الدوال الزائدية للأعداد المركبة

لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن تامة الشكل. وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:
e i
x
=
cos
⁡
x
+
i sin
⁡
x
{displaystyle e^{ix}=cos x+i;sin x} e −
i
x
=
cos
⁡
x
−
i sin
⁡
x
{displaystyle e^{-ix}=cos x-i;sin x}
وعليه: cosh
⁡
(
i
x
) =
1
2 (
e i
x
+ e −
i
x ) =
cos
⁡
x
sinh
⁡
(
i
x
) =
1
2 (
e i
x
− e −
i
x ) =
i
sin
⁡
x
cosh
⁡
(
x
+
i
y
) =
cosh
⁡
(
x
)
cos
⁡
(
y
)
+
i
sinh
⁡
(
x
)
sin
⁡
(
y
)
sinh
⁡
(
x
+
i
y
) =
sinh
⁡
(
x
)
cos
⁡
(
y
)
+
i
cosh
⁡
(
x
)
sin
⁡
(
y
)
tanh
⁡
(
i
x
) =
i
tan
⁡
x
cosh
⁡
x =
cos
⁡
(
i
x
)
sinh
⁡
x =
−
i
sin
⁡
(
i
x
)
tanh
⁡
x =
−
i
tan
⁡
(
i
x
)
{displaystyle {begin{aligned}cosh(ix)&={frac {1}{2}}left(e^{ix}+e^{-ix}right)=cos x\sinh(ix)&={frac {1}{2}}left(e^{ix}-e^{-ix}right)=isin x\cosh(x+iy)&=cosh(x)cos(y)+isinh(x)sin(y)\sinh(x+iy)&=sinh(x)cos(y)+icosh(x)sin(y)\tanh(ix)&=itan x\cosh x&=cos(ix)\sinh x&=-isin(ix)\tanh x&=-itan(ix)end{aligned}}}
وبالتالي، تعد الدوال الزائدية دوالاً دورية ذات دورة 2
π
i
{displaystyle 2pi i} ( π
i
{displaystyle pi i} بالنسبة لدالتي الظل وظل التمام الزائديتين). إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية للدوال الزائدية المركبة (العقدية) الواردة أدناه مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال المثلثية توضح العلاقات بينهما.
دوال زائدية في المستوى المركب sinh
⁡
(
z
)
{displaystyle operatorname {sinh} (z)} cosh
⁡
(
z
)
{displaystyle operatorname {cosh} (z)} tanh
⁡
(
z
)
{displaystyle operatorname {tanh} (z)} coth
⁡
(
z
)
{displaystyle operatorname {coth} (z)} sech
⁡
(
z
)
{displaystyle operatorname {sech} (z)} csch
⁡
(
z
)
{displaystyle operatorname {csch} (z)}

