تم النشر اليوم 2024/05/12 | دوال زوجية وفردية

خصائص أساسية

الوحدة
إذا كانت دالة ما زوجية وفردية في آن واحد، فإنها تساوي الصفر حيثما عُرّفت.
إذا كانت دالة ما فردية، فإن القيمة المطلقة لهذه الدالة تعرف دالة زوجية.
الجمع والطرح
جمع أو طرح دالتين زوجيتين يعطي دالة زوجية.
جمع أو طرح دالتين فرديتين يعطي دالة فردية.
جمع دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة لا هي فردية ولا هي زوجية، إلا إذا كانت إحدى الدالتين مساوية للصفر.
الضرب والقسمة
جداء دالتين زوجيتين هو دالة زوجية.
جداء دالتين فرديتين هو دالة زوجية.
جداء دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة فردية.
قسمة دالة زوجية على دالة زوجية أخرى هو دالة زوجية.
قسمة دالة فردية على دالة فردية أخرى هو دالة زوجية.
قسمة دالة فردية على دالة زوجية أو عكس ذلك يعطي دالة فردية.
التركيب
تركيب دالتين زوجيتين يعطي دالة زوجية.
تركيب دالتين فرديتين يعطي دالة فردية.
تركيب دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة زوجية.
تركيب دالتين لا شرط على الأولى والثانية زوجية هو دالة زوجية (العكس غير صحيح).

تعريف

الدالة الزوجية
ƒ(x) = x2 مثال على الدوال الزوجية.
تكون دالة ما زوجية إذا تحقق f
(
−
x
)
=
f
(
x
)
{displaystyle f(-x)=f(x)} لكل قيم x
{displaystyle x} . أي أن قيمة y
=
f
(
x
)
{displaystyle y=f(x)} لا تتغير عند وضع −
x
{displaystyle -x} بدلاً من x
{displaystyle x} . إذا لم تكن الدالة زوجية، فهي إما أنها دالة فردية أو أنها لا زوجية ولا فردية. الدالة الفردية
ƒ(x) = x3 مثال على الدوال الفردية.
‘الدالة الفردية أو الاقتران الفردي، وتكون الدالة f فردية إذا كان f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
{displaystyle f(-x)=-f(x)} لكل قيم x
{displaystyle x} . فمثلا f
(
x
)
=
sin
⁡
(
x
)
{displaystyle f(x)=sin(x)} هي دالة فردية. لأن sin
⁡
(
−
x
)
=
−
sin
⁡
(
x
)
{displaystyle sin(-x)=-sin(x)} مهما كانت x
{displaystyle x} .

أمثلة

دالة كثيرة الحدود ذات أسس زوجية فقط
p
(
x
)
= a n x n
+ a n
−
2 x n
−
2
+
.
.
.
+ a 2 x 2
+ a 0
{displaystyle {mathcal {}}p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-2}x^{n-2}+…+a_{2}x^{2}+a_{0}} حيث n
{displaystyle n} عدد زوجي،
P
(
x
)
=
P
(
−
x
)
{displaystyle P(x)=P(-x)}
و الإشارة السالبة ستختفي من كل حد بسبب القوى الزوجية. مثال: الدالة التربيعية

y
=
f
(
x
)
= x 2
+
5
{displaystyle y=f(x)=x^{2}+5} هي دالة زوجية لأن قيمة y لا تتغير سواء كانت قيمة مدخل الدالة هو x أو هو -x. على سبيل المثال،
(
−
3 ) 2
= 3 2
=
9
{displaystyle (-3)^{2}=3^{2}=9} دالة مثلثية زوجية
دالة جيب التمام y
=
cos
⁡
x
{displaystyle y=cos x} دالة القيمة المطلقة |
x
| = | −
x | {displaystyle leftvert xrightvert =leftvert -xrightvert } الدالة الصفرية
الدالة الصفرية هي دالة زوجية وفردية في آن معا f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
{displaystyle f(x)=f(-x)=-f(x)} .
هي الدالة الوحيدة التي تحقق هذه الخاصية.

المعنى الهندسي

متناظرة حول محور التراتيب، حيث يظهر ذلك في تمثيل الدوال الزوجية.
و الدالة الفردية متناظرة بالنسبة للمبدا

شرح مبسط

في الرياضيات، الدوال الزوجية (بالإنجليزية: Even functions)‏ والدوال الفردية (بالإنجليزية: Odd functions)‏ هي دوال تحقق شرطا معينا يتعلق بالتماثل.[1]