تم النشر اليوم 2024/05/20 | قائمة المطابقات المثلثية

علاقات أساسية

متطابقة فيثاغورس المثلثية
sin 2
⁡
θ
+ cos 2
⁡
θ
=
1 {displaystyle sin ^{2}theta +cos ^{2}theta =1,}
متطابقة النسبة tan
⁡
θ
= sin
⁡
θ
cos
⁡
θ {displaystyle tan theta ={frac {sin theta }{cos theta }}}
كل دالة مثلثية بدلالة مثيلاتها الخمس الأخرى.
الدالة (
sin
⁡
θ
)
{displaystyle (sin theta )} (
cos
⁡
θ
)
{displaystyle (cos theta )} (
tan
⁡
θ
)
{displaystyle (tan theta )} (
csc
⁡
θ
)
{displaystyle (csc theta )} (
sec
⁡
θ
)
{displaystyle (sec theta )} (
cot
⁡
θ
)
{displaystyle (cot theta )}
sin
⁡
θ
=
{displaystyle sin theta =} sin
⁡
θ

{displaystyle sin theta } ±
1
− cos 2
⁡
θ

{displaystyle pm {sqrt {1-cos ^{2}theta }} } ± tan
⁡
θ
1
+ tan 2
⁡
θ
{displaystyle pm {frac {tan theta }{sqrt {1+tan ^{2}theta }}} } 1 csc
⁡
θ
{displaystyle {frac {1}{csc theta }} } ±
sec 2
⁡
θ
−
1
sec
⁡
θ
{displaystyle pm {frac {sqrt {sec ^{2}theta -1}}{sec theta }} } ±
1 1
+ cot 2
⁡
θ
{displaystyle pm {frac {1}{sqrt {1+cot ^{2}theta }}} }
cos
⁡
θ
=
{displaystyle cos theta =} ±
1
− sin 2
⁡
θ

{displaystyle pm {sqrt {1-sin ^{2}theta }} } cos
⁡
θ

{displaystyle cos theta } ±
1 1
+ tan 2
⁡
θ
{displaystyle pm {frac {1}{sqrt {1+tan ^{2}theta }}} } ±
csc 2
⁡
θ
−
1
csc
⁡
θ
{displaystyle pm {frac {sqrt {csc ^{2}theta -1}}{csc theta }} } 1 sec
⁡
θ
{displaystyle {frac {1}{sec theta }} } ± cot
⁡
θ
1
+ cot 2
⁡
θ
{displaystyle pm {frac {cot theta }{sqrt {1+cot ^{2}theta }}} }
tan
⁡
θ
=
{displaystyle tan theta =} ± sin
⁡
θ
1
− sin 2
⁡
θ
{displaystyle pm {frac {sin theta }{sqrt {1-sin ^{2}theta }}} } ± 1
− cos 2
⁡
θ
cos
⁡
θ
{displaystyle pm {frac {sqrt {1-cos ^{2}theta }}{cos theta }} } tan
⁡
θ

{displaystyle tan theta } ±
1
csc 2
⁡
θ
−
1
{displaystyle pm {frac {1}{sqrt {csc ^{2}theta -1}}} } ± sec 2
⁡
θ
−
1

{displaystyle pm {sqrt {sec ^{2}theta -1}} } 1 cot
⁡
θ
{displaystyle {frac {1}{cot theta }} }
csc
⁡
θ
=
{displaystyle csc theta =} 1 sin
⁡
θ
{displaystyle {frac {1}{sin theta }} } ±
1 1
− cos 2
⁡
θ
{displaystyle pm {frac {1}{sqrt {1-cos ^{2}theta }}} } ± 1
+ tan 2
⁡
θ
tan
⁡
θ
{displaystyle pm {frac {sqrt {1+tan ^{2}theta }}{tan theta }} } csc
⁡
θ

{displaystyle csc theta } ± sec
⁡
θ sec 2
⁡
θ
−
1
{displaystyle pm {frac {sec theta }{sqrt {sec ^{2}theta -1}}} } ±
1
+ cot 2
⁡
θ

{displaystyle pm {sqrt {1+cot ^{2}theta }} }
sec
⁡
θ
=
{displaystyle sec theta =} ±
1 1
− sin 2
⁡
θ
{displaystyle pm {frac {1}{sqrt {1-sin ^{2}theta }}} } 1 cos
⁡
θ
{displaystyle {frac {1}{cos theta }} } ±
1
+ tan 2
⁡
θ

{displaystyle pm {sqrt {1+tan ^{2}theta }} } ± csc
⁡
θ csc 2
⁡
θ
−
1
{displaystyle pm {frac {csc theta }{sqrt {csc ^{2}theta -1}}} } sec
⁡
θ

{displaystyle sec theta } ± 1
+ cot 2
⁡
θ
cot
⁡
θ
{displaystyle pm {frac {sqrt {1+cot ^{2}theta }}{cot theta }} }
cot
⁡
θ
=
{displaystyle cot theta =} ± 1
− sin 2
⁡
θ
sin
⁡
θ
{displaystyle pm {frac {sqrt {1-sin ^{2}theta }}{sin theta }} } ± cos
⁡
θ
1
− cos 2
⁡
θ
{displaystyle pm {frac {cos theta }{sqrt {1-cos ^{2}theta }}} } 1 tan
⁡
θ
{displaystyle {frac {1}{tan theta }} } ± csc 2
⁡
θ
−
1

{displaystyle pm {sqrt {csc ^{2}theta -1}} } ±
1
sec 2
⁡
θ
−
1
{displaystyle pm {frac {1}{sqrt {sec ^{2}theta -1}}} } cot
⁡
θ

{displaystyle cot theta }

متطابقات مجموع وفرق الزوايا

الجيب sin
⁡
(
α
±
β
)
=
sin
⁡
α
cos
⁡
β
±
cos
⁡
α
sin
⁡
β {displaystyle sin(alpha pm beta )=sin alpha cos beta pm cos alpha sin beta ,}
جيب التمام cos
⁡
(
α
±
β
)
=
cos
⁡
α
cos
⁡
β
∓
sin
⁡
α
sin
⁡
β {displaystyle cos(alpha pm beta )=cos alpha cos beta mp sin alpha sin beta ,}
الظل tan
⁡
(
α
±
β
)
= tan
⁡
α
±
tan
⁡
β
1
∓
tan
⁡
α
tan
⁡
β {displaystyle tan(alpha pm beta )={frac {tan alpha pm tan beta }{1mp tan alpha tan beta }}}
قوس الجيب arcsin
⁡
α
±
arcsin
⁡
β
=
arcsin
⁡
(
α
1
− β 2
±
β
1
− α 2
)
{displaystyle arcsin alpha pm arcsin beta =arcsin(alpha {sqrt {1-beta ^{2}}}pm beta {sqrt {1-alpha ^{2}}})}
قوس جيب التمام arccos
⁡
α
±
arccos
⁡
β
=
arccos
⁡
(
α
β
∓
(
1
− α 2
)
(
1
− β 2
)
)
{displaystyle arccos alpha pm arccos beta =arccos(alpha beta mp {sqrt {(1-alpha ^{2})(1-beta ^{2})}})}
قوس الظل arctan
⁡
α
±
arctan
⁡
β
=
arctan
⁡ ( α
±
β
1
∓
α
β ) {displaystyle arctan alpha pm arctan beta =arctan left({frac {alpha pm beta }{1mp alpha beta }}right)} شكل المصفوفة [
cos
⁡
α
−
sin
⁡
α
sin
⁡
α
cos
⁡
α
]
[
cos
⁡
β
−
sin
⁡
β
sin
⁡
β
cos
⁡
β
] = [
cos
⁡
(
α
+
β
)
−
sin
⁡
(
α
+
β
)
sin
⁡
(
α
+
β
)
cos
⁡
(
α
+
β
)
] .
{displaystyle left[{begin{matrix}cos alpha &-sin alpha \sin alpha &cos alpha end{matrix}}right]left[{begin{matrix}cos beta &-sin beta \sin beta &cos beta end{matrix}}right]=left[{begin{matrix}cos(alpha +beta )&-sin(alpha +beta )\sin(alpha +beta )&cos(alpha +beta )end{matrix}}right].}
جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائية
sin
⁡ (
∑ i
=
1
∞ θ i ) = ∑
o
d
d
k
≥
1
(
−
1 ) (
k
−
1
) / 2 ∑ A
⊆
{ 1
,
2
,
3
,
… } |
A
| =
k (
∏ i
∈
A
sin
⁡ θ i ∏ i
∉
A
cos
⁡ θ i ) {displaystyle sin left(sum _{i=1}^{infty }theta _{i}right)=sum _{mathrm {odd} kgeq 1}(-1)^{(k-1)/2}sum _{begin{smallmatrix}Asubseteq {,1,2,3,dots ,}\left|Aright|=kend{smallmatrix}}left(prod _{iin A}sin theta _{i}prod _{inot in A}cos theta _{i}right)}
cos
⁡ (
∑ i
=
1
∞ θ i ) = ∑
e
v
e
n
k
≥
0

