تم النشر اليوم 2024/05/20 | نظرية المجموعات

قوانين اساسية من جبر المجموعات

تجتمع عمليتا الاتحاد والتقاطع على المجموعات مع بعض لتؤلف ما يعرف بجبر المجموعات. بفرض ان A
A و B
B و C
{displaystyle C} ثلاث مجموعات ما والمجموعة M
M هي المجموعة الشاملة نسبيا نجد ما يلي: قانونا اللانمو: A
∩
A
=
A
{displaystyle Acap A=A}
A
∪
A
=
A
{displaystyle Acup A=A}
القانونان التجميعيان: (
A
∪
B
)
∪
C
=
A
∪
(
B
∪
C
)
{displaystyle (Acup B)cup C=Acup (Bcup C)}
(
A
∩
B
)
∩
C
=
A
∩
(
B
∩
C
)
{displaystyle (Acap B)cap C=Acap (Bcap C)}
القانونان التبديليان: A
∪
B
=
B
∪
A
{displaystyle Acup B=Bcup A}
A
∩
B
=
B
∩
A
{displaystyle Acap B=Bcap A}
القانونان التوزيعيان: A
∪
(
B
∩
C
)
=
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
{displaystyle Acup (Bcap C)=(Acup B)cap (Acup C)}
A
∩
(
B
∪
C
)
=
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
)
{displaystyle Acap (Bcup C)=(Acap B)cup (Acap C)}
قوانين المحايد والماص: A
∪
∅
=
A
{displaystyle Acup varnothing =A}
A
∩
M
=
A
{displaystyle Acap M=A}
A
∩
∅
=
∅
{displaystyle Acap varnothing =varnothing }
A
∪
M
=
M
{displaystyle Acup M=M}
قوانين الإتمام: A
∪ A C
=
M
{displaystyle Acup A^{C}=M}
A
∩ A C
=
∅
{displaystyle Acap A^{C}=varnothing } M C
=
∅
{displaystyle M^{C}=varnothing } ∅ C
=
M
{displaystyle varnothing ^{C}=M}
قانون الارتداد: ( A C
)
C
=
A
{displaystyle {(A^{C})}^{C}=A}
قانونا دومورغان: (
A
∪
B ) C
= A C
∩ B C
{displaystyle (Acup B)^{C}=A^{C}cap B^{C}}
(
A
∩
B ) C
= A C
∪ B C
{displaystyle (Acap B)^{C}=A^{C}cup B^{C}}

تعاريف اساسية

علاقة التابعية (الانتماء)
أحد أهم المصطلحات الاساسية في نظرية المجموعة هي التابعية، نقول أن الشيء o
{displaystyle o} تابع (ينتمي) للمجموعة A
A ونرمز لذلك بـ o
∈
A
{displaystyle oin A} إذا كان أحد أعضاء المجموعة A
A . وهذا المصطلح هو علاقة ثنائية وقد تكون بين المجموعات كذلك. علاقة الجزئية
علاقة ثنائية أخرى بين المجموعات هي علاقة المجموعة الجزئية وهي مشتقة من علاقة التابعية: نقول أن A
{displaystyle A} هي مجموعة جزئية للمجموعة B
{displaystyle B} إذا كل عضو a
∈
A
{displaystyle ain A} تابع أيضا للمجموعة B
B أي: a
∈
B
{displaystyle ain B} . نرمز لهذه العلاقة بالشكل التالي: A
⊆
B
{displaystyle Asubseteq B} ونقول أيضا:A ضمن B. إذا تحقق أيضا أنَّ A
≠
B
{displaystyle Aneq B} حينها نقول ان المجموعة A مجموعة جزئية فعلية للمجموعة B. ونرمز لذلك بالشكل التالي: A
⊊
B
{displaystyle Avarsubsetneq B} .و نقول أيضا:A ضمن B قطعا. علاقة الاتحاد
دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى اتحاد المجموعتين A
∪
B
{displaystyle Acup B} .
عملية اتحاد مجموعتين A وB يرمز لها بـ A
∪
B
{displaystyle Acup B} ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي لأي واحدة من المجموعتين A أو B.
أي أن عنصر x ينتمي إلى A
∪
B
{displaystyle Acup B} إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A أو x ينتمي إلى B بالرموز: x
∈
A
∪
B
⇔
x
∈
A
∨
x
∈
B
{displaystyle xin Acup BLeftrightarrow xin Alor xin B} مثال لاتحاد مجموعتين منتهيتين: A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
,
B
=
{
3
,
4
,
5
,
6
}
⇒
A
∪
B
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{displaystyle A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}Rightarrow Acup B={1,2,3,4,5,6}}
مثال لاتحاد مجموعة منتهية ومجموعة غير منتهية: A
= N ,
B
=
{
−
3
,
−
7
,
5
}
⇒
A
∪
B
=
{
−
3
,
−
7
,
0
,
1
,
2
,
3
,
.
.
.
}
{displaystyle A=mathbb {N} ,B={-3,-7,5}Rightarrow Acup B={-3,-7,0,1,2,3,…}}
مثال لاتحاد مجموعتين غير منتهيتين: A
= N ,
B
=
{
0
,
−
1
,
−
2
,
−
3
,
.
.
.
}
⇒
A
∪
B
= Z {displaystyle A=mathbb {N} ,B={0,-1,-2,-3,…}Rightarrow Acup B=mathbb {Z} }
مثال مع المجموعة الخالية: A
=
{
x
,
y
}
,
B
=
∅
⇒
A
∪
B
=
{
x
,
y
}
{displaystyle A={x,y},B=emptyset Rightarrow Acup B={x,y}}
علاقة التقاطع
دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى تقاطع المجموعتين A
∩
B
{displaystyle Acap B} .
عملية تقاطع مجموعتين A وB يرمز لها بـ A
∩
B
{displaystyle Acap B} ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر المشتركة بين A وB.
أي أن عنصر x ينتمي إلى A
∩
B
{displaystyle Acap B} إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x ينتمي إلى B. بالرموز: x
∈
A
∩
B
⇔
x
∈
A
∧
x
∈
B
{displaystyle xin Acap BLeftrightarrow xin Aland xin B} مثال لتقاطع مجموعتين منتهيتين: A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
,
B
=
{
3
,
4
,
5
,
6
}
⇒
A
∩
B
=
{
3
,
4
}
{displaystyle A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}Rightarrow Acap B={3,4}}
مثال لتقاطع مجموع منتهية ومجموعة غير منتهية: A
= N ,
B
=
{
−
3
,
1
,
17
}
⇒
A
∩
B
=
{
1
,
17
}
{displaystyle A=mathbb {N} ,B={-3,1,17}Rightarrow Acap B={1,17}}
مثال لتقاطع مجموعتين غير منتهيتين: A
= Z ,
B
= N ⇒
A
∩
B
= N {displaystyle A=mathbb {Z} ,B=mathbb {N} Rightarrow Acap B=mathbb {N} }
مثال مع المجموعة الخالية: A
=
{
x
,
y
}
,
B
=
∅
⇒
A
∩
B
=
∅
{displaystyle A={x,y},B=emptyset Rightarrow Acap B=emptyset }
مثال لمجموعة متممة: إذا كانت س علاقة الفرق
عملية الفرق بين مجموعتين A وB يرمز لها بـ (
A
−
B
)
{displaystyle (A-B)} ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى A ولا تنتمي إلى B.
أي أن عنصر x ينتمي إلى (
A
−
B
)
{displaystyle (A-B)} إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B بالرموز: x
∈
(
A
−
B
)
⇔
x
∈
A
∧
x
∉
B
{displaystyle xin (A-B)Leftrightarrow xin Aland xnotin B} أمثلة: A
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
,
B
=
{
3
,
5
}
⇒
(
A
−
B
)
=
{
1
,
2
,
4
,
6
}
{displaystyle A={1,2,3,4,5,6},B={3,5}Rightarrow (A-B)={1,2,4,6}}
الأعداد الفردية == ⇒
(
A
−
B
)
{displaystyle Rightarrow (A-B)} الأعداد الزوجية = B، الأعداد الطبيعية == A
A
= N ,
B
=
{
−
7
,
0
,
1
}
⇒
(
A
−
B
)
=
{
2
,
3
,
4
,
.
.
.
}
{displaystyle A=mathbb {N} ,B={-7,0,1}Rightarrow (A-B)={2,3,4,…}}
A
=
{
−
1
,
−
2
}
,
B
= N ⇒
(
A
−
B
)
=
{
−
1
,
−
2
}
{displaystyle A={-1,-2},B=mathbb {N} Rightarrow (A-B)={-1,-2}}
A
=
{
x
,
y
}
,
B
=
∅
⇒
(
A
−
B
)
=
{
x
,
y
}
{displaystyle A={x,y},B=emptyset Rightarrow (A-B)={x,y}}
دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى الفرق المتماثل بين المجموعتين A
Δ
B
{displaystyle ADelta B} .
علاقة الفرق المتماثل
عملية الفرق المتماثل بين مجموعتين A وB يرمز لها بـ A
Δ
B
{displaystyle ADelta B} ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى مجموعة واحدة فقط.
أي أن عنصر x ينتمي إلى A
Δ
B
{displaystyle ADelta B} إذا وفقط إذا (x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B) أو (x ينتمي إلى B وأيضاً x لا ينتمي إلى A) بالرموز: x
∈
A
Δ
B
⇔
(
x
∈
A
∧
x
∉
B
)
∨
(
x
∈
B
∧
x
∉
A
)
{displaystyle xin ADelta BLeftrightarrow (xin Aland xnotin B)lor (xin Bland xnotin A)} المجموعة كما يدل اسمها تجمع عدة عناصر أو قد تكون فارغة. وقد تكون منتهية أي أن عدد عناصرها عدد صحيح طبيعي معلوم أو تكون غير منتهية. أو هي مجموعة الأشياء المعرفة جيدا لها صفة مميزة مشتركة بينها. جداء ديكارتي
الجداء الديكارتي للمجموعتين A و- B , نرمز له كالتالي: A
×
B
{displaystyle Atimes B} هي المجموعة كل الازواج المرتبة (
a
,
b
)
{displaystyle (a,b)} بحيث أنَّ: a
∈
A
{displaystyle ain A} و b
∈
B
{displaystyle bin B} . مثلا الجداء الديكارتي بين المجموعة {
1
,
2
}
{displaystyle {1,2}} و- {
red
,
white
}
{displaystyle {{mbox{red}},{mbox{white}}}} هو: {
1
,
2
}
×
{
red
,
white
}

