نظرة عامة

النوع الأكثر شيوعًا من المعادلات التكاملية يُدعي معادلة فريدهولم التكاملية من النوع الأول وتكون علي شكل

f(x) int_a^b K(x,t),varphi(t),dt.

ومن خلال تدوينات العالم جورج براون أركفين فإن mvar د† هي دالة غير معروفة، math &thinsp < >f&thinsp هي دالة معروفة، و < >K هي دالة أخري من متغيرين معروفة وعادة ما تُدعي تحويل تكاملي دالة كيرنل ، ويجب ملاحظة أن نهايات التكامل عبارة عن وهذا ما يميز دالة فريدهولم.





إذا كانت الدالة الغير معروفة توجد داخل وخارج التكامل فإنها تُدعي دالة فريدهولم التكاملية من النوع الثاني وتكون علي شكل

varphi(x) f(x)+ lambda int_a^b K(x,t),varphi(t),dt.

حيث المتغير mvar خ» هو معامل غير معروف، والذي يلعب نفس دور القيم الذاتية والمتجهات الذاتية متجه ذاتي في جبر خطي الجبر الخطي .



وإذا كانت إحدي النهايات للتكامل متغيرة القيمة فإنها تُدعي معادلة فولتيرا .



ومعادلة فولتيرا من النوع الأول والثاني تكون علي الشكل الآتي بالترتيب

f(x) int_a^x K(x,t),varphi(t),dt

varphi(x) f(x) + lambda int_a^x K(x,t),varphi(t),dt.

وإذا كانت الدالة math &thinsp < >f&thinsp في المعادلات السابقة تساوي صفرًا فأنها تُدعي معادلة تكاملية متجانسة، وأما إذا كانت math &thinsp < >f&thinsp بقيمة غير صفرية فأنها تُدعي معادلة تكاملية غير متجانسة.

الحل العددي

والمعادلات التكاملية ليس لها مدلول إذا عادة لا يكون لها حل تحليلي ويجب أن يتم حلها عدديًا، ومثال علي ذلك هو حساب معادلة المجال الكهربي التكاملية أو معادلة المجال المغناطيسي التكاملية علي جسم مُشكل بإحكام في مسائل التشتت الكهرومغناطيسي.



وهناك طريقة للحل عدديًا تتطلب متغيرات جديدة واستبدال التكامل بطريقة التربيع.

sum_ j 1 ^n w_j K (s_i,t_j
ight ) u(t_j) f(s_i), qquad i 0, 1, cdots, n.

من ثم فإننا الآن لدينا نظام بعدد معادلات mvar n ومتغيرات عددها mvar n وعن طريق حل تلك المعادلات فإننا نحصل علي قيمة لتلك المتغيرات.

u(t_0),u(t_1),cdots,u(t_n).

التصنيف

يتم تصنيف المعادلات التكاملية طبقًا لثلاث تفرعات ليكون الكل هو ثمان أنواع مختلفة


نهايات التكامل

كلتا النهايتين ثابتتين معادلة فريدهولم التكاملية

إحدي النهايات متغيرة معادلة فولتيرا التكاملية

مكان المعادلة الغير معروفة

بداخل التكامل فقط النوع الأول

بداخل وخارج التكامل النوع الثاني

طبيعة الدالة المعروفة math &thinsp < >f&thinsp

تساوي صفرًا متجانسة

لا تساوي صفر غير متجانسة

والمعادلات التكاملية مهمة جدًا في كثير من التطبيقات فكثيرًا ما يتم إستخدام المعادلات التكاملية بداخلها مثل انتقال الطاقة المشعة و تذبذب (فيزياء) تموجالحبل والأغشية و محور العجلة. ومسائل التموج أو التذبذب يمكن أن يتم حلها بواسطة المعادلات التفاضلية.



ومعادلات فولتيرا وفريدهولم التكاملية كلاهما معادلات تكاملية خطية نتيجة للسلوك الخطي لـ math < >د†(< >x) خلال التكامل، ومعادلة فولتيرا الغير خطية يكون لها صيغة عامة علي شكل

varphi(x) f(x) + lambda int_a^x K(x,t),F(x, t, varphi(t)),dt,

حيث mvar F دالة معروفة.

معادلات فينر-هوبف التكاملية

Norbert wiener نوربرت فينر

y(t) lambda x(t)+int^ infty _0 k(t-s)x(s)ds,qquad 0leq t


المعادلة التكاملية في رياضيات علم الرياضيات هي معادلة حيث يظهر فيها دالة (رياضيات) دالة غير مُعرفة بجوار إشارة ال تكامل ، وهناك صلة كبيرة بين المعادلات التكاملية و المعادلات تفاضل التفاضلية ، وفي بعض المسائل يمكن أعادة صياغتها بأحدي الطريقتين، علي سبيل المثال معادلات ماكسويل .