تم النشر اليوم 2024/06/06 | تعرف على 10 أمثلة حول قانون مساحة المخروط

قانون مساحة المخروط

المخروط من الأشكال الهندسية الهامة وهو شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة دائرية مسطحة وضلع ملتف بالشكل الدائري حول القاعدة ورأس المدبب، ويمكن صنع المخروط من خلال تدوير المثلث ولحساب حجم المخروط ومساحة السطح، وبالتالي فإن قانون مساحة المخروط من القوانين التي يمكن حسابها بسهولة من خلال العديد من المفاهيم التي نتعرف عليها، فهيا بنا نحو هذه المفاهيم، كما نتعرف على اهم الأمثلة لحل قانون مساحة المخروط.

ما هي الأمثلة الموضحة على حساب مساحة المخروط؟

هناك العديد من الأمثلة الرياضية التي يمكن ان نوضحها للقراء الأعزاء، وبالتالي نتعرف على أهم القوانين وتطبيقها من خلال معرفة وإيجاد المساحة، فهيا بنا نتعرف على هذه الأمثلة بالتفصيل من خلال النقاط التالية:
المثال الأول
ما هي مساحة المخروط، وذلك إذا عرفنا أن ارتفاع هذا الشكل المخروطي حوالي 8 ونصف أما القطر = 6 فما هو الحل؟

مساحة المخروط = π× نق² + π × نق ×(ع²+ نق²) √.
وبالتالي يمكن الحل عن طريق المعادلة التالية، مساحة المخروط= ((8²+6²)√+6)×π×6 وبالتالي فإن مساحة المخروط الكلية = π × 96 سم2.
المثال الثاني
ما هي مساحة المخروط الكلية إذا عرفنا أن نصف قطر المخروط حوالي 6 متر، وطول الارتفاع الجانبي للشكل المخروطي حوالي 10 متر.
فما هو الحل لمساحة المخروط؟
الحل: مساحة المخروط = π× نق² + π × نق ×(ع²+ نق²) √ وهنا يمكن حساب مساحة المخروط الكلية في هذه الحالة عبر المعادلة التالي: 3.14×6²+3.14×6×10= 301.44م 2
المثال الثالث
ما هي المساحة الكلية للمخروط والشكل الكلي له في حال إذا كان الشكل الهندسي عبارة عن 3 سم والارتفاع حوالي 5 سم.
فما هو الحل؟
الحل هو مساحة المخروط الكلي هو = π× نق ²+ π× نق × ل.
وبالتالي يتم مساحة المخروط الكلية من خلال حساب المساحة من الخطوات التالي:
حساب القيمة للمائل والارتفاع الجانبي الذي يتم رمز ل من خلال نظرية فيثاغورس وهذا عبر المثلث القائم يمثل المقطع العرضي من خلال المخروط القائم وهذا عبر المعادلة التالية: ل² = ع² + نق² = 5²+3²= 34 وهذا من خلال الجذر التربيعي للطرفين من خلال ل = 34√= 5.83سم.
ومن خلال تطبيق قانون مساحة المخروط الهندسي من خلال π×نق×(نق+ل)= 3.14×3× (3+5.83)= 83.19 سم².
المثال الرابع
في حالة إذا كانت المساحة الكلية للمخروط حوالي 375 سم 2 وطول المائل في هذا المخروط = أربعة أضعاف نصف القطر، فما الحل إذا كنا نريد حساب قطر قاعدة الشكل المخروطي على افتراض أن 3 = π.
الحل:
من خلال المعطيات فإن ل = 4 × نق وعند تعويض تلك القيمة في قانون مساحة الشكل المخروطي، فهذا يعني أن مساحة المخروط الكلية = π × نق × (نق + ل)، 375= 3×نق × (نق+4 نق)
وبالتالي فإن المعادلة بتبسيطها ينتج عنها: 375= 3×5×نق² وعند قسمة الطرفين على ( 3 × 5 ).
وهذا ينتج عنه: نق²= 25 سم وعندما نأخذ الجذر التربيعي نجد نق = 5 سم وهذا يعني أن القطر = 2 × نق، وبالتالي القطر = 2 × 5 = 10 سم.

المثال الخامس
نريد أن نحسب المساحة الجانبية للمخروط، وهذا الشكل المخروطي نصف قطر القاعدة فيه حوالي 5 سم أما ارتفاعه الجانبي حوالي 20 سم وذلك عندما نعرف أن π 22/ 7 ؟
الحل:
من خلال المعادلة الحسابية لقانون المخروط للمساحة الكلية، فإن المساحة الجانبية للمخروط يتم من خلال هذه المعادلة: المساحة الجانبية للمخروط = π×نق×ل= 22/7×5×20= 314.28 سم².
المثال السادس
إذا كان هناك شكل مخروط دائري ارتفاعه الجانبي حوالي 15 سم، ونصف القاعدة حوالي 20 سم، فما هي المساحة الجانبية للمخروط؟
يتم الحل من خلال المعادلة الحسابية المعروفة لمساحة المخروط الجانبية، من خلال المساحة الجانبية للمخروط = π× نق×ل= 3.14×20×15= 942 سم².
المثال السابع
يريد محمد تزيين 6 قبعات ذات شكل مخروطي دائري، من خلال تغليفها بالورق الملون، على أن كل قبعة ذات شكل مخروطي ونصف قطرها حوالي 4.2 سم أما ارتفاعها الجانبي حوالي 8.6 سم فما هي عدد الورق الملون الذي يحتاجه محمد لتزيين هذه القبعات؟
الحل عن طريق حساب كمية الورق التي يحتاجها عبر ضرب مساحة المخروط الجانبية في عدد القبعات الست، وبالتالي يتم حساب مساحة المخروط الجانبية من خلال هذه المعادلة: مساحة المخروط الجانبية = π × نق × ل= 3.14×4.2×8.6= 113.4 سم².
أما الخطوة الثانية، فتتم عبر حساب كمية الورق الملون التي تلزم تزيين القبعات من خلال ضرب مساحة المخروط في عدد القبعات لإيجاد كمية الورق من خلال هذه المعادلة: كمية الورق = 6 × مساحة المخروط الجانبية = 6×113.4= 680.5 سم².
المثال الثامن
نريد حساب مساحة المخروط الكلية للمخروط ذات الشكل الدائري وقطر قاعدته 3√4 أما الزاوية المحصورة ما بين الارتفاع والارتفاع الجانبي = 30 درجة، فما هي مساحة المخروط الكلية؟
الحل:

مساحة المخروط الكلية = π× نق × ( نق + ل) وبالتالي فإن الحساب يتم من خلال قيمة نصف القطر مع الارتفاع الجانبي وهذا يتم حسابه من خلال الخطوات التالية:
حساب نصف القطر من خلال قسمة القطر على 2 أي نصف القطر = القطر/ 2 = 3√4/ 2 وكذلك يساوي 3√2 سم.
أما حساب الارتفاع الجانبي يمثل الوتر في المثلث القائم الزاوية وبالتالي تشكيل نصف القطر الذي يوجد فيه أحد الساقين، على أن يكون ارتفاع الساق الأخر والارتفاع الجانبي للوتر، وهذا بتطبيق قانون جيب الزاوية وهو جا( س)= المقابل/الوتر وبالتالي فإن جا(30)= 3√2/ ل وبالتالي ل = 3√4 سم.
والخطوة الأخيرة هي تعويض القيمة السابقة في قانون مساحة المخروط الكلية من خلال المعادلة والقانون التالي: مساحة المخروط الكلية = π×نق×(نق+ل)= 3.14×3√2×(3√2+3√4)= 113.04 سم².
المثال التاسع
في حالة إذا كان المساحة الجانبية للشكل المخروطي الدائري التي تساوي ضعف مساحة القاعدة، وارتفاع الشكل المخروطي يساوي 9 سم، فما هي المساحة الكلية للشكل المخروطي؟
الحل:
المساحة الجانبية للشكل المخروطي = مساحة القاعدة × 2.
وبالتالي فإن المعادلة التالية هي: π ×نق×ل =2×π×نق2 وبالتالي فإن ل = 2 × نق.
وبتعويض القيمة السابقة في قانون الارتفاع الجانبي، فإن حساب قيمة نصف القطر هو: الارتفاع الجانبي للمخروط = ( مربع الارتفاع + مربع نصف القطر ) √.
وبالتالي فإن 2×نق= (9²+نق²)√ ومن خلال تربيع الطرفين فإنه ينتج عنه المعادلة التالية: 4نق²=81+نق² ومن خلال ترتيب المعادلة فإنه ينتج عنه 3نق²=81 ومن خلال قسمة الطرفين على 3 وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين فإننا نجد أن نق= 27√ سم.
أما مساحة المخروط الكلية فهي عبر المعادلة التالية: مساحة المخروط الكلية = π×نق×(نق+ل)= 3.14×27√×(27√+27√2)= 254.34 سم².
المثال العاشر
إذا كانت خيمة توجد على الشكل المخروطي الدائري، ويعيش فيها 4 أفراد، على أن كل فرد يحتل مساحة 22 سم 2 من مساحة قاعدة الخيمة الدائرية، وإذا كان الارتفاع الجانبي للخيمة المخروطية ل حوالي 19 سم فما هو ارتفاع هذه الخيمة من القاعدة حتى أعلى نقطة فيها؟.
الحل: من خلال إيجاد مساحة القاعدة الدائرية = 4 × 22= 88 سم2