(
−
1 ) k / 2

∑ A
⊆
{ 1
,
2
,
3
,
… } |
A
| =
k (
∏ i
∈
A
sin
⁡ θ i ∏ i
∉
A
cos
⁡ θ i ) {displaystyle cos left(sum _{i=1}^{infty }theta _{i}right)=sum _{mathrm {even} kgeq 0}~(-1)^{k/2}~~sum _{begin{smallmatrix}Asubseteq {,1,2,3,dots ,}\left|Aright|=kend{smallmatrix}}left(prod _{iin A}sin theta _{i}prod _{inot in A}cos theta _{i}right)}
ظلال مجاميع حدود محدودة
tan
⁡
( θ 1
+
⋯
+ θ n
)
=
e 1
− e 3
+ e 5
−
⋯ e 0
− e 2
+ e 4
−
⋯ ,
{displaystyle tan(theta _{1}+cdots +theta _{n})={frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-cdots }},}
مثال: tan
⁡
( θ 1
+ θ 2
+ θ 3
) =
e 1
− e 3 e 0
− e 2 = ( x 1
+ x 2
+ x 3
)

−

( x 1 x 2 x 3
)
1

−

( x 1 x 2
+ x 1 x 3
+ x 2 x 3
) , tan
⁡
( θ 1
+ θ 2
+ θ 3
+ θ 4
) =
e 1
− e 3 e 0
− e 2
+ e 4
= ( x 1
+ x 2
+ x 3
+ x 4
)

−

( x 1 x 2 x 3
+ x 1 x 2 x 4
+ x 1 x 3 x 4
+ x 2 x 3 x 4
)
1

−

( x 1 x 2
+ x 1 x 3
+ x 1 x 4
+ x 2 x 3
+ x 2 x 4
+ x 3 x 4
)

+

( x 1 x 2 x 3 x 4
) ,
{displaystyle {begin{aligned}tan(theta _{1}+theta _{2}+theta _{3})&{}={frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}) – (x_{1}x_{2}x_{3})}{1 – (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\tan(theta _{1}+theta _{2}+theta _{3}+theta _{4})&{}={frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\&{}={frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}) – (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1 – (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}) + (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},end{aligned}}}
وهكذا قواطع مجاميع حدود محدودة
sec
⁡
( θ 1
+
⋯
+ θ n
)
= sec
⁡ θ 1
⋯
sec
⁡ θ n e 0
− e 2
+ e 4
−
⋯ {displaystyle sec(theta _{1}+cdots +theta _{n})={frac {sec theta _{1}cdots sec theta _{n}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-cdots }}}
مثلا, sec
⁡
(
α
+
β
+
γ
)
= sec
⁡
α
sec
⁡
β
sec
⁡
γ
1
−
tan
⁡
α
tan
⁡
β
−
tan
⁡
α
tan
⁡
γ
−
tan
⁡
β
tan
⁡
γ .
{displaystyle sec(alpha +beta +gamma )={frac {sec alpha sec beta sec gamma }{1-tan alpha tan beta -tan alpha tan gamma -tan beta tan gamma }}.}

ملاحظات

لتجنب الالتباس حول (sin−1(x ومثيلاتها هل هي مقاليب أم معاكيس، سيتم استخدام (csc(x ومثيلاتها للمقاليب و(arcsin(x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.
الدالة الدالة العكسية المقلوب معكوس المقلوب
جيب الزاوية sin قوس جيب الزاوية arcsin قاطع تمام الزاوية csc قوس قاطع تمام الزاوية arccsc
جيب تمام الزاوية cos قوس جيب تمام الزاوية arccos قاطع الزاوية sec قوس قاطع الزاوية arcsec
ظل الزاوية tan قوس ظل الزاوية arctan ظل تمام الزاوية cot قوس ظل تمام الزاوية arccot الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها الدرجات 30 45 60 90 120 180 270 360
الراديان π / 6
{displaystyle pi /6} π / 4
{displaystyle pi /4} π / 3
{displaystyle pi /3} π / 2
{displaystyle pi /2} 2
π / 3
{displaystyle 2pi /3} π
{displaystyle pi } 3
π / 2
{displaystyle 3pi /2} 2
π
{displaystyle 2pi }
غراد 33 ⅓ 50 66 ⅔ 100 133 ⅓ 200 300 400

تعاريف أسية

الدالة الدالة المعكوسة
sin
⁡
θ
=
e i
θ
− e −
i
θ
2
i
{displaystyle sin theta ={frac {e^{itheta }-e^{-itheta }}{2i}},} arcsin
⁡
x
=
−
i
ln
⁡ ( i
x
+
1
− x 2 )
{displaystyle arcsin x=-iln left(ix+{sqrt {1-x^{2}}}right),}
cos
⁡
θ
=
e i
θ
+ e −
i
θ 2 {displaystyle cos theta ={frac {e^{itheta }+e^{-itheta }}{2}},} arccos
⁡
x
=
−
i
ln
⁡ ( x
+ x 2
−
1 )
{displaystyle arccos x=-iln left(x+{sqrt {x^{2}-1}}right),}
tan
⁡
θ
=
e i
θ
− e −
i
θ
i
( e i
θ
+ e −
i
θ
)
{displaystyle tan theta ={frac {e^{itheta }-e^{-itheta }}{i(e^{itheta }+e^{-itheta })}},} arctan
⁡
x
=
i
2
ln
⁡ ( i
+
x
i
−
x )
{displaystyle arctan x={frac {i}{2}}ln left({frac {i+x}{i-x}}right),}
csc
⁡
θ
= 2
i e i
θ
− e −
i
θ
{displaystyle csc theta ={frac {2i}{e^{itheta }-e^{-itheta }}},} arccsc
⁡
x
=
−
i
ln
⁡ (
i
x +
1
− 1 x 2
)
{displaystyle operatorname {arccsc} x=-iln left({tfrac {i}{x}}+{sqrt {1-{tfrac {1}{x^{2}}}}}right),}
sec
⁡
θ
=
2
e i
θ
+ e −
i
θ
{displaystyle sec theta ={frac {2}{e^{itheta }+e^{-itheta }}},} arcsec
⁡
x
=
−
i
ln
⁡ (
1
x +
1
− i x 2
)
{displaystyle operatorname {arcsec} x=-iln left({tfrac {1}{x}}+{sqrt {1-{tfrac {i}{x^{2}}}}}right),}
cot
⁡
θ
= i
( e i
θ
+ e −
i
θ
) e i
θ
− e −
i
θ
{displaystyle cot theta ={frac {i(e^{itheta }+e^{-itheta })}{e^{itheta }-e^{-itheta }}},} arccot
⁡
x
=
i
2
ln
⁡ ( x
−
i
x
+
i )
{displaystyle operatorname {arccot} x={frac {i}{2}}ln left({frac {x-i}{x+i}}right),} cis θ
= e i
θ {displaystyle operatorname {cis} ,theta =e^{itheta },} arccis x
= ln
⁡
x i {displaystyle operatorname {arccis} ,x={frac {ln x}{i}},}

المتطابقات الخالية من المتغيرات

cos
⁡ 20 ∘
⋅
cos
⁡ 40 ∘
⋅
cos
⁡ 80 ∘
=
1
8
{displaystyle cos 20^{circ }cdot cos 40^{circ }cdot cos 80^{circ }={frac {1}{8}}} ∏ j
=
0
k
−
1
cos
⁡
( 2 j
x
)
= sin
⁡
( 2 k
x
) 2 k
sin
⁡
(
x
) .
{displaystyle prod _{j=0}^{k-1}cos(2^{j}x)={frac {sin(2^{k}x)}{2^{k}sin(x)}}.}
cos
⁡
π
7
cos
⁡ 2
π 7
cos
⁡ 3
π 7
=
1
8
,
{displaystyle cos {frac {pi }{7}}cos {frac {2pi }{7}}cos {frac {3pi }{7}}={frac {1}{8}},}
sin
⁡ 20 ∘
⋅
sin
⁡ 40 ∘
⋅
sin
⁡ 80 ∘
= 3 8
.
{displaystyle sin 20^{circ }cdot sin 40^{circ }cdot sin 80^{circ }={frac {sqrt {3}}{8}}.}
cos
⁡ 24 ∘
+
cos
⁡ 48 ∘
+
cos
⁡ 96 ∘
+
cos
⁡ 168 ∘
=
1
2
.
{displaystyle cos 24^{circ }+cos 48^{circ }+cos 96^{circ }+cos 168^{circ }={frac {1}{2}}.}
cos
⁡ ( 2
π 21
)
+ cos
⁡ ( 2
⋅ 2
π 21 )
+ cos
⁡ ( 4
⋅ 2
π 21 ) {displaystyle cos left({frac {2pi }{21}}right),+,cos left(2cdot {frac {2pi }{21}}right),+,cos left(4cdot {frac {2pi }{21}}right)} + cos
⁡ ( 5
⋅ 2
π 21 )
+ cos
⁡ ( 8
⋅ 2
π 21 )
+ cos
⁡ ( 10
⋅ 2
π 21 ) =
1
2
.
{displaystyle ,+,cos left(5cdot {frac {2pi }{21}}right),+,cos left(8cdot {frac {2pi }{21}}right),+,cos left(10cdot {frac {2pi }{21}}right)={frac {1}{2}}.}
حساب π
π
4
=
4
arctan
⁡
1
5
−
arctan
⁡
1
239
{displaystyle {frac {pi }{4}}=4arctan {frac {1}{5}}-arctan {frac {1}{239}}}
π
4
=
5
arctan
⁡
1
7
+
2
arctan
⁡
3
79
.
{displaystyle {frac {pi }{4}}=5arctan {frac {1}{7}}+2arctan {frac {3}{79}}.}
بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرة
sin
⁡
0
=
sin
⁡ 0 ∘
=
0 / 2
=
cos
⁡ 90 ∘
=
cos
⁡ (
π
2
)
sin
⁡ (
π
6
) =
sin
⁡ 30 ∘
=
1 / 2
=
cos
⁡ 60 ∘
=
cos
⁡ (
π
3
)
sin
⁡ (
π
4
) =
sin
⁡ 45 ∘
=
2 / 2
=
cos
⁡ 45 ∘
=
cos
⁡ (
π
4
)
sin
⁡ (
π
3
) =
sin
⁡ 60 ∘
=
3 / 2
=
cos
⁡ 30 ∘
=
cos
⁡ (
π
6
)
sin
⁡ (
π
2
) =
sin
⁡ 90 ∘
=
4 / 2
=
cos
⁡ 0 ∘
=
cos
⁡
0
{displaystyle {begin{matrix}sin 0&=&sin 0^{circ }&=&{sqrt {0}}/2&=&cos 90^{circ }&=&cos left({frac {pi }{2}}right)\\sin left({frac {pi }{6}}right)&=&sin 30^{circ }&=&{sqrt {1}}/2&=&cos 60^{circ }&=&cos left({frac {pi }{3}}right)\\sin left({frac {pi }{4}}right)&=&sin 45^{circ }&=&{sqrt {2}}/2&=&cos 45^{circ }&=&cos left({frac {pi }{4}}right)\\sin left({frac {pi }{3}}right)&=&sin 60^{circ }&=&{sqrt {3}}/2&=&cos 30^{circ }&=&cos left({frac {pi }{6}}right)\\sin left({frac {pi }{2}}right)&=&sin 90^{circ }&=&{sqrt {4}}/2&=&cos 0^{circ }&=&cos 0end{matrix}}}
قيم أخرى شيقة
sin
⁡
π
7
= 7 6
− 7 189 ∑ j
=
0
∞ (
3
j
+
1
)
! 189 j
j
! (
2
j
+
2
)
!
{displaystyle sin {frac {pi }{7}}={frac {sqrt {7}}{6}}-{frac {sqrt {7}}{189}}sum _{j=0}^{infty }{frac {(3j+1)!}{189^{j}j!,(2j+2)!}}!}
sin
⁡
π
18
=
1
6 ∑ j
=
0
∞ (
3
j
)
! 27 j
j
! (
2
j
+
1
)
!
{displaystyle sin {frac {pi }{18}}={frac {1}{6}}sum _{j=0}^{infty }{frac {(3j)!}{27^{j}j!,(2j+1)!}}!}
بـالنسبة الذهبية φ: cos
⁡ (
π
5
) =
cos
⁡ 36 ∘
= 5
+
1 4
=
φ / 2
{displaystyle cos left({frac {pi }{5}}right)=cos 36^{circ }={{sqrt {5}}+1 over 4}=varphi /2}
sin
⁡ (
π
10
) =
sin
⁡ 18 ∘
= 5
−
1 4
= φ
−
1 2
=
1 2
φ {displaystyle sin left({frac {pi }{10}}right)=sin 18^{circ }={{sqrt {5}}-1 over 4}={varphi -1 over 2}={1 over 2varphi }}

متفرقات

نواة ديراك
1
+
2
cos
⁡
(
x
)
+
2
cos
⁡
(
2
x
)
+
2
cos
⁡
(
3
x
)
+
⋯
+
2
cos
⁡
(
n
x
)
= sin
⁡ [
( n
+
1
2 ) x ] sin
⁡ (
x
2
)
.
{displaystyle 1+2cos(x)+2cos(2x)+2cos(3x)+cdots +2cos(nx)={frac {sin left[left(n+{frac {1}{2}}right)xrightrbrack }{sin left({frac {x}{2}}right)}}.}
تعويض بظل نصف الزاوية
إذا وضعنا t
=
tan
⁡ (
x
2
) {displaystyle t=tan left({frac {x}{2}}right)} : sin
⁡
(
x
)
= 2
t
1
+ t 2
and cos
⁡
(
x
)
= 1
− t 2
1
+ t 2
and
e i
x
= 1
+
i
t
1
−
i
t .
{displaystyle sin(x)={frac {2t}{1+t^{2}}}{text{ and }}cos(x)={frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}{text{ and }}e^{ix}={frac {1+it}{1-it}}.}