=

{
(
1
,
red
)
,
(
2
,
red
)
,
(
1
,
white
)
,
(
2
,
white
)
}
{displaystyle {1,2}times {{mbox{red}},{mbox{white}}} = {(1,{mbox{red}}),(2,{mbox{red}}),(1,{mbox{white}}),(2,{mbox{white}})}} مجموعة القوة
مجموعة القوة لمجموعة ما- A عبارة عن مجموعة كل المجموعات الجزئية ل-A, وعادة ما يُرمز لها ب- P
(
A
)
{displaystyle P(A)} . أي ان:- P
(
A
)
:=
{
B | B

i
s

a

s
e
t

a
n
d

B
⊆
A
}
{displaystyle P(A):={B|B is a set and Bsubseteq A}} . على سبيل المثال: المجموعة الخالية تنتمي لمجموعة القوة الخاصة باي مجموعة كانت (لأن ∅
⊆
A
{displaystyle emptyset subseteq A} لكل مجموعة A
A ), كما ان كل مجموعة هي مجموعة جزئية لنفسها وعليه فهي تنتمي لمجموعة القوة الخاصة بها. امثلة أخرى: P
(
{
a
,
b
}
)
=
{
{
}
,
{
a
}
,
{
b
}
,
{
a
,
b
}
}
{displaystyle P({a,b})={{},{a},{b},{a,b}}} ؛
P
(
∅
)
=
{
∅
}
{displaystyle P(emptyset )={emptyset }} .

علاقات ودوالّ

علاقات
العلاقات هي موضوع مهم ورائج في الرياضيات، وتشكل اداة مهمة في دراسة المجموعات وعناصرها. وبشكل دقيق: علاقة- R من مجموعة- A إلى مجموعة- B هي مجموعة جزئية للجداء الديكارتي R
⊆
A
×
B
{displaystyle Rsubseteq Atimes B} , وإذا كان (
a
,
b
)
∈
R
{displaystyle (a,b)in R} فنرمز a
R
b
{displaystyle aRb} . وفي حال ان B
=
A
{displaystyle B=A} فنقول باختصار ان العلاقة هي على المجموعة A. مثال: العلاقة > («اصغر» المعهودة من الاعداد الحقيقية – من اليسار إلى اليمين: مثلا 3
<
4
{displaystyle 3<4} ) على المجموعة {
1
,
2
,
3
}
{displaystyle {1,2,3}} هي {
(
1
,
2
)
,
(
1
,
3
)
,
(
2
,
3
)
}
{displaystyle {(1,2),(1,3),(2,3)}} , كما ان العلاقة ≤
{displaystyle leq } على نفس المجموعة هي {
(
1
,
1
)
,
(
1
,
2
)
,
(
1
,
3
)
,
(
2
,
2
)
,
(
2
,
3
)
,
(
3
,
3
)
}
{displaystyle {(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}} , بينما العلاقة < على نفس المجموعة هي {
(
3
,
1
)
,
(
3
,
2
)
,
(
2
,
1
)
}
{displaystyle {(3,1),(3,2),(2,1)}} . هنالك أنواع مميزة من العلاقات، سنذكر بعضا منها ادناه: لتكن- R علاقة على مجموعة معينة- A. إذاً فنقول ان R هي: علاقة انعكاسية: إذا تحقق ان ∀
a
∈
A
,
(
a
,
a
)
∈
R
{displaystyle forall ain A,(a,a)in R} ؛
علاقة تماثلية: إذا تحقق ان ∀
a
,
b
∈
A
,
(
a
,
b
)
∈
R
⇒
(
b
,
a
)
∈
R
{displaystyle forall a,bin A,(a,b)in RRightarrow (b,a)in R} ؛
علاقة متعدّية: إذا تحقق ان ∀
a
,
b
,
c
∈
A
,
[
(
a
,
b
)
∈
R

