تم النشر اليوم 2024/05/12 | قوس الظل

على المستوي العقدي

الشكل اللوغاريتمي
يمكننا التعبير عن دالة قوس الظل باستخدام اللوغاريتم العقدي: ∀
x
∈ C ∖ ( i ( ]
−
∞
,
−
1
]
∪
[
1
,
+
∞
[ )
)
arctan
⁡
x
=
1
i
artanh
⁡
(
i
x
)
=
1 2
i ln
⁡ ( 1
+
i
x
1
−
i
x ) = ln
⁡
(
1
+
i
x
)
−
ln
⁡
(
1
−
i
x
)
2
i {displaystyle forall xin mathbb {C} setminus left(ileft(]-infty ,-1]cup [1,+infty [right)right)quad arctan x={frac {1}{i}}operatorname {artanh} (ix)={frac {1}{2i}}ln left({frac {1+ix}{1-ix}}right)={frac {ln(1+ix)-ln(1-ix)}{2i}}}
حيث artanh
⁡
x
{displaystyle operatorname {artanh} x} هي دالة الظل الزائدية العكسية. تمثيل الدالة العقدية
التمثيل البياني اللوني للدالة arctan
⁡
z
{displaystyle arctan z}

مشتق

دالة الظل العكسية تقبل الإشتقاق على
R {displaystyle mathbb {R} } ودالتها المشتقة هي:
arctan
′ ⁡
x
=
1 1
+ x 2 {displaystyle arctan ‘x={frac {1}{1+x^{2}}}} إثبات
يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة: (
arctan
⁡
x )
′ =
d d
x arctan
⁡
x
{displaystyle (arctan x)’={d over dx}arctan x} نضع θ
=
arctan
⁡
x
{displaystyle theta =arctan x} :
d
θ
d
tan
⁡
θ = d
θ
d
θ
(
1
+ tan 2
⁡
θ
) =
1 1
+ tan 2
⁡
θ =
1 1
+ x 2 {displaystyle {frac {dtheta }{dtan theta }}={frac {dtheta }{dtheta (1+tan ^{2}theta )}}={frac {1}{1+tan ^{2}theta }}={frac {1}{1+x^{2}}}}
إثبات آخر يمكن استنتاج مشتقة قوس الظل كالتالي: 1. معلوم أن tan(arctan(x))=x بتفاضل الطرفين: (
tan
⁡
(
arctan
⁡
(
x
) )
′ = x
′ {displaystyle (tan(arctan(x))’=x’} نحصل على:
(
tan
⁡
(
arctan
⁡
(
x
) ) 2
+
1
) d d
x
arctan
⁡
(
x
) =
1
{displaystyle {(tan(arctan(x))^{2}+1)}{d over dx}{arctan(x)}=1} بتبسيط tan(arctan(x)) نحصل على:
( x 2
+
1
) d d
x
arctan
⁡
(
x
) =
1
{displaystyle {(x^{2}+1)}{d over dx}{arctan(x)}=1} و بترتيب التعبير نحصل على مشتقة دالة قوس الظل: d d
x
arctan
⁡
(
x
) =
1 1
+ x 2 {displaystyle {d over dx}{arctan(x)}={frac {1}{1+x^{2}}}}

المشتق العكسي

يتم الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الظل عن طريق التكامل بالتجزئة: x arctan
⁡
x
−
1
2
ln
⁡ ( 1
+ x 2 ) +
C
{displaystyle x,arctan x-{frac {1}{2}}ln left(1+x^{2}right)+C}

تمثيل بواسطة متسلسلة

يمكننا تمثيل الدالة بواسطة متسلسلة تايلور: ∀
x
∈
[
−
1
,
1
] arctan
⁡
x
= ∑ k
=
0
∞
(
−
1 ) k x 2
k
+
1 2
k
+
1 =
x
−
1
3 x 3
+
1
5 x 5
−
1
7 x 7
+
⋯
{displaystyle forall xin [-1,1]quad arctan x=sum _{k=0}^{infty }(-1)^{k}{frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{frac {1}{3}}x^{3}+{frac {1}{5}}x^{5}-{frac {1}{7}}x^{7}+cdots } .

شرح مبسط

في الرياضيات، دالة قوس الظل [1][2] (بالإنجليزية: Arctangent)‏ لعدد حقيقي المعرفة على

R

{displaystyle mathbb {R} }

هي الدالة العكسية لدالة الظل، مستقرها هو

]

−

π
2

,

π
2

[

{displaystyle left]-{frac {pi }{2}},{frac {pi }{2}}right[}

، وحدتها هي الراديان.