تم النشر اليوم 2024/05/19 | 4 معلومات مهمة توضح قانون محيط المثلث

قانون محيط المثلث

يعتبر قانون محيط المثلث واحد من القوانين الهندسية المهمة، وهو يعتبر من أول القوانين التي تتم دراستها في علم الهندسة، وفي مقال اليوم سوف نتعرف على العديد من المعلومات المتعلقة بمحيط المثلث كما أننا سوف نعرف ما هي مساحة المثلث وكيف يتم حسابها بالإضافة إلى ذلك سوف نرى سويا مجموعة من الأمثلة الخاصة بكل من القانونين.

أمثلة على كيفية حساب محيط المثلث

المثال رقم (1)
حديقة مثلثة الشكل أطول أضلاعها 90م، و70م، و40م، يراد إحاطتها بسياج، فما هو طول السياج الذي يلزم لإحاطتها؟
حل المثال
طول السياج = محيط المثلث، وبالتالي محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه = 90+70+40= 200م.
المثال رقم (2)
قم بحساب محيط المثلث الذي أطوال أضلاعه الثلاثة 5سم، و4سم، و2سم؟
حل المثال
محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه= 5+4+2= 11 سم.
مثال رقم (3)
قم بحساب محيط المثلث متساوي الأضلاع الذي طول أحد أضلاعه الثلاثة (أ) 10 سم؟
حل المثال
محيط المثلث متساوي الأضلاع = 3×أ= 3×10= 30 سم.
مثال رقم (4)
إذا كان محيط المثلث متساوي الساقين 40سم، وطول أحد الضلعين المتساويين (أ) يساوي 10سم، فما هو طول قاعدة المثلث متساوي الساقين (ب)؟
حل المثال
محيط المثلث متساوي الساقين= 2×أ+ب، وبالتعويض في هذا القانون فإن: 40= 2×10+ب، 40= 20+ب، ب= 20سم، وهو طول قاعدة المثلث.
مثال رقم (5)
قم بحساب محيط المثلث القائم الذي ارتفاعه (أ) يساوي 4سم، وطول قاعدته (ب) يساوي 3سم
حل المثال
محيط المثلث القائم = مجموع أطوال أضلاعه لإيجاد محيط المثلث فإنه يجب إيجاد الوتر (جـ) أولاً، وذلك كما يلي:
جـ² = أ²+ب²= 3²+4²= 25، ومنه: جـ = 25√= 5سم. بعد إيجاد طول الوتر يمكن إيجاد محيط المثلث القائم كما يلي:محيط المثلث القائم = 4+3+5= 12سم. يمكن كذلك حساب المحيط مباشرة بالتعويض في القانون: محيط المثلث القائم = أ+ب+(أ²+ب²)√ = 3+4+(3²+4²)√= 12سم
مثال رقم (6)
ما هو محيط المثلث متساوي الأضلاع الذي ارتفاعه (ع) 10سم؟

حل المثال
باستخدام نظرية فيثاغورس فإنه يمكن حساب طول ضلع المثلث (أ)؛ وذلك لأن الارتفاع هو العمود المقام من رأس المثلث متساوي الأضلاع إلى منتصف القاعدة، وبالتالي فإنه يشكّل مثلثاً قائم الزاوية الوتر فيه هو أحد الضلعين المتساويين (أ)، ومنتصف القاعدة (أ/2)، والارتفاع هما ضلعا القائمة، وذلك كما يلي:
(طول أحد الضلعين المتساويين)²= (الارتفاع)²+(طول القاعدة/2)²، أ² = 10²+ (أ/2)²، 400+أ² = 4أ²، أ= 11.55 سم، وهو طول ضلع المثلث.بعد إيجاد طول أحد أضلاع المثلث متساوي الأضلاع فإنه يمكن إيجاد محيطه، وذلك كما يلي: محيط المثلث = 3×طول الضلع (أ) = 3 ×11.55 = 34.6 سم تقريباً
مثال رقم (7)
مثلث قائم الزاوية طول قاعدته 5 وحدات، وقياس الزاوية المحصورة بين الوتر، والقاعدة يساوي 28 درجة، فما هو محيط المثلث
حل المثال
لحساب محيط المثلث يجب أولاً إيجاد الارتفاع، والوتر، وذلك لأن محيط المثلث= مجموع أطوال أضلاعه، وذلك كما يلي:
إيجاد الارتفاع، وذلك كما يلي: يشكل الارتفاع الضلع المقابل للزاوية 28 درجة، والقاعدة هي الضلع المجاور لها، وعليه: ظا(28) = المقابل/المجاور، ومنه: 0.5317 = الارتفاع/5، ومنه: الارتفاع = 2.66 تقريباً.إيجاد الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس، وذلك كما يلي: الوتر² = الارتفاع ² + طول القاعدة²، ومنه: الوتر= (2.66²+5²)√= 5.67 تقريباً. حساب محيط المثلث، وذلك كما يلي: محيط المثلث = 5+2.66+5.67 = 13.33 وحدة.

أمثلة مختلفة على حساب مساحة المثلث

وفيما يلي سوف نتعرف سويا على كيفية حساب مساحة المثلث من خلال استخدام القوانين عن طريق الأمثلة التالية:
مثال رقم (1)
ما هي مساحة المثلث متساوي الأضلاع الذي ارتفاعه (ع) 10سم؟
الحل: باستخدام نظرية فيثاغورس فإنه يمكن حساب طول ضلع المثلث (أ)؛ وذلك لأن الارتفاع هو العمود المقام من رأس المثلث متساوي الأضلاع إلى منتصف القاعدة، وبالتالي فإنه يشكّل مثلثاً قائم الزاوية الوتر فيه هو أحد الضلعين المتساويين (أ)، ومنتصف القاعدة (أ/2)، والارتفاع هما ضلعا القائمة.
وذلك كما يلي:
(طول أحد الضلعين المتساويين)²= (الارتفاع)²+(طول القاعدة/2)²، أ² = 10²+ (أ/2)²، 400+أ² = 4أ²، أ= 11.55 سم، وهو طول ضلع المثلث.بتعويض قيمة أ فإن مساحة المثلث متساوي الأضلاع = (3√×أ²)/4 = (3√×11.55²)/4 = 57.7 سم² تقريباً.
مثال رقم (2)
ما هي مساحة المثلث حاد الزوايا الذي طول قاعدته 15 سم، وارتفاعه 4 سم؟
الحل: مساحة المثلث = (1/2) × طول القاعدة × الارتفاع = (1/2) ×15× 4= 30 سم²

مثال رقم (3)
ما هي مساحة المثلث قائم الزاوية الذي طول قاعدته 6 سم، وارتفاعه 9 سم؟
الحل: مساحة المثلث = (1/2) × طول القاعدة × الارتفاع = (1/2)×6×9 = 27 سم²
مثال رقم (4)
إذا كانت مساحة سجادة مثلثة الشكل تساوي 18م²، وطول قاعدتها 3م، فما هو ارتفاعها؟
الحل: مساحة المثلث = (1/2)×طول القاعدة×الارتفاع، وبتعويض القيم في القانون ينتج أن: 18 = (1/2)×3×الارتفاع، وبضرب الطرفين بـ (2) فإن: 36= 3×الارتفاع، وبقسمة الطرفين على (3) فإن: الارتفاع = 12م.
مثال رقم (5)
إذا كان المثلث أ ب جـ فيه قياس الزاوية (ب) 145 درجة، وقياس أب يساوي 4سم، وقياس ب جـ يساوي 3سم، فما هي مساحة المثلث؟
الحل: مساحة المثلث= (1/2)×الضلع الأول×الضلع الثاني×جا (الزاوية المحصورة بينهما) = (1/2)×3×4×جا(145)= 3.44 سم²
مثال رقم (6)
مثلث قائم الزاوية طول قاعدته 5 وحدات، وقياس الزاوية المحصورة بين الوتر، والقاعدة يساوي 28 درجة، فما هي مساحة المثلث؟
الحل: لحساب مساحة المثلث يجب أولاً إيجاد الارتفاع وذلك لأن مساحة المثلث= 1/2×طول القاعدة×الارتفاع، ولحساب الارتفاع يمكن اتباع ما يلي: يشكل الارتفاع الضلع المقابل للزاوية 28 درجة، والقاعدة هي الضلع المجاور لها، وعليه: ظا (28) = المقابل/ المجاور، ومنه: 0.5317 = الارتفاع/5، ومنه: الارتفاع = 2.66 تقريباً. مساحة المثلث = 1/2 × طول القاعدة × الارتفاع= (1/2)×5×2.66= 6.65 وحدة مربعة تقريباً.

ما هو قانون محيط المثلث؟

من المهم في البداية أن نتعرف على مفهوم المحيط حيث أن هناك العديد من القوانين المتعلقة بحساب محيط الأشكال الهندسية، وما يقصد بمحيط الشكل الهندسي هو الطول الكلي لحدود الشكل الهندسي التي تحيط به من الخارج، ويتم قياس المحيط من خلال استخدام وحدات الطول ومنها المتر (م)، والسنتيمتر (سم)، والمليمتر (مم).
محيط المثلث
أما محيط المثلث فهو مجموع أطوال أضلاعه، ومن الممكن أن نشرح الأمر من خلال الرموز الهندسية التالية:
محيط المثلث متساوي الأضلاع = 3×أ حيث أ: طول أحد أضلاع المثلث.محيط المثلث متساوي الساقين = 2×أ+ب ، حيث أ: طول أحد الضلعين المتساويين، وب: طول قاعدة المثلث.محيط المثلث مختلف الأضلاع = أ+ب+ج، حيث أ، وب، وجـ هي أطوال الأضلاع الثلاث للمثلث.محيط المثلث القائم = أ+ب+جـ = أ+ب+(أ²+ب²)√؛ حيث أ، وب: هما ضلعا القائمة، ويمثلان ارتفاع المثلث القائم، وطول قاعدته. جـ: طول الوتر.
أما القوانين السابقة المتعلقة بمحيط المثلث قائم الزاوية فهي تعتمد على النظرية الهندسية التي قام عالم الرياضيات فيثاغورس بوضعها، حيث أنه يمكن الاعتماد عليها من أجل معرفة محيط الثلث الذي لا نكون على دراية بأطوال اضلاعه. ومن الممكن أن نقوم بشرح ذلك من خلال الرموز الهندسية التالية:

(تقول نظرية فيثاغورس أن مجموع مربعي طولي ضلعي الزاوية القائمة مساوٍ لمربع طول الوتر، أي: جـ² = أ² + ب²، وبالتالي فإن الوتر (جـ) = (أ²+ب²)√، وبالتعويض في قانون محيط المثلث القائم فإن المحيط = أ+ب+(أ²+ب²)√.

ما هي مساحة المثلث؟

أما بالنسبة لقانون حساب مساحة المثلث فهو يعتبر أيضا واحد من القوانين الهندسية المهمة، ومن الممكن أن نقوم بتعريف مساحة المثلث على أنها كمية الفراغ المحجوز بواسطة الشكل ثنائي الأبعاد، ويمكن قياس المساحة من خلال الوحدات المربعة، وهناك الكثير من القوانين التي نستطيع من خلالها أن نقوم بحساب مساحة المثلث، وتعتمد هذه القوانين على مجموعة من المعطيات ومن الممكن شرحها في النقاط التالية:
مساحة المثلث = (1/2)× طول القاعدة× الارتفاع، وبالرموز: مساحة المثلث= (1/2)×ق×ع؛ حيث: ق: طول قاعدة المثلث. ع: ارتفاع المثلث.مساحة المثلث= iiس×(س-أ)×(س-ب)×(س-جـ)ii√؛ حيث: أ، ب، جـ: أطوال أضلاع المثلث الثلاث. س: نصف محيط المثلث، وتساوي: س= (1/2)×(أ+ب+جـ).إذا عُلم قياس ضلعين وزاوية محصورة بينهما: مساحة المثلث= (أ×ب×جا س)/ 2: ، حيث: أ، وب: طول ضلعين من أضلاع المثلث. س: الزاوية المحصورة بين الضلعين أ،ب.