[ تعرٌف على ] تحكم إتش إنفينتي # اخر تحديث اليوم 2024-04-18

تم النشر اليوم 2024-04-18 | تحكم إتش إنفينتي

الحل عن طريق تمثيل يولا

تقول مبرهنة يولا أنه:
إذا كان (A, B2) قابل للاستقرار و(A,C2) قابل للاكتشاف وإذا تم اختيار F و L مصفوفتان بحيث A+B2.F و A+LC2 مستقران. فإنه وبالنسبة لكل مصفوفة تحويل Q(s) مستقرة و proper فإن مجموعة المتحكمات ال proper والتي تجعل P مستقرا يتم تمثيلها عن طريق: K
(
s
)
= F l
(
J
(
s
)
,
Q
(
s
)
)
=
J
(
s
)
∗
Q
(
s
)
= J 11
+ J 12
.
Q
.
(
I
− J 22
Q ) −
1 J 21
{\displaystyle K(s)=F_{l}(J(s),Q(s))=J(s)*Q(s)=J_{11}+J_{12}.Q.(I-J_{22}Q)^{-1}J_{21}} حيث: J
(
s
)
=
( A
+ B 2
F
+
L C 2
+
L D 22
F | −
L B 2
+
L D 22
−
−
−
−
F | 0
I
−
( C 2
+ D 22
F
) | I
− D 22 )
{\displaystyle J(s)={\begin{pmatrix}A+B_{2}F+LC_{2}+LD_{22}F&|&-L&B_{2}+LD_{22}\\-&-&-&-\\F&|&0&I\\-(C_{2}+D_{22}F)&|&I&-D_{22}\end{pmatrix}}} كما أن معادلة النظام المغذى رجعيا (حلقة مغلقة closed loop) هي:
P z
w
= H 1
− H 2
Q H 3
{\displaystyle P_{zw}=H_{1}-H_{2}QH_{3}} حيث:
H 1
=
( )
{\displaystyle H_{1}={\begin{pmatrix}\end{pmatrix}}}
H 2
=
( )
{\displaystyle H_{2}={\begin{pmatrix}\end{pmatrix}}}
H 3
=
( )
{\displaystyle H_{3}={\begin{pmatrix}\end{pmatrix}}} بمما أنه يمكن اختيار العديد من المصفوفات F و L المختلفة وو مصفوفة التحويل Q(s) فإنه يجب أو يتم اختيار تلك التي تجعل قيمة التقوية الكبرى ضعيفة وذلك عادة يتم عن طريق عمليات استمثال. وإيجاد متحكمات تؤدي إلى قيم معيارية لا نهائية صغيرة في هذه الطريقة محل بحوث.

الحل عن طريق معادلات ريكاتي

من ميزات تصميم متحكمات
H ∞
{\displaystyle H_{\infty }} عن طريق حل معادلات ريكاتي الجبرية توفر معادلات يمكن من خلالها حساب وتصميم المتحكم مباشرة. إلا أن هذه الطريقة تفرض العديد من القيود أو المسلمات التي يجب على النظام المتحكم به أن يحققها مما يجعل تطبيقها أحيانا صعبا لكون الأنظمة الفيزيائية الحقيقية لا تحقق دائما تلك الشروط. في ما يلي معادلات المتحكم بالنسبة لنظام s
y
s
=
( A |
B 1 B 2
−
−
−
− C 1 |
D 11 D 12 C 2 |
D 21 D 22 )
{\displaystyle sys={\begin{pmatrix}A&|&B_{1}&B_{2}\\-&-&-&-\\C_{1}&|&D_{11}&D_{12}\\C_{2}&|&D_{21}&D_{22}\end{pmatrix}}} و سنحاول في البداية إعطاء أبسط صيغ المتحكم والمرتبطة بتحقق شروط كثيرة في النظام المتحكم به ثم نقوم بترك بعض تلك الشروط ونبين مدى تأثير ذلك على معادلة أو صيغة المتحكم. الشروط
إذا: كان (
A
, B 1
)
{\displaystyle (A,B_{1})} قابل للتحكم و ( C 1
,
A
)
{\displaystyle (C_{1},A)} قابل للملاحظة
كان (
A
, B 2
)
{\displaystyle (A,B_{2})} قابل للاستقرار و ( C 2
,
A
)
{\displaystyle (C_{2},A)} قابل للاكتشاف
كان
D 12
∗
=
[
C 1 D 12 ]
=
[ 0
I ]
{\displaystyle D_{12}^{*}={\begin{bmatrix}C_{1}&D_{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&I\end{bmatrix}}}
كان [
B 1 D 21 ] D 21
∗
=
[ 0
I ]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}B_{1}\\D_{21}\end{bmatrix}}D_{21}^{*}={\begin{bmatrix}0\\I\end{bmatrix}}}
كان
D 11
=
0
{\displaystyle D_{11}=0}
كان
D 22
=
0
{\displaystyle D_{22}=0}
صيغة المتحكم
فإن المتحكم K الذي يجعل المعيار اللانهائي من المداخل w إلى المخارج z (أنظر الصورة رقم 1) أقل من γ
\gamma للنظام الموصل رجعيا أي
|
|
P z
w | |
∞
≤
γ
{\displaystyle ||P_{zw}||_{\infty }\leq \gamma } هو:
K γ
(
s
)
=
[ A ∞ | − Z ∞ L ∞
−
−
− F ∞ | 0 ]
{\displaystyle K_{\gamma }(s)={\begin{bmatrix}\ A_{\infty }&|&-Z_{\infty }L_{\infty }\\-&-&-\\F_{\infty }&|&0\end{bmatrix}}} حيث:
A ∞
=
A
+ B 1 B 1
∗
∞
1
γ
+ B 2 F ∞
+ Z ∞ L ∞ C 2
{\displaystyle A_{\infty }=A+B_{1}B_{1}^{*}X_{\infty }{\frac {1}{\gamma }}+B_{2}F_{\infty }+Z_{\infty }L_{\infty }C_{2}}
F ∞
=
− B 2
∗
∞
{\displaystyle F_{\infty }=-B_{2}^{*}X_{\infty }}
L ∞
=
− Y ∞ C 2
∗
{\displaystyle L_{\infty }=-Y_{\infty }C_{2}^{*}}
Z ∞
=
(
I
− Y ∞
∞
1
γ ) −
1
{\displaystyle Z_{\infty }=(I-Y_{\infty }X_{\infty }{\frac {1}{\gamma }})^{-1}} و تمثل