صيغ اختصار الأس

جيب جيب التمام أخرى sin 2
⁡
θ
= 1
−
cos
⁡
2
θ 2
{displaystyle sin ^{2}theta ={frac {1-cos 2theta }{2}}}
cos 2
⁡
θ
= 1
+
cos
⁡
2
θ 2
{displaystyle cos ^{2}theta ={frac {1+cos 2theta }{2}}}
sin 2
⁡
θ cos 2
⁡
θ
= 1
−
cos
⁡
4
θ 8
{displaystyle sin ^{2}theta cos ^{2}theta ={frac {1-cos 4theta }{8}}} sin 3
⁡
θ
= 3
sin
⁡
θ
−
sin
⁡
3
θ 4
{displaystyle sin ^{3}theta ={frac {3sin theta -sin 3theta }{4}}}
cos 3
⁡
θ
= 3
cos
⁡
θ
+
cos
⁡
3
θ 4
{displaystyle cos ^{3}theta ={frac {3cos theta +cos 3theta }{4}}}
sin 3
⁡
θ cos 3
⁡
θ
= 3
sin
⁡
2
θ
−
sin
⁡
6
θ 32
{displaystyle sin ^{3}theta cos ^{3}theta ={frac {3sin 2theta -sin 6theta }{32}}} sin 4
⁡
θ
= 3
−
4
cos
⁡
2
θ
+
cos
⁡
4
θ 8
{displaystyle sin ^{4}theta ={frac {3-4cos 2theta +cos 4theta }{8}}}
cos 4
⁡
θ
= 3
+
4
cos
⁡
2
θ
+
cos
⁡
4
θ 8
{displaystyle cos ^{4}theta ={frac {3+4cos 2theta +cos 4theta }{8}}}
sin 4
⁡
θ cos 4
⁡
θ
= 3
−
4
cos
⁡
4
θ
+
cos
⁡
8
θ 128
{displaystyle sin ^{4}theta cos ^{4}theta ={frac {3-4cos 4theta +cos 8theta }{128}}} sin 5
⁡
θ
= 10
sin
⁡
θ
−
5
sin
⁡
3
θ
+
sin
⁡
5
θ 16
{displaystyle sin ^{5}theta ={frac {10sin theta -5sin 3theta +sin 5theta }{16}}}
cos 5
⁡
θ
= 10
cos
⁡
θ
+
5
cos
⁡
3
θ
+
cos
⁡
5
θ 16
{displaystyle cos ^{5}theta ={frac {10cos theta +5cos 3theta +cos 5theta }{16}}}
sin 5
⁡
θ cos 5
⁡
θ
= 10
sin
⁡
2
θ
−
5
sin
⁡
6
θ
+
sin
⁡
10
θ 512
{displaystyle sin ^{5}theta cos ^{5}theta ={frac {10sin 2theta -5sin 6theta +sin 10theta }{512}}} جيب التمام جيب
إذا كان n فردي
cos n
⁡
θ
=
2 2 n ∑ k
=
0
n
−
1 2
(
n
k
) cos
⁡ (
(
n
−
2
k
)
θ
) {displaystyle cos ^{n}theta ={frac {2}{2^{n}}}sum _{k=0}^{frac {n-1}{2}}{binom {n}{k}}cos {((n-2k)theta )}}
sin n
⁡
θ
=
2 2 n ∑ k
=
0
n
−
1 2 (
−
1 ) ( n
−
1 2
−
k
) (
n
k
) sin
⁡ (
(
n
−
2
k
)
θ
) {displaystyle sin ^{n}theta ={frac {2}{2^{n}}}sum _{k=0}^{frac {n-1}{2}}(-1)^{({frac {n-1}{2}}-k)}{binom {n}{k}}sin {((n-2k)theta )}}
إذا كان n زوجي
cos n
⁡
θ
=
1 2 n (
n n
2 ) +
2 2 n ∑ k
=
0
n
2
−
1 (
n
k
) cos
⁡ (
(
n
−
2
k
)
θ
) {displaystyle cos ^{n}theta ={frac {1}{2^{n}}}{binom {n}{frac {n}{2}}}+{frac {2}{2^{n}}}sum _{k=0}^{{frac {n}{2}}-1}{binom {n}{k}}cos {((n-2k)theta )}}
sin n
⁡
θ
=
1 2 n (
n n
2 ) +
2 2 n ∑ k
=
0
n
2
−
1
(
−
1 ) (
n
2
−
k
) (
n
k
) cos
⁡ (
(
n
−
2
k
)
θ
) {displaystyle sin ^{n}theta ={frac {1}{2^{n}}}{binom {n}{frac {n}{2}}}+{frac {2}{2^{n}}}sum _{k=0}^{{frac {n}{2}}-1}(-1)^{({frac {n}{2}}-k)}{binom {n}{k}}cos {((n-2k)theta )}}

تحويلات كسرية خطية معينة

f
(
x
)
= (
cos
⁡
α
)
x
−
sin
⁡
α
(
sin
⁡
α
)
x
+
cos
⁡
α ,
{displaystyle f(x)={frac {(cos alpha )x-sin alpha }{(sin alpha )x+cos alpha }},}
وبالمثل: g
(
x
)
= (
cos
⁡
β
)
x
−
sin
⁡
β
(
sin
⁡
β
)
x
+
cos
⁡
β ,
{displaystyle g(x)={frac {(cos beta )x-sin beta }{(sin beta )x+cos beta }},} وعليه: f
(
g
(
x
)
)
=
g
(
f
(
x
)
)
= (
cos
⁡
(
α
+
β
)
)
x
−
sin
⁡
(
α
+
β
)
(
sin
⁡
(
α
+
β
)
)
x
+
cos
⁡
(
α
+
β
) .
{displaystyle f(g(x))=g(f(x))={frac {(cos(alpha +beta ))x-sin(alpha +beta )}{(sin(alpha +beta ))x+cos(alpha +beta )}}.}
f α
∘ f β
= f α
+
β
. {displaystyle f_{alpha }circ f_{beta }=f_{alpha +beta }.,}

علاقة بالأس المركب

e i
x
=
cos
⁡
(
x
)
+
i
sin
⁡
(
x
) {displaystyle e^{ix}=cos(x)+isin(x),} (صيغة أويلر), e −
i
x
=
cos
⁡
(
−
x
)
+
i
sin
⁡
(
−
x
)
=
cos
⁡
(
x
)
−
i
sin
⁡
(
x
) {displaystyle e^{-ix}=cos(-x)+isin(-x)=cos(x)-isin(x),} e i
π
=
−
1 {displaystyle e^{ipi }=-1,}
cos
⁡
(
x
)
=
e i
x
+ e −
i
x 2 {displaystyle cos(x)={frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}};}
sin
⁡
(
x
)
=
e i
x
− e −
i
x
2
i
{displaystyle sin(x)={frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}};}
tan
⁡
(
x
)
=
e i
x
− e −
i
x
i
(
e i
x
+ e −
i
x )
= sin
⁡
(
x
)
cos
⁡
(
x
) {displaystyle tan(x)={frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i({e^{ix}+e^{-ix}})}};={frac {sin(x)}{cos(x)}}}
حيث
i 2
=
−
1
{displaystyle i^{2}=-1} .