∧

(
b
,
c
)
∈
R
]
⇒
(
a
,
c
)
∈
R
{displaystyle forall a,b,cin A,[(a,b)in R land (b,c)in R]Rightarrow (a,c)in R} ؛
علاقة تكافؤ: إذا تحقق ان R هي علاقة انعكاسية، تماثلية ومتعدية معاً.
علاقة مضادة للانعكاس: إذا تحقق ان ∀
a
∈
A
,
(
a
,
a
)
∉
R
{displaystyle forall ain A,(a,a)not in R} ؛
علاقةُ ترتيب جزئيّ: إذا تحقق ان R هي علاقة مضادة للانعكاس وانها متعدية معاً.
علاقةُ ترتيب كامل: إذا تحقق ان R هي علاقة ترتيب جزئي وان كل عنصرين في A قابلان للمقارنة مع بعضهما البعض، أي ∀
a
,
b
∈
A
,
a
R
b
∨
b
R
a
{displaystyle forall a,bin A,aRblor bRa} .
دوالّ
دالة f
f من مجموعة A
A إلى مجموعة B
B هي امر افتراضي يناسب لكل عضو في A
A عضواً واحداً ووحيدأ من B
B . ولكن علينا تعريف الدالة بشكل رياضي دقيق، وهذا يقتضي ان نعرّف كلمة «يناسب» اعلاه. سنفعل هذا بمساعدة مفهموم «العلاقة» بالشكل الاتي: دالة f
f من المجموعة A
A إلى المجموعة B
B هي علاقة احاديةُ القيمة من المجموعة A
A إلى المجموعة B
B , حيث ان المقصود باحادية القيمة هو ان لكل عضو في A
A يوجد عضو واحد ووحيد من B
B يحقق a
f
b
{displaystyle afb} , أي ∀
a
∈
A
,

∃
b
∈
B

s
.
t
.

a
f
b
{displaystyle forall ain A, exists bin B s.t. afb} وايضاً ∀
a
∈
A
,
[
a
f
b
∧
a
f b
′ ]
⇒
b
= b
′ {displaystyle forall ain A,[afbland afb']Rightarrow b=b'} . إذا كانت f
f دالةً من المجموعة A
A إلى المجموعة B
B , فنكتب f
:
A
⟶
B
{displaystyle f:Alongrightarrow B} , ويُصطلَح عادة تسمية المجموعة A
A بمجال f
f وتسمية المجموعة B
B بمدى f
f , وعناصر A
A بالمصادر وعناصر B
B الذين لديهم مصادر بالصور. إذا كان b
b صورةَ a
a تحت الدالة f
f , أي a
f
b
{displaystyle afb} , فغالبا ما يُشار إلى ذلك بالشكل التالي: f
(
a
)
=
b
{displaystyle f(a)=b} . في حال كان مفهموما ضمنا من هي الدالة التي نتحدث عنها فقد نسقط اسمها، مثلا بدل القول "مجال الدالة f
f " نكتفي بالقول «المجال», وهكذا. دالة 1-1(واحد إلى واحد): نقول ان دالة f
:
A
⟶
B
{displaystyle f:Alongrightarrow B} هي 1-1 إذا تحقق ان لكل عنصر من B
B يوجد على الأكثر مصدر واحد.
دالة غمر (على): نقول ان دالة f
:
A
⟶
B
{displaystyle f:Alongrightarrow B} هي غمر إذا تحقق ان لكل عنصر من B
B يوجد على الأقل مصدر واحد.
لدالة ال 1-1 والعلى اهمية كبيرة في علم المجموعات، وهي تُدعى احيانا تكافؤاً بين مجموعتي المجال والمدى.

شرح مبسط

تعديل – تعديل مصدري – تعديل ويكي بيانات