫ a
b {\displaystyle \int _{a}^{b}\,} كاختصار للتكامل:
∫ a
b
= ∫ a
b x k
[
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
) ] k
+
1 e −
x d
x {\displaystyle \int _{a}^{b}=\int _{a}^{b}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx\,} .
سنصل إلى المعادلة:
c 0 ∫ 0
∞
+ c 1
e ∫ 0
∞
+
⋯
+ c n e n ∫ 0
∞
=
0 {\displaystyle c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{0}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{\infty }=0\,}
والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:
P 1
+ P 2
=
0 {\displaystyle P_{1}+P_{2}=0\,}
حيث
P 1
= c 0 ∫ 0
∞
+ c 1
e ∫ 1
∞
+ c 2 e 2 ∫ 2
∞
+
⋯
+ c n e n ∫ n
∞ {\displaystyle P_{1}=c_{0}\int _{0}^{\infty }+c_{1}e\int _{1}^{\infty }+c_{2}e^{2}\int _{2}^{\infty }+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{n}^{\infty }\,} P 2
= c 1
e ∫ 0
1
+ c 2 e 2 ∫ 0
2
+
⋯
+ c n e n ∫ 0
n {\displaystyle P_{2}=c_{1}e\int _{0}^{1}+c_{2}e^{2}\int _{0}^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}\int _{0}^{n}\,}
الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن:
P 1 k
!
{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,} هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد
P 2 k
!
{\displaystyle {\frac {P_{2}}{k!}}\,} ليس كذلك. والسبب في أن
P 1 k
!
{\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}\,} عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:
∫ 0
∞ x j e −
x d
x
=
j
! {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,}
وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء. ولكي نبرهن على أن:
| P 2 k
! | <
1 {\displaystyle \left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|<1\,} من أجل k كبير بما يكفي
نشير أولا إلى أن
x k
[
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
) ] k
+
1 e −
x {\displaystyle x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,} هو جداء الدوال [
x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
) ] k {\displaystyle [x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k}\,} و (
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
) e −
x {\displaystyle (x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}\,} . وباستعمال المحد العلوي لـ
| x
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
) |
{\displaystyle |x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|\,} و
| (
x
−
1
)
(
x
−
2
)
⋯
(
x
−
n
) e −
x |
{\displaystyle |(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}|\,} على المجال [
n
,
0
]
{\displaystyle [n,0]} وبما أن:
lim k
→
∞ G k k
! =
0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0\,} لكل عدد حقيقي G.
وهذا كاف لإكمال البرهان. يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.
تاريخ
من المرجح أن يكون لايبنتز أول شخص خمن وجود أعداد لا تحقق معادلات حدودية بمعاملات جذرية. وأتت التسمية متسام في البحث الذي نشره سنة 1682 والذي برهن فيه على أن sin
(
x
)
,
{\displaystyle \sin(x),} ليست دالة جبرية ل x {\displaystyle x\,} . أما أول برهان على وجود أعداد متسامية فقد كتبه جوزيف ليوفيل سنة 1844، والذي تضمن بعض الأمثلة، مثل عدد ليوفيل: حيث يكون العدد النوني بعد الفاصلة 1 إذا كان n عامليا (أحد الأعداد 1، 2، 6، 24، 120، 720،...) ويكون 0 في الحالات الأخرى. ويمكن تقريب هذا العدد بشكل خاص بأعداد جذرية. برهن ليوفيل على أن الأعداد التي تحقق هذه الخاصية (والتي تعرف باسم أعداد ليوفيل) هي أعداد متسامية. تظنن يوهان هنريك لامبرت، في مقاله الذي برهن فيه أن العدد π {\displaystyle \pi \,} ليس جذريا، أن العددين e {\displaystyle e\,} و π {\displaystyle \pi \,} هما عددان متساميان. وقد برهن تشارلز هيرمت، سنة 1873، على أن العدد e {\displaystyle e\,} هو عدد غير متسام. ليكون بذلك أول عدد برهن على أنه متسام دون أن ينشئ كذلك. وفي سنة 1874، وضع جورج كانتور البرهان المذكور أعلاه والذي يقود إلى أن مجموعة الأعداد المتسامية غير قابلة للعد. في سنة 1882، نشر فيردينوند فون ليندمان برهانا على أن العدد π {\displaystyle \pi \,} هو عدد متسام. برهن في البداية على أن العدد e
e مرفوع إلى أي عدد جبري هو عدد متسام، وبما أن
e i
π
=
−
1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1\,} جبري، فإن i
π {\displaystyle i\pi \,} ليس عدد جبري وبالتالي π {\displaystyle \pi \,} عدد متسام. عمم كارل ويرستراس هذه المقاربة في مبرهنة ليندمان-وايرستراس. وبمعرفة أن العدد π {\displaystyle \pi \,} متسام، أمكن البرهان على استحالة عدة إنشاءات هندسية بالبركار والمسطرة، وهذا يشمل الإنشاء الأكثر شهرة، وهو تربيع الدائرة. في سنة 1900، طرح ديفيد هيلبرت سؤالا مهما بخصوص الأعداد المتسامية، يعرف باسم مسألة هيلبرت السابعة: «إذا كان a عددا جبريا غير منعدم ويخالف 1، وكان b عددا جبريا لاجذريا، فهل سيكون العدد
a b {\displaystyle a^{b}\,} متساميا بالضرورة؟». وكان الجواب نعم، سنة 1934 بمبرهنة جيلفوند شنايدر. يستطاع بسهولة الحصول على أعداد متسامية بفضل تلك المبرهنة، مثلا:
2
2
{\displaystyle 2^{\sqrt {2}}\,} ، و
e π {\displaystyle e^{\pi }\,} . توسع آلان بيكر في هذا المجال في الستينيات.
شرح مبسط
في الرياضيات، عدد متسام (بالإنجليزية: Transcendental number) هو كل عدد حقيقي أو عقدي لا يكون حلا لأية معادلة متعددة الحدود:
شاركنا رأيك
التعليقات
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا
أقسام شبكة بحوث وتقارير ومعلومات عملت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع [ تعرٌف على ] عدد متسام # اخر تحديث اليوم 2024-03-28 ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 10/11/2023