تم النشر اليوم 2024/05/13 | موتر القصور الذاتي للمثلث

البرهان على الصيغة

يتبع البرهان الوارد هنا الخطوات الواردة في المقال. التغاير في المثلث القياسي
دعونا نحسب التغاير في المثلث قائم الزاوية مع قمم الرأس
(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0). باتباع تعريف التغاير الذي حصلنا عليه C
x
x
0
= ∫ Δ x 2 d
A
= ∫ x
=
0
1 x 2 ∫ y
=
0
1
−
x d
y d
x
= ∫ 0
1 x 2
(
1
−
x
) d
x
=
1
12
{displaystyle mathbf {C} _{xx}^{0}=int _{Delta }x^{2},dA=int _{x=0}^{1}x^{2}int _{y=0}^{1-x},dy,dx=int _{0}^{1}x^{2}(1-x),dx={frac {1}{12}}}
C
x
y
0
= ∫ Δ
x
y d
A
= ∫ x
=
0
1
x ∫ y
=
0
1
−
x
y d
y d
x
= ∫ 0
1
x (
1
−
x ) 2 2 d
x
=
1
24
{displaystyle mathbf {C} _{xy}^{0}=int _{Delta }xy,dA=int _{x=0}^{1}xint _{y=0}^{1-x}y,dy,dx=int _{0}^{1}x{frac {(1-x)^{2}}{2}},dx={frac {1}{24}}}
C
y
y
0
=
C
x
x
0
{displaystyle mathbf {C} _{yy}^{0}=mathbf {C} _{xx}^{0}}
حيث تكون باقي عناصر C
{displaystyle C} صفرًا لأن المثلث هو في z
=
0
{displaystyle z=0} ونتيجة لذلك C
0
=
1
24
[ 2
1
0
1
2
0
0
0
0 ]
=
1
48
[ 1
−
1
0 ] [ 1
−
1
0 ]
T +
1
16
[ 1
1
0 ] [ 1
1
0 ]
T {displaystyle mathbf {C} ^{0}={frac {1}{24}}{begin{bmatrix}2&1&0\1&2&0\0&0&0\end{bmatrix}}={frac {1}{48}}{begin{bmatrix}1\-1\0end{bmatrix}}{begin{bmatrix}1&-1&0end{bmatrix}}^{mathrm {T} }+{frac {1}{16}}{begin{bmatrix}1\1\0end{bmatrix}}{begin{bmatrix}1&1&0end{bmatrix}}^{mathrm {T} }}
تغاير المثلث الذي تكون قمته في المصدر
مع مراعاة المشغل الخطي x ′ = A x
0
{displaystyle mathbf {x} ‘=mathbf {A} mathbf {x} ^{0}}
الذي يرسم المثلث القياسي في المثلث
v
0 ′ = 0 {displaystyle mathbf {v} ‘_{0}=mathbf {0} } , v
1 ′ =
v
1
−
v
0
{displaystyle mathbf {v} ‘_{1}=mathbf {v} _{1}-mathbf {v} _{0}} , v
2 ′ =
v
2
−
v
0
{displaystyle mathbf {v} ‘_{2}=mathbf {v} _{2}-mathbf {v} _{0}} . يحتوي أول عمودين من
A {displaystyle mathbf {A} } على v
1 ′ {displaystyle mathbf {v} ‘_{1}} و v
2 ′ {displaystyle mathbf {v} ‘_{2}} على التوالي، بينما يكون العمود الثالث عشوائيًا. ويتساوى مثلث الهدف مع المثلث في المسألة (وعلى وجه الخصوص تكون مساحتهما متساوية) ولكن يتناوبان على قمة الرأس الصفرية في المصدر. C ′ = ∫
Δ
′ x ′ x
′
T d A
′ = ∫
Δ 0 A x
0
x
0 T A T a d A 0
=
a A C
0
A T {displaystyle mathbf {C} ‘=int _{Delta ‘}mathbf {x} ‘mathbf {x} ‘^{mathrm {T} },dA’=int _{Delta ^{0}}mathbf {A} mathbf {x} ^{0}mathbf {x} ^{0mathrm {T} }mathbf {A} ^{mathrm {T} }a,dA^{0}=amathbf {A} mathbf {C} ^{0}mathbf {A} ^{mathrm {T} }}
C ′ =
a
48
(
v
1
−
v
2
)
(
v
1
−
v
2 )
T +
a
16
(
v
1
+
v
2
−
2
v
0
)
(
v
1
+
v
2
−
2
v
0 )
T {displaystyle mathbf {C} ‘={frac {a}{48}}(mathbf {v} _{1}-mathbf {v} _{2})(mathbf {v} _{1}-mathbf {v} _{2})^{mathrm {T} }+{frac {a}{16}}(mathbf {v} _{1}+mathbf {v} _{2}-2mathbf {v} _{0})(mathbf {v} _{1}+mathbf {v} _{2}-2mathbf {v} _{0})^{mathrm {T} }}
التغاير في المثلث في المسألة
يتبقى آخر شيء ينبغي القيام به وهو فهم كيف يتبدل التغاير مع ترجمة جميع النقاط على الكمية الموجهة v
0
{displaystyle mathbf {v} _{0}} .
C = ∫ Δ
(
x
′
+
v
0
)
(
x
′
+
v
0 )
T
d
A
=
C ′ +
a
2
(
v
0
v
0 T +
v
0
x ¯ ′
T
+
x ¯
′ v
0 T )
{displaystyle mathbf {C} =int _{Delta }(mathbf {x’} +mathbf {v} _{0})(mathbf {x’} +mathbf {v} _{0})^{mathrm {T} },dA=mathbf {C} ‘+{frac {a}{2}}(mathbf {v} _{0}mathbf {v} _{0}^{mathrm {T} }+mathbf {v} _{0}{overline {mathbf {x} }}’^{mathrm {T} }+{overline {mathbf {x} }}’mathbf {v} _{0}^{mathrm {T} })}
حيث x ¯
′ = ∫
Δ
′ x ′
d A
′ =
1
3
(
v
1 ′ +
v
2 ′ )
=
1
3
(
v
1
+
v
2
−
2
v
0
)
{displaystyle {overline {mathbf {x} }}’=int _{Delta ‘}mathbf {x} ‘,dA’={frac {1}{3}}(mathbf {v} ‘_{1}+mathbf {v} ‘_{2})={frac {1}{3}}(mathbf {v} _{1}+mathbf {v} _{2}-2mathbf {v} _{0})}
هي المركز الوسطي للمثلث المتقطع فمن السهل الآن التحقق من أن جميع المعاملات في
C {displaystyle mathbf {C} } قبل v
i
v
i T {displaystyle mathbf {v} _{i}mathbf {v} _{i}^{mathrm {T} }} هي a
12
{displaystyle {frac {a}{12}}} وبعد v
i
v
j T
(
i
≠
j
)
{displaystyle mathbf {v} _{i}mathbf {v} _{j}^{mathrm {T} };(ineq j)} هي a
24
{displaystyle {frac {a}{24}}} . ويمكن التعبير عن ذلك في شكل مصفوفة مع
S {displaystyle mathbf {S} } على النحو الوارد أعلاه.

شرح مبسط

إن موتر القصور الذاتي

J

{displaystyle mathbf {J} }

لأي مثلث (مثل موتر القصور الذاتي لأي جسم) يمكن التعبير عنه من حيث تغاير

C

{displaystyle mathbf {C} }

الجسم: