تم النشر اليوم 2024/05/20 | أساليب رونج-كوتا

أساليب ضمنية

تم تصميم الأساليب الضمنية لإنتاج تقدير لخطأ واحد لاقتطاع طريقة رونج-كوتا، لذلك تسمح بالتحكم في الخطأ ويتم ذلك من خلال وجود طريقتين. طريقة مع النظام ( ص ) والثانية مع النظام (ص-1).

يتم إعطاء خطوة أقل من قبل:

y

n
+
1

∗

=

y

n

+
h

∑

i
=
1

s

b

i

∗

k

i

,

{displaystyle y_{n+1}^{*}=y_{n}+hsum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},}

e

n
+
1

=

y

n
+
1

−

y

n
+
1

∗

=
h

∑

i
=
1

s

(

b

i

−

b

i

∗

)

k

i

,

{displaystyle e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=hsum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},}

c

1

a

11

a

12

…

a

1
s

c

2

a

21

a

22

…

a

2
s

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

c

s

a

s
1

a

s
2

…

a

s
s

b

1

b

2

…

b

s

b

1

∗

b

2

∗

…

b

s

∗

{displaystyle {begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&dots &a_{1s}\c_{2}&a_{21}&a_{22}&dots &a_{2s}\vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&dots &a_{ss}\hline &b_{1}&b_{2}&dots &b_{s}\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&dots &b_{s}^{*}\end{array}}}

طريقة هيون-يولر

أبسط طريقة للتعامل مع طريقة رونج-كوتا تنطوي على الجمع بين طريقة هيون وهو أمر 2 مع طريقة يولر وهو أمر 1 وهي بالشكل التالي:

0

1

1

1

/

2

1

/

2

1

0

{displaystyle {begin{array}{c|cc}0&\1&1\hline &1/2&1/2\&1&0end{array}}}

يتم استخدام تقدير الخطأ للسيطرة على حجم الخطوة.

طريقة فلبرج RK1

طريقة فلبرج لديها طريقتين من الأوامر 1 و 2:

0

1/2
1/2

1
1/256
255/256

1/256
255/256
0

1/512
255/256
1/512

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الأول من الدرجة الأولى، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.

طريقة بوجاكي – شامبين

طريقة بوجاكي – شامبين لديها طريقتين من الأوامر 2 و 3:

0

1/2
1/2

3/4
0
3/4

1
2/9
1/3
4/9

2/9
1/3
4/9
0

7/24
1/4
1/3
1/8

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الثالث، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.

طريقة فلبرج

طريقة فلبرج لديها طريقتين من الأوامر 4 و 5:

0

1/4
1/4

3/8
3/32
9/32

12/13
1932/2197
−7200/2197
7296/2197

1
439/216
−8
3680/513
−845/4104

1/2
-8/27
2
−3544/2565
1859/4104
−11/40

16/135
0
6656/12825
28561/56430
−9/50
2/55

25/216
0
1408/2565
2197/4104
−1/5
0

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس، والصف الثاني يعطي الحل الرابع.

طريقة كاش – كارب

طريقة كاش – كارب وهي عبارة تعديل في طريقة فلبرج:

0

1/5
1/5

3/10
3/40
9/40

3/5
3/10
−9/10
6/5

1
−11/54
5/2
−70/27
35/27

7/8
1631/55296
175/512
575/13824
44275/110592
253/4096

37/378
0
250/621
125/594
0
512/1771

2825/27648
0
18575/48384
13525/55296
277/14336
1/4

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس، والصف الثاني يعطي الحل الرابع.

طريقة دورمند-برنس

0

1/5
1/5

3/10
3/40
9/40

4/5
44/45
−56/15
32/9

8/9
19372/6561
−25360/2187
64448/6561
−212/729

1
9017/3168
−355/33
46732/5247
49/176
−5103/18656

1
35/384
0
500/1113
125/192
−2187/6784
11/84

35/384
0
500/1113
125/192
−2187/6784
11/84
0

5179/57600
0
7571/16695
393/640
−92097/339200
187/2100
1/40

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس. والصف الثاني يعطي الحل الرابع.

أساليب صريحة

الطرق الصريحة هي التي تكون فيها المصفوفة أقل من المصفوفات المثلثية:

0

0

0

1

/

2

1

/

2

0

0

1

{displaystyle {begin{array}{c|cc}0&0&0\1/2&1/2&0\hline &0&1\end{array}}}

طريقة هيون

طريقة هيون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين (المعروفة باسم شبه منحرف صريح):

0

0

0

1

1

0

1

/

2

1

/

2

{displaystyle {begin{array}{c|cc}0&0&0\1&1&0\hline &1/2&1/2\end{array}}}

طريقة رالستون

طريقة رالستون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين والحد الأدنى وضع خطأ مقيد:

0

0

0

2

/

3

2

/

3

0

1

/

4

3

/

4

{displaystyle {begin{array}{c|cc}0&0&0\2/3&2/3&0\hline &1/4&3/4\end{array}}}

طريقة عامة من الدرجة الثانية

0

0

0

x

x

0

1
−

1

2
x

1

2
x

{displaystyle {begin{array}{c|ccc}0&0&0\x&x&0\hline &1-{frac {1}{2x}}&{frac {1}{2x}}\end{array}}}

طريقة كوتا الثالثة

0

0

0

0

1

/

2

1

/

2

0

0

1

−
1

2

0

1

/

6

2

/

3

1

/

6

{displaystyle {begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\1/2&1/2&0&0\1&-1&2&0\hline &1/6&2/3&1/6\end{array}}}

طريقة الترتيب الرابع التقليدية

وهي الطريقة «الأصلية» لطريقة رونج-كوتا.

