تم النشر اليوم 2024/05/20 | نظام متغير الكتلة

نماذج

عند انطلاقه فإن بالون الصاروخ يطلق جزأ من كتلته كالهواء مما يسبب تسارع كبير.
من تعريف العجلةa = dv/dt لذلك معادلة الحركة للأنظمة متغيرة الكتلة يمكن كتابتها: F e
x
t +
v r
e
l d m d t =
m a {displaystyle mathbf {F} _{mathrm {ext} }+mathbf {v} _{mathrm {rel} }{frac {mathrm {d} m}{mathrm {d} t}}=mmathbf {a} }
في الأجسام التي لا يمكن معاملتها على أنها جسيمات، يجب أن نغير a بـacm وتعني تسارع مركز ثقل الجسم: F e
x
t +
v r
e
l d m d t =
m
a c
m {displaystyle mathbf {F} _{mathrm {ext} }+mathbf {v} _{mathrm {rel} }{frac {mathrm {d} m}{mathrm {d} t}}=mmathbf {a} _{mathrm {cm} }}
لذلك فإن القوة الناتجة عن الدفع تعرف بـ: F t
h
r
u
s
t =
v r
e
l d m d t {displaystyle mathbf {F} _{mathrm {thrust} }=mathbf {v} _{mathrm {rel} }{frac {mathrm {d} m}{mathrm {d} t}}} وبذلك: F e
x
t +
F t
h
r
u
s
t =
m
a c
m {displaystyle mathbf {F} _{mathrm {ext} }+mathbf {F} _{mathrm {thrust} }=mmathbf {a} _{mathrm {cm} }}
هذه المعادلة تبين أن الجسم يمكن أن يكون له تسارع نتيجة الدفع حتى لو لم تؤثر عليه قوة خارجية. لو أن محصلة القوىFnet تساوىمجموع Fext وFthrust لذلك فإن المعادلة تكون: F n
e
t =
m
a c
m {displaystyle mathbf {F} _{mathrm {net} }=mmathbf {a} _{mathrm {cm} }}
معادلة الصاروخ المثالي
معدلات كتلة صاروخ مقابل السرعة النهائية محسوبة من معادلة الصاروخ
يمكن استخدام معادلة الصاروخ المثالي للمركبات التي لها نفس سلوكه (تحرك نفسها ع طريق تخليها عن جزأ من كتلتها، مادة دافعة وبسرعة عالية). يمكن اشتقاقها من معادلة الحركة للأنظمة متغيرة السرعة كما يلي: عندما لا تؤثر قوة خارجية(Fext = 0) على الجسم فإن معادلة الحركة تكون: v r
e
l d m d t =
m
d
v
d t {displaystyle mathbf {v} _{mathrm {rel} }{frac {mathrm {d} m}{mathrm {d} t}}=m{frac {mathrm {d} mathbf {v} }{mathrm {d} t}}}
إذا كانت سرعة المادة الدافعةvrel تتحرك في اتجاه عكسي لحركة الصاروخdv/dt فإن الكمية القياسية لهذه المعادلة تكون: − v
r
e
l d m d t =
m
d v d t {displaystyle -v_{mathrm {rel} }{frac {mathrm {d} m}{mathrm {d} t}}=m{mathrm {d} v over mathrm {d} t}}
− v
r
e
l
d m
=
m d v {displaystyle -v_{mathrm {rel} }mathrm {d} m=mmathrm {d} v,}
يتم التكامل عن طريق فصل المتغيرات: − v
r
e
l
∫
m 0 m 1
d m m
= ∫
v 0 v 1 d v
{displaystyle -v_{mathrm {rel} }int _{m_{0}}^{m_{1}}{frac {mathrm {d} m}{m}}=int _{v_{0}}^{v_{1}}mathrm {d} v} v
r
e
l ln
⁡ m 0 m 1
= v 1
− v 0
{displaystyle v_{mathrm {rel} }ln {frac {m_{0}}{m_{1}}}=v_{1}-v_{0}}
بإعادة ترتيب المعادلة Δv = v1 – v0 فإننا نصل للمعادلة النهائية للصاروخ: Δ
v
= v
r
e
l ln
⁡ m 0 m 1
{displaystyle Delta v=v_{mathrm {rel} }ln {frac {m_{0}}{m_{1}}}}
حيث: m0 هي الكتلة الابتدائية الكلية وتشمل المادة الدافعة. m1 هي الكتلة الكلية النهائية. vrel هي سرعة الخروج الفعالة. Δv هو التغير الأقصى لسرعة المركبة عندما لا تؤثر قوة خارجية عليها.