صيغ الزوايا المتعددة

Tn هو متعدد الحدود لشيبيشيف من الدرجة n cos
⁡
n
θ
= T n
(
cos
⁡
θ
) {displaystyle cos ntheta =T_{n}(cos theta ),}
صيغة دي موافر، i
{displaystyle i} هي وحدة تخيلية cos
⁡
n
θ
+
i
sin
⁡
n
θ
=
(
cos
⁡
(
θ
)
+
i
sin
⁡
(
θ
) ) n {displaystyle cos ntheta +isin ntheta =(cos(theta )+isin(theta ))^{n},} 1
+
2
cos
⁡
(
x
)
+
2
cos
⁡
(
2
x
)
+
2
cos
⁡
(
3
x
)
+
⋯
+
2
cos
⁡
(
n
x
)
= sin
⁡ (
( n
+
1
2 ) x ) sin
⁡
(
x / 2
) .
{displaystyle 1+2cos(x)+2cos(2x)+2cos(3x)+cdots +2cos(nx)={frac {sin left(left(n+{frac {1}{2}}right)xright)}{sin(x/2)}}.}
صيغ أضعاف وثلاثيات وأنصاف الزوايا
أنظر أيضا: صيغة فايرشتراس [الإنجليزية] صيغ ضعف زاوية
sin
⁡
(
2
θ
)
=
2
sin
⁡
θ
cos
⁡
θ
= 2
tan
⁡
θ
1
+ tan 2
⁡
θ {displaystyle sin(2theta )=2sin theta cos theta ={frac {2tan theta }{1+tan ^{2}theta }}}
cos
⁡
(
2
θ
)
= cos 2
⁡
θ
− sin 2
⁡
θ
=
2 cos 2
⁡
θ
−
1
=
1
−
2 sin 2
⁡
θ
= 1
− tan 2
⁡
θ
1
+ tan 2
⁡
θ {displaystyle cos(2theta )=cos ^{2}theta -sin ^{2}theta =2cos ^{2}theta -1=1-2sin ^{2}theta ={frac {1-tan ^{2}theta }{1+tan ^{2}theta }}}
tan
⁡
(
2
θ
)
= 2
tan
⁡
θ
1
− tan 2
⁡
θ {displaystyle tan(2theta )={frac {2tan theta }{1-tan ^{2}theta }}}
cot
⁡
(
2
θ
)
=
cot 2
⁡
θ
−
1
2
cot
⁡
θ {displaystyle cot(2theta )={frac {cot ^{2}theta -1}{2cot theta }}}
sec
⁡
(
2
θ
)
=
sec 2
⁡
θ
2
− sec 2
⁡
θ {displaystyle sec(2theta )={frac {sec ^{2}theta }{2-sec ^{2}theta }}}
csc
⁡
(
2
θ
)
= sec
⁡
θ
csc
⁡
θ 2
{displaystyle csc(2theta )={frac {sec theta csc theta }{2}}}
صيغ ثلاثة أضعاف زاوية
sin
⁡
(
3
θ
)
=
3
sin
⁡
θ
−
4 sin 3
⁡
θ
=
4
sin
⁡
θ
sin
⁡
(
π
3
−
θ
)
sin
⁡
(
π
3
+
θ
)
{displaystyle sin(3theta )=3sin theta -4sin ^{3}theta =4sin theta sin({frac {pi }{3}}-theta )sin({frac {pi }{3}}+theta )}
cos
⁡
(
3
θ
)
=
4 cos 3
⁡
θ
−
3
cos
⁡
θ
=
4
cos
⁡
θ
cos
⁡
(
π
3
−
θ
)
cos
⁡
(
π
3
+
θ
)
{displaystyle cos(3theta )=4cos ^{3}theta -3cos theta =4cos theta cos({frac {pi }{3}}-theta )cos({frac {pi }{3}}+theta )}
tan
⁡
(
3
θ
)
= 3
tan
⁡
θ
− tan 3
⁡
θ
1
−
3 tan 2
⁡
θ =
tan
⁡
θ
tan
⁡
(
π
3
−
θ
)
tan
⁡
(
π
3
+
θ
)
{displaystyle tan(3theta )={frac {3tan theta -tan ^{3}theta }{1-3tan ^{2}theta }}=tan theta tan({frac {pi }{3}}-theta )tan({frac {pi }{3}}+theta )}
cot
⁡
(
3
θ
)
= 3
cot
⁡
θ
− cot 3
⁡
θ
1
−
3 cot 2
⁡
θ {displaystyle cot(3theta )={frac {3cot theta -cot ^{3}theta }{1-3cot ^{2}theta }}}
sec
⁡
(
3
θ
)
=
sec 3
⁡
θ
4
−
3 sec 2
⁡
θ {displaystyle sec(3theta )={frac {sec ^{3}theta }{4-3sec ^{2}theta }}}
csc
⁡
(
3
θ
)
=
csc 3
⁡
θ
3 csc 2
⁡
θ
−
4 {displaystyle csc(3theta )={frac {csc ^{3}theta }{3csc ^{2}theta -4}}}
صيغ نصف زاوية sin
⁡
θ
2
=
sgn
⁡ ( 2
π
−
θ
+
4
π ⌊
θ 4
π ⌋
) 1
−
cos
⁡
θ 2 {displaystyle {begin{aligned}&sin {frac {theta }{2}}=operatorname {sgn} left(2pi -theta +4pi leftlfloor {frac {theta }{4pi }}rightrfloor right){sqrt {frac {1-cos theta }{2}}}\end{aligned}}}
حيث sgn
⁡
x
=
±
1
{displaystyle operatorname {sgn} x=pm 1} و ⌊
f
(
x
)
⌋
{displaystyle lfloor f(x)rfloor } هي دالة الجزء الصحيح.
sin 2
⁡
θ
2
= 1
−
cos
⁡
θ 2
{displaystyle sin ^{2}{frac {theta }{2}}={frac {1-cos theta }{2}}}
cos
⁡
θ
2
=
sgn
⁡ ( π
+
θ
+
4
π ⌊ π
−
θ
4
π ⌋
) 1
+
cos
⁡
θ 2 {displaystyle cos {frac {theta }{2}}=operatorname {sgn} left(pi +theta +4pi leftlfloor {frac {pi -theta }{4pi }}rightrfloor right){sqrt {frac {1+cos theta }{2}}}} cos 2
⁡
θ
2
= 1
+
cos
⁡
θ 2
{displaystyle cos ^{2}{frac {theta }{2}}={frac {1+cos theta }{2}}}
tan
⁡
θ
2 =
csc
⁡
θ
−
cot
⁡
θ
=
± 1
−
cos
⁡
θ
1
+
cos
⁡
θ
= sin
⁡
θ
1
+
cos
⁡
θ = 1
−
cos
⁡
θ
sin
⁡
θ = −
1
±
1
+ tan 2
⁡
θ
tan
⁡
θ = tan
⁡
θ
1
+
sec
⁡ θ
{displaystyle {begin{aligned}tan {frac {theta }{2}}&=csc theta -cot theta =pm ,{sqrt {frac {1-cos theta }{1+cos theta }}}={frac {sin theta }{1+cos theta }}\&={frac {1-cos theta }{sin theta }}={frac {-1pm {sqrt {1+tan ^{2}theta }}}{tan theta }}={frac {tan theta }{1+sec {theta }}}end{aligned}}}
cot
⁡
θ
2
=
csc
⁡
θ
+
cot
⁡
θ
=
± 1
+
cos
⁡
θ
1
−
cos
⁡
θ
= sin
⁡
θ
1
−
cos
⁡
θ = 1
+
cos
⁡
θ
sin
⁡
θ {displaystyle cot {frac {theta }{2}}=csc theta +cot theta =pm ,{sqrt {frac {1+cos theta }{1-cos theta }}}={frac {sin theta }{1-cos theta }}={frac {1+cos theta }{sin theta }}}
أيضا: tan
⁡ η
+
θ 2
= sin
⁡
η
+
sin
⁡
θ
cos
⁡
η
+
cos
⁡
θ {displaystyle tan {frac {eta +theta }{2}}={frac {sin eta +sin theta }{cos eta +cos theta }}} tan
⁡ ( θ
2
+
π
4 ) =
sec
⁡
θ
+
tan
⁡
θ
{displaystyle tan left({frac {theta }{2}}+{frac {pi }{4}}right)=sec theta +tan theta }
1
−
sin
⁡
θ
1
+
sin
⁡
θ
=
| 1
−
tan
⁡
θ
2 |
| 1
+
tan
⁡
θ
2 |
{displaystyle {sqrt {frac {1-sin theta }{1+sin theta }}}={frac {|1-tan {frac {theta }{2}}|}{|1+tan {frac {theta }{2}}|}}}
جيوب، جيوب التمام، وظلال زوايا متعددة
sin
⁡
n
θ
= ∑ k
=
0
n (
n
k
)
cos k
⁡
θ
sin n
−
k
⁡
θ sin
⁡ ( 1
2
(
n
−
k
)
π ) {displaystyle sin ntheta =sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}cos ^{k}theta ,sin ^{n-k}theta ,sin left({frac {1}{2}}(n-k)pi right)}
cos
⁡
n
θ
= ∑ k
=
0
n (
n
k
)
cos k
⁡
θ
sin n
−
k
⁡
θ cos
⁡ ( 1
2
(
n
−
k
)
π ) {displaystyle cos ntheta =sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}cos ^{k}theta ,sin ^{n-k}theta ,cos left({frac {1}{2}}(n-k)pi right)}
tan (
n + 1
)
θ
= tan
⁡
n
θ
+
tan
⁡
θ
1
−
tan
⁡
n
θ tan
⁡
θ .
{displaystyle tan ,(n{+}1)theta ={frac {tan ntheta +tan theta }{1-tan ntheta ,tan theta }}.}
cot (
n + 1
)
θ
= cot
⁡
n
θ cot
⁡
θ
−
1
cot
⁡
n
θ
+
cot
⁡
θ .
{displaystyle cot ,(n{+}1)theta ={frac {cot ntheta ,cot theta -1}{cot ntheta +cot theta }}.}
ظل المتوسط
tan
⁡ ( α
+
β 2
) = sin
⁡
α
+
sin
⁡
β
cos
⁡
α
+
cos
⁡
β =
−
cos
⁡
α
−
cos
⁡
β
sin
⁡
α
−
sin
⁡
β {displaystyle tan left({frac {alpha +beta }{2}}right)={frac {sin alpha +sin beta }{cos alpha +cos beta }}=-,{frac {cos alpha -cos beta }{sin alpha -sin beta }}}
جداء Viète اللانهائي
cos
⁡ (
θ
2
) ⋅
cos
⁡ (
θ
4
) ⋅
cos
⁡ (
θ
8
) ⋯
= ∏ n
=
1
∞
cos
⁡ (
θ 2 n
) = sin
⁡
(
θ
) θ
=
sinc θ
.
{displaystyle cos left({theta over 2}right)cdot cos left({theta over 4}right)cdot cos left({theta over 8}right)cdots =prod _{n=1}^{infty }cos left({theta over 2^{n}}right)={sin(theta ) over theta }=operatorname {sinc} ,theta .}
حيث تشير sinc إلى دالة الجيب الجوهري
وهي تكافئ
sinc
⁡
(
x
)
= sin
⁡
(
x
) x
{displaystyle operatorname {sinc} (x)={frac {sin(x)}{x}}}