∞
{\displaystyle X_{\infty }} و
Y ∞
{\displaystyle Y_{\infty }} حل positiv definit لكل من معادلات ريكاتي الجبرية المبينة أدناه:

∞
A
+ A ∗
∞
+
∞
( B 1 B 1
∗
1 γ 2
− B 2 B 2
∗
)
∞
+ C 1 C 1
∗
{\displaystyle X_{\infty }A+A^{*}X_{\infty }+X_{\infty }(B_{1}B_{1}^{*}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}-B_{2}B_{2}^{*})X_{\infty }+C_{1}C_{1}^{*}} Y ∞ A ∗
+
A Y ∞
+ Y ∞
( C 1
∗ C 1
1 γ 2
− C 2
∗ C 2
) Y ∞
+ B 1 B 1
∗
{\displaystyle Y_{\infty }A^{*}+AY_{\infty }+Y_{\infty }(C_{1}^{*}C_{1}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}-C_{2}^{*}C_{2})Y_{\infty }+B_{1}B_{1}^{*}}
كما تخضع كل من

∞
{\displaystyle X_{\infty }} و
Y ∞
{\displaystyle Y_{\infty }} لشرط كونالقطر الطيفي spectral radius ل

∞
. Y ∞
{\displaystyle X_{\infty }.Y_{\infty }} أصغر من γ
\gamma أي: ρ
(
∞
. Y ∞
)
≤
γ
{\displaystyle \rho (X_{\infty }.Y_{\infty })\leq \gamma } إذا كانت
D 22
{\displaystyle D_{22}} ليست صفرا
إذا كانت المصفوفة
D 22
≠
0
{\displaystyle D_{22}\neq 0} فإنه يتم أولا تصميم متحكم K بالنسبة للنظام مع
D 22
=
0
{\displaystyle D_{22}=0} ثم في مرحلة ثانية يمكن تصميم متحكم بالنسبة ل
D 22
≠
0
{\displaystyle D_{22}\neq 0} عن طريق المعادلة التالية:
K ′ =
K
(
I
− D 22
K ) −
1
{\displaystyle K^{'}=K(I-D_{22}K)^{-1}}

الحل عن طريق لامعادلات مصفوفية خطية

تعتمد هذه الطريقة أساسا على ما يعرف بليما الحقيقية المنتهية وهي تقول الآتي: إذا كان لدينا نظام P
=
( A | B
−
−
−
C | D )
{\displaystyle P={\begin{pmatrix}A&|&B\\-&-&-\\C&|&D\end{pmatrix}}} فإن كلا الجملتين التاليتين مترادفتان: P مستقر و
|
| P | |
∞
<
γ
{\displaystyle ||P||_{\infty }<\gamma }
هناك حل X للامعادلة المصفوفية التالية:
(
A T
+
A
B C T B T
−
γ
I D T
C
D
−
γ
I )
<
0
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{T}X+XA&XB&C^{T}\\B^{T}X&-\gamma I&D^{T}\\C&D&-\gamma I\end{pmatrix}}<0}

شرح مبسط

طريقة التحكم إيتش إنفينتي




H

∞


c
o
n
t
r
o
l


{\displaystyle H_{\infty }control}

هي أحد طرائق بناء المتحكمات والتي يمكن تطبيقها على الأنظمة الخطية واللاخطية والأنظمة من نوع سيزو أي مدخل واحد مخرج واحد أو عدة مداخل ومخارج mimo.[1][2][3] عادة ما يتم استعمال هذه الطريقة لبناء متحكمات قوية وأو مقاومة للتشويش أو عدم الدقة. حيث تسمح هذه الطريقة بجعل المعيار اللانهائي




H

∞


N
o
r
m


{\displaystyle H_{\infty }Norm}

للنظام المراد التحكم به صغيرة. وهذا يجعل هذه الطريقة ممتازة للمتحكمات المراد منها تخميد التشويش أو المراد منها أن تكون قوية في مقابلة عدم دقة معاملات النظام robust control.