استنتاج

هناك استنتاجات عديدة لمعادلة الحركة للأنظمة متغيرة الكتلة والتي تعتمد على ما إذا كانت الكتلة داخلة أو خارجة للنظام ( هل تزداد كتلة الجسم أو تقل؟). ولتبسيط الحسابات يمكن افتراض أن جميع الأجسام عبارة عن جسيمات. نفرض أيضا أن هذه الكتلة لا ينتج عنها قوة خارجية تؤثر على الجسم. ازدياد الكتلة
عند اللحظة الأولى كلتة dm لها سرعة نسبية u على وشك الالتحام مع الجسم الذي كلتله m وله سرعة v. اللحظة 2 كلا الجسمين يتحركان بسرعة v+dv بعد زمن dt.
الاستنتاج القادم هو لنظام تزداد كتلته. نفرض ان هناك جسم له كتلة متغيرة m تتحرك بسرعة v عند زمن ابتدائي t. عند هذه اللحظة نفرض ان هناك جسيم كتلته dm يتحرك بسرعة u. كميةالحركة الابتدائية يمكن التعبير عنها بالصورة التاليه: p 1 =
m v + u
d m
{displaystyle mathbf {p} _{mathrm {1} }=mmathbf {v} +mathbf {u} mathrm {d} m}
والآن عند زمن يساوى t+dt، نفرض ان الجسم الرئيسي والجسيم الملتحم به يتحركون بسرعة v+dv. لذلك معادلة كمية الحركة الجديدة ستكون: p 2 =
(
m
+ d m
)
( v + d
v )
=
m v +
m d
v + v
d m
+ d m d
v {displaystyle mathbf {p} _{mathrm {2} }=(m+mathrm {d} m)(mathbf {v} +mathrm {d} mathbf {v} )=mmathbf {v} +mmathrm {d} mathbf {v} +mathbf {v} mathrm {d} m+mathrm {d} mmathrm {d} mathbf {v} }
بما أن dmdv هو حاصل ضرب قيمتين صغيرتين، فيمكننا إهماله. لذلك خلال فترة زمنية dt فإن كمية الحركة للنظام تكون:
d
p =
p 2 −
p 1 =
(
m v +
m d
v + v
d m
)
−
(
m v + u
d m
)
=
m d
v −
( u − v ) d m
{displaystyle mathrm {d} mathbf {p} =mathbf {p} _{mathrm {2} }-mathbf {p} _{mathrm {1} }=(mmathbf {v} +mmathrm {d} mathbf {v} +mathbf {v} mathrm {d} m)-(mmathbf {v} +mathbf {u} mathrm {d} m)=mmathrm {d} mathbf {v} -(mathbf {u} -mathbf {v} )mathrm {d} m}
ومن ثم، من قانون نيوتن الثاني: F e
x
t =
d
p
d t = m d
v −
( u − v ) d m d t =
m
d
v
d t −
( u − v )
d m d t {displaystyle mathbf {F} _{mathrm {ext} }={frac {mathrm {d} mathbf {p} }{mathrm {d} t}}={frac {mmathrm {d} mathbf {v} -(mathbf {u} -mathbf {v} )mathrm {d} m}{mathrm {d} t}}=m{frac {mathrm {d} mathbf {v} }{mathrm {d} t}}-(mathbf {u} -mathbf {v} ){frac {mathrm {d} m}{mathrm {d} t}}}
لاحظ ان u-v هي سرعة dm بالنسبة إلى m ويمكن التعبير عنها بـvrel. يمكن كتابة المعادلة كالآتي: F e
x
t +
v r
e
l d m d t =
m
d
v
d t {displaystyle mathbf {F} _{mathrm {ext} }+mathbf {v} _{mathrm {rel} }{frac {mathrm {d} m}{mathrm {d} t}}=m{mathrm {d} mathbf {v} over mathrm {d} t}}
إزالة الكتلة أو طردها
في الأنظمة التي تخرج من الكتلة أو يتم إزالتها فإن الإستنتاج يكون مختلف قليلا. عند زمن t، نفرض ان هناك كتلة m تتحرك بسرعة v ولذلك فإن كمية الحركة الابتدائية للنظام تكون: p 1 =
m v {displaystyle mathbf {p} _{mathrm {1} }=mmathbf {v} }
وبما أن النظام يفقد كتلة مقدارها dm فإنها تكون سالبة بمعنى أنه بعد زمن t+dt تكون كمية الحركة: p 2 =
(
m
+ d m
)
( v + d
v )
+ u (
− d m
)
=
m v +
m d
v + v
d m
+ d m d
v − u
d m
{displaystyle mathbf {p} _{mathrm {2} }=(m+mathrm {d} m)(mathbf {v} +mathrm {d} mathbf {v} )+mathbf {u} (-mathrm {d} m)=mmathbf {v} +mmathrm {d} mathbf {v} +mathbf {v} mathrm {d} m+mathrm {d} mmathrm {d} mathbf {v} -mathbf {u} mathrm {d} m}
حيث u هي سرعة الكتلة المطرودة. لذلك كمية الحركة ستكون:
d
p =
p 2 −
p 1 =
(
m v +
m d
v + v
d m
− u
d m
)
−
(
m v )
=
m d
v −
( u − v ) d m
{displaystyle mathrm {d} mathbf {p} =mathbf {p} _{mathrm {2} }-mathbf {p} _{mathrm {1} }=(mmathbf {v} +mmathrm {d} mathbf {v} +mathbf {v} mathrm {d} m-mathbf {u} mathrm {d} m)-(mmathbf {v} )=mmathrm {d} mathbf {v} -(mathbf {u} -mathbf {v} )mathrm {d} m}
وهذه هي نفس معادلة dp في حالة إضافة كتلة.

شرح مبسط

النظام متغير الكتلة في الميكانيكا هو المادة التي تتغير كتلتها بمرور الزمن. إنه من الخطأ محاولة تطبيق قانون نيوتن الثاني للحركة على مثل هذه الأنظمة.[1][2] يمكن حساب الكتلة والتي تعتمد على الزمن عن طريق إعادة ترتيب قانون نيوتن الثاني بإضافة جزأ على المعادلة يقوم بحساب زخم الحركة المتسبب بواسطة الكتلة التي تخرج أو تدخل للنظام.