التطابق، الإزاحة، والدورية

من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية.. التطابق
تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي. انعكاس في θ
=
0
{displaystyle theta =0} انعكاس في θ
=
π / 2
{displaystyle theta =pi /2} (متطابقة مساعدة) انعكاس في θ
=
π
{displaystyle theta =pi }
sin
⁡
(
−
θ
) =
−
sin
⁡
θ
cos
⁡
(
−
θ
) =
+
cos
⁡
θ
tan
⁡
(
−
θ
) =
−
tan
⁡
θ
csc
⁡
(
−
θ
) =
−
csc
⁡
θ
sec
⁡
(
−
θ
) =
+
sec
⁡
θ
cot
⁡
(
−
θ
) =
−
cot
⁡
θ
{displaystyle {begin{aligned}sin(-theta )&=-sin theta \cos(-theta )&=+cos theta \tan(-theta )&=-tan theta \csc(-theta )&=-csc theta \sec(-theta )&=+sec theta \cot(-theta )&=-cot theta end{aligned}}} sin
⁡
( π
2 −
θ
) =
+
cos
⁡
θ
cos
⁡
( π
2 −
θ
) =
+
sin
⁡
θ
tan
⁡
( π
2 −
θ
) =
+
cot
⁡
θ
csc
⁡
( π
2 −
θ
) =
+
sec
⁡
θ
sec
⁡
( π
2 −
θ
) =
+
csc
⁡
θ
cot
⁡
( π
2 −
θ
) =
+
tan
⁡
θ
{displaystyle {begin{aligned}sin({tfrac {pi }{2}}-theta )&=+cos theta \cos({tfrac {pi }{2}}-theta )&=+sin theta \tan({tfrac {pi }{2}}-theta )&=+cot theta \csc({tfrac {pi }{2}}-theta )&=+sec theta \sec({tfrac {pi }{2}}-theta )&=+csc theta \cot({tfrac {pi }{2}}-theta )&=+tan theta end{aligned}}} sin
⁡
(
π
−
θ
) =
+
sin
⁡
θ
cos
⁡
(
π
−
θ
) =
−
cos
⁡
θ
tan
⁡
(
π
−
θ
) =
−
tan
⁡
θ
csc
⁡
(
π
−
θ
) =
+
csc
⁡
θ
sec
⁡
(
π
−
θ
) =
−
sec
⁡
θ
cot
⁡
(
π
−
θ
) =
−
cot
⁡
θ
{displaystyle {begin{aligned}sin(pi -theta )&=+sin theta \cos(pi -theta )&=-cos theta \tan(pi -theta )&=-tan theta \csc(pi -theta )&=+csc theta \sec(pi -theta )&=-sec theta \cot(pi -theta )&=-cot theta \end{aligned}}} الإزاحة والدورية
θ مزاحة بمقدار π/2 θ مزاحة بمقدار π θ مزاحة بمقدار 2π
sin
⁡
(
θ
+ π
2 ) =
+
cos
⁡
θ
cos
⁡
(
θ
+ π
2 ) =
−
sin
⁡
θ
tan
⁡
(
θ
+ π
2 ) =
−
cot
⁡
θ
csc
⁡
(
θ
+ π
2 ) =
+
sec
⁡
θ
sec
⁡
(
θ
+ π
2 ) =
−
csc
⁡
θ
cot
⁡
(
θ
+ π
2 ) =
−
tan
⁡
θ
{displaystyle {begin{aligned}sin(theta +{tfrac {pi }{2}})&=+cos theta \cos(theta +{tfrac {pi }{2}})&=-sin theta \tan(theta +{tfrac {pi }{2}})&=-cot theta \csc(theta +{tfrac {pi }{2}})&=+sec theta \sec(theta +{tfrac {pi }{2}})&=-csc theta \cot(theta +{tfrac {pi }{2}})&=-tan theta end{aligned}}} sin
⁡
(
θ
+
π
) =
−
sin
⁡
θ
cos
⁡
(
θ
+
π
) =
−
cos
⁡
θ
tan
⁡
(
θ
+
π
) =
+
tan
⁡
θ
csc
⁡
(
θ
+
π
) =
−
csc
⁡
θ
sec
⁡
(
θ
+
π
) =
−
sec
⁡
θ
cot
⁡
(
θ
+
π
) =
+
cot
⁡
θ
{displaystyle {begin{aligned}sin(theta +pi )&=-sin theta \cos(theta +pi )&=-cos theta \tan(theta +pi )&=+tan theta \csc(theta +pi )&=-csc theta \sec(theta +pi )&=-sec theta \cot(theta +pi )&=+cot theta \end{aligned}}} sin
⁡
(
θ
+
2
π
) =
+
sin
⁡
θ
cos
⁡
(
θ
+
2
π
) =
+
cos
⁡
θ
tan
⁡
(
θ
+
2
π
) =
+
tan
⁡
θ
csc
⁡
(
θ
+
2
π
) =
+
csc
⁡
θ
sec
⁡
(
θ
+
2
π
) =
+
sec
⁡
θ
cot
⁡
(
θ
+
2
π
) =
+
cot
⁡
θ
{displaystyle {begin{aligned}sin(theta +2pi )&=+sin theta \cos(theta +2pi )&=+cos theta \tan(theta +2pi )&=+tan theta \csc(theta +2pi )&=+csc theta \sec(theta +2pi )&=+sec theta \cot(theta +2pi )&=+cot theta end{aligned}}}