وبالتالي فإن 88=π× نق² ، ومن خلال قسمة الطرفين على π فإن الجذر التربيعي للناتج ينتج منه نق= 7√2 سم.
أما ارتفاع العمود المقام من رأس المخروط وحتى القاعدة فإنه يشكل مثلثاً قائم الزاوية، الوتر هو ارتفاعه الجانبي وكذلك الارتفاع ونصف القطر هما ضلعا القائمة، وبالتالي يمكن إيجاد الارتفاع من خلال استخدام نظرية فيثاغورس وبالتالي عبر المعادلة التالية:
الارتفاع = (الارتفاع الجانبي² – نصف القطر²)√
وبالتالي فإن الارتفاع = 19²- (7√2)²√
وهنا نجد أن الارتفاع 18.25 سم وهو ارتفاع الخيمة.
في هذا المقال، تعرفنا على العديد من الجوانب الرياضية لقانون مساحة المخروط، و تعرفنا على العديد من الأمثلة الهامة التي توضح قانون مساحة المخروط، فهل تعرف الآن حساب المخروط وارتفاعه الجانبي؟ شاركنا الرأي.

ما هي أهم المفاهيم التي تساعدنا على فهم قانون مساحة المخروط؟

يرتبط قانون مساحة المخروط بالعديد من المفاهيم، ومن المفاهيم تلك نصف القطر وهو المسافة بين مركز القاعدة الدائرية ومحيطها، وكذلك الارتفاع هو العمود المقام بين مركز القاعدة الدائرية والرأس المدبب، بحيث يتكون زاوية قائمة مع قاعدتها الدائرية.
ومن المفاهيم التي تدل على اهمية قانون مساحة المخروط، مفهوم المائل أو ما يعرف بالارتفاع الجانبي وهو عبارة عن المسافة بين النقطة لمحيط القاعدة الدائرية وبين الرأس المدبب.

كيفية مساحة المخروط من خلال القوانين الرياضية

مساحة المخروط عبارة عن الوحدات المربعة التي تغطي المخروط من الخارج، وعند حساب مساحة الشكل الهندسي المخروط من خلال حجمه، وذلك يتم اعتبار حساب مساحته وحجمه، وتطبيق القوانين عليه وهو عبارة المخروط القائم وليس المائل.
أما القاعدة الدائرية للمخروط هو الخط الواصل بين مركز القاعدة، ورأس المخروط وذلك عمودياً على القاعدة، وهذا من خلال إيجاد المساحة الكلية للمخروط من خلال إيجاد من خلال مجموع مساحة القاعدة من خلال المساحة الجانبية.

وبالتالي فإن هناك العديد من المساحات التي يجب ان نركز عليها في معرفة قانون مساحة المخروط، وهي مساحة قاعدة المخروط، وهي عبارة عن مساحة الدائرة وقاعدتها دائرية الشكل، وهي تساوي رياضياً: π× نق 2، ونق هذه هي نصف القطر.
أما مساحة جانب المخروط وهي تساوي (π×نصف القطر× الارتفاع الجانبي أو طول المائل)، وبالتالي حساب طول المائل المخروطي أو ما يعرف بـ الارتفاع الجانبي للشكل المخروطي هو استخدام العلاقة الرياضية التالي: (مربع الارتفاع+مربع نصف القطر)√.
وعليه فإن هناك العديد من مساحات المخروط التي يتم حسابها حسب قانون المخروط الكلي، وهي عبارة عن:
مساحة المخروط الكلية والتي تساوي مساحة قاعدة المخروط + المساحة الجانبية للمخروط.مساحة المخروط الكلية والتي تساوي π× نق ²+ π× نق × ل، أو π×نق²+ π×نق×(ع²+نق²)√.
وهنا نجد أن هناك العديد من الرموز الرياضية التي لها أهمية كبيرة في مساحة قانون المخروط الكلية، وسوف نتعرف عليها من خلال النقاط التالي:
Π ثابت عددي والقيمة الرياضية هي: 22/7، 3.14.نق= هي نصف قطر قاعدة المخروط.ع= ارتفاع الملحوظ.ل= الارتفاع الجانبي للشكل المخروطي أو ما يعرف بطول المائل المخروطي.
وهنا نجد أن القانون التالي هو المعبر عن مساحة المخروط الكلية، حيث مساحة المخروط الكلية = π× نق ²+ π× نق × ل، أو π×نق²+ π×نق×(ع²+نق²)√.
ويمكن تنفيذ وتطبيق هذا القانون على العديد من الأمثلة، وهذا ما نتعرف عليه بعد قليل، فهيا بنا نحو هذه الأمثلة.