تعريفات

هناك طرق متكافئة مختلفة لتعريف الدوال الزائدية. بدلالة الدوال الأسية
sinh, cosh و tanh
csch, sech و coth
الدوال الزائدية هي: الجيب الزائدي:
sinh
⁡
x
=
e x
− e −
x 2
=
e 2
x
−
1
2 e x = 1
− e −
2
x
2 e −
x {displaystyle sinh x={frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}}
جيب التمام الزائدي:
cosh
⁡
x
=
e x
+ e −
x 2
=
e 2
x
+
1
2 e x = 1
+ e −
2
x
2 e −
x {displaystyle cosh x={frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}}
الظل الزائدي:
tanh
⁡
x
= sinh
⁡
x
cosh
⁡
x = e x
− e −
x 2
e x
+ e −
x 2 =
e x
− e −
x e x
+ e −
x =
e 2
x
−
1 e 2
x
+
1 {displaystyle tanh x={frac {sinh x}{cosh x}}={frac {frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
ظل التمام الزائدي:
coth
⁡
x
= cosh
⁡
x
sinh
⁡
x = e x
+ e −
x 2
e x
− e −
x 2 =
e x
+ e −
x e x
− e −
x =
e 2
x
+
1 e 2
x
−
1 {displaystyle coth x={frac {cosh x}{sinh x}}={frac {frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
القاطع الزائدي:
sech
⁡
x
=
1 cosh
⁡
x =
2
e x
+ e −
x {displaystyle operatorname {sech} x={frac {1}{cosh x}}={frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}
قاطع التمام الزائدي:
csch
⁡
x
=
1 sinh
⁡
x =
2
e x
− e −
x {displaystyle operatorname {csch} x={frac {1}{sinh x}}={frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}
يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة أويلر.
لاحظ أنه من التعريف,
s
i
n
h 2
x {displaystyle {rm {sinh}}^{2}x,} تعني (
s
i
n
h
x ) 2 {displaystyle ({rm {sinh}}x)^{2},} , ليس s
i
n
h
(
s
i
n
h
x
) {displaystyle {rm {sinh}}({rm {sinh}}x),} ; وبالمثل للدوال الزائدية الأخرى والأسات الموجبة. بواسطة المعادلات الفاضلية
يمكن تعريف الدوال الزائدية حلولًا للمعادلات التفاضلية: دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان هما الحلان الوحيدتان (s, c) للجملة:
c
′ (
x
) =
s
(
x
) s
′ (
x
) =
c
(
x
)
{displaystyle {begin{aligned}c'(x)&=s(x)\s'(x)&=c(x)end{aligned}}}
بحيث s(0) = 0 و c(0) = 1. وهما أيضًا حلان وحيدان للمعادلة f ″(x) = f (x),
بحيث f (0) = 1, f ′(0) = 0 بالنسبة لجيب التمام الزائدي، و f (0) = 0, f ′(0) = 1 بالنسبة للجيب الزائدي. الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية لمسألة القيمة الحدية: 1
2 f
″ = f 3
−
f ; f
(
0
)
= f
′ (
∞
)
=
0
{displaystyle {frac {1}{2}}f”=f^{3}-fqquad ;qquad f(0)=f'(infty )=0}
بواسطة الدوال المثلثية لعدد مركب
يمكن استنتاج الدوال الزائدية من الدوال المثلثية لعدد مركب: الجيب الزائدي:
sinh
⁡
x
=
−
i
sin
⁡
(
i
x
)
{displaystyle sinh x=-isin(ix)}
جيب التمام الزائدي:
cosh
⁡
x
=
cos
⁡
(
i
x
)
{displaystyle cosh x=cos(ix)}
الظل الزائدي:
tanh
⁡
x
=
−
i
tan
⁡
(
i
x
)
{displaystyle tanh x=-itan(ix)}
ظل التمام الزائدي:
coth
⁡
x
=
i
cot
⁡
(
i
x
)
{displaystyle coth x=icot(ix)}
القاطع الزائدي:
sech
⁡
x
=
sec
⁡
(
i
x
)
{displaystyle operatorname {sech} x=sec(ix)}
قاطع التمام الزائدي:
csch
⁡
x
=
i
csc
⁡
(
i
x
)
{displaystyle operatorname {csch} x=icsc(ix)}
حيث i وحدة تخيلية معرفة بأنها i2 = −1. ترتبط التعريفات المذكورة أعلاه بالتعريفات الأسية عبر صيغة أويلر. تعريف بواسطة التكامل
يمكن إظهار أن مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى جيب التمام الزائدي خلال فترة محدودة تساوي دائمًا طول القوس المقابل لتلك الفترة:
area = ∫ a
b
cosh
⁡
x d
x
= ∫ a
b
1
+
( d d
x cosh
⁡
x )
2 d
x
= arc length. {displaystyle {text{area}}=int _{a}^{b}cosh x,dx=int _{a}^{b}{sqrt {1+left({frac {d}{dx}}cosh xright)^{2}}},dx={text{arc length.}}}

تعابير متسلسلات تايلور

من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة متسلسلة تايلور: sinh
⁡
x
=
x
+ x 3 3
! + x 5 5
! + x 7 7
! +
⋯
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n
+
1 (
2
n
+
1
)
! {displaystyle sinh x=x+{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}+{frac {x^{7}}{7!}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cosh
⁡
x
=
1
+ x 2 2
! + x 4 4
! + x 6 6
! +
⋯
= ∑ n
=
0
∞ x 2
n (
2
n
)
! {displaystyle cosh x=1+{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}+{frac {x^{6}}{6!}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
tanh
⁡
x
=
x
− x 3
3
+ 2 x 5 15
− 17 x 7 315
+
⋯
= ∑ n
=
1
∞
2 2
n
( 2 2
n
−
1
) B 2
n x 2
n
−
1
(
2
n
)
! , |
x
| <
π
2
{displaystyle tanh x=x-{frac {x^{3}}{3}}+{frac {2x^{5}}{15}}-{frac {17x^{7}}{315}}+cdots =sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},left|xright|<{frac {pi }{2}}}
coth
⁡
x
=
1
x
+
x
3
− x 3
45
+ 2 x 5 945
+
⋯
=
1
x
+ ∑ n
=
1
∞
2 2
n B 2
n x 2
n
−
1
(
2
n
)
! ,
0
< |
x
| <
π
{displaystyle coth x={frac {1}{x}}+{frac {x}{3}}-{frac {x^{3}}{45}}+{frac {2x^{5}}{945}}+cdots ={frac {1}{x}}+sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<left|xright|<pi } (متسلسلة لوران)
sech x
=
1
− x 2
2
+ 5 x 4 24
− 61 x 6 720
+
⋯
= ∑ n
=
0
∞
E 2
n x 2
n
(
2
n
)
! , |
x
| <
π
2
{displaystyle operatorname {sech} ,x=1-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {5x^{4}}{24}}-{frac {61x^{6}}{720}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},left|xright|<{frac {pi }{2}}}
csch x
= x −
1
−
x
6
+ 7 x 3 360
− 31 x 5 15120
+
⋯
= x −
1
+ ∑ n
=
1
∞ 2
(
1
− 2 2
n
−
1
) B 2
n x 2
n
−
1
(
2
n
)
! ,
0
< |
x
| <
π
{displaystyle operatorname {csch} ,x=x^{-1}-{frac {x}{6}}+{frac {7x^{3}}{360}}-{frac {31x^{5}}{15120}}+cdots =x^{-1}+sum _{n=1}^{infty }{frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<left|xright|<pi } (متسلسلة لوران)
حيث
B n {displaystyle B_{n},} هي عدد بيرنولي رقم n E n {displaystyle E_{n},} هي عدد أويلر رقم n