مركبات خطية

a
sin
⁡
x
+
b
cos
⁡
x
= a 2
+ b 2
⋅
sin
⁡
(
x
+
φ
) {displaystyle asin x+bcos x={sqrt {a^{2}+b^{2}}}cdot sin(x+varphi ),}
حيث: φ
=
{ arcsin
⁡ (
b
a 2
+ b 2 )
if a
≥
0
,
π
−
arcsin
⁡ (
b
a 2
+ b 2 )
if a
<
0
,
{displaystyle varphi ={begin{cases}arcsin left({frac {b}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}right)&{text{if }}ageq 0,\pi -arcsin left({frac {b}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}right)&{text{if }}a<0,end{cases}}} أو: φ
=
arctan
⁡ (
b
a
) +
{ 0 if a
≥
0
,
π if a
<
0.
{displaystyle varphi =arctan left({frac {b}{a}}right)+{begin{cases}0&{text{if }}ageq 0,\pi &{text{if }}a<0.end{cases}}} a
sin
⁡
x
+
b
sin
⁡
(
x
+
α
)
=
c
sin
⁡
(
x
+
β
) {displaystyle asin x+bsin(x+alpha )=csin(x+beta ),}
حيث: c
= a 2
+ b 2
+
2
a
b
cos
⁡
α
, {displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}+2abcos alpha }},,} و: β
=
arctan
⁡ ( b
sin
⁡
α
a
+
b
cos
⁡
α ) +
{ 0 if a
+
b
cos
⁡
α
≥
0
,
π if a
+
b
cos
⁡
α
<
0.
{displaystyle beta =arctan left({frac {bsin alpha }{a+bcos alpha }}right)+{begin{cases}0&{text{if }}a+bcos alpha geq 0,\pi &{text{if }}a+bcos alpha <0.end{cases}}}

متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء والعكس

من الجداء إلى المجموع
cos
⁡
θ
cos
⁡
φ
= cos
⁡
(
θ
−
φ
)
+
cos
⁡
(
θ
+
φ
) 2
{displaystyle cos theta cos varphi ={cos(theta -varphi )+cos(theta +varphi ) over 2}}
sin
⁡
θ
sin
⁡
φ
= cos
⁡
(
θ
−
φ
)
−
cos
⁡
(
θ
+
φ
) 2
{displaystyle sin theta sin varphi ={cos(theta -varphi )-cos(theta +varphi ) over 2}}
sin
⁡
θ
cos
⁡
φ
= sin
⁡
(
θ
+
φ
)
+
sin
⁡
(
θ
−
φ
) 2
{displaystyle sin theta cos varphi ={sin(theta +varphi )+sin(theta -varphi ) over 2}}
cos
⁡
θ
sin
⁡
φ
= sin
⁡
(
θ
+
φ
)
−
sin
⁡
(
θ
−
φ
) 2
{displaystyle cos theta sin varphi ={sin(theta +varphi )-sin(theta -varphi ) over 2}} من المجموع/الفرق إلى الجداء
sin
⁡
θ
±
sin
⁡
φ
=
2
sin
⁡ ( θ
±
φ 2
) cos
⁡ ( θ
∓
φ 2
) {displaystyle sin theta pm sin varphi =2sin left({frac {theta pm varphi }{2}}right)cos left({frac {theta mp varphi }{2}}right)}
cos
⁡
θ
+
cos
⁡
φ
=
2
cos
⁡ ( θ
+
φ 2
) cos
⁡ ( θ
−
φ 2
) {displaystyle cos theta +cos varphi =2cos left({frac {theta +varphi }{2}}right)cos left({frac {theta -varphi }{2}}right)}
cos
⁡
θ
−
cos
⁡
φ
=
−
2
sin
⁡ ( θ
+
φ 2
) sin
⁡ ( θ
−
φ 2
) {displaystyle cos theta -cos varphi =-2sin left({theta +varphi over 2}right)sin left({theta -varphi over 2}right)}
متطابقات أخرى ذات صلة
إذا كانت x
+
y
+
z
=
π
{displaystyle x+y+z=pi } تساوي نصف دائرة، فإن:
tan
⁡
(
x
)
+
tan
⁡
(
y
)
+
tan
⁡
(
z
)
=
tan
⁡
(
x
)
tan
⁡
(
y
)
tan
⁡
(
z
)
{displaystyle tan(x)+tan(y)+tan(z)=tan(x)tan(y)tan(z)}
و sin
⁡
(
2
x
)
+
sin
⁡
(
2
y
)
+
sin
⁡
(
2
z
)
=
4
sin
⁡
(
x
)
sin
⁡
(
y
)
sin
⁡
(
z
)
{displaystyle sin(2x)+sin(2y)+sin(2z)=4sin(x)sin(y)sin(z)}
مبرهنة بطليموس

المقالة الرئيسة: مبرهنة بطليموس
إذا كانت w
+
x
+
y
+
z
=
π
{displaystyle w+x+y+z=pi } تساوي نصف دائرة، فإن:
sin
⁡
(
w
+
x
)
sin
⁡
(
x
+
y
) =
sin
⁡
(
x
+
y
)
sin
⁡
(
y
+
z
)
=
sin
⁡
(
y
+
z
)
sin
⁡
(
z
+
w
)
=
sin
⁡
(
z
+
w
)
sin
⁡
(
w
+
x
)
=
sin
⁡
(
w
)
sin
⁡
(
y
)
+
sin
⁡
(
x
)
sin
⁡
(
z
)
.
{displaystyle {begin{aligned}sin(w+x)sin(x+y)&=sin(x+y)sin(y+z)\&{}=sin(y+z)sin(z+w)\&{}=sin(z+w)sin(w+x)=sin(w)sin(y)+sin(x)sin(z).end{aligned}}}

الدوال المثلثية العكسية

arcsin
⁡
(
x
)
+
arccos
⁡
(
x
)
=
π / 2 {displaystyle arcsin(x)+arccos(x)=pi /2;}
arctan
⁡
(
x
)
+
arccot
⁡
(
x
)
=
π / 2. {displaystyle arctan(x)+operatorname {arccot}(x)=pi /2.;}
arctan
⁡
(
x
)
+
arctan
⁡
(
1 / x
)
= {
π / 2
,
if
x
>
0
−
π / 2
,
if
x
0\-pi /2,&{mbox{if }}x<0end{matrix}}right.}
مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتها
sin
⁡
[
arccos
⁡
(
x
)
]
=
1
− x 2 {displaystyle sin[arccos(x)]={sqrt {1-x^{2}}},} tan
⁡
[
arcsin
⁡
(
x
)
]
=
x 1
− x 2 {displaystyle tan[arcsin(x)]={frac {x}{sqrt {1-x^{2}}}}}
sin
⁡
[
arctan
⁡
(
x
)
]
=
x 1
+ x 2 {displaystyle sin[arctan(x)]={frac {x}{sqrt {1+x^{2}}}}} tan
⁡
[
arccos
⁡
(
x
)
]
= 1
− x 2 x
{displaystyle tan[arccos(x)]={frac {sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
cos
⁡
[
arctan
⁡
(
x
)
]
=
1 1
+ x 2 {displaystyle cos[arctan(x)]={frac {1}{sqrt {1+x^{2}}}}} cot
⁡
[
arcsin
⁡
(
x
)
]
= 1
− x 2 x
{displaystyle cot[arcsin(x)]={frac {sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
cos
⁡
[
arcsin
⁡
(
x
)
]
=
1
− x 2 {displaystyle cos[arcsin(x)]={sqrt {1-x^{2}}},} cot
⁡
[
arccos
⁡
(
x
)
]
=
x 1
− x 2 {displaystyle cot[arccos(x)]={frac {x}{sqrt {1-x^{2}}}}}

صيغ الجداء اللانهائي

sin
⁡
x
=
x ∏ n
=
1
∞ ( 1
− x 2
π 2 n 2
) {displaystyle sin x=xprod _{n=1}^{infty }left(1-{frac {x^{2}}{pi ^{2}n^{2}}}right)}
sinh
⁡
x
=
x ∏ n
=
1
∞ ( 1
+ x 2
π 2 n 2
) {displaystyle sinh x=xprod _{n=1}^{infty }left(1+{frac {x^{2}}{pi ^{2}n^{2}}}right)} sin
⁡
x x
= ∏ n
=
1
∞
cos
⁡ (
x 2 n
) {displaystyle {frac {sin x}{x}}=prod _{n=1}^{infty }cos left({frac {x}{2^{n}}}right)} cos
⁡
x
= ∏ n
=
1
∞ ( 1
− x 2
π 2
(
n
−
1
2 ) 2
) {displaystyle cos x=prod _{n=1}^{infty }left(1-{frac {x^{2}}{pi ^{2}(n-{frac {1}{2}})^{2}}}right)}
cosh
⁡
x
= ∏ n
=
1
∞ ( 1
+ x 2
π 2
(
n
−
1
2 ) 2
) {displaystyle cosh x=prod _{n=1}^{infty }left(1+{frac {x^{2}}{pi ^{2}(n-{frac {1}{2}})^{2}}}right)}

التفاضل والتكامل

في حساب التفاضل والتكامل، تتطلب العلاقات المذكورة أدناه قياس الزوايا بالتقدير الدائري (راديان)؛ ستصبح العلاقات أكثر تعقيدًا إذا تم قياس الزوايا
بوحدة أخرى مثل الدرجات. إذا كانت الدوال المثلثية معرفة بدلالة الهندسة، إلى جانب تعريفات طول القوس والمساحة ، يمكن إيجاد مشتقاتها من خلال التحقق من نهايتين. الأولى هي:
lim x
→
0 sin
⁡
x x
=
1
,
{displaystyle lim _{xrightarrow 0}{frac {sin x}{x}}=1,}
محققة باستخدام دائرة الوحدة ومبرهنة الساندويتش. النهاية الثانية هي:
lim x
→
0 1
−
cos
⁡
x x
=
0
{displaystyle lim _{xrightarrow 0}{frac {1-cos x}{x}}=0}
محققة باستخدام هذه المتطابقة tan x/2 = 1 − cos x/sin x. بعد تحديد هتين النهايتين، يمكن للمرء استخدام تعريف النهاية للمشتقات ومبرهنات الجمع لإظهار أن (sin x)′ = cos x و (cos x)′ = −sin x. إذا كانت دالتي الجيب وجيب التمام معرفة بمتسلسلة تايلور الخاصة بهم، فيمكن إيجاد المشتقات عن طريق اشتقاق متسلسلة القوى حدًا بحد. d d
x sin
⁡
x
=
cos
⁡
x
{displaystyle {frac {d}{dx}}sin x=cos x}
يمكن اشتقاق باقي الدوال المثلثية باستخدام المتطابقات أعلاه وقواعد التفاضل: d d
x sin
⁡
x =
cos
⁡
x
,
d d
x arcsin
⁡
x =
1
1
− x 2 d d
x cos
⁡
x =
−
sin
⁡
x
,
d d
x arccos
⁡
x = −
1 1
− x 2 d d
x tan
⁡
x = sec 2
⁡
x
,
d d
x arctan
⁡
x =
1 1
+ x 2
d d
x cot
⁡
x =
− csc 2
⁡
x
,
d d
x arccot
⁡
x = −
1
1
+ x 2
d d
x sec
⁡
x =
tan
⁡
x
sec
⁡
x
,
d d
x arcsec
⁡
x =
1
| x |
x 2
−
1
d d
x csc
⁡
x =
−
csc
⁡
x
cot
⁡
x
,
d d
x arccsc
⁡
x = −
1 | x |
x 2
−
1
{displaystyle {begin{aligned}{d over dx}sin x&=cos x,&{d over dx}arcsin x&={1 over {sqrt {1-x^{2}}}}\\{d over dx}cos x&=-sin x,&{d over dx}arccos x&={-1 over {sqrt {1-x^{2}}}}\\{d over dx}tan x&=sec ^{2}x,&{d over dx}arctan x&={1 over 1+x^{2}}\\{d over dx}cot x&=-csc ^{2}x,&{d over dx}operatorname {arccot} x&={-1 over 1+x^{2}}\\{d over dx}sec x&=tan xsec x,&{d over dx}operatorname {arcsec} x&={1 over |x|{sqrt {x^{2}-1}}}\\{d over dx}csc x&=-csc xcot x,&{d over dx}operatorname {arccsc} x&={-1 over |x|{sqrt {x^{2}-1}}}end{aligned}} }
يمكن إيجاد المتطابقات التكاملية في قائمة تكاملات الدوال المثلثية. بعض الأشكال العامة مسرودة أدناه: ∫ d
u a 2
− u 2 = sin −
1
⁡ (
u
a
) +
C
{displaystyle int {frac {du}{sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=sin ^{-1}left({frac {u}{a}}right)+C}
∫ d
u a 2
+ u 2 =
1
a tan −
1
⁡ (
u
a
) +
C
{displaystyle int {frac {du}{a^{2}+u^{2}}}={frac {1}{a}}tan ^{-1}left({frac {u}{a}}right)+C}
∫ d
u
u u 2
− a 2 =
1
a sec −
1
⁡ |
u
a
| +
C
{displaystyle int {frac {du}{u{sqrt {u^{2}-a^{2}}}}}={frac {1}{a}}sec ^{-1}left|{frac {u}{a}}right|+C}
تضمينات

مجاميع أخرى للدوال المثلثية

sin
⁡ φ +
sin
⁡ (
φ
+
α
) +
sin
⁡ (
φ
+
2
α
) +
⋯
+
sin
⁡ (
φ
+
n
α
) = sin
⁡
( (
n
+
1
)
α 2
)
⋅
sin
⁡ (
φ
+ n
α 2
) sin
⁡
α
2 .
{displaystyle sin {varphi }+sin {(varphi +alpha )}+sin {(varphi +2alpha )}+cdots +sin {(varphi +nalpha )}={frac {sin {left({frac {(n+1)alpha }{2}}right)}cdot sin {(varphi +{frac {nalpha }{2}})}}{sin {frac {alpha }{2}}}}.}
cos
⁡ φ +
cos
⁡ (
φ
+
α
) +
cos
⁡ (
φ
+
2
α
) +
⋯
+
cos
⁡ (
φ
+
n
α
) = sin
⁡
( (
n
+
1
)
α 2
)
⋅
cos
⁡ (
φ
+ n
α 2
) sin
⁡
α
2 .
{displaystyle cos {varphi }+cos {(varphi +alpha )}+cos {(varphi +2alpha )}+cdots +cos {(varphi +nalpha )}={frac {sin {left({frac {(n+1)alpha }{2}}right)}cdot cos {(varphi +{frac {nalpha }{2}})}}{sin {frac {alpha }{2}}}}.}
a
cos
⁡
(
x
)
+
b
sin
⁡
(
x
)
= a 2
+ b 2
cos
⁡
(
x
−
atan2 (
b
,
a
)
) {displaystyle acos(x)+bsin(x)={sqrt {a^{2}+b^{2}}}cos(x-operatorname {atan2} ,(b,a));}
tan
⁡
(
x
)
+
sec
⁡
(
x
)
=
tan
⁡ ( x
2
+
π
4 ) .
{displaystyle tan(x)+sec(x)=tan left({x over 2}+{pi over 4}right).}
cot
⁡
(
x
)
cot
⁡
(
y
)
+
cot
⁡
(
y
)
cot
⁡
(
z
)
+
cot
⁡
(
z
)
cot
⁡
(
x
)
=
1. {displaystyle cot(x)cot(y)+cot(y)cot(z)+cot(z)cot(x)=1.,}

شرح مبسط

في الرياضيات، المتطابقات المثلثية أو المطابقات المثلثية أو المعادلات المثلثية هي مجموعة من المساواة تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دورا كبيرا في حل المعادلات الرياضية خاصة في معكوس الدالة (كصيغة كاردان) والتكامل (كتكامل مربع جيب تمام الزاوية).