0

0

0

0

0

1

/

2

1

/

2

0

0

0

1

/

2

0

1

/

2

0

0

1

0

0

1

0

1

/

6

1

/

3

1

/

3

1

/

6

{displaystyle {begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\1/2&1/2&0&0&0\1/2&0&1/2&0&0\1&0&0&1&0\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\end{array}}}

3/8 قاعدة طريقة الترتيب الرابع

هذا الأسلوب مشابه للطريقة التقليدية وتم اقتراحه في نفس الورقة العلمية (كوتا 1901).

0

0

0

0

0

1

/

3

1

/

3

0

0

0

2

/

3

−
1

/

3

1

0

0

1

1

−
1

1

0

1

/

8

3

/

8

3

/

8

1

/

8

{displaystyle {begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\1/3&1/3&0&0&0\2/3&-1/3&1&0&0\1&1&-1&1&0\hline &1/8&3/8&3/8&1/8\end{array}}}

طرق معاملات طريقة رونج-كوتا للحل العددي المعادلات التفاضلية كما يلي

c

1

a

11

a

12

…

a

1
s

c

2

a

21

a

22

…

a

2
s

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

c

s

a

s
1

a

s
2

…

a

s
s

b

1

b

2

…

b

s

{displaystyle {begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&dots &a_{1s}\c_{2}&a_{21}&a_{22}&dots &a_{2s}\vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&dots &a_{ss}\hline &b_{1}&b_{2}&dots &b_{s}\end{array}}}

الطرق الضمنية

باكورد يولر

هي عبارة عن الترتيب الأول. مستقرة وغير مشروطة وغير متذبذبة لمشاكل الانتشار الخطية.

1

1

1

{displaystyle {begin{array}{c|c}1&1\hline &1\end{array}}}

نقطة الوسط الضمنية

وهي طريقة منتصف الطريق الضمني وهي من الدرجة الثانية وتعتبر أبسط طريقة في فئة طرق التجميع المعروفة باسم طرق غاوس.

1

/

2

1

/

2

1

{displaystyle {begin{array}{c|c}1/2&1/2\hline &1end{array}}}

طرق غاوس-ليجندر

وتستند هذه طرق على نقاط غاوس-ليجيندر التربيعي. مثال على ذلك من النظام الرابع:

1
2

−

3

6

1
4

1
4

−

3

6

1
2

+

3

6

1
4

+

3

6

1
4

1
2

1
2

1
2

+

1
2

3

1
2

−

1
2

3

{displaystyle {begin{array}{c|cc}{frac {1}{2}}-{frac {sqrt {3}}{6}}&{frac {1}{4}}&{frac {1}{4}}-{frac {sqrt {3}}{6}}\{frac {1}{2}}+{frac {sqrt {3}}{6}}&{frac {1}{4}}+{frac {sqrt {3}}{6}}&{frac {1}{4}}\hline &{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}\&{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}{sqrt {3}}&{frac {1}{2}}-{frac {1}{2}}{sqrt {3}}\end{array}}}

مثال على طريقة غاوس-ليجيندر من النظام ستة:

1
2

−

15

10

5
36

2
9

−

15

15

5
36

−

15

30

1
2

5
36

+

15

24

2
9

5
36

−

15

24

1
2

+

15

10

5
36

+

15

30

2
9

+

15

15

5
36

5
18

4
9

5
18

−

5
6

8
3

−

5
6

{displaystyle {begin{array}{c|ccc}{frac {1}{2}}-{frac {sqrt {15}}{10}}&{frac {5}{36}}&{frac {2}{9}}-{frac {sqrt {15}}{15}}&{frac {5}{36}}-{frac {sqrt {15}}{30}}\{frac {1}{2}}&{frac {5}{36}}+{frac {sqrt {15}}{24}}&{frac {2}{9}}&{frac {5}{36}}-{frac {sqrt {15}}{24}}\{frac {1}{2}}+{frac {sqrt {15}}{10}}&{frac {5}{36}}+{frac {sqrt {15}}{30}}&{frac {2}{9}}+{frac {sqrt {15}}{15}}&{frac {5}{36}}\hline &{frac {5}{18}}&{frac {4}{9}}&{frac {5}{18}}\&-{frac {5}{6}}&{frac {8}{3}}&-{frac {5}{6}}end{array}}}

طرق لوباتو

هناك ثلاث طرق رئيسية من أساليب لوباتو وهي:

1. طريقة لوباتو IIIA:
هي عبارة عن طريقة التجميع وتعرف باسم المعادلات التفاضلية:

معادلة من نوع أمر 2:

0

0

0

1

1

/

2

1

/

2

1

/

2

1

/

2

1

0

{displaystyle {begin{array}{c|cc}0&0&0\1&1/2&1/2\hline &1/2&1/2\&1&0\end{array}}}

معادلة من نوع أمر 4:

0

0

0

0

1

/

2

5

/

24

1

/

3

−
1

/

24

1

1

/

6

2

/

3

1

/

6

1

/

6

2

/

3

1

/

6

−

1
2

2

−

1
2

{displaystyle {begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\1/2&5/24&1/3&-1/24\1&1/6&2/3&1/6\hline &1/6&2/3&1/6\&-{frac {1}{2}}&2&-{frac {1}{2}}\end{array}}}

2. طريقة لوباتو IIIB:

وهي تختلف عن طرق التجميع ولكن يمكن اعتبارها طريقة التجميع المتقطع:

معادلة من نوع أمر 2:

0

1

/

2

0

1

1

/

2

0

1

/

2

1

/

2

1

0

{displaystyle {begin{array}{c|cc}0&1/2&0\1&1/2&0\hline &1/2&1/2\&1&0\end{array}}}

معادلة من نوع أمر 4:

0

1

/

6

−
1

/

6

0

1

/

2

1

/

6

1

/

3

0

1

1

/

6

5

/

6

0

1

/

6

2

/

3

1

/

6

−

1
2

2

−

1
2

{displaystyle {begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/6&0\1/2&1/6&1/3&0\1&1/6&5/6&0\hline &1/6&2/3&1/6\&-{frac {1}{2}}&2&-{frac {1}{2}}\end{array}}}

3. طريقة لوباتو IIIC:

وهي عبارة عن أساليب التجميع المتقطع:

معادلة من نوع أمر 2:

0

1

/

2

−
1

/

2

1

1

/

2

1

/

2

1

/

2

1

/

2

1

0

{displaystyle {begin{array}{c|cc}0&1/2&-1/2\1&1/2&1/2\hline &1/2&1/2\&1&0\end{array}}}

معادلة من نوع أمر 4:

0

1

/

6

−
1

/

3

1

/

6

1

/

2

1

/

6

5

/

12

−
1

/

12

1

1

/

6

2

/

3

1

/

6

1

/

6

2

/

3

1

/

6

−

1
2

2

−

1
2

{displaystyle {begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/3&1/6\1/2&1/6&5/12&-1/12\1&1/6&2/3&1/6\hline &1/6&2/3&1/6\&-{frac {1}{2}}&2&-{frac {1}{2}}\end{array}}}

طرق رادو

طرق رادو وهي عبارة عن طريقتين من المعادلات وهي:

1. طريقة رادو IA:
وهي مشابهة لطريقة باكورد يولر

معادلة من نوع أمر 3:

0

1

/

4

−
1

/

4

2

/

3

1

/

4

5

/

12

1

/

4

3

/

4

{displaystyle {begin{array}{c|cc}0&1/4&-1/4\2/3&1/4&5/12\hline &1/4&3/4\end{array}}}

معادلة من نوع أمر 5:

0

1
9

−
1
−

6

18

−
1
+

6

18

3
5

−

6

10

1
9

11
45

+

7

6

360

11
45

−

43

6

360

3
5

+

6

10

1
9

11
45

+

43

6

360

11
45

−

7

6

360

1
9

4
9

+

6

36

4
9

−

6

36

{displaystyle {begin{array}{c|ccc}0&{frac {1}{9}}&{frac {-1-{sqrt {6}}}{18}}&{frac {-1+{sqrt {6}}}{18}}\{frac {3}{5}}-{frac {sqrt {6}}{10}}&{frac {1}{9}}&{frac {11}{45}}+{frac {7{sqrt {6}}}{360}}&{frac {11}{45}}-{frac {43{sqrt {6}}}{360}}\{frac {3}{5}}+{frac {sqrt {6}}{10}}&{frac {1}{9}}&{frac {11}{45}}+{frac {43{sqrt {6}}}{360}}&{frac {11}{45}}-{frac {7{sqrt {6}}}{360}}\hline &{frac {1}{9}}&{frac {4}{9}}+{frac {sqrt {6}}{36}}&{frac {4}{9}}-{frac {sqrt {6}}{36}}\end{array}}}

2. طريقة رادو IIA:
وهي مشابهة لطريقة غاوس-ليجيندر

معادلة من نوع أمر 3:

1

/

3

5

/

12

−
1

/

12

1

3

/

4

1

/

4

3

/

4

1

/

4

{displaystyle {begin{array}{c|cc}1/3&5/12&-1/12\1&3/4&1/4\hline &3/4&1/4\end{array}}}

شرح مبسط

أساليب رونج – كوتا للحل العددي للمعادلة التفاضلية.[1]