المشتقات

d d
x sinh
⁡
(
x
)
=
cosh
⁡
(
x
) {displaystyle {frac {d}{dx}}sinh(x)=cosh(x),}
d d
x cosh
⁡
(
x
)
=
sinh
⁡
(
x
) {displaystyle {frac {d}{dx}}cosh(x)=sinh(x),}
d d
x tanh
⁡
(
x
)
=
1
− tanh 2
⁡
(
x
)
= sech 2
(
x
)
=
1 /
cosh 2
⁡
(
x
) {displaystyle {frac {d}{dx}}tanh(x)=1-tanh ^{2}(x)={hbox{sech}}^{2}(x)=1/cosh ^{2}(x),}
d d
x coth
⁡
(
x
)
=
1
− coth 2
⁡
(
x
)
=
− csch 2
(
x
)
=
−
1 /
sinh 2
⁡
(
x
) {displaystyle {frac {d}{dx}}coth(x)=1-coth ^{2}(x)=-{hbox{csch}}^{2}(x)=-1/sinh ^{2}(x),}
d d
x
csch
⁡
(
x
)
=
−
coth
⁡
(
x
)

csch
⁡
(
x
) {displaystyle {frac {d}{dx}} operatorname {csch} (x)=-coth(x) operatorname {csch} (x),}
d d
x
sech
⁡
(
x
)
=
−
tanh
⁡
(
x
)

sech
⁡
(
x
) {displaystyle {frac {d}{dx}} operatorname {sech} (x)=-tanh(x) operatorname {sech} (x),}
d d
x
(
sinh −
1
⁡
x ) =
1
x 2
+
1 {displaystyle {frac {d}{dx}}left(sinh ^{-1}xright)={frac {1}{sqrt {x^{2}+1}}}}
d d
x
(
cosh −
1
⁡
x ) =
1
x 2
−
1 {displaystyle {frac {d}{dx}}left(cosh ^{-1}xright)={frac {1}{sqrt {x^{2}-1}}}}
d d
x
(
tanh −
1
⁡
x ) =
1 1
− x 2 {displaystyle {frac {d}{dx}}left(tanh ^{-1}xright)={frac {1}{1-x^{2}}}}
d d
x
(
csch −
1
⁡
x ) =
−
1
|
x
| 1
+ x 2 {displaystyle {frac {d}{dx}}left(operatorname {csch} ^{-1}xright)=-{frac {1}{left|xright|{sqrt {1+x^{2}}}}}}
d d
x
(
sech −
1
⁡
x ) =
−
1 x
1
− x 2 {displaystyle {frac {d}{dx}}left(operatorname {sech} ^{-1}xright)=-{frac {1}{x{sqrt {1-x^{2}}}}}}
d d
x
(
coth −
1
⁡
x ) =
1 1
− x 2 {displaystyle {frac {d}{dx}}left(coth ^{-1}xright)={frac {1}{1-x^{2}}}}

شرح مبسط

الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة أو الدوال الهُذْلولية [1] (بالإنجليزية: Hyperbolic functions)‏ في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية (أو الدائرية)، لكنها معرفة بواسطة القطع الزائد بدلاً من الدائرة: تمامًا كما تشكل النقاط (cos t , sin t) دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط (cosh t , sinh t) النصف الأيمن من القطع الزائد.[2